建模作业_水塔供水
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《数学建模》课程作业题-10
第二章算法模型-水塔供水
将水塔供水的两个供水时段、两个用水时段的水流量、用水量程序实现,给出相关数据表。将所有程序和计算结果呈现在此文档中。
一、问题提出
某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔,一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是,当水塔水位下降到设定的最低水位时,水泵自动启动向水塔供水,到设定的最高水位时停止供水,这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次,每次约2h(小时)。
水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆柱。按照设计,水塔水位降至约8.2m 时,水泵自动启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水泵启动 ),试估计任何时刻(包括水泵正供水时)从水塔流出的水流量及一天的总用水量。
表1:水位测量记录(时刻:h,水位:cm)
二、问题分析
流量是单位时间流出的水的体积,由于水塔是正圆柱体,横截面积是常数,在水泵不工作的时候,流量很容易从水位对时间的变化率算出,问题是如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能依靠供水时段前后的流量拟合得到,作为用于拟合
的原始数据,我们希望水泵不工作的时段流量越准越好。
这些流量答题可利用表中数据拟合水位-时间函数,求导数即可得到连续时间的流量。水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到,由表1克制从
08.97h t =水位下降了968-822=146(cm )
,乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量,这个数值可以用来检查拟合的结果。
三、模型假设
(1)流量只取决于水位差,与水位本身无关。按照Torricelli 定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根,题目给出水塔的最低和最高水位分
别是8.2m 和10.8m (设出口的水位为0) 1.151=≈,所以可忽略水
位对速度的影响。
(2)水泵第一次供水时段为9
11h t =,第二次供水时段为
20.823t =h ,这是根据最低和最高水位分别是8.2m 和10.8m 及表1的水位
测量记录做出的假设,其中前3个时刻取自实测数据(精确到0.1h ),最后1个时刻来自每次供水约2h 的已知条件。
(3)水泵工作时单位时间的供水量大致是常数,此常数大于单位时间单位的平均流量。
(4)流量是对时间的连续函数。 (5)流量与水泵是否工作无关。
(6)由于水塔截面积是常数,22(17.4/2)237.8
(m )S π==,为简单起见,计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度,即水位对时间变化率的绝对值(水位是下降的),最后给出结果时再乘以S 即可,
水位是时间的连续函数()h h t =; 水位对时间的变化率(流量)d ()
d h t h t
'=
; 任何时刻的流量:(
)()v t h t S '=-。 四、建立模型
(1)拟合水位-时间函数
从表1测量记录看,一天有两个供水时段(以下称第一供水时段和第二供水时段)和三个水泵不工作时段(以下称第一用水时段0
8.97h t =,第二用水时段
10.9520.84h t =和第三用水时段23h t =以后)
。 对第一、第二用水时段的测量数据分别做多项式拟合,得到水位函数
11()h h t =和22()h h t =。为使拟合曲线比较光滑,多项式次数不要太高,一般用3-6次.由于第三时段只有三个测量记录,无法对这一时段的水位做出比较好的拟合,可采取外推的办法解决。
(2)确定函数-时间函数
对于第一、第二用水时段,秩序将水位函数(),1,2i i h h t i ==求导即可,对于两个供水时段的流量,则用供水时段前后(水泵不工作时段)的流量拟合得到,并且将拟合得到的额第二供水时段外推,将第三用水时段流量包含在第二供水时段内,需要拟合四个流量函数。
(3)一天总用水量
总用水量等于两个水泵不工作时段的和两个供水时段用水量之和,他们都可以由流量对时间的积分得到。
()d d t
t
t
t V V t t S h t '=
=-⎰⎰
五、模型求解
用MATLAB 计算,可得结果。
(1)拟合[0,9]内各时刻的流量值,见表2。
表2:在[0,9]内各时刻的流量值(水位变化率)
(2)拟合[11,20.8]内各时刻的流量值,见表3。
表3:在[11,20.8]内各时刻的流量值(水位变化率)
(3)拟合第一供水时段[9,11]的流量,见表4。
表4:在[9,11]内各时刻的流量值(水位变化率)
(4)拟合第二供水时段[20.8,24]的流量,见表5。
表5:在[20.8,24]内各时刻的流量值(水位变化率)
(5)一天总用水量的估计
第一、第二用水时段和第一、第二供水时段流量的积分之和,就是一天总用水量,虽然各时段的流量已表示为多项式函数,积分可以解析的算出,这里仍用数值积分计算。
1>第一用水时段的用水量
1
11
t 11111d
d d t t t
t t V V t Sh t S h t Sh '''=
==⎰⎰⎰ 其中积分值1h 通过梯形公式计算,
1
111111()()()d ()d 2
k
k t
t k k t
t
h t h t h h t t h t t t --''+''=
=
=∆∑∑
⎰⎰ 2>第二用水时段的用水量
3
33
2
2
2
t 22222d d d t t t
t t V V t Sh t S h t Sh '''=
==⎰⎰⎰
3
2
1
212222()()()d ()d 2
k
k t t k k t
t
h t h t h h t t h t t t --''+''=
=
=∆∑∑
⎰⎰