平行四边形性质第二课时.ppt
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人教版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT优质教学课件
10 ●O
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6
∵OA=OC，∴OA=12AC=3
B
C
∴S ABCD= BC×AC=8×6=48．
随堂检测
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若 AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 21 ．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD， 点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AB＝ 3 cm．
叫做这两条平行线之间的距离．
如图，直线a∥b，A是直线a上的任意
A
a
一点，AB ⊥b ，B是垂足，线段AB的
b
长就是a、b之间的距离．
B
随堂检测
1．如图，在 ABCD中，
A
D
A：基础知识：
B
C
若∠A=130°，则∠B=_5_0_°___ 、∠C=_1_3_0_°__ 、∠D=__5_0_°__．
B：变式训练： （1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=__1_0_0_°_ 、∠B=__8_0_°__； （2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=__1_0_0_°_ 、∠D=___8_0_°_．
随堂检测
C:拓展延伸：
A
D
如图，在 ABCD中，
B
C
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( B )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4
B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2
D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=_6_0_°_，
一条直线的距离相等．
已知：如图，EF∥MN，A，D是直线
《正方形》平行四边形PPT(第2课时正方形的判定)
∴AC＝BD，AC⊥BD， OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO， △DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，BE＝ CF.AE与BF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：AE＝BF且AE⊥BF. 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C. 又∵BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF(SAS)． ∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF. 又∵∠BAE＋∠AEB＝90°， ∴∠CBF＋∠AEB＝90°. ∴∠BOE＝90°. ∴AE⊥BF.
3.对角线互相垂直的矩形是正方形
几何语言表示： ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形
4.有一个角是直角的菱形是正方形
几何语言表示 ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形 5.对角线相等的菱形是正方形
几何语言表示 ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形
PPT模板：www. 1ppt.co m/ mob an/ PPT背景：/beiji ng/ PPT下载：/xiaz ai/ 资料下载：www. 1ppt.co m/zilia o/ 试卷下载：/shiti / 手抄报：/shouc haobao/ 语文课件：/keji an/yuwen/ 英语课件：/keji an/ying yu/ 科学课件：/keji an/kexue/ 化学课件：/keji an/huaxue/ 地理课件：/keji an/dili/
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝90°. ∵BF⊥AE，DG⊥AE， ∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°. ∵∠DAG＋∠BAF＝90°， ∴∠ADG＝∠BAF. ∴△BAF≌△ADG(AAS)． ∴BF＝AG，AF＝DG. ∵AG＝AF＋FG， ∴BF＝DG＋FG. ∴BF－DG＝FG.
∴△ABO，△BCO，△CDO， △DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，BE＝ CF.AE与BF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：AE＝BF且AE⊥BF. 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C. 又∵BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF(SAS)． ∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF. 又∵∠BAE＋∠AEB＝90°， ∴∠CBF＋∠AEB＝90°. ∴∠BOE＝90°. ∴AE⊥BF.
3.对角线互相垂直的矩形是正方形
几何语言表示： ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形
4.有一个角是直角的菱形是正方形
几何语言表示 ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形 5.对角线相等的菱形是正方形
几何语言表示 ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形
PPT模板：www. 1ppt.co m/ mob an/ PPT背景：/beiji ng/ PPT下载：/xiaz ai/ 资料下载：www. 1ppt.co m/zilia o/ 试卷下载：/shiti / 手抄报：/shouc haobao/ 语文课件：/keji an/yuwen/ 英语课件：/keji an/ying yu/ 科学课件：/keji an/kexue/ 化学课件：/keji an/huaxue/ 地理课件：/keji an/dili/
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝90°. ∵BF⊥AE，DG⊥AE， ∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°. ∵∠DAG＋∠BAF＝90°， ∴∠ADG＝∠BAF. ∴△BAF≌△ADG(AAS)． ∴BF＝AG，AF＝DG. ∵AG＝AF＋FG， ∴BF＝DG＋FG. ∴BF－DG＝FG.
