江苏省学物理竞赛讲义-7.1简谐振动

7.1简谐振动

一、简谐运动的定义

1、平衡位置：物体受合力为0的位置

2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力

3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反

F k x =-

二、简谐运动的性质

F kx =-

''mx kx =-

取试探解（解微分方程的一种重要方法）

cos()x A t ωϕ=+

代回微分方程得：

2m x kx ω-=-

解得： 22T π

ω==对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数

cos()x A t ωϕ=+

sin()v A t ωωϕ=-+

2cos()a A t ωωϕ=-+

由以上三个方程还可推导出：

222()v x A ω

+=

2a x ω=-

三、简谐运动的几何表述

一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。 因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt+φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。

四、常见的简谐运动

1、弹簧振子

(1)水平弹簧振子

(2)竖直弹簧振子

2、单摆（摆角很小）

sin F mg mg θθ=-≈-

x l θ≈

因此： F k x =-

其中： mg k l =

周期为：222T π

ω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？

例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角

彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转

轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图

所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?

例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与

水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l 、质量

为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．

例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直

通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从

静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最

大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。

例5、如图所示，车厢在平直的公路以a=g/3的加速度做

匀加速运动，用长为L的轻绳将小球悬于车厢天花板上，当

小球相对车厢静止时，将其稍稍拉离平衡位置，并将其由相对车厢静止的状态而释放，以后小球将在平衡位置附近做小角度摆动，求小球摆动的周期是多少?

例6、一个摆长为l的单摆置于倾角为θ的光滑斜面上，

悬点在垂直斜面的直杆上，且悬线与斜面的夹角为α，

求单摆沿斜面作简谐运动时的周期。

例7、用两根长度均为l的轻杆把质量为m的小球悬挂在水

平杆AB上，可以前后摆动，两杆间夹角为θ，当吧AB稍稍

向上转过α角度，这个摆的周期多大？

例8、两个系统，每个都由两个质量均为m的相同物体组成，

两物体间用弹性系数为k的弹簧相连。两系统以大小相同的恒定速度相向运动，弹簧保持原长。某处时时刻，两系统相距L，求再经过多长时间，两系统重新回到初始时刻的位置，但速度的方向相反？