三角形中位线专题

三角形中位线中的常见辅助线

三角形中位线中的常见 辅助线 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

三角形中位线中的常见辅助线 知识梳理 知识点一中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义:三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半. 中位线判定定理:经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.直角三角形斜边中线:直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定:若三角性一边上的中线等于该边的一半,则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 方法一:倍长中线 解读:凡是出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线,倍长中线的目的可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的目的。 方法二:构造中位线 解读:凡是出现中点,或多个中点,都可以考虑取另一边中点,或延长三角形一边,从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三:构造三线合一 解读:只要出现等腰三角形,或共顶点等线段,就需要考虑构造三线合一,从而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四:构造斜边中线 解读:只要出现直角三角形,或直角,则考虑连接斜边中线段,第一可以出现三条等线段,第二可以出现两个等腰三角形,从而转化线段关系。 其他位置的也要能看出

C E D B A 常见考点 构造三角形中位线 考点说明:①凡是出现中点,或多个中点,都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三 角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边,从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点,莫忘中位线”.与此很相近的几何思想是“题中有中线,莫忘加倍延”,这两个是常用几何思想,但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来.平移也有类似作用. 典型例题 【例1】 已知:AD 是ABC △的中线,AE 是ABD △的中线,且AB BD =,求证: 2AC AE =. 举一反三 1. 如右下图,在ABC ?中,若2B C ∠=∠,AD BC ⊥,E 为BC 边的中点.求证: 2AB DE =.

三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明 以下内容作者为:青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1: 如图所示,延长中位线DE 至F ,使 ,连结CF ,则 ,有AD FC ,所以FC BD ,则四边形BCFD 是平行四边 形,DF BC 。因为 ,所以DE BC 2 1. 法2: 如图所示,过C 作 交DE 的延长线于F ,则 , 有FC AD ,那么FC BD ,则四边形BCFD 为平行四边形,DF BC 。 因为 ,所以DE BC 2 1. 法3:如图所示,延长DE 至F ,使 ,连接CF 、DC 、AF ,则四边形 ADCF 为平行四边形,有AD CF ,所以FC BD ,那么四边形BCFD 为平 行四边形,DF BC 。因为 ,所以DE BC 2 1.

法4:如图所示,过点E 作MN ∥AB ,过点A 作AM ∥BC ,则四边形ABNM 为平行四边形,易证CEN AEM ???,从而点E 是MN 的中点,易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形,所以DE=AM=NC=BN ,DE ∥BC ,即DE BC 21。 法5:如图所示,过三个顶点分别向中位线作垂线. 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程:“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时,由于学生画出中位线后,就不难直观地发现平行关系,难的是发现数量关系,我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系,从而作如下探索引导。

⑴如图,A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点,D、E分别是AB、AC 的中点,线段DE与BC有什么关系? A C 图⑴: ⑵如果点A不在直线BC上,图形如何变化?上述结论仍然成立吗? C 图⑵: 说明:学生观察(几何画板制作的)课件演示:当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上,这样由“二维”转化为“一维”,学生就不难猜想性质的两方面,特别是数量关系,而想到去度量、验证和猜想,水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度,是强扭的瓜不甜. 2、教学重点:本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

中考数学专题复习三角形专题训练

三角形 一、选择题 1.若一个直角三角形的两边长为12和5,则第三边为() A. 13 B.13或 C. 13或5 D. 15 2.三角形的角平分线、中线和高() A. 都是射线 B. 都是直线 C. 都是线段 D. 都在三角形内 3.小明用同种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中框架△ABC的质量为840克,CF的质量为106克,则整个金属框架的质量为() A. 734克 B. 946克 C. 1052克 D. 1574克 4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是() A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5.如图,为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做使用的数学道理是() A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 长方形的四个角都是直角 6.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是( )

A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8.已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A. AB=DE,AC=DF- B. AC=EF,BC=DF - C. AB=DE,BC=EF- D. ∠C=∠F,AC=DF 9.若等腰三角形的顶角为80°,则它的一个底角度数为() A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10.如图,点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点,点P是正方形边上的动点,从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动,则当点P逆时针旋转一周时,随着运动时间的增加,△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是() A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11.在△ABC中,已知∠A=30°,∠B=70°,则∠C的度数是________。 12.将一副三角板如图叠放,则图中∠α的度数为________. 13.如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF.