平行四边形的性质(第二课时)精美课件
平行四边形的对角线互相平分 1．(4分)如图所示，如果平行四边形ABCD的两条对角线 AC，BD相交于点O，那么图中的全等三角形有( D ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．(4分)在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 且AB≠AD，则下列式子不正确的是( A ) A．AC⊥BD B．AB＝CD C．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD 3．(4分)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与 OA相等的其他线段有( B ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
A．S△ABE＝S△ADE B．S△BCE＝S△DCE D．S△ADE<S△BCE
1 C．S△ADE＋S△BCE＝ S▱ABCD 2
第4题图
第5题图
北师 · 数学
平行四边形性质的综合应用
6．(4分)如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于 点O，下列结论：①OA＝OC；②∠BAD＝∠BCD； ③AC⊥BD；④∠BAD＋∠ABC＝180°； ⑤AD＝BC.其中正确的个数有( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第6题图
7．(4分)如图，在▱ABCD中，AB＝3 cm， BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA 的取值范围是( C ) A．3 cm<OA<5 cm B．2 cm<OA<8 cm C．1 cm<OA<4 cm D．3 cm<OA<8 cm
北师 · 数学
第7题图
8．(4分)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于 点O，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F， 若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD 的周长是( C ) A．16 B．14 C．12 D．10
人教版八年级数学下《平行四边形的性质-第2课时：平行四边形的对角线互相平分》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
2.已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O， △AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边 的长.
D
C 提示：平行四边形被对角线分成
四个小三角形，相邻两个三角形
O
的周长之差的绝对值等于邻边边
A
B
长之差的绝对值.
F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证
明你的结论.
D
C
解：BEDF，BE//DF.理由如下：
F
∵四边形ABCD是平行四边形，
EO
∴OAOC，OBOD.
A
B
∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴ OEOF， 在△OFD和△OEB中， OEOF，∠DOF∠BOE，ODOB. ∴△OFD≌△OEB. ∴BEDF，∠DFO∠BEO. ∴BE//DF.
O B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
D
∴AB//CD，OAOC.
∵∠EAO∠FCO
F
在△AOE和△COF中，
C
∠AOE∠COF
改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？
OAOC ∠EAO∠FCO ∴△AOE≌△COF.
∴OEOF.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
探究
如图，▱ABCD中，连接AC、
A
D
BD，并设它们相交于点O，OA与OC，
OB与OD有什么关系？
O
B
C
操作
1.任意画一个平行四边形，如上图； 2.尝试用自己的方法找OA与OC，OB与OD的关系.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
浙教版八年级下册 4.2 平行四边形性质 课件(共20张PPT)
∴ AB∥CD，AD∥BC （平行四边形的定义）
∴ ∠A+∠B=180° ∠C+∠B=180°
∠A+∠D=180° ∠C+∠D=180°
（两直线平行，同旁内角互补）
推论： 平行四边形邻角互补.
做一做 1.已知在□ABCD中，∠A=55°.求其余内角的度
数.
2.已知平行四边形相邻两条边的长度之比为3:2， 周长为20cm，求平行四边形各条边长.
新课讲解
验证 平行四边形的对角相等.
平行四边形的对边相等.
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，
C
求证：∠A＝∠C，∠ABC＝∠CDA．
AB＝CD， AD＝BC.
A
B
新课讲解
D
C
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A＝∠C，∠B＝∠D．
A
B
（平行四边形的对角相等）
AB＝CD，AD＝BC．
（平行四边形的对边相等）
∴AD-AE=CB-CF 即 DE=BF
∵∠BAD=∠DCB，∠EAF=∠FCE （平行四边形对角相等）
∴∠BAD-∠EAF=∠DCB-∠FCE 即∠BAF=∠DCE
做一做
已知：如图，在□ABCD中，E是CD上一点，BE=BC.
求证：AD=BE，∠A=∠ABE.
DE
C
A
B
新课讲解 与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性.
BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
求证：BE=DF.
A
D
E
F
B
C
拓展提高
1.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经 栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树 能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应 该栽在哪里？
《平行四边形的性质》PPT课件(第2课时)
在▱ABC中,AO=OC,BO=DO
在纸上任意画一个平行四边形，画出对角线，通过测量，你觉得平行四边形对角线之间有什么关系吗？
BY YUSHEN
已知▱ABCD，求证：AO=OC,BO=DO.
