建模作业_水塔供水

《数学建模》课程作业题-10

第二章算法模型-水塔供水

将水塔供水的两个供水时段、两个用水时段的水流量、用水量程序实现，给出相关数据表。将所有程序和计算结果呈现在此文档中。

一、问题提出

某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。

水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆柱。按照设计,水塔水位降至约8.2m 时,水泵自动启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。

表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水泵启动 )，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。

表1：水位测量记录（时刻：h，水位：cm）

二、问题分析

流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱体，横截面积是常数，在水泵不工作的时候，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。

水泵供水时段的流量只能依靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合

的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准越好。

这些流量答题可利用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，由表1克制从

08.97h t =水位下降了968-822=146（cm ）

，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量，这个数值可以用来检查拟合的结果。

三、模型假设

（1）流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli 定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分

别是8.2m 和10.8m （设出口的水位为0） 1.151=≈，所以可忽略水

位对速度的影响。

（2）水泵第一次供水时段为9

11h t =，第二次供水时段为

20.823t =h ，这是根据最低和最高水位分别是8.2m 和10.8m 及表1的水位

测量记录做出的假设，其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h ），最后1个时刻来自每次供水约2h 的已知条件。

（3）水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间单位的平均流量。

（4）流量是对时间的连续函数。 （5）流量与水泵是否工作无关。

（6）由于水塔截面积是常数，22(17.4/2)237.8

(m )S π==，为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S 即可，

水位是时间的连续函数()h h t =； 水位对时间的变化率（流量）d ()

d h t h t

'=

； 任何时刻的流量：(

)()v t h t S '=-。 四、建立模型

（1）拟合水位-时间函数

从表1测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第一供水时段和第二供水时段）和三个水泵不工作时段（以下称第一用水时段0

8.97h t =，第二用水时段

10.9520.84h t =和第三用水时段23h t =以后）

。 对第一、第二用水时段的测量数据分别做多项式拟合，得到水位函数

11()h h t =和22()h h t =。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3-6次.由于第三时段只有三个测量记录，无法对这一时段的水位做出比较好的拟合，可采取外推的办法解决。

（2）确定函数-时间函数

对于第一、第二用水时段，秩序将水位函数(),1,2i i h h t i ==求导即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的额第二供水时段外推，将第三用水时段流量包含在第二供水时段内，需要拟合四个流量函数。

（3）一天总用水量

总用水量等于两个水泵不工作时段的和两个供水时段用水量之和，他们都可以由流量对时间的积分得到。

()d d t

t

t

t V V t t S h t '=

=-⎰⎰

五、模型求解

用MATLAB 计算，可得结果。

（1）拟合[0,9]内各时刻的流量值，见表2。

表2：在[0,9]内各时刻的流量值（水位变化率）

（2）拟合[11,20.8]内各时刻的流量值，见表3。

表3：在[11,20.8]内各时刻的流量值（水位变化率）

（3）拟合第一供水时段[9,11]的流量，见表4。

表4：在[9,11]内各时刻的流量值（水位变化率）

（4）拟合第二供水时段[20.8,24]的流量，见表5。

表5：在[20.8,24]内各时刻的流量值（水位变化率）

（5）一天总用水量的估计

第一、第二用水时段和第一、第二供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量，虽然各时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析的算出，这里仍用数值积分计算。

1>第一用水时段的用水量

1

11

t 11111d

d d t t t

t t V V t Sh t S h t Sh '''=

==⎰⎰⎰ 其中积分值1h 通过梯形公式计算，

1

111111()()()d ()d 2

k

k t

t k k t

t

h t h t h h t t h t t t --''+''=

=

=∆∑∑

⎰⎰ 2>第二用水时段的用水量

3

33

2

2

2

t 22222d d d t t t

t t V V t Sh t S h t Sh '''=

==⎰⎰⎰

3

2

1

212222()()()d ()d 2

k

k t t k k t

t

h t h t h h t t h t t t --''+''=

=

=∆∑∑

⎰⎰