三角形中位线定理 知识讲解

三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念,掌握三角形的中位线定理. 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 要点诠释:(1)三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. (2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ,每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . (3)三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 (1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. (2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. (3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. (4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释:新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. (1)若原四边形的对角线互相垂直,则新四边形是矩形. (2)若原四边形的对角线相等,则新四边形是菱形. (3)若原四边形的对角线垂直且相等,则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、(优质试题?北京)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长. 【思路点拨】(1)根据三角形中位线定理得MN=AD,根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC,由此即可证明.

(完整版)三角形的中位线专题训练.docx

专题 三角形的中位线 第 1 页 共 3 页 三角形的中位线 例题精讲 例 1 如图 1, D 、E 、 F 分别是△ ABC 三边的中点. G 是 AE 的中点, BE 与 DF 、 DG 分别交于 P 、 Q 两点 . 求 PQ:BE 的值 . 例 2 如图 2,在△ ABC 中, AC>AB , M 为 BC 的中点. AD 是∠ BAC 的平分线,若 CF ⊥ AD 交 AD 的延长 1 AC AB . 线于 F.求证: MF 2 例 3 如图 3,在△ ABC 中, AD 是△ BAC 的角平分线, M 是 BC 的中点, ME ⊥ AD 交 AC 的延长线于 E .且 CE 1 CD .求证:∠ ACB=2∠B. 2 D C E F A B 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 巩固基础练 1. 已知△ ABC 周长为 16, D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点,则△ ADE 的周长等于 ( ) A .1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 在△ ABC 中,D 、E 分别是 AB 、AC 的中点, P 是 BC 上任意一点, 那么△ PDE 面积是△ ABC'面积的 ( ) 1 1 1 1 A . B. C. D. 2 3 4 8 3. 如图 4,在四边形 ABCD 中, E 、F 分别为 AC 、 BD 的中点,则 EF 与 AB+CD 的关系是 ( ) A . 2EF AB CD B. 2EF AB CD C. 2EF AB CD D. 不确定 4. 如图 5,AB ∥CD , E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点,且 AB=a,CD=b ,则 EF 的长为 . 图 6 图 7 图 8 图 9 图 10 5. 如图 6,四边形 ABCD 中,AD=BC ,F 、E 、G 分别是 AB 、CD 、AC 的中点, 若∠ DAC= 200,∠ ACB= 600, 则∠ FEG= . 6. ( 呼和浩特市中考题 ) 如图 7,△ ABC 的周长为 1,连接△ ABC 三边的中点构成第二个三角,再连接第二 个三角形三边中点构成第三个三角形,依此类推,第 2003 个三角形的周长为 . 7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6 ,三角形的周长是 112cm ,求三条中位线长 . 8. 如图 8,△ ABC 中, AD 是高, BE 是中线,∠ EBC= 300,求证: AD=BE . 9. 如图 9,在△ ABC 中, AB=AC ,延长 AB 到 D ,使 BD=AB , E 为 AB 中点,连接 CE 、 CD . 求证: CD=2EC . 10.如图 10, AD 是△ ABC 的外角平分线, CD ⊥AD 于 D , E 是 BC 的中点 . 求证: (1)DE ∥AB; (2) DE 1 AB AC . 2

三角形中位线定理_练习题

三角形的中位线定理 1.三角形中位线的定义: 2.三角形中位线定理的证明: 如图,在△ABC 中,D 、E 是AB 和AC 的中点,求证:DE ∥BC ,DE=2 1 BC . 方法一: 方法二: 3.归纳:(1)几何语言: (2) 条中位线, 对全等, 个平行四边形 (3)面积 4.拓展:如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,DE ∥BC ,求证: DE= 2 1 BC . 【巩固练习】 1.如图所示,□ ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,AE=EB ,求证:OE ∥BC . 2.如图所示,在△ABC 中,点D 在BC 上且CD=CA ,CF 平分∠ACB ,AE=EB ,求证:EF= 1 2 BD . 3.已知:如图,四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 求证:四边形EFGH 是平行四边形. 4.如图所示,已知在□ABCD 中,E ,F 分别是AD ,BC 的中点,求证:MN ∥BC . 5.已知:△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ,F 、G 分别是OB 、OC 的中点.