平行四边形对角线互相平分
O
BY YUSHEN
观察下图，你能说出下图中有几对全等三角形吗？你觉得它们之间有什么关系吗？
【答案】【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，OA=6∴ADBC,OAOC=6.∴.∴在中，故答案为：
BY YUSHEN
5．如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于O，EF是过点O的任一直线交AD于点E，交BC于点F，猜想OE和OF的数量关系，并说明理由．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中， ，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．
E
BY YUSHEN
BY YUSHEN
1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）A．18 B．28 C．36 D．46
【答案】C【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5.∵△OCD的周长为23，∴OD+OC=23﹣5=18.∵BD=2DO，AC=2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36.故选C.
BY YUSHEN
课后回顾
BY YUSHEN
ห้องสมุดไป่ตู้
BY YUSHEN
第十八章 平行四边形
BY YUSHEN
目录
BY YUSHEN
BY YUSHEN
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
在纸上任意画一个平行四边形，画出对角线，通过测量，你觉得平行四边形对角线之间有什么关系吗？
BY YUSHEN
已知▱ABCD，求证：AO=OC,BO=DO.
平行四边形对角线互相平分
O
BY YUSHEN
观察下图，你能说出下图中有几对全等三角形吗？你觉得它们之间有什么关系吗？
【答案】【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，OA=6∴ADBC,OAOC=6.∴.∴在中，故答案为：
BY YUSHEN
5．如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于O，EF是过点O的任一直线交AD于点E，交BC于点F，猜想OE和OF的数量关系，并说明理由．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中， ，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．
E
BY YUSHEN
BY YUSHEN
1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）A．18 B．28 C．36 D．46
【答案】C【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5.∵△OCD的周长为23，∴OD+OC=23﹣5=18.∵BD=2DO，AC=2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36.故选C.
BY YUSHEN
课后回顾
BY YUSHEN
ห้องสมุดไป่ตู้
BY YUSHEN
第十八章 平行四边形
BY YUSHEN
目录
BY YUSHEN
BY YUSHEN
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
新人教版八年级下册第十九章《四边形》第一节第二部分《平行四边形的性质2》ppt
A
C O
B
2013年4月11日星期四
D
18
ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF 过点 O与 AB 、CD分别相交于E 、F.
求证:OE=OF
E
3
A
●
1
D
●
O
2
●
4
F
19
B
2013年4月11日星期四
C
小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有 一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水 井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你可以帮小明的妈妈修路吗？怎样分呢？
数学八年级下册
同安中学
2013年4月11日星期四
罗利平
1
八年级 数学
复习
B
A D
C
定
义
两组对边分别平行的四边形叫做 平 行 四 边形。其不相邻的两个顶点连成的线段叫 它的对角线。 平行四边形ABCD, 记为“□ABCD”, 读作 “平行四边形ABCD”, 其中线段AC, BD称 为对角线。 1.平行四边形的两组对边分别平行; 2.平行四边形的对边相等， 3.平行四边形的对角相等， 相邻两角互补。
D
证明：
B ∵四边形ABCD是平行四边形，
4
2
C
∴ AD=BC，AD∥BC. ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ △AOD≌△COB（ASA）. 2013年4月11日星期四 ∴ OA=OC，OB=OD.
10
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分. 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC
∵四边形ABCD是平行四边形
13
A
老大 老二
●
D O
C O
B
2013年4月11日星期四
D
18
ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF 过点 O与 AB 、CD分别相交于E 、F.
求证:OE=OF
E
3
A
●
1
D
●
O
2
●
4
F
19
B
2013年4月11日星期四
C
小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有 一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水 井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你可以帮小明的妈妈修路吗？怎样分呢？
数学八年级下册
同安中学
2013年4月11日星期四
罗利平
1
八年级 数学
复习
B
A D
C
定
义
两组对边分别平行的四边形叫做 平 行 四 边形。其不相邻的两个顶点连成的线段叫 它的对角线。 平行四边形ABCD, 记为“□ABCD”, 读作 “平行四边形ABCD”, 其中线段AC, BD称 为对角线。 1.平行四边形的两组对边分别平行; 2.平行四边形的对边相等， 3.平行四边形的对角相等， 相邻两角互补。
D
证明：
B ∵四边形ABCD是平行四边形，
4
2
C
∴ AD=BC，AD∥BC. ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ △AOD≌△COB（ASA）. 2013年4月11日星期四 ∴ OA=OC，OB=OD.
