1.两角和与差的余弦公式
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4
,
求
cos
2
提示：拆角思想:cos 2 cos( ) ( ).
探究（三）：公式的变形应用
例5.已知sin sin 3 ,cos cos 4 ,求cos(- )。
5
5
练习：已知sin sin sin8 0，cos cos cos8 0， 求cos( ).
4 将上面两个式子相加得到：
2 （2 sin sin cos cos ) 1
所以cos ( ) 1 .
2
探究（三）：公式的变形应用
例6.已知A为锐角，B为钝角，且sinA 5 , 5
cos B 3 10 , 求A-B. 10
练习：已知cos 1 ，cos( - ) 13，且0 ,求
两角和的余弦公式另一推导
由 P1P3 P2P4 及两点间距离公式
y
得：cosα β 12 sin2 α β
P3
P2
cosβ cosα 2 sinβ sinα 2 展开整理，得2 2cosα β -1
β α+β
α
o -β
P1 1x
1.请用特殊角分别代替公式中α、β，你会 求哪些非特殊角的余弦值呢？
两角和与差的余弦
cos
π2
β
cos
π2
cos
β
msinπ2
sinβ
2.若固定，分别用 , 代替，你将发现什么
2 结论呢？
cos( ) cos . cos( ) msin
coscos(α ＋coβs)＝ c3ocsos. α6cos2β－2 sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，
记作
C，( 该 )公式有什么特点？如何
记忆？
ห้องสมุดไป่ตู้
两角和的余弦公式另一推导
（教材P138页B组第4题）
两点间的距离公式
y
N2
P2
设 直 角 坐 标 平 面 内 的 任意 两 点
2 2cosα cosβ sinα sinβ ,
P4
-1
cos(α β ) cosα cosβ sinα sinβ
两角和与差的余弦
αα、、ββ是是任任意意角角
cosα β cosα cosβ sinα sinβ .简记：C（αβ ）
用-β代替β
cosα β cosα cosβ sinα sinβ .简记：C（α β ）
（3）cos80°cos35°+cos10°cos55° 智 力 抢 答
探究（三）：公式的正向应用
例2. 已知 cos 4 ( 3 ) , 求cos( ) , cos( ) .
5
2
6
6
解：Q sin2 cos2 1且( 3 ) ，sin＝ 1 cos2 3 ,
7
14
2
的值。
给值求角
探究（三）：公式的变形应用
例7.求函数f (x) 3 cos x 1 sin x的周期 .
2
2
解：原式 cos x cos sin x sin
6
6
cos(x )
6
所以函数的周期是2 .
公式的变形应用
练习 ：求函数 f ( x ) sin x 3 cos x的最值 .
第三章 三角恒等变换
第一课时 两角和与差的余弦公式
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三 角函数值可以直接写出，利用诱导公式 还可进一步求出150°，210°，315°等 角的三角函数值.而对于非特殊角如75°， 15°的三角函数值如何求？
6
小结反思、消化知识
1、学习了两角和与差的余弦公式的推导。
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、强化了对公式的正向、逆向、变形应用。
1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴 涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如 数形结合，化归转换、归纳、猜想、构 造、换元、向量等，我们要深刻理解和 领会.
4 5
,
2
,
,
cos
5 , 13
β是第三象限角,求cos(α－β)的值.
解：又由co由ssicnos154,1s53in,2β2是,第, 三1得象 54限2角，得53
sin 1 所以cos(α－β)=
2
5
cos( ) cos cos sin sin 3 ( 4) ( 3) 1
6
6
6 2 5 52
34 3 , 10
cos( ) cos cos sin sin 3 ( 4) ( 3) 1
6
灵活性，解题时要注意正向、逆向和变
式形式的选择.
作业： P127练习：1，2，3，4.
分层作业，满足需求
A层：非常学案中的剩余练习，课本 135页A组 2、3，B组1、2、4、5.
B层：课本135页探索与研究。
2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求 该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该 角所在的象限，从而确定该角的三角函 数值符号.
