4.4第四章因式分解回顾与思考

( x 4 z 4 xz ) 9 y (a b) 4(a b) 4 2 2 ( x 2 z ) ( 3 y ) 2 (a b 2) ( x 2 z 3 y )( x 2 z 3 y )
知识点五：运用分解因式进行计算和求值 例5.利用分解因式计算 2 2 100 1999 1998 2002 ⑵ ⑴ 2 2 2 (99 1982 1) 1999 (2000 2)( 2000 2) 100 2 2 2 2 1999 2000 4 (99 2 99 1) ( 1999 2000 )( 1999 2000 ) 4 2 100 1 2 3999 4 (99 1) 3995
2 2 2
(a 2) (a 2)
2
2
⑵
2x y x y
2 2 4
4 2 4 2 2 2
4
2
( x y 2 x y ) ( x y )
2
连续两次使用公式 法进行分解因式。 当多项式形式上是 二项式时，应考虑 用平方差公式，当 多项式形式上是三 项式时，应考虑用 完全平方公式。
⑶ (2)
101
(2)
100
100
(2)
100
(2 1) 2
知识点五：运用分解因式进行计算和求值
例6.已知 x2+3x-2=0,求2x3+6x-4的值.
解：2 x 3
6x 4x 2 2 x( x 3x 2) 2x 0 0
2
1 2 1 2 例7.已知x+y=1，求 x xy y 的值。 2 1 2 1 2 2
2 2
2
例3.把下列各式分解因式
( x y 5) 2
⑷ ( 2 a b)
2 2
2
4a 4ab b 8ab
2 2
8ab
可以先化简整理，再 考虑用公式或其它 方法进行因式分解。
2
4a 4ab b (2a b)
小试牛刀
练一练：把下列各式分解因式
⑴ (a 4) 16a (a 2 4 4a)( a 2 4 4a)
12 12 12 12 6 6
反复利用平方差公式 进行分解因式，分解 过程中需注意题目中 的条件要求，分解因 式“适可而止”。
(2 1)( 2 1)( 2 1)( 2 1)
答：这两个数分别为65和63。
(2 1)( 2 1) 65 63
作业
• 完成书上习题 • 知识框架和定义、公式归纳
x y 24 化简得 ( x y )( x y ) 960 x y 24 x 32 解得 整理得 x y 40 y 8
答：两个正方形的边长分别为32cm,8cm.
永攀高峰
例10.利用分解因式说明：25 5 能被120 整除。 7 12 提示：底数不同， 解： 25 5 且指数不全为偶 27 12 5 5 数，若考虑使用 7 6 7 6 平方差公式则需 (5 5 )(5 5 ) 要转化底数。
x y ( x y )( x y )
1 D. x 1 x (1 ) x
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式 ⑴ -27m2n+9mn2-18mn
原式 9mn(3m n 2)
⑵ 4b(1 b) 2(b 1) 3 2 4b(1 b) 2(1 b)
解： x xy y 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 ( x 2 xy y ) ( x y ) 1 2 2 2 2
• 例8.计算下列各式： 3 1 (1)1 2 ________; 4 2 2 1 1 (2)(1 2 )(1 2 ) _________; 3 2 3 5 1 1 1 (3)(1 2 )(1 2 )(1 2 ) __________ . 8 2 3 4
7 12
5 65 4
6 6
∴257-512能被120整除。
120 5
11
永攀高峰
•
2 1 可以被60和70之间某两个自然数
48
整除， 求这两个数。
48
解： 2
1
(2 1)( 2 1)
24 24 24 24 24
(2 1)( 2 1)( 2 1)
完全平方公式
a2±2ab+b2 =(a±b)2
因式分解的应用 简便计算 化简求值
因式分解口诀 一提，二用
知识点一：对分解因式概念的理解
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ B ）
A. B. C.
y 3 y 4 y ( y 3) 4
2 2 2 2 2
1 4 x 4 x (1 2 x)
2.将 4 x
2
1 再加上一个单项式，使它
成为一个多项式平方，你有几种方法？
±4x，4x4 4x2±4x+1=(2x±1)2 4x4±4x2+1=(2x2±1)2
3.一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个 代数式的值都是正值,你不信试一试?”