10
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分. 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC
∵四边形ABCD是平行四边形
13
A
老大 老二
●
D O
《平行四边形的性质》_PPT2
(1)求证：OE＝OF； (2)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等； (3)直线EF是否将▱ABCD的面积分成二等份？试说明理由． 应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图② 所示，张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子，且使两 块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开．
4．(淮安中考)已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O的直线分别与AD，BC相交于点E，F. 13．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF. 解：(1)∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40° A．3 B．6 C．12 D．24 A．14 B．13 C．12 D．10 18． 平行四边形的性质 (1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数； (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝CF 应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图②所示，张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子， 且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开．
18． 平行四边形的性质
∠DAE. 10 B．8 C．7 D．6
13．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF.
3_．__若 __▱_A__B_(Cc1mD.)的若周长∠为A100OcmE，＝两条5对0°角线，相交求于∠点OA，△CABO的B的度周长数比△；BOC的周长多10 cm，则AB＝_______cm，BC＝
4．(淮安中考)已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O的直线分别与AD，BC相交于点E，F. 13．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF. 解：(1)∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40° A．3 B．6 C．12 D．24 A．14 B．13 C．12 D．10 18． 平行四边形的性质 (1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数； (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝CF 应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图②所示，张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子， 且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开．
18． 平行四边形的性质
∠DAE. 10 B．8 C．7 D．6
13．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF.
3_．__若 __▱_A__B_(Cc1mD.)的若周长∠为A100OcmE，＝两条5对0°角线，相交求于∠点OA，△CABO的B的度周长数比△；BOC的周长多10 cm，则AB＝_______cm，BC＝
平行四边形的性质PPT精品课件2
老大
老二 老三 老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地 少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
老人分地合理吗？
A
老大 老二
●
D O
M 老三
老四BLeabharlann C故四人的土地面积相同，老人分地合理。
引申思考
小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井， 为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可 以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明 的小明是怎么帮妈妈分的吗？
O
D
C
看一看
A
D O ●
B 再看一遍
C
看一看
A
D O ●
B
C
你有什么猜想？
结论
●
1.
ABCD绕它的中心O旋转180°后 与自身重合，这时我们说 ABCD是 中心对称图形，点O叫对称中心。
猜一猜
你能证明 它吗?
根据刚才的旋转，你知道平行四边形 的对角线有什么性质吗？
●
平行四边形的对角线互相平分.
10 B
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵AC⊥BC
●
A 8 O
D
C
2
∴△ABC是直角三角形
C ∴A 又∵OA=OC
∴S
A B B C
2 2
ABCD = BC×AC=8×6=48
1 0 8 6 1 ∴ OA 2 AC 3
2
说一说,练一练
如图，在 ABCD中，
B A O D
BC=10cm, AC=8cm,
O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的
坐标为（ C ）
A. (3,7) C. (7,3) B. (5,3)
老二 老三 老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地 少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
老人分地合理吗？
A
老大 老二
●
D O
M 老三
老四BLeabharlann C故四人的土地面积相同，老人分地合理。
引申思考
小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井， 为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可 以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明 的小明是怎么帮妈妈分的吗？
O
D
C
看一看
A
D O ●
B 再看一遍
C
看一看
A
D O ●
B
C
你有什么猜想？
结论
●
1.
ABCD绕它的中心O旋转180°后 与自身重合，这时我们说 ABCD是 中心对称图形，点O叫对称中心。
猜一猜
你能证明 它吗?
根据刚才的旋转，你知道平行四边形 的对角线有什么性质吗？
●
平行四边形的对角线互相平分.
10 B
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵AC⊥BC
●
A 8 O
D
C
2
∴△ABC是直角三角形
C ∴A 又∵OA=OC
∴S
A B B C
2 2
ABCD = BC×AC=8×6=48
1 0 8 6 1 ∴ OA 2 AC 3
2
说一说,练一练
如图，在 ABCD中，
B A O D
BC=10cm, AC=8cm,
O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的
坐标为（ C ）
A. (3,7) C. (7,3) B. (5,3)
【最新版】八年级数学下册课件：18.1.1平行四边形的性质
同前面易得AB=CD=EF
两条平行线间的距离相等.
巩固练习
18.1 平行四边形/
4.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2， 求△ABD中AB边上的高．
解：∵S△ABC
= =
1 2
AB•BC,
1 2
×4
×BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）
∴∠A+∠B=180°∠C+∠D=180° （两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180º－ 52°=128 °
巩固练习
18.1 平行四边形/
3.如图： 在 ABCD中，∠A+∠C=200° A
则：∠A= 100 ，∠B= 80 °.