3.在差角的余弦公式中，α，β 既可以是
单角，也可以是复角，运用时要注意角
的变换，如，2β＝(α＋β )－(α－β)
( )
66
等.同时，公式的应用具有
P1x1，y1 、P2 x2，y2 ，则
P1P2 x2 - x1 2 y2 - y1 2
M1
o M2 x
P1
N1
Q
两角和与差的余弦
单位圆上点的坐标表示
P3
y
P2
α+β P
α
o ）β
P1 1x
（1）分别指出点P1、P、P2、P3的坐标？ （2）弦P1P3的长如何表示？ （3）如何构造弦P1P3的等量关系？
cos2
cos
cos
1
5 13
2
12 13
sin sin
33
65
探究（三）：公式的正向应用 给值求值
例3.已知 , 都是锐角，cos 4 ,
5
cos( ) 5 ,求cos 的值。
13
提示：拆角思想:cos cos( ) .
探究（三）：公式的正向应用 例1.利用余弦公式求cos15°的值.
解：cos15o co（s 45o-30o） = cos 45o cos 30o sin 45o sin 30o
2 3 21 2 2 22
6 2. 4
构造特殊角求值
另解：求 cos15o的值。
cos15o =cos 60o 45o = cos60o cos 45o sin 60o sin 45o
y
ΟΑ (cosα,sinα) A OB (cosβ,sinβ) B α
β
O
x
uuur uuur
OAOB cos cos sin sin
= ？ OP,OQ
= ①
OP,OQ 2k
= ②
OP,OQ 2k
探究（三）：公式的逆向应用
抢答
例4（. 1）求值cos 20cos 25 sin 20sin 25
（2）化简cos( ) cos sin( )sin
解：原式 cos[( ) ] cos .
练习1：化简求值
（1）cos 20o cos 70o sin 20o sin 70o
解 ：f ( x ) 2 ( 1 sin x 3 cos x )
2
2
2 ( cos x cos sin x sin )
6
6
2 cos ( x )
6
所以当x 2k ，k Z时最大值是 2 ；
6
当x 2k 7 , k Z时最小值是 2 .
探究（一）：两角差的余弦公式
思考1：设α，β为两个任意角,猜想 cos(α－β)＝?
cos( ) cos cos ?
cos(60°－30°)≠cos60°－cos30°
思考2：如图，设角α，β的终边与单位
圆的交点分别为A、B，则向量 ΟΑ 、ΟB 的坐标分别是什么？其数量积是什么？
uuur uuur uuur uuur
y
OA OB OA OB cos A
cos
θ
α
B
β
α-β= 2kπ＋θ
O
x
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
思考4：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋ sinαsinβ 称为差角的余弦公式，记
作C( )，该公式有什么特点？如何记忆？
给值求值
拓展练习：
若sin sin 3 , cos cos 1 ,求cos( ) 的值 .
2
2
解：由已知条件得知
( sin sin )2 sin2 2sin sin sin2 3
4
(cos cos )2 cos2 2 cos cos cos2 1
kZ
①②两边同时取余弦我们可以得出
= cos( )
cos OP , OQ
所以: cos ( ) cos cos sin sin
思Ouu考Aur 3Ou：uBur向量等的于夹什角么θ? ,θ根与据α数、量β有积什定么义
关系？ 由此可得什么结论？
6
6 2 5 52
34 3 . 10
给值求值
理论迁移 给值求值
练习1：已知sin a 3 ,是第四象限的角，求
5
cos( )的值。
4
思考：，为锐角，cos( ) 12 ,cos(2 ) 3 ,求cos。
13
5
给值求值
练习2：已知
sin
（2）cos( ) cos( ) sin( )sin( )
（3）cos 58o cos 37o cos 32o cos 53o
2.已知 cos(
)=
4 5
，cos(
)=-
4 5
，且
+
7
4
,
2
,
-
3
cos cos cos msin sin
两角和与差的余弦
cos 6405 3450 cos 64405 cos30 msin6405 sin4350
1
2
3
2
6
2 .
22 2 2 4
思考：如何求 sin15、sin 75的值。
两角和与差的余弦
cos cos cos msin sin
练习：
（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°
（2）cos215°-sin215°
2
可以进一步发现两角和与差的余弦公式与余弦的诱 导公式有密切的联系。
两角和与差的余弦
cos cos cos msin sin
3．倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由 赋值，你又将发现什么结论呢？
如：cos(α+α)= cos2α=cos2α-sin2α， cos(α-α)=cos0= cos2α+sin2α=1.…
探究（二）：两角和的余弦公式
cos(α+β)究竟
思考1：注意到α＋β＝α可―以表(―示β成)什，结合 两角差的余弦公式及诱导么公样式子？，cos(α
＋β)等于什么？ 设 、 ，则cos cos( ) cos 0
3
6
36
2
而 cos cos cos cos 1 3 .
