运动的合成与分解,平抛圆周运动解析

曲线运动
按照考纲的要求，本章内容可以分成三部分，即：运动的合成和分解、平抛运动；圆周运动；其中重点是平抛运动的分解方法及运动规律、匀速圆周运动的线速度、角速度、向心加速度的概念并记住相应的关系式。

难点是牛顿定律处理圆周运动问题。

运动的合成与分解 平抛物体的运动
【学情分析】
学生已经具备较好的物理实验能力、分析问题能力、归纳实验现象的能力。

学生刚学习过直线运动规律，对直线运动的分析方法记忆犹新；并在上一节中刚学过运动合成与分解的知识，对这一分析曲线运动的方法并不陌生，这为本节课在方法上铺平了道路。

对于小船过河的这一类运动的合成与分解类知识体系规律性的东西学生再次复习应该会掌握的差不多。

【教材（考纲）分析】
平抛运动是本章的重点内容，是对运动的合成与分解知识具体问题的应用，对后面斜抛等曲线运动的学习及现实生活中实际问题的解决都有影响。

前面学生通过运动的合成与分解学习已有初步的理论基础，教材通过简单的实验演示，引导学生认识平抛运动的初步特征。

运用实验探究与理论相结合的方法，通过学生自主学习，掌握平抛运动的特点及规律。

所以在本节教学中，要注意突出学生活动，给学生充分的时间探究，讨论。

【三维目标】
1．明确形成曲线运动的条件（落实到平抛运动和匀速圆周运动）；
2．理解和运动、分运动，能够运用平行四边形定则处理运动的合成与分解问题。

3．掌握平抛运动的分解方法及运动规律
4．通过例题的分析，探究解决有关平抛运动实际问题的基本思路和方法，并注意到相关物理知识的综合运用，以提高学生的综合能力．
【教学重点】：平抛运动的特点及其规律
【教学难点】：运动的合成与分解
【教学方法】：讲练结合，计算机辅助教学
【教学过程】：
一、曲线运动
1．曲线运动的条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。

当物体受到的合力为恒力（大小恒定、方向不变）时，物体作匀变速曲线运动，如平抛运动。

当物体受到的合力大小恒定而方向总跟速度的方向垂直，则物体将做匀速率圆周运动．（这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．）
如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直．
2．曲线运动的特点：曲线运动的速度方向一定改变，所以是变速运动。

需要重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向均不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动，另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动。

二、运动的合成与分解
1．从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。

重点是判断合运动和分运动，这里分两种情况介绍。

一种是研究对象被另一个运动物体所牵连，这个牵连指的是相互作用的牵连，如船在水上航行，水也在流动着。

船对地的运动为船对静水的运动与水对地的运动的合运动。

一般地，物体的实际运动就是合运动。

第二种情况是物体间没有相互作用力的牵连，只是由于参照物的变换带来了运动的合成问题。

如两辆车的运动，甲车以v甲＝8 m／s的速度向东运动，乙车以v乙＝8 m／s的速度向北运动。

求甲车相对于乙车的运动速度v甲对乙。

2．求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。

3．合运动与分运动的特征：
①等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等
②独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响。

4．物体的运动状态是由初速度状态（v0）和受力情况（F合）决定的，这是处理复杂运动的力和运动的观点.思路是：
（1）存在中间牵连参照物问题：如人在自动扶梯上行走，可将人对地运动转化为人对梯和梯对地的两个分运动处理。

（2）匀变速曲线运动问题：可根据初速度（v0）和受力情况建立直角坐标系，将复杂运动转化为坐标轴上的简单运动来处理。

如平抛运动、带电粒子在匀强电场中的偏转、带电粒子在重力场和电场中的曲线运动等都可以利用这种方法处理。

5．运动的性质和轨迹
物体运动的性质由加速度决定（加速度得零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。

物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。

两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？
决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。