探究新知
18.1 平行四边形/
四边形
两组对边分别平行 A
D
平 行
四
B
C
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
边 形
A
D 记作： ABCD
读作：平行四边形ABCD
B
C
∵ AB∥CD
∵四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
∴ AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
注：图形中字母的标识顺序应为顺时针方向或逆时针方向。
1. 理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行 四边形的定义和对边相等、对角相等的两条性 质.
探究新知
18.1 平行四边形/
知识点 1 平行四边形的定义
下列常见的四边形它们的边之间有什么关系呢？
探究新知
两条平行线间的距离相等.
巩固练习
18.1 平行四边形/
4.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2， 求△ABD中AB边上的高．
解：∵S△ABC
= =
1 2
AB•BC,
1 2
×4
×BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）
∴∠A+∠B=180°∠C+∠D=180° （两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180º－ 52°=128 °
巩固练习
18.1 平行四边形/
3.如图： 在 ABCD中，∠A+∠C=200° A
则：∠A= 100 ，∠B= 80 °.
探究新知
18.1 平行四边形/
四边形
两组对边分别平行 A
D
平 行
四
B
C
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
边 形
A
D 记作： ABCD
读作：平行四边形ABCD
B
C
∵ AB∥CD
∵四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
∴ AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
注：图形中字母的标识顺序应为顺时针方向或逆时针方向。
1. 理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行 四边形的定义和对边相等、对角相等的两条性 质.
探究新知
18.1 平行四边形/
知识点 1 平行四边形的定义
下列常见的四边形它们的边之间有什么关系呢？
探究新知
人教版《平行四边形的性质》初中数学-教学课件2
)
证明:在▱ABCD中,AD∥BC,
又∵AM=CN,∴△ABM≌△CDN, 如图,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,对于以O为公共顶点的4个三角形来说,下面结论中错误的是(
)
∴∠AMB=∠CND,
∴∠BMO=∠DNO,∴BM∥DN.
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数学
6.【例3】如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O 的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM 的面积为4,求△AOB的面积.
返回
数学
解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠CAD=∠ACB,OA=OC, 而∠AOM=∠CON,∴△CON≌△AOM, ∴S△AOD =S△DOM +S△AOM =S△DOM +S△CON =4+2=6, 又∵OB=OD,∴S△AOB =S△AOD =6.
返回
数学
10.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线 交AD于点E,交BC于点F.直线EF两旁的梯形的面积相等吗? 为什么?
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO, 解决一类问题、一系列问题。
29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
∴△DEO≌△BFO,∴DE=BF. 30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
(4)立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 ○3课后及时复习.写完作业后对当天老师讲的内容进行梳理，可以适当地做25分钟左右的课外题.可以根据自己的需要选择适合自己的课外书.其课外题内容大概就是今天上
第十八章 平行四边形
第2课时 平行四边形的性质(2)
平行四边形性质及定理PPT课件
的平衡和美感。
图案设计
02
平行四边形在图案设计中也有广泛应用，如纺织品、壁纸、地
毯等的设计。
舞台布景和道具设计
03
在舞台布景和道具设计中，平行四边形也常被用于创造视觉效
果和空间感。
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一组对边平行
总结词
如果一个四边形中有一组对边平 行，则该四边形是平行四边形。
详细描述
这是平行四边形的一个基本判定 定理。如果一个四边形的对边平 行，则这个四边形必然是平行四 边形。
一组对边相等
总结词
如果一个四边形中有一组对边相等， 则该四边形是平行四边形。
详细描述
这也是平行四边形的一个基本判定定 理。如果一个四边形的对边相等，则 这个四边形必然是平行四边形。
窗户和门的形状设计
平行四边形因其独特的对边平行和相 对边相等的特性，常被用于创造空间 感和视觉效果。
