用初等变换化二次型为标准型

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文

题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形

姓名：廖丹

学号：410401141

莆田学院数学与应用数学系

数学与应用数学专业2004级

2007年6月20日

用矩阵的初等变换化实二次型为标准形

041数本 410401141 廖丹

摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形.

关键词：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形

1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n

i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法

最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P .

定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵.

定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且

1

10d a P A A ⎛⎫'=

⎪⎝⎭其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ⎛⎫

'= ⎪⎝⎭

. 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的第一列元素不变,从而1

10

d P AP A β⎛⎫

'=

⎪⎝⎭

,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β=

这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使

()(),,P A E P A P '''=1*,0

0r

d d P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪'= ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

则这个P '的转置阵就是我们要找的非异阵P ,它使P AP '为对角阵.即只要对(),A E 作有限次第三种初等变换

()ij k T ,i j >,则当把A 变换成上三角阵时,(),A E 的E 就同时化为P ',且使

1

0r

d d P AP ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪'=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

. 例1 求非异阵P ,使P AP '为对角阵,其中112110202A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭

. 解

：

()112100,110010202001A E -⎛⎫

⎪=-- ⎪

⎪⎝⎭21

112100022110202001r r +-⎛⎫

⎪−−−→- ⎪

⎪⎝⎭

31

(2)r r +-−−−−→

32

112100112100022110022110022201000111r r +--⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭

故由定理知111011001P -⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

.

100020000P AP ⎛⎫ ⎪'=- ⎪ ⎪⎝⎭

例2将实二次型122313262x x x x x x -+化为平方和.

解：此二次型的系数矩阵 011103130A ⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

,A 的主对角元素全是0,故不能立即引用定理,需先对A 作初等行变换及其相应的列.使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数,然后再用定理即可.

()12

011100112110,103010103010130001130001r r A E +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1212

3112212110212110111

103010020222230001022

111r r r r c c -++-⎛⎫

-⎛⎫

⎪-- ⎪ ⎪

−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪

--⎝⎭ ⎪--⎝⎭

3242121101

11

20222006

311r r --⎛⎫

⎪-- ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝

⎭

∴ 1132

1

1

12

001P -⎛

⎫

⎪

⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

,2126P AP ⎛⎫

⎪- ⎪'= ⎪

⎪⎝⎭

令X PY =, 则122313262x x x x x x -+22

21

231262

y

y y =-

+. 2． 若要求一正交阵P 使P AP '成对角阵,这等价于经过正交变换X PY =将二次型X AX

'

化为标准形.一般步骤是通过施密特正交化过程来求解,但此方法较为复杂,下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形.

定理2.1设A 为n n ⨯阶矩阵,秩()A r =,且n n n A E ⨯⎛⎫ ⎪

⎝⎭−−−−→列初等变换(1)(1)*n n

n n n n B Q P ⨯⨯-⨯-⎛⎫

⎪⎝⎭

其中B 是秩为r 的列满秩矩阵,则矩阵P 所含n r -个列向量就是齐次线性方程组0AX =的一

个基础解系. 证明：秩()A r =

∴存在可逆的n 级矩阵12

S PP P 使

()12

*,0S n r APP P B =，其中*n r B 是秩为r 的列满秩矩阵

同理：()12

*,*()n S n

r n n r E PP P E E -''=，其中*n r E '表示秩为r 的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵，*()n

n r E -'表示秩为n r -的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵 ∴*12

(1)0

n n

n n S n n n n n B A PP P Q P E ⨯⨯⨯-⎛⎫

⎛⎫

=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，其中n n n

r Q E ⨯⨯'=，()n n n n r P E ⨯⨯-'= 由于0AX =的解向量个数为n r -，而()n n r P ⨯-为秩为n r -的列满秩矩阵 再由初等变换原理易知：

矩阵P 所含n r -个列向量就是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系.

定理2.2矩阵A 的特征矩阵()A λ经列的初等变换可化为下三角的λ矩阵()B λ,且()B λ的主对角线上元素的乘积的λ多项式的根恰为A 的所有特征根.此定理证明与定理1.2相仿,故省去.

下面探讨计算方法：

设()A E A λλ=- 且()A E λ⎛⎫ ⎪⎝⎭−−−−

→列初等变换()()B A λλ⎛⎫

⎪⎝⎭

,其中()B λ为下三角矩阵,则()B λ的主对角线上的全部元素的λ多项式的全部根恰为矩阵A 的全部特征根,对于矩阵A 的每一特征根i λ,若矩阵()B λ中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么矩阵()i P λ中和()i B λ中零向量所对应的列向量是属于特征根i λ的全部线性无关的特征向量；否则继续