解： 4x2+8x+11 =4(x2+2x)+11 =4(x2+2x+1-1)+11 =4(x+1)2-4+11 =4(x+1)2+7 ∵4(x+1)2≥0 ∴4(x+1)2+7>0 即4x2+8x+11>0，所以小刚说得对.
( x y ) ( x y )
2
知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
⑴
x( x 4) 2 x( x 2)( x 2) ( y 1)( y 1)( x 1) 2 2 2 2 9 y 4 z 4 xz ⑶ (a b) 4(a b 1) ⑷ x 2 2 2
相信你能行
1.如果多项式x2+2mx+4是完全平方 式，求m的值.
1 1 4 2.已知：x + = -3, 求x + 4 的值. x x
已知a-b=1，b-c=2,请你利用完全平方 公式求值：a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.
整式乘法 互 为 逆 变 形 因式分解
从而将多项式化成两个 因式乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提 公因式法。 提公因 式法 方 法 公式法 平方差公式
沈阳南昌数学 九江市同文中学 钟敏
知识回顾
• • • • 1、举例说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ 4、试着画出本章的知识结构图。
因式分解的概念
多项式
因式分解
整式乘法
几个整式的积
提公因式法
因式分解的方法 公式法
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
S=πR2 –4πr2=π(R+2r)(R –2r)
=π(7.5+2×1.25)(7.5 –2×1.25)
=π×10×5=50π（cm2） ∴剩余部分的面积50π cm2.
活学活用
1.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？ 2.当k取何值时，100 x2-kxy+49y2是一个完全 平方式？
1. 解：x2+2x+1=(x+1)2 当x=-1时， x2+2x+1取得最小值0。
3
2 2 2
2
公因式既可以是单 项式，也可以是多 项式，需要整体把 握。
2(1 b) 2b(1 b) 1 2(1 b) (2b 2b 1)
知识点三：利用公式法分解因式
9 ⑴ (m n) (m n) ⑵ x 3x 4 (m n) (m n)(m n) (m n) 3 2 2m 2n 4mn (x ) 2 2 ⑶ ( x y) 10( x y) 25
a 2 b 2 (a b)(a b)
把一个多项式化成几 个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个 多项式分解因式。
完全平方公式
a 2 2ab b 2 (a b) 2
如果把乘法公式反过来，那 么就可以用来把某些多项式 分解因式，这种分解因式的
2
x 4 x 2
3
Fra Baidu bibliotek
⑵ x ( y 1) 2 x( y 1) ( y 1) ( y 2 1)( x 2 2 x 1)
2 2 2 2
先观察是否有公因式，若有公因式提出后看是否具有 平方差公式或完全平方公式特征，若有使用公式法； 若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进 行分解因式。
2.解：100 x2-kxy+49y2 =(10x)2-kxy+(7y)2 ∴k=±2×10×7=±140
活学活用
3.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm， 它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。
4 x 4 y 96 2 2 x y 960
解：设正方形Ⅰ的边长为x cm,正方形Ⅱ的 边长为y cm，则
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法 吗？请你利用你找到的简便方法计算下式： n 1 1 1 1 1 1 1 (1 2 )(1 2 )(1 2 )...(1 2 )(1 2 )...(1 2 ). 2 3 4 9 10 n 2n
知识点六：分解因式的实际应用 例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，机械 加工时冲去半径为r的四个小圆． （1）用代数式表示剩余部分的面积； （2）用简便方法计算：当R=7.5cm， r=1.25cm时，求剩余部分的面积． 解：(1)S=πR2 –4πr2 (2)当R=7.5，r=1.25时，