材料力学(第八讲)

σα = σ x +σ y
2 σ x −σ y 2 +
σα τα
σ x −σ y
2
cos(2α ) − τ x sin(2α )
τy σy
t
τα =
sin(2α ) + τ x cos(2α )
符号规定： 符号规定：σ —拉伸为正； 拉伸为正；τ —使微体顺时针转者为正 轴为始边，指向沿逆时针转者为正 α —以x轴为始边，
FD ′ τx τx tanα 0 = − =− =− σ x − σ min σ max − σ y BF
2
tan2α 0 = −
DF 2τ x =− σ x −σ y CF
τ max = ±CK = ± τ min
τy
σα
α
C
τx σx
σ
τα
第八章
应力状态分析
二倍角对应： 二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角 变化的两倍， 变化的两倍，且二者转向相同。 且二者转向相同。
τ
τy
σα
σy
n
H (σ α , τ α )
D(σ x , τ x )
2α
σ
α
τα τ σ x x
C
微体互垂截面， 微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 微体平行对边, 对应应力圆 对应应力圆同一点 应力圆同一点
(0, τ)
第八章
应力状态分析
§8-4 平面应力状态的极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力 K τ
D(σ x ,τ x )
σy
R
C
2α 0
τx
F A
σ max
σ
τy
σ min
τx
o B
E (σ y ,τ y )
σx
α0
σ max
M (σ x + σ y ) 2 (σ x − σ y ) 2
σ min
R= (
σ x −σ
2
y 2
) + τ x2
结论： 结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆 ——应力圆
第八章 二、应力圆的绘制及应用
τ
应力状态分析
绘制方法1 （一般不用！） 一般不用！）
σ x +σ y 以 （ 为圆心， ， ， 0） 为圆心 2
R= (
R o
σ x −σ
2
σ
(σx+ σy)/2
dz
x
z
第八章
应力状态分析
应力分析的解析法： 应力分析的解析法：微体中取分离体平衡。 微体中取分离体平衡。 y
σx τy σα σy
n
∑F
σx τx
n
=0
α
σ α dA + τ x dA ⋅ cos(α ) ⋅ sin(α ) − σ x dA ⋅ cos(α ) ⋅ cos(α ) + τ y dA ⋅ sin(α ) ⋅ cos(α ) − σ y dA ⋅ sin(α ) ⋅ sin(α ) = 0
z
σy
第八章 平面应力状态的普遍形式如图所示
y
应力状态分析
σy τy
σy τx σx
x
τy σx τx
z
符号含义： 符号含义： 下标x、y表示垂直于坐标轴x、y的截面， 的截面，即x截面、 截面、y截面。 截面。
y
平面应力状态的应力分析
问题： 问题：已知σx , σy, τx , τy, 求 任意平行于z轴的斜截面上的应力。 截面上的应力。
σ α + σ α + 90 = σ x + σ y
°
即任意两互垂截面的正应力之和为常数。 即任意两互垂截面的正应力之和为常数。
第八章
例1
应力状态分析
图示单元体, 试求e-f 截面上的正应力和切应力。 截面上的正应力和切应力。
60
由图可知： 由图可知： σx =-40MPa,σy =60MPa,τx=-50MPa.