窗户和门的形状设计经常采用平行四 边形，以实现采光和通风的最佳效果。
建筑结构的稳定性
平行四边形的对角线互相平分，这使 得它在建筑结构设计中具有稳定性， 如桥梁、房屋的支撑结构等。
机械设计中的应用
机械零件的形状设计
平行四边形性质及定理ppt课件
contents
目录
• 平行四边形的基本性质 • 平行四边形的判定定理 • 特殊平行四边形 • 平行四边形在实际生活中的应用
01 平行四边形的基本性质
对边平行
总结词
平行四边形的对边是平行的。
详细描述
这是平行四边形的基本性质之一，即相对的两条边是平行的，不会相交于一点。
直角三角形斜边中线定 理，矩形的对角线相等
且互相平分。
人教版八年级下19.1.1(2)平行四边形的性质(2)课件
O
C
2013年8月27日星期二
20
1、 平行四边形的性质。 边： 对边平行且相等 角： 对角相等，邻角互补
对角线互相平分 对角线：
2、复习了证明命题的一般步骤。 画图----写出已知和求证----证明过程 3、获得数学知识的基本途径 观察------思考-----猜想------验证
2013年8月27日星期二 21
小明家有一块平行四边形采地，菜地中间有 一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水 井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？
A
●
D
M C
B
2013年8月27日星期二
22
ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF 过点 O与 AB 、CD分别相交于E 、F. A D 求证:OE=OF ● 1 4 E O ● 3 2 ●F B C
坐标为（ C ）
A. (3,7)
C. (7,3) Y
D(2,3) C
B. (5,3)
D. (8,2)
O (0,0)
B(5,0) x
2013年8月27日星期二
19
ABCD中, 对角线AC﹑BD相交 于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,
如图,在 5 则CD=______.
A B
D
1 OA+OB= (AC+BD)=10 2
3.平行四边形是中心对称图形。
表示方法
性
质
2013年8月27日星期二
2
结合下图用几何语言叙述平行四边 形的性质
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD；AD∥BC AB=CD；AD=BC ∠A= ∠C; ∠B= ∠D
《平行四边形的性质》PPT精选优质课件2
数学
八年级下册
第十八章 平行四边形
人教版
专题训练 特殊平行四边形的性质与判定
类型一 矩形的性质与判定 1．(宿迁中考)如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点 E，F 分别 在 AB，CD 上，且 BE＝DF＝32 . (1)求证：四边形 AECF 是菱形； (2)求线段 EF 的长．
解：(1)∵在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2，∴CD＝AB＝4，AD＝BC ＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，∵BE＝DF＝32 ，∴CF＝AE＝4－32 ＝52 ， ∴AF＝ 22＋（32）2 ＝52 ＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE＝52 ，∴四边形 AECF 是菱形
类型二 菱形的性质与判定 4．(2020·新疆)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对 角线AC于点E，F，连接BE，DF. (1)求证：AE＝CF； (2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE ＝∠BCF，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AED＝∠CFB，在△ADE 和
解BE：，(又1)∵∵四DF边∥形BAE，BC∴D四是边矩形形D，E∴BFA是B∥平C行D四，边∴形∠DFO＝∠BEO，又∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝ B(1E)当，四又边∵形DFA∥BCBED，是∴矩四形边时形，D四E边BF形是E平FG行H四是边__形______，请说明理由； (82．)如如图图，①连，接在E正G，方∵形四AB边C形D中AB，CPD是是对菱角形线，B∴D上AD的＝一B点C，，A点DE∥在BACD，的∵延E长为线AD上中，点且，PA∴＝APEE＝，EPDE，交∵CDBG于＝点DFE. ，∴AE＝BG，又 ∵解A：E(∥1)∵BG四，边∴形四E边FG形HA是B矩G形E是，平∴行EH四＝边F形G，E∴HA∥BF＝GE，G∴，∠∵GEFGH＝＝F∠H＝EH2，F，∴∵A∠B＝BF2G，＝∴1菱80形°A－B∠CDG的FH周，长∠为D8HE＝180°－∠EHF， (∴2)∠若BBFEG＝＝D∠E，DH求E证，：∵四四边边形形EABBFCDD为是菱菱形形．，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE (13)求 如证图：②A，E把＝正C方F；形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并 (说2)明若理BE由＝．DE，求证：四边形EBFD为菱形． (12)求证∠：CPAEE的＝度C数F；； (21)如 求图证，：连四接边形EGD，E∵BF四是边平形行A四B边CD形是；菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，又 ∵(2)A当E四∥边BG形，A∴BC四D边满形足A什B么GE条是件平时行，四四边边形形，E∴FGAHB是＝正EG方，形∵？E并G＝说F明H理＝由2，．∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长为8 专(2)题若训BE练＝D特E，殊求平证行：四四边边形形的E性B质FD与为判菱定形． (2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