常见的类型有：
⑴a =0：匀速直线运动或静止。

⑵a 恒定：性质为匀变速运动，分为：① v 、a 同向，匀加速直线运动；②v 、a 反向，匀减速直线运动；③v 、a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v 、a 之间，和速度v 的方向相切，方向逐渐向a 的方向接近，但不可能达到。

）
⑶a 变化：性质为变加速运动。

如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。

6．过河问题
如右图所示，若用v 1表示水速，v 2表示船速，则： ①过河时间仅由v 2的垂直于岸的分量v ⊥决定，即⊥
=
v d
t ，与v 1无关，所以当v 2⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为2
v d t =
也与v 1无关。

②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v 1＜v 2时，最短路
程为d ；当v 1＞v 2时，最短路程程为d v v 2
1
（如右图所示）。

7．连带运动问题
指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。

由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

【例1】如图所示，汽车甲以速度v 1拉汽车乙前进，乙的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，求v 1∶v 2
解析：甲、乙沿绳的速度分别为v 1和v 2cos α，两者应该相等，所以有v 1∶v 2=cos α∶1
【例2】 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。

上面分别穿有一个小球。

小球a 、b 间用一细直棒相连如图。

当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比v a ∶v b
解析：a 、b 沿杆的分速度分别为v a cos α和v b sin α ∴v a ∶v b = tan α∶
1
b
三、平抛运动
当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。

其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。

平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。

广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。

1、平抛运动基本规律
① 速度：0v v x =，gt v y = 合速度 22y x v v v +=
方向 ：tan θ=
o
x
y v gt v v =
②位移x =v o t y =
22
1gt 合位移大小：s =22y x + 方向：tan α=
t v g x y o
⋅=2 ③时间由y =
2
21gt 得t =x
y 2（由下落的高度y 决定） ④竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

2．应用举例 （1）方格问题
【例3】平抛小球的闪光照片如图。

已知方格边长a 和闪光照相的频闪间隔T ，求：v 0、g 、v c
解析：水平方向：T
a
v 20=
竖直方向：22,T
a g gT s =
∴=∆ 先求C 点的水平分速度v x 和竖直分速度v y ，再求合速度v C ：
412,25,20T
a v T a v T a v v c y x =∴==
=
（2）临界问题
典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？
【例4】 已知网高H ，半场长L ，扣球点高h ，扣球点离网水平距离s 、求：水平扣球速度v 的取值范围。

解析：假设运动员用速度v max 扣球时，球刚好不会出界，用速度v min 扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得：
()h
g
s L g h s L v 2)
(2/
max +=+=； )
(2)(2/
min H h g
s
g H h s v -=-= 实际扣球速度应在这两个值之间。

【例5】如图所示，长斜面OA 的倾角为θ，放在水平地面上，现从顶点O 以速度
v 0平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g ，求小球在飞行过程中离斜面的最大距离s 是多少？
解析：为计算简便，本题也可不用常规方法来处理，而是将速度和加速度分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进行分解。

如图15，速度v 0沿垂直斜面方向上的分量为v 1= v 0 sin θ，加速度g 在垂直于斜面方向上的分量为a =g cos θ，根据分运动各自独立的原理可知，球离斜面的最大距离仅由和决定，当垂直于斜面的分速度减小为零时，球离斜面的距离才是最大。

θ
ϑcos 2sin 220
21g v a v
s =
=。

点评：运动的合成与分解遵守平行四边形定则，有时另辟蹊径可以收到意想不到的效果。

（3）一个有用的推论
平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

证明：设时间t 内物体的水平位移为s ，竖直位移为h ，则末速度的水平分量v x =v 0=s/t ，而竖直分量v y =2h/t ，
s
h
v v 2tan x y =
=α， 所以有2tan s h s =='α
v t
x /
【例6】 从倾角为θ=30°的斜面顶端以初动能E =6J 向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E /
为______J 。