τx
o B
α0
C
2α 0
τx
F
D′ A
σ
σx
α0
σ max
E (σ y ,τ y )
M (σ x + σ y ) 2 (σ x − σ y ) 2
σ max
σ min
最大最小切应力所在截面也 互相垂直， 互相垂直，并与正应力极值 界面成45°夹角。 夹角。
σ x +σ y σ max σ x −σ y 2 ± + τ = OC ± CA = x σ min 2 2
2
τα − 0 =
σ x −σ y
2
2
sin2α + τ x cos2α
第八章
应力状态分析
(σ α −
σ x +σ y
2
) + τα = (
τ
2
2
σ x −σ y
2
)2 + τ x 2
σ—τ坐标系下的圆方程
σ x +σ y （ ， 0） 圆心坐标： 圆心坐标： 2
R o
σ
(σx+ σy)/2
半径： 半径：
第八章
应力状态分析
§8-3 应力圆
一、应力圆 斜截面应力公式 σ x +σ y σ x −σ y + cos2α − τ x sin2α σα =
τα =
2 σ x −σ y 2 2 sin2α + τ x cos2α
α
在 σ − τ 平面上， 平面上， σ
, τ α 的轨迹？ 的轨迹？ 应力圆
斜截面应力公式形式变换 σ x +σ y σ x −σ y σα − = cos2α − τ x sin2α
图示斜截面上应力分量为： 图示斜截面上应力分量为：
σx C σ σx ° τ τx τ-30° x τy
-30
x
30°
n
σ −30 =
o
σx +0 σx −0
+ 2
2 = 16.9MPa
cos − 60o − τ x sin − 60o
(
)
(
)
τ −30 =
o
σx −0
2
sin 2α + τ x cos 2α = −45.4MPa
第八章
应力状态分析
第八章 应力应变状态分析
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8 §8-9 引言 平面应力状态应力分析 应力圆 平面应力状态的极值应力与主应力 平面应力状态的极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力 平面应变状态应变分析 广义胡克定律 复合材料的应力 复合材料的应力、 应力、应变关系 复杂应力状态下的应变能与畸变能 复杂应力状态下的应变能与畸变能
第八章 关于应力:
同一面上不同点的应力各不相同 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
应力状态分析
应 力
哪一个面上？ 哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？ 哪个方向面？
应力状态: 应力状态:
过一点不同方向面上应力的集合， 过一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态 称之为这一点的应力状态。 应力状态。
σH = σ x +σ y
2 +
σ x −σ y
2
cos2α − τ x sin2α = σ α
同理： 同理： τ H = τ α
第八章
应力状态分析
应力圆点与微体截面应力对应关系 点面对应： 点面对应：微体截面上的应力值与应力圆上点的 坐标值一一对应。 坐标值一一对应。
τ
σy
H(σ α , τ α )
τ − 30o =
σ x −σ y
2 ( −50) cos( −60° ) = 18.3MPa
sin 2α + τ xy cos 2α =
− 40 − 60 sin( −60° ) + 2
第八章
应力状态分析
例 2 ： 图 示 圆 轴 中 ， 已 知 ： 圆 轴 直 径 d=100mm ， 轴 向 拉 力 F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点α =−30°截面上的应力。 截面上的应力。
思考： 思考：如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力？ 如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力？最 大与最小切应力？ 大与最小切应力？微体内最大正应力与切应力方位？ 微体内最大正应力与切应力方位？
第八章 一、平面应力状态的极值应力
应力状态分析
τ
K
D(σ x ,τ x )
σy
R
σ max
τy
σ min
第八章
螺旋桨轴: 螺旋桨轴:
应力状态分析
A
F M
微体A
F
τ σ
第八章 工字梁: 工字梁:
σ C ,max
d
应力状态分析
σ1
z
a
τ1
a b c
τ max σ1
C
τ max
σ1
τ
O
τ1
τ max
τ1
y
σ t ,max σ C ,max
b c
y
d
σ t ,max
a 点处: 点处: 纯剪切； 纯剪切；c , d 点处: 点处: 单向应力； 单向应力； b 点处: 点处: σ ,τ 联合作用
第八章
应力状态分析
§8-1 引言
低碳钢和铸铁的拉伸实验 铸 铁 低碳钢