,
求
cos
2
提示：拆角思想:cos 2 cos( ) ( ).
探究（三）：公式的变形应用
例5.已知sin sin 3 ,cos cos 4 ,求cos(- )。
5
5
练习：已知sin sin sin8 0，cos cos cos8 0， 求cos( ).
4 将上面两个式子相加得到：
2 （2 sin sin cos cos ) 1
所以cos ( ) 1 .
2
探究（三）：公式的变形应用
例6.已知A为锐角，B为钝角，且sinA 5 , 5
cos B 3 10 , 求A-B. 10
练习：已知cos 1 ，cos( - ) 13，且0 ,求
两角和的余弦公式另一推导
由 P1P3 P2P4 及两点间距离公式
y
得：cosα β 12 sin2 α β
P3
P2
cosβ cosα 2 sinβ sinα 2 展开整理，得2 2cosα β -1
β α+β
α
o -β
P1 1x
1.请用特殊角分别代替公式中α、β，你会 求哪些非特殊角的余弦值呢？
两角和与差的余弦
cos
π2
β
cos
π2
cos
β
msinπ2
sinβ
2.若固定，分别用 , 代替，你将发现什么
2 结论呢？
cos( ) cos . cos( ) msin
coscos(α ＋coβs)＝ c3ocsos. α6cos2β－2 sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，
记作
C，( 该 )公式有什么特点？如何
记忆？
ห้องสมุดไป่ตู้
两角和的余弦公式另一推导
（教材P138页B组第4题）
两点间的距离公式
y
N2
P2
设 直 角 坐 标 平 面 内 的 任意 两 点
2 2cosα cosβ sinα sinβ ,
P4
-1
cos(α β ) cosα cosβ sinα sinβ
两角和与差的余弦
αα、、ββ是是任任意意角角
cosα β cosα cosβ sinα sinβ .简记：C（αβ ）
用-β代替β
cosα β cosα cosβ sinα sinβ .简记：C（α β ）
（3）cos80°cos35°+cos10°cos55° 智 力 抢 答
探究（三）：公式的正向应用
例2. 已知 cos 4 ( 3 ) , 求cos( ) , cos( ) .
5
2
6
6
解：Q sin2 cos2 1且( 3 ) ，sin＝ 1 cos2 3 ,
7
14
2
的值。
给值求角
探究（三）：公式的变形应用
例7.求函数f (x) 3 cos x 1 sin x的周期 .
2
2
解：原式 cos x cos sin x sin
6
6
cos(x )
6
所以函数的周期是2 .
公式的变形应用
练习 ：求函数 f ( x ) sin x 3 cos x的最值 .
第三章 三角恒等变换
第一课时 两角和与差的余弦公式
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三 角函数值可以直接写出，利用诱导公式 还可进一步求出150°，210°，315°等 角的三角函数值.而对于非特殊角如75°， 15°的三角函数值如何求？
6
小结反思、消化知识
1、学习了两角和与差的余弦公式的推导。
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、强化了对公式的正向、逆向、变形应用。
1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴 涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如 数形结合，化归转换、归纳、猜想、构 造、换元、向量等，我们要深刻理解和 领会.
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2
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cos
5 , 13
β是第三象限角,求cos(α－β)的值.
解：又由co由ssicnos154,1s53in,2β2是,第, 三1得象 54限2角，得53
sin 1 所以cos(α－β)=
2
5
cos( ) cos cos sin sin 3 ( 4) ( 3) 1
6
6
6 2 5 52
34 3 , 10
cos( ) cos cos sin sin 3 ( 4) ( 3) 1
6
灵活性，解题时要注意正向、逆向和变
式形式的选择.
作业： P127练习：1，2，3，4.
分层作业，满足需求
A层：非常学案中的剩余练习，课本 135页A组 2、3，B组1、2、4、5.
B层：课本135页探索与研究。
2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求 该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该 角所在的象限，从而确定该角的三角函 数值符号.