求证:四边形DEFG 是平行四边形. 6.已知:如图,E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点,且CE =DC ,连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ,连结AC 交BD 于O ,连结OF .求证:AB =2OF . 7.如图,在四边形ABCD 中,AD=BC ,点E ,F ,G 分别是AB ,CD ,AC 的中点. 求证:△EFG 是等腰三角形。 8.如图,在四边形ABCD 中,点E 是线段AD 上的任意一点(E 与A D ,不重合),G F H ,,分别是BE BC CE ,,的中点.求证:四边形EGFH 是平行四边形; 9.如图,点E ,F ,G ,H 分别是CD ,BC ,AB ,DA 的中点. 求证:四边形EFGH 是平行四边形. 10.已知:如图,DE 是△ABC 的中位线,AF 是BC 边上的中线, 求证:DE 与AF 互相平分 11.如图所示,在四边形ABCD 中,DC∥AB,以AD ,AC 为边作□ACED ,延长DC?交EB 于. 求证:EF=FB .(多种方法)

三角形中考总复习专题训练(精华)

《三角形》专题训练 一、选择题 1.若等腰三角形底角为72°,则顶角为()。 A.108° B.72° C.54° D.36° 2.等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个三角形的周长是()。A.16 B.17 C.13 D.16或17 3. 下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有()。 (1) ∠A+∠B=∠C; (2) ∠A:∠B:∠C=1:2:3; 1∠C (3) ∠A=90°-∠B; (4)∠A=∠B= 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则∠BIC等于() A.60° B.90° C.120° D.150° 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为()。 A.60°B.120° C.60°或150° D.60°或120°

个外角都相等的三角形;(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形;(4)有一个角为60°的等腰三角形。其中一定是等边三角形的有( )。 A .4个 B .3个 C .2个 D .1个 7.已知△ABC ,⑴如图1,若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点,则∠P=90°2 1 ∠A ; ⑵如图2,若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点,则∠P=90°-∠A ; ⑶如图3,若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点,则∠P=90°-21 ∠A 。 上述说法下确的个数是( )。A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 8.如图4,工人师傅砌门时,常用木条EF 固定矩形门框ABCD ,使其 不变形,这种做法的根据是( )。 A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性 C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性

三角形中位线定理的教学浅析

三角形中位线定理的教学浅析 数学教育主要是数学思维的教育,数学教育过程是思维活动的过程,发展学生的思维能力是 数学教学的一个重要方面。学生的思维能力具体体现为直觉的形象思维、分析的逻辑思维、 灵活的创造思维等。在教学中如何培养这些思维能力呢?由认识论我心理学的基本原理可知:“感知、理解、巩固、运用”符合学生认知知识心理过程的学习程序。所以数学教学应围绕认 知迁移的四个环节展开,采取不同的教学策略,针对性地培养相应的思维能力。我以三角形 中位线的教学为例谈点体会。 一、感知阶段:引导学生猜想分析,注重培养思维的广阔性 培养思维的广阔性,主要是培养学生从多角度,多方面去分析、思考问题;认识、解决问题 的思维方式。使之思路开阔,联想广泛,通用不同的方法去处理和解决问题。在教学中要充 分利用命题提出这一环节,设置问题情境调动学生思维,引导学生分析、抽象、探索定理的 多种证法,开阔思维广度。例如:三角形中位线定理的证明,可按课本的探索式方法设置问 题情景,让学生猜想发现三角形中位线性质:“三角形中位线平行,并且等于第三边的一半。”教师可以提出如何填加辅助线完成此定理的证明问题,启发学生从多方面探索定理的证明方法,加以总结。 二、理解阶段,引导学生理解记忆,注意培养思维的流畅性 思维的流畅性表现为思维流畅通顺,减少阻碍,能准确迅速地感知和提取信息。要想思维流 畅顺利运用所学知识,分清定理的条件和结论,熟记定理的基本图形是前提。要结合图形帮 助学生理解本质属性,强化定理的表达式,以便运用时思路畅通,例:三角形中位线定理证 完后,可结合图形强化帮助同学记忆定理的条件结论。 三、巩固阶段:引导学生变式训练,是提高培养思维的灵活性 培养上思维的灵活性,主要培养学生对具体问题具体分析,善于根据情况的变化,调整和改 变思维过程,提高学生的应变能力,所以在定理运用教学时,有针对性地把练习、习题、复 习题中有共同特点的题目融会贯通,变分散为集中,设计一图多问题,一题多变题,对比分 析题和逆向运用题,让学生进行变中位线定理的运用可举以下题让学生训练。 四、运用阶段:引导学生归纳小结,注重培养思维的敏捷性 思维的敏捷性,是思维活动中的反映速度和熟练程度。培养思维的敏捷性,主要培养学生思 考问题时,能作出快速敏锐的反应。敏捷应以准确严谨为前提,只有准确掌握系统的基础知 识和熟练的基本技能,才能达到融会贯通之目的,做到真正的敏捷。故在运用这一环节上要 引导学生归纳小结,把本节知识纳入已有的认知结构中去,不断充实扩展已有的知识体系; 同时总结一般解题规律,从具体的解题过程中抽象出某种数学模式,形成较为明确的解题思路,使学有“法”可依,有“路”可走特别是注意归纳解题的技巧,使学生思维技能得到发展。 例:三角形中位线一节可引导学生作如下归纳: (1)证两线平行的常见方法; (2)平行线的三条基本判定方法; (3)三角形一边的平行的判定方法 (4)特殊四边形的对边平行 (5)三角形中位线定理