•铸铁断口与轴线垂直， 铸铁断口与轴线垂直，低碳钢断口 有何不同， 有何不同，为什么？ 为什么？
第八章
应力状态分析
低碳钢和铸铁的扭转实验 低碳钢 铸 铁
•与拉伸断口有何不同， 与拉伸断口有何不同，为什么？ 为什么？
不仅横截面上存在应力， 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。 斜截面上也存在应力。
y 2
) + τ x2
为半径作圆
缺点： 缺点： •需用解析法计算圆心坐标和半径 •没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系
第八章 绘制方法2（实际采用） 实际采用）
y
应力状态分析
τ
D
σy
τy
σα
τα
n
C
τx
F
σ
τx
σx
x
o
σy
τy Ε
(σx+σy)/2
(σx-σy)/2
•分析
σx
设x面和y面的应力分别为 D (σ x ,τ x ), E (σ y ,τ y ), 由于τ x = −τ y , 故DE中点坐标 C ( σ x + σ y , 0) 为圆心， 为圆心，DE为直径。 为直径。
第八章 应力状态的研究方法
应力状态分析
围绕所研究点取微单元体， 围绕所研究点取微单元体，当微体各面上应力已知时， 当微体各面上应力已知时，则 过该点所有截面上应力均可求出。 过该点所有截面上应力均可求出。
1. 单元体
2. 单元体特征 （1） 单元体的边长 dx, dy, dz 均为无穷小量； 均为无穷小量； （2）单元体每个面上应力均匀分布; （3）任意一对平行平面上的应力大小相等、 任意一对平行平面上的应力大小相等、方向相反。 方向相反。
第八章
应力状态分析
§8-2 平面应力状态应力分析
y
τy σx
σy
dx dy
什么是平面应力状态？ 什么是平面应力状态？
σx
τx
dz
•微体有一对平行表面不受力的应力 状态。 状态。
x
由此推断 微体仅有四个面作用有应力； 微体仅有四个面作用有应力； 应力作用线均平行于不受力表面； 应力作用线均平行于不受力表面；
α = −30o
解:
σ − 30° = σx +σ y
+
50 40
σx −σ y
f
60° 60°
e
2 2 − 40百度文库+ 60 − 40 − 60 = + cos( −60° ) − ( −50) sin( −60° ) 2 2 = −58.3MPa
cos 2α − τ xy sin 2α
30° 30°
y F T C T τy F x σx τx C τy
(a) (b)
解：C点应力状态如图b所示， 所示，其拉应力和切应力为： 其拉应力和切应力为：
σx τx
x
F 500 ×103 σx = = = 63.7MPa π A ×100 2 4
第八章
应力状态分析
y
τy
Me 7 × 10 6 τx = =− = −35.7 MPa π WP × 1003 16
第八章
应力状态分析
几种简单受力状态的应力圆
单向受力状态
σx σx
纯剪切受力状态
τy τx
双向等拉
σ σ σ σ
τ
τ
R=τx R=σx/2
τ
C
o
C
σ
o
σ
o
σ σ
σx/2
第八章
应力状态分析
绘制应力圆两例
σB τB σA τA
τ α
τ
τ
τ
(σA, τA)
(0, τ)
o o
(σB, τB)
σ
σ
2(π-α)
第八章 斜截面应力公式
σα =
τα =
应力状态分析
σ x +σ y σ x −σ y
2 σ x −σ y 2 + 2
cos2α − τ x sin2α
sin2α + τ x cos2α
斜截面应力公式的适用范围？ 斜截面应力公式的适用范围？
上述关系式是建立在静力学基础上， 上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无关。 与材料性质无关。 换句话说， 换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况， 它既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于 各向异性、 各向异性、非线弹性与非弹性问题。 非线弹性与非弹性问题。
2
第八章
y
应力状态分析
Η (σα, τα)
D
σy
τ
n x
σΗ
τy
σα
τα τx
τΗ
σx
C
o •绘图： 绘图：以ED为直径， 为直径， C为圆心作圆 •α 面应力 面应力： ： 考察H点应力
σy
τy Ε
2α τ 2α0 x F
σ
(σx+σy)/2
(σx-σy)/2
σx
σ H = OC + CH cos(2α 0 + 2α ) = OC + CDcos2α 0cos2α − CD sin2α 0sin2α
τα σy σx τ x α
dA
∑F = 0
t
t
n
x
τ α dA − τ x dA ⋅ cos(α ) ⋅ cos(α ) − σ x dA ⋅ cos(α ) ⋅ sin(α ) + τ y dA ⋅ sin(α ) ⋅ sin(α ) + σ y dA ⋅ sin(α ) ⋅ cos(α ) = 0