八年级下册
第十八章 平行四边形
人教版
专题训练 特殊平行四边形的性质与判定
类型一 矩形的性质与判定 1．(宿迁中考)如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点 E，F 分别 在 AB，CD 上，且 BE＝DF＝32 . (1)求证：四边形 AECF 是菱形； (2)求线段 EF 的长．
解：(1)∵在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2，∴CD＝AB＝4，AD＝BC ＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，∵BE＝DF＝32 ，∴CF＝AE＝4－32 ＝52 ， ∴AF＝ 22＋（32）2 ＝52 ＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE＝52 ，∴四边形 AECF 是菱形
类型二 菱形的性质与判定 4．(2020·新疆)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对 角线AC于点E，F，连接BE，DF. (1)求证：AE＝CF； (2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE ＝∠BCF，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AED＝∠CFB，在△ADE 和
解BE：，(又1)∵∵四DF边∥形BAE，BC∴D四是边矩形形D，E∴BFA是B∥平C行D四，边∴形∠DFO＝∠BEO，又∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝ B(1E)当，四又边∵形DFA∥BCBED，是∴矩四形边时形，D四E边BF形是E平FG行H四是边__形______，请说明理由； (82．)如如图图，①连，接在E正G，方∵形四AB边C形D中AB，CPD是是对菱角形线，B∴D上AD的＝一B点C，，A点DE∥在BACD，的∵延E长为线AD上中，点且，PA∴＝APEE＝，EPDE，交∵CDBG于＝点DFE. ，∴AE＝BG，又 ∵解A：E(∥1)∵BG四，边∴形四E边FG形HA是B矩G形E是，平∴行EH四＝边F形G，E∴HA∥BF＝GE，G∴，∠∵GEFGH＝＝F∠H＝EH2，F，∴∵A∠B＝BF2G，＝∴1菱80形°A－B∠CDG的FH周，长∠为D8HE＝180°－∠EHF， (∴2)∠若BBFEG＝＝D∠E，DH求E证，：∵四四边边形形EABBFCDD为是菱菱形形．，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE (13)求 如证图：②A，E把＝正C方F；形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并 (说2)明若理BE由＝．DE，求证：四边形EBFD为菱形． (12)求证∠：CPAEE的＝度C数F；； (21)如 求图证，：连四接边形EGD，E∵BF四是边平形行A四B边CD形是；菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，又 ∵(2)A当E四∥边BG形，A∴BC四D边满形足A什B么GE条是件平时行，四四边边形形，E∴FGAHB是＝正EG方，形∵？E并G＝说F明H理＝由2，．∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长为8 专(2)题若训BE练＝D特E，殊求平证行：四四边边形形的E性B质FD与为判菱定形． (2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
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A
D
O
B
C
例练1
⑴在 ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O,
且AC=10, BD=6, 则OA= _5__,
OB= _3__, 边AD长的取值范围 D
C
是_2_<_A__D_<_8__; 若AB=6, 则 A
O B
△OCD的周长是__1_4_.
⑵如图 ABCD中, △AOD的周长为13, BC=5,
∵OD=OB（平行四边形的对角线互相平分）
∴AB-AD=2, AB+AD=22
解得：AB=12，BC=10，CD=12，AD=10
如图,在□ABCD中,请您判断△ABC和
△DBC的面积相等吗?为什么呢?
A
D
O
B
E
CF
画两条平行直线l1、l2, 在l1上取一点A, 过A
画l2的垂线, 垂足为B. 则称线 段AB的长为点A到直线l2的
A·
C· l1
距离; 同时也称为两条平行
直线l1、l2之间的距离.
┓
┓
B
D
l2
若在直线l1任意另取一点C直线, 也画l2的垂
线, 垂足为D. 试说明线段AB和CD有何关系.
易得: AB∥CD, 且AB=CD.
平行线的性质:
平行线之间的距离处处相等.
平行线间的距离处处相等.
几何语言表示为：
A
B
a
∵a∥b AC⊥ｂ，
4、平行四边形的 邻角互补. B
C
除了这些性质以外,平行四边形还 有没有其他的性质呢?
如下图所示,请同学们在方格纸 上任意画出一个平行四边形,并量 出OA与OC,OB与OD的长度,看他们 的长度有什么关系?