三角形中位线定理的证明

备课偶得—— 三角形中位线定理的再证明 王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理:三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。 关于它的证明方法,课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有8种之多,而且非常有趣,这里写出来与同仁共享,企斧正。 已知:如图1,△ABC 中,D 、E 分别为AB 、AC 的中点,求证:D E ∥BC 且 证法一、(构造法)如图2,延长DE 到F ,使EF=DE ,连结AF 、CF 、 DC ∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF 为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且 证法二、(构造法)如图3,过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ,则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF ∴△AD E ≌△CFE (ASA ) ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE ∴DE=EF ∴D E ∥BC 且 证法三、(同一法)如图4,过D 作D E ′∥BC ,交AC 于E ′,过E ′作E ′F ∥AB ,交BC 于F ,则 ∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ,∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC (AAS ) ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点 ∴E 与E ′重合即DE ∥BC ,△ADE ≌△EFC ,四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF 即 ∴DE ∥BC 且 图1 B C A D E 图2 B C A D E F 图3 B C A D E F C 图4 B A D E F E ′ 图5 B C A D E 1 2 DE BC =1 2 DE BC =1 2DE BC =12 DE BC =1 2DE BC =

中考数学专题复习《三角形》专题训练

、选择题 A. 13 C. 13 或 5 2. 三角形的角平分线、中线和高( 克,CF 的质量为106克,则整个金属框架的质量为( 4. 到厶ABC 的三条边距离相等的点是厶 ABC 的是( 5. 如图,为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做使用的数学道理是 6. 如图,△ ABC 内有一点 D,且 DA=DB=DC 若/ DAB=20,/ DAC=30,则/ BDC 的大小是( 三角形 1.若一个直角三角形的两边长为 12和 5,则第三边为 D. 15 A. 都是射线 B. 都是直线 C.都是线段 D. 都在三角形内 3. 小明用同种材料制成的金属框架如图所示,已知/ B=Z E , AB=DE BF=EC 其中框架厶ABC 的质量为840 A. 734 克 B. 946 克 C. 1052 克 D. 1574 克 A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 A.两点之间线段最短 角都是直角 B.三角形的稳定性 C.两点确定一条直线 D.长方形的四个 B.13 或

A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是() A.直角三角形 B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定 8. 已知在△DEF中,/ A=Z D=9C°,则下列条件中不能判定△DEF全等的是() A. AB=DE AC=DF- B. AC=EF BC=DF - C. AB=DE BC=EF- D. / C=Z F , AC=DF 9. 若等腰三角形的顶角为80°,则它的一个底角度数为() A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10. 如图,点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点,点P是正方形边上的动点,从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动,则当点P逆时针旋转一周时,随着运动时间的增加,△ DMP 面积达到5cm2的时刻的个数是() D C A 冠B A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11. 在厶ABC中,已知/ A=30°,/ B=70°,则/ C的度数是______________ 12. 将一副三角板如图叠放,则图中/ a的度数为________ ?