解析：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD ，可以证明末速度v t 的反向延长线必然交AB 于其中点O ，由图中可知AD ∶AO =2∶3，由相似形可知v t ∶v 0=7∶3，因此很容易可以得出结论：E /=14J 。

点评：本题也能用解析法求解。

列出竖直分运动和水平分运动的方程，注意到倾角和下落高度和射程的关系，有：h=
21gt 2，s=v 0t ，θtan =s
h
或 h=
21v y t ， s=v 0 t ，θtan =s
h
同样可求得v t ∶v 0=7∶3，E /=14J 四、曲线运动的一般研究方法
研究曲线运动的一般方法就是正交分解法。

将复杂的曲线运动分解为两个互相垂直方向上的直线运动。

一般以初速度或合外力的方向为坐标轴进行分解。

【例7】 如图所示，在竖直平面的xoy 坐标系内，oy 表示竖直向上方向。

该平面内存在沿x 轴正向的匀强电场。

一个带电小球从坐标原点沿oy 方向竖直向上抛出，初动能为4J ，不计空气阻力。

它达到的最高点位置如图中M 点所示。

求：
⑴小球在M 点时的动能E 1。

⑵在图上标出小球落回x 轴时的位置N 。

⑶小球到达N 点时的动能E 2。

解析：⑴在竖直方向小球只受重力，从O →M 速度由v 0减小到0；在水平方向小球只受电场力，速度由0增大到v 1，由图知这两个分运动平均速度大小之比为2∶3，因此v 0∶v 1=2∶3，所以小球在M 点时的动能E 1=9J 。

⑵由竖直分运动知，O →M 和M →N 经历的时间相同，因此水平位移大小之比为1∶3，故N 点的横坐标为12。

v
⑶小球到达N 点时的竖直分速度为v 0，水平分速度为2v 1，由此可得此时动能
E 2=40J 。

五、综合例析
【例8】如图所示，为一平抛物体运动的闪光照片示意图，照片与实际大小相比缩小10倍.对照片中小球位置进行测量得：1与4闪光点竖直距离为1.5 cm ，4与7闪光点竖直距离为2.5 cm ，各闪光点之间水平距离均为0.5 cm.则
(1)小球抛出时的速度大小为多少?
(2)验证小球抛出点是否在闪光点1处，若不在，则抛出点距闪光点1的实际水平距离和竖直距离分别为多少?(空气阻力不计，g ＝10 m/s 2)
解析：
(1)设1~4之间时间为T ，
竖直方向有：(2.5-1.5)×10-2×10 m ＝gT 2 所以T = 0.1 s
水平方向：0.5×10-2×3×10 m ＝v 0T 所以v 0=1.5 m/s
(2)设物体在1点的竖直分速度为v 1y 1~4竖直方向：1.5×10-2×10 m=v 1y T +2
1gT 2 解得v 1y =1 m/s
因v 1y ≠0，所以1点不是抛出点
设抛出点为O 点，距1水平位移为x m ，竖直位移为y m ，有 水平方向 x =v 0t
竖直方向：⎪⎩
⎪
⎨⎧==gt v gt y y 122
1 解得t = 0.1 s ，
x
=0.15 m=15 cm
y=0.05 m=5 cm
即抛出点距1点水平位移为15 cm，竖直位移为5 cm
【例9】柯受良驾驶汽车飞越黄河，汽车从最高点开始到着地为止这一过程的运动可以看作平抛运动。

记者从侧面用照相机通过多次曝光，拍摄到汽车在经过最高点以后的三副运动照片如图2所示，相邻两次曝光时间间隔相等，均为Δt，已知汽车的长度为l，则
A．从左边一幅照片可推算出汽车的水平分速度的大小
B．从左边一幅照片可推算出汽车曾经到达的最大高度
C．从中间一幅照片可推算出汽车的水平分速度的大小和汽车曾经到达的最大高度D．从右边一幅照片可推算出汽车的水平分速度的大小
解析：首先应动态的看照片，每幅照片中三个汽车的像是同一辆汽车在不同时刻的像，根据题目的描述，应是由高到低依次出现的，而且相邻两像对应的时间间隔是相等的，均为已知的Δt。