Ａ
Ｄ
Ｏ
Ｂ
Ｃ
OA=OC,OB=OD
何为互相平
平行四边形的性质： 分？
平行四边形的对角线互相平分.
C
D
P
D
C
C
A
D
BA
O
EB A D
BC
⑶右图中, AB∥CD, AC、BD交于O,
则S△ABD = S△ABC,图中还有面积相等
O
的三角形是: △ACD和△BCD 、△AOD和A△BOD B
变式2：
F
⑴如图, P、Q是 ABCD的
DE
边AB、BC上的任意两点, 则 A
△PCD和△QAD的面积有何关系?
E
C F B
解：五个 分别是△ACE、△BCE、△CDF、△ACF 、△ABF
拓展：
⑴如图, E、F、G、H分别是四边 形ABCD的边AB、BC、CD、DA的 中点, O是形内任一点, 图中所表三个 四边形的面积, 求第四个四边形的面积.
4-4xx x? y 4-67x-y 77-yy 4-x+7-y=6
平行四边形性质2
1.平行四边形是___中__心____对称图形
2. 平行四边形ABCD A
D
O
B
C
A的对称点是__C__,B的对称点是_D___,
对称中心是__O___.
3.我们回忆一下,平行四边形有哪 些性质?
1、平行四边形的 对边平行； A
D
2、平行四边形的 对边相等；
3、平行四边形的 对角相等；
对角线AC+BD= _1_6_.
⑶ ABCD的周长为44cm, 对角线AC、BD相
交于O, 且△AOD的周长比△AOB的周长少2cm,
求 ABCD各边的长.
D
C
O
A
B
解：在 ABCD中，AD+AB+BC+CD=44cm
∵AD=BC,AB=CD
∴2AB+2AD=44,AB+AD=22
∵ OA+OB+AB-（ AD+AO+OD）=2
并规划形状为平行四边形,且保留 4棵古树不动,作为湖边的一个景观,
你能为园林局设想规划一下吗?
D C
B
P
C Q B
解：过点P作PE⊥CD于点E,过点Q作QF⊥AD
交AD延长线于点F，由题意可知：
S△PCD= 12CD·PE= 12S ABCD
S△ADQ=
1AD·QF=
2
12S
ABCD
∴△PCD和△QAD的面积相等
⑵如图, E、F是 ABCD的边
D
AB、BC的中点, 则图中与 △ADE
面积相等的三角形有哪几个? A
几何语言表示为：
∵四边形ABCD是平行 四边形
A O
B
D C
∴AO=CO BO=DO（平行四边形的对角线
互相平分）
例1:如图,在□ABCD中,已知对角线AC和BD
相交于点O,△AOB的周长为15,AB=6,那么对 角线AC与BD的和是多少?
A
O B
D C
1，已知，如图，O是□ABCD的对角线的
交点AC=24,BD=38，AD=14。求 △BOC的 周长.
⑵如图, O是 ABCD内一点, OA、OB、OC、OD把
四边形分成四个三角形的面积分别 D E
为S1、S2、S3、S4. 你能说明: S1+S3=S2+S4吗?
S4 ·OS3
S2
C
S1Biblioteka AFB某市境内有一个如图所示 的四边形的小湖, 小湖的四个 角A、B、C、 D处恰好各有 A
一棵古树, 在城市景区改造中, 设想把小湖面积扩大为原来的2倍,
BD⊥ｂ
b
C
D
∴AC=BD(平行线间的距离 处处相等)
如图，如果直线L1∥L2,那么△ABC
的面积和△DBC的面积是相等的.你能说
L 出理由吗?你还能在这两条平行线 1，
L2,之间画出其它与△ABC面积相等的三
角形吗?
A
L D 1
B
C
L2
如右图所示,平行四边形ABCD的对角
线相交于O,AC⊥BC垂足为C,已知AC=6,BC=4,
求BD的长?
A
D
O
B
C
变式1：
⑴如图1, D边AB的中点, 则S△AD C _=__ S△BDC
⑵如图2, P是 ABCD的边DC上任意一点,
则S△ABP =
1 2
S
ABCD
⑶如图3, O是 ABCD中两条对角线AC、BD的交点,
则S△AOB = S△BOC =S△COD
=S△AOD =
1 4
S
ABCD