专题--三角形的中位线(含提示答案)

三角形的中位线 例题精讲 例1如图1,D、E、F分别是△ABC三边的中点.G是AE的中点,BE 与DF、DG分别交于P、Q两点.求PQ:BE的值. 例2如图2,在△ABC中,AC>AB,M为BC的中点.AD是∠BAC的平分线,若CF⊥AD交AD的延长线于F.求证:. 例3如图3,在△ABC中,AD是△BAC的角平分线,M是BC的中点,ME⊥AD交AC的延长线于E.且.求证:∠ACB=2∠B. 图1 图2 图3 图4 图5 巩固基础练 1. 已知△ABC周长为16,D、E分别是AB、AC的中点,则△ADE的周长 等于 ( ) A .1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,P是BC上任意一点,那么

△PDE面积是△ABC'面积的 ( ) A . B. C. D. 3. 如图4,在四边形ABCD中,E、F分别为AC、BD的中点,则EF 与AB+CD的关系是 ( ) A . B. C. D. 不确定 4. 如图5,AB∥CD,E、F分别是BC、AD的中点,且AB=a,CD=b,则EF 的长为 . 图6 图7 图8 图9 图10 5. 如图6,四边形ABCD中,AD=BC,F、E、G分别是AB、CD、AC的中

点,若∠DAC=200,∠ACB=600,则∠FEG= . 6.如图7,△ABC的周长为1,连接△ABC三边的中点构成第二个三角, 再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形,依此类推,第2003个三角形的周长为 . 7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6,三角形的周长是112cm,求三条 中位线长. 8. 如图8,△ABC中,AD是高,BE是中线,∠EBC=300,求证:AD=BE. (过E点向BC作垂线) 9. 如图9,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点, 连接CE、CD. 求证:CD=2EC.(延长AC到F,使AC=CF,则CD=BF) 10.如图10,AD是△ABC的外角平分线,CD⊥AD于D,E是BC的中点. 求证:(1)DE∥AB; (2).(延长DC交BA的延长线于G) 提高过渡练 1. 如图11,M、P分别为△ABC的AB、AC上的点, 且AM=BM,AP=2CP,BP与CM相交于N,已知PN=1,则PB的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 5 2. 如图12,△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中 点,AB=10,则MD的长为 ( ) A. 10 B. 8 C .6 D. 5 3. 如图13,△ABC是等边三角形,D、E、F分别是AB、BC、AC的中 点,P为不同于B、E、C的BC上的任意一点,△DPH为等边三角形.连接FH,则EP与FH的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP

三角形中位线定理证明

三角形中位线定理证明 性质1中位线平行于第三边 性质2等于第三边的一半 1定理 2证明 3逆定理 1定理三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触),并且等于第三边的一半。[1] 三角形的中位线 2证明 如图,已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。 求证DE平行于BC且等于BC/2 方法一:过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号) ∴△ADE≌△CGE (A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG 又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二:相似法: ∵D是AB中点 ∴AD:AB=1:2 ∵E是AC中点 ∴AE:AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2

∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三:坐标法: 设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 则一条边长为:根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2) 这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2 最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半 方法4: 延长DE到点G,使EG=DE,连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立[2] 方法五:向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3] ∴DE//BC且DE=BC/2 3逆定理 逆定理一:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。 如图DE//BC,DE=BC/2,则D是AB的中点,E是AC的中点。 证明:∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 ∴AD=AB/2,AE=AC/2,即D是AB中点,E是AC中点。 逆定理二:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。 如图D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点,DE=BC/2 三角形的中位线 证明:取AC中点E',连接DE',则有 AD=BD,AE'=CE' ∴DE'是三角形ABC的中位线 ∴DE'∥BC 又∵DE∥BC

中考总复习专题训练(三角形)知识分享

2010年中考总复习专题训练(三角形)

2010年中考总复习专题训练(三角形) 考试时间:120分钟满分150分 一、选择题(每小题3分,共45分) 1. 满足下列条件的三角形,按角分类有三个属于同一类,则另一个是 ()。 A.∠A:∠B:∠C=1:2:3 B.∠A-∠B=∠C C.∠A=∠C=40° D.∠A=2∠B=2∠C 2. 如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是()。 A. 1:2:4 B. 1:3:5 C. 3:4:7 D. 5:12:13 3. 已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为 ()。 A.90° B.110° C.100° D.120° 4. 在一个三角形中有两个内角相等,这个三角形还有一个外角为110°,则两个 相等的内角的度数为()。 A.40° B.55° C.70°或55° D.70° 5.一个三角形的两边长分别为3和7,且第三边长为整数,这样的三角形的周 长最小值是()。 A.14 B.15 C.16 D.17 6. 下列命题:(1)等边三角形也是等腰三角形;(2)三角形的外角等于两个内角的和;(3)三角形中最大的内角不能小于60°;(4)锐角三角形中, 任意两内角之和必大于90°,其中错误的个数是()。 A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个