题目中“汽车的长度为l”这一已知条件至关重要，我们量出汽车在照片中的长度，就能得到照片与实际场景的比例，这样照片中各点间的真实距离都能算出。

物理知识告诉我们，汽车在通过最高点后的运动，可抽象为质点的平抛运动，因此水平方向为匀速运动，竖直方向为自由落体运动。

关于水平速度，由于汽车在空中相邻的两个像对应的真实距离能算出，这段运动对应的时间Δt已知，因此由左、中两幅照片中的任意一幅都能算出水平速度。

至于右边的一幅，因为汽车在空中的像只有一个，而紧接着的在地上的像不一定是刚着地时的像（汽车刚着地时，可能是在两次拍摄之间），因此在这个Δt内，可能有一段时间做的已经不是平抛运动了，水平方向不是匀速的。

所以用该照片无法计算出水平速度。

关于最大高度，应分析竖直方向，同时对不同照片进行比较。

左边一幅，没拍到地面，肯定不能计算最大高度。

右边一幅，空中只有一个像，无法分析其自由落体运动。

中间一幅，相邻像的两个真实距离均能知道，借用处理纸带的方法，能算出中间那个像对应的速度，进而由自由落体运动的公式算出最高点这个位置的高度，再加上这个位置的离地高度即可得到汽车离地的最大高度。

因此该题选A、C。

点评：这是一道很典型的频闪照片的题，给我们很多分析频闪照片的启示：要能看出动态、要关注照片比例、要先确定运动的性质，以便在其指引下分析，多幅照片要进行细致的比较。

教学随感
掌握平抛运动的分解方法及运动规律，通过例题的分析，探究解决有关平抛运动实际，问题的基本思路和方法，并注意到相关物理知识的综合运用，以提高学生的综合能力
圆周运动
教学目标：
1．掌握描述圆周运动的物理量及相关计算公式； 2．学会应用牛顿第二定律解决圆周运动问题
3．掌握分析、解决圆周运动动力学问题的基本方法和基本技能 教学重点：匀速圆周运动
教学难点：应用牛顿第二定律解决圆周运动的动力学问题 教学方法：讲练结合，计算机辅助教学 教学过程：
一、描述圆周运动物理量： 1、线速度 （1）大小：v =
t
s
(s 是t 时间内通过的弧长) （2）方向：沿圆周的切线方向，时刻变化 （3）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢 2、角速度： （1）大小：ω=
t
φ
(φ是t 时间内半径转过的圆心角)
（2）方向：沿圆周的切线方向，时刻变化 （3）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢
3、周期T 、频率f ：
作圆周运动的物体运动一周所用的时间,叫周期；单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫频率。

即周期的倒数。

4、v 、ω、T 、f 的关系
v =
T
r
π2=ω r =2πrf 点评：ω、T 、f ，若一个量确定，其余两个量也就确定了，而v 还和r 有关。

5、向心加速度a ：
（1）大小：a =ππω44222
2===r T
r r v 2 f 2r （2）方向：总指向圆心，时刻变化
（3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

【例1】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、
b 、
c 、
d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度
之比。

解析：v a = v c ，而v b ∶v c ∶v d =1∶2∶4，所以
v a ∶ v b ∶v c ∶v d =2∶1∶2∶4；ωa ∶ωb =2∶1，而ω
b =ω
c =ω
d ，所以ωa ∶ωb ∶ωc ∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用
a =v ω，可得a a ∶a
b ∶a
c ∶
a d =4∶1∶2∶4
点评：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

【例2】如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r 0=1.0cm 的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。

