北师大选修2-2 1.3 反证法

这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
例3
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O P C B D
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于 点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、 CD不被P平分.
证法二
假设弦AB、CD被P平分， 证明：连结 AD、BD、BC、AC,
自相矛盾
例3
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
证法一 证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
D
C
B 由于P点一定不是圆心O，连结OP， 根据垂径定理的推论，有 与已有定理 OP⊥AB，OP⊥CD， 矛盾 即过点P有两条直线与OP都垂直，
1.3
反证法
复习：直接证明
(1)综合法——由因导果
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
(2)分析法—— 执果索因
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
引入：
从前有个聪明的孩 子叫王戎。他7岁时,与 小伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满了 果子.小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 在原地不动.
假设方程ax-b 0(a 0)至少存在两个根
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b
∴ax1 = ax2
∴ax1 - ax2 = 0
∴a（x1 - x2） =0
∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0
与已知条 件矛盾
∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
有人问王戎为什么，
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?
他运用了怎样的推理方法?
王戎推理方法是:
假设“李子甜” 树在道矛盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命 题成立的证明方法就为间接证明。
反证法是一种常用的间接证明的方法。
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确 的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的证明方法叫反 证法。
反证法的思维方法：
正难则反
一般地，假设原命题不成立， 经过正确 因此说明假设错 的推理，最后得出矛盾。 这样的证明 误，从而证明了原命题成立， 方法叫做反证法（归谬法）。 其过程包括：
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
例1
已知a≠0，证明x的方程ax=b
有且只有一个根。
b 证：由于a 0，因此方程至少有一个根x a
这与已知条件矛盾，即假设不成立 所以，弦AB、CD不被P平分。
练习
用反证法证明 : 如果a b 0, 那么 a b .
或者 a b
证明: 假设 a不大于 b , 则或者 a b ,
因为a 0, b 0, 所以 a b a a b a与 a b b b a b 或 a bab
故假设不成立，结论成立。
应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
正难则反!
常见否定用语 是－－－不是 有－－－没有 等－－－不等 成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一个不是 都有－－不都有，即至少有一个没有 都不是－部分或全部是，即至少有一个是 唯一－－至少有两个 至少有一个有（是）－－全部没有（不是） 至少有一个不－－－－－全部都
这些都同已知条件a b 0矛盾, 所以 a b
总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等．
推理 合情推理 （归纳、类比） 证明 直接证明 （分析法、综合法） 间接证明 （反证法） 演绎推理 （三段论）
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形 所以 ACB ADB, CAD CBD 因为 ABCD为圆内接四边形 所以 ACB ADB 180 , CAD CBD 180 因此 ACB 90 , CAD 90 所以，对角线AB、CD均为直径，
数学—公理化思想
练习 已知直线a，b和平面， 如果a ，b ，且a / /b， 求证：a / /

a

b
p
作业： P15 习题1-3 第（3），（5）题
例2 求证：2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
2 2 2 2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是无理数成立