3.在差角的余弦公式中，α，β 既可以是
单角，也可以是复角，运用时要注意角
的变换，如，2β＝(α＋β )－(α－β)
( )
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等.同时，公式的应用具有
P1x1，y1 、P2 x2，y2 ，则
P1P2 x2 - x1 2 y2 - y1 2
M1
o M2 x
P1
N1
Q
两角和与差的余弦
单位圆上点的坐标表示
P3
y
P2
α+β P
α
o ）β
P1 1x
（1）分别指出点P1、P、P2、P3的坐标？ （2）弦P1P3的长如何表示？ （3）如何构造弦P1P3的等量关系？
cos2
cos
cos
1
5 13
2
12 13
sin sin
33
65
探究（三）：公式的正向应用 给值求值
例3.已知 , 都是锐角，cos 4 ,
5
cos( ) 5 ,求cos 的值。
13
提示：拆角思想:cos cos( ) .
探究（三）：公式的正向应用 例1.利用余弦公式求cos15°的值.
解：cos15o co（s 45o-30o） = cos 45o cos 30o sin 45o sin 30o
2 3 21 2 2 22
6 2. 4
构造特殊角求值
另解：求 cos15o的值。
cos15o =cos 60o 45o = cos60o cos 45o sin 60o sin 45o
y
ΟΑ (cosα,sinα) A OB (cosβ,sinβ) B α
β
O
x
uuur uuur
OAOB cos cos sin sin
= ？ OP,OQ
= ①
OP,OQ 2k
= ②
OP,OQ 2k
探究（三）：公式的逆向应用
抢答
例4（. 1）求值cos 20cos 25 sin 20sin 25
（2）化简cos( ) cos sin( )sin
解：原式 cos[( ) ] cos .
练习1：化简求值
（1）cos 20o cos 70o sin 20o sin 70o
解 ：f ( x ) 2 ( 1 sin x 3 cos x )
2
2
2 ( cos x cos sin x sin )
6
6
2 cos ( x )
6
所以当x 2k ，k Z时最大值是 2 ；
6
当x 2k 7 , k Z时最小值是 2 .
探究（一）：两角差的余弦公式
思考1：设α，β为两个任意角,猜想 cos(α－β)＝?
cos( ) cos cos ?
cos(60°－30°)≠cos60°－cos30°
思考2：如图，设角α，β的终边与单位
圆的交点分别为A、B，则向量 ΟΑ 、ΟB 的坐标分别是什么？其数量积是什么？
uuur uuur uuur uuur
y
OA OB OA OB cos A
cos
θ
α
B
β
α-β= 2kπ＋θ
O
x
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
思考4：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋ sinαsinβ 称为差角的余弦公式，记
作C( )，该公式有什么特点？如何记忆？
给值求值
拓展练习：
若sin sin 3 , cos cos 1 ,求cos( ) 的值 .
2
2
解：由已知条件得知
( sin sin )2 sin2 2sin sin sin2 3
4
(cos cos )2 cos2 2 cos cos cos2 1
kZ
①②两边同时取余弦我们可以得出
= cos( )
cos OP , OQ
所以: cos ( ) cos cos sin sin
思Ouu考Aur 3Ou：uBur向量等的于夹什角么θ? ,θ根与据α数、量β有积什定么义
关系？ 由此可得什么结论？
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34 3 . 10
给值求值
理论迁移 给值求值
练习1：已知sin a 3 ,是第四象限的角，求
5
cos( )的值。
4
思考：，为锐角，cos( ) 12 ,cos(2 ) 3 ,求cos。
13
5
给值求值
练习2：已知
sin
（2）cos( ) cos( ) sin( )sin( )
（3）cos 58o cos 37o cos 32o cos 53o
2.已知 cos(
)=
4 5
，cos(
)=-
4 5
，且
+
7
4
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2
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-
3
cos cos cos msin sin
两角和与差的余弦
cos 6405 3450 cos 64405 cos30 msin6405 sin4350
1
2
3
2
6
2 .
22 2 2 4
思考：如何求 sin15、sin 75的值。
两角和与差的余弦
cos cos cos msin sin
练习：
（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°
（2）cos215°-sin215°
2
可以进一步发现两角和与差的余弦公式与余弦的诱 导公式有密切的联系。
两角和与差的余弦
cos cos cos msin sin
3．倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由 赋值，你又将发现什么结论呢？
如：cos(α+α)= cos2α=cos2α-sin2α， cos(α-α)=cos0= cos2α+sin2α=1.…
探究（二）：两角和的余弦公式
cos(α+β)究竟
思考1：注意到α＋β＝α可―以表(―示β成)什，结合 两角差的余弦公式及诱导么公样式子？，cos(α
＋β)等于什么？ 设 、 ，则cos cos( ) cos 0
3
6
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而 cos cos cos cos 1 3 .