运筹学 06-线性规划运输问题

产销平衡表
门市部 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1 A2 A3 销量
3656
单位：吨
产量
7 4 9 20
门市部 B1 B2 B3 B4
加工厂
A1
3 11 3 10
A2
1 92 8
A3
7 4 10 5
单位运价表 单位：元/吨
解：1.确定初始方案:
(最小元素法基本思想：从单位运价表上最小的运价开始 确定产销关系，以此类推，直到给出初始方案为止)
①从运价表上找出最小运价C21=1， A2 先保证供应B1 ，X21=3，
划去运价表上B1 列；
②再从运价表上其余元素中找到最小的运价C23=2，加工厂A2
应供给B3， X23=1，划去A2行；
③再从运价表上其余
门市部
B1 B2 B3 B4
元素中找到最小的运价
加工厂
C13=3，所以A1先保证供 应B3 ， B3 尚缺4单位， 因此X13=4，划去B3 列。
1
（ⅰ）门有市部数格是B1基变B2量，B共3 B4 加工厂 m+n-1=3+4-1=6个
空格是A1非基变3量，1共1划去3m+1n0=7条
线；A2
1 92 8
（ⅱ）A3如果填7上一个4 运量10之后5能同
A3
6
3
时划去两条线（一行与一列），就 须在所划单去位运的价该表行或单该位列：元任/意吨 位置
初始方案运费
A3
B2 B3 B4 43
1
6
3
门市部 加工厂
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
1 92 8
A3
7 4 10 5
单位运价表 单位：元/吨
②计算出空格的检验数—等于闭回路上由此空格起奇数 顶点运价减去偶数顶点运价。
如σ11＝c11-c13+c23-c21=3-3+2-1
③计算出所有空格的检验数σij,若σij ≥０，则该方案为最优 方案，否则进行调整；
x14
x21 x22 x23 x24
x31 x32 x33 x34
8 1124需求约束 14
xij
0(i
1, 2,3;
j
1, 2,3, 4)
1.产销平衡问题
已知:m个产地A1，，A
，
m
产量分别是 : a1，，am，
n个销售地B1，，Bn，销量分别是: b1，，bn，
m
n
产销平衡,即 ai bj ,由Ai B j的运价为cij。
3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方案， 常采用闭回路法。
（Ⅰ）运输问题的常用解法：
➢ 最小元素法（确定初始方案）→闭回路法或者位 势法（检验当前方案）→闭回路法（方案调整）
以下面例题说明这种方法的具体步骤： 例12：某食品公司下设3个加工厂A1， A2，A3， 和4个门市部B1， B2，B3，B4。各加工厂每天的 产量、各门市部每天的销售量以及从各加工厂 到各门市部的运价如下表所示。 问：该公司应如何调运，在满足各门市部销售 需要的情况下，使得运费支出为最少？
min z 4x11 12x12 4x13 11x14 2x21 10x22 3x23 9x24 8x31 5x32 11x33 6x34
x11 x12 x13 x14 16
x21
x22
x23
x24
10供应约束
x31
x32
x33
x34
22
s.t
x11 x12
x13
二.运输问题的模型 产销平衡问题模型
容易看出，产销平衡运输模型 具有以下特点：
（1）它包含m×n个变量， m+n个约束条件
（2）因为有， 所以系数矩阵中线性独立 的列向量的最大个数为 （m＋n－1）个，即产销 平衡运输问题的解中基变 量的个数为(m＋n－1)个。
将约束方程式展开可得
x11
x1n x21
A1
3 11 3 10
A2
1 92 8
A3
7 4 10 5
单位运价表 单位：元/吨
以此类推，得到一初始方案（如下图）：
X21=3，X32=6，X13=4，X23=1，X14=3，X34=3（有数格）
X11=X31=X12=X22=X33=X24=0（空格）
注：
B1 A1 A2 3
B2 B3 B4 43
因此可以用更方便的特殊方法处理。下面 介绍表上作业法。
表上作业法，实质上还是单纯形法。其步骤 如下：
1.确定一个初始可行调运方案。可以通过最小 元素法、西北角法、Vogel 法来完成；
2.检验当前可行方案是否最优，常用的方法有 闭回路法和位势法，用这两种方法计算出检 验数，从而判别方案是否最优；
x2n
x11
x21
xm1 xm1
xmn
x12
x22
xm2
x1n
x2n
xmn
a1 a2
am b1 b2
bn
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下：
1 1
11
A=
1 1
1 1 1
1 1 1
2.产销不平衡问题
填一个0，此0格当有数格对待。
Z0=3×1+6×4+4×3+1×2+3×10+3×5=86(元)
2.检验---空格检验数的计算方法之一：闭回路法
①找出任意空格的闭回路—除此空格外，其余顶点均为有数格。 如（ A1 B1 ）→ （ A1 B3 ） → （ A2 B3 ） → （ A2 B1 ）；
B1 A1 A2 3
➢ 此时分为两种情形来考虑： 供不应求：即产量小于销量时有 供过于求：即产量大于销量时有
这
两
种
情
形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
都
可
以
化
为
ai
b
的
j
形
式
来
求
解
三.运输问题的解法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用线 性规划法中的单纯形法来解决。但是： ➢ 运输问题所涉及的变量多，造成单纯形表 太大； ➢ 它的系数矩阵中每列只有两个元素为1， 其余均为零。
i 1
j 1
问:应如何调运使总费用最省 ?
即求Ai B j的运量xij，使运费可达极小化。
销
产地
地
B1
B2 ……
Bn 产地产量
A1 C11 C12 …… C1n a1
A2 C21 C22 …… C2n a2
… ………………… …
Am Cm1 Cm2 …… Cmn am
需求量 b1 b2 …… bn
第四节 运输问题
一.运输问题的一般提法
在经济建设中，经常碰到物资调拨中的运输问题。 例如: 煤、钢材、粮食、木材A1，等， 物资，在全国都有若 干生产基地，分别将这些物资调到各消费基地去， 应如何制定调运方案，使总的运输费用最少？
导入案例——配送问 题
设xij为从配送中心Ai向城市Bj配送 货物数量，z为总运费，则由表可 知这个问题的数学模型如下：