当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。

自行车车轮的半径R 1=35cm ，小齿轮的半径R 2=4.0cm ，大齿轮的半径R 3=10.0cm 。

求大齿轮的转速
n 1和摩擦小轮的转速n 2之比。

（假定摩擦
小轮与自行车轮之间无相对滑动）
解析：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v =2πnr 可知转速n 和半径r 成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。

由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n 1∶
n 2=2∶175
二、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题） 1．向心力
（1）大小：R f m R T
m R m R v m ma F 222
22244ππω=====向 （2）方向：总指向圆心，时刻变化
点评：“向心力”是一种效果力。

任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。

“向心力”不一定是物体所受合外力。

做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。

做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。

2．处理方法：
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。

分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。

做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：
F n =ma n 在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外
力，右边写出物体需要的向心力（可选用R T m R m R
mv 2
22
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛πω或或等各种形式）。

如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大。

如卫星沿椭圆轨道运行时，在远地点和近地点的情况。

3．处理圆周运动动力学问题的一般步骤： （1）确定研究对象，进行受力分析；
（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合；
（3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。

4．几个特例 （1）圆锥摆
圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。

其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。

也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。

【例3】 小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。

（小球的半径远小于R 。

）
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F 是重力G 和支持力N 的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。

如图所示有：
22
sin sin tan θωθ
θmR R mv mg ==，
由此可得：g h g R T gR v πθπθθ2cos 2,sin tan ===，
（式中h 为小球轨道平面到球心的高度）。

可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），v 越大，T 越小。

点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。

共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。

（2）竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时
刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。

物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

①弹力只可能向下，如绳拉球。

这种情况下有mg R
mv mg F ≥=+2
即gR v ≥，否则不能通过最高点。

G
F
②弹力只可能向上，如车过桥。

在这种情况下有：
gR v mg R
mv F mg ≤∴≤=-,2
，否则车将离开桥面，做平抛运动。

③弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。

这种情况下，速度大小v 可以取任意值。

但可以进一步讨论：①当gR v >时物体受到的弹力必然是向下的；当gR v <时物体受到的弹力必然是向上的；当gR v =时物体受到的弹力恰好为零。

②当弹力大小F <mg 时，向心力有两解：mg ±F ；当弹力大小F >mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力F =mg 时，向心力等于零。

【例4】 如图所示，杆长为L ，球的质量为m ，杆连球在竖直平面内绕轴O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F =mg ，求这时小球的瞬时速度大小。

解析：小球所需向心力向下，本题中F =mg ＜mg ，所以弹力的方
向可能向上也可能向下。

⑴若F 向上，则2
,2gL v L
mv F mg ==- ⑵若F
向下，则2
3,2gL v L mv F mg ==+ 点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。

需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题务必分清。

【例5】 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，沿轨道ABC 运动后进入圆环内作圆周运动。

已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R ，斜面倾角为θ，s BC =2R 。

若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h 至少为多少？
解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F ，如图所示。

可知F ＝1.25mg ，方向与竖直方向左偏下37º，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D 点，若恰好能通过D 点，即达到D 点时球与环的弹力恰好为零。

由圆周运动知识得：R v m F D
2=
即：R
v m m g D
225.1=
由动能定理有：22
1)37sin 2cot (43)37cos (D mv R R h mg R R h mg =︒++⨯-︒--θ 联立①、②可求出此时的高度h 。

三、综合应用例析
【例6】如图所示，用细绳一端系着的质量为M =0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m =0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为f =2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取g =10m/s 2）
解析：要使B 静止，A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心O ；角速度取最小值时，A 有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O ．
对于B ，T =mg 对于A ，21ωMr f T =+
2
2
ωMr f T =- 5.61=ωrad/s 9.22=ωrad/s
所以 2.9 rad/s 5.6≤≤ωrad/s
【例7】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为
v 0．设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力
为零，那么m 1、m 2、R 与v 0应满足的关系式是______．
解析：这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题．。