F E D C B 7.锐角三角形的三个内角是∠A 、∠B 、∠ C ,如果B A ∠+∠=∠α, C B ∠+∠=∠β,A C ∠+∠=∠γ,那么α∠、β∠、γ∠这三个角中 ( )。 A .没有锐角 B .有1个锐角 C .有2个锐角 D .有3个锐角 8.如图1,已知AB ∥CD ,则( )。 A .∠1=∠2+∠3 B .∠1=2∠2+∠3 C .∠1=2∠2-∠3 D .∠1=180o-∠2-∠3 9. 如图2,将一张矩形纸片ABCD 如图所示折叠,使顶点C 落在C '点.已知 2AB =,30DEC '∠=,则折痕DE 的长为( )。 A.2 B.23 C.4 D. 1 10. 如图3,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S ABC =4cm 2, 则阴影面积等于( )。 A.2cm 2 B.1cm 2 C.12cm 2 D.14 cm 2 图1 图2 图3 11.对于下列各组条件,不能判定△ABC ≌△C B A '''的一组是( )。 A.∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,AB=A ′B ′ B.∠A=∠A ′,AB=A ′B ′,AC=A ′C ′ C.∠A=∠A ′,AB=A ′B ′,BC=B ′C ′ D.AB=A ′B ′,AC=A ′C ′,BC=B ′C ′ 12.有五根细木棒,长度分别为1cm ,3cm ,5cm ,7cm ,9cm ,现任取其中的三根 木棒,组成一个三角形,问有几种可能( )。 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种

《三角形的中位线》教材分析

《三角形的中位线》教材分析 《三角形的中位线》一节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(下)第六章《平行四边形》的第三节,平行四边形的第4课时的教学内容。倍分关系是现实世界中等量关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础。它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型,在现实生活中有着广泛的应用,所以对相等关系的学习有着重要的实际意义。 一、地位和作用 本节教材是八年级数学下册三角形的中位线定理内容。是在学生已认识了平行四边形中一些等量关系的基础上来学习的,也是为进一步学习解等量关系及应用等量关系解决实际问题的重要依据,因此本节课等量关系的内容在这一章占有重要位置。 三角形中位线是三角形中重要的线段,三角形中位线定理是一个重要性质定理,它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化,对进一步学习非常有用,尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中,处处渗透了化归思想,它是一种重要的思想方法,无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用,它对拓展学生的思维有着积极的意义。 二、教材处理 本节课的教学指导思想是从学生实际认知水平及知识结构出发,让学生自主获取知识。课本中三角形中位线定理是单刀直入地以探索式推理这种方法提出的,定理以这种方式出现,学生接受起来会感觉突然、生硬。在实际教学中,我采取先让学生经过实验、观察、猜想、归纳、得出结论,然后经推理论证,最后总结形成定理的方式,这样提出的知识具有亲和力,更容易为学生接受和认可。在定理证明中,讲解了多种证法,强化思维过程的教学,开发学生的智力。在教学中增加了变式训练,以培养学生的发散思维。 三、重点和难点: 【重点】三角形中位线定理及其应用 三角形中位线定理是解决有关线与线的平行及线段倍分问题的重要理论依据之一,在教材中占有重要地位,依据教学大纲的要求、教材内容以及学生的认知基础,从而确定了本节课的重点。 【难点】三角形中位线定理的证明及应用 从学生知识掌握的现状分析来看,如何适当添加辅助线、如何利用化归思想来解决问题,是学生学习的困难所在,是本节教学难点。

七年级下册数学三角形专题训练

1.一个三角形的三个内角中( ) A 、至少有两个锐角 B 、至多有一个锐角 C 、至少有一个直角 D 、至少有一个钝角 2. 下列三条线段的长度能组成三角形的是( ) A 、3,4,8 B 、5,6,11 C 、1,2,3 D 、5,6,10 3.关于三角形的边的叙述正确.. 的是( ) A 、三边互不相等 B 、至少有两边相等 C 、任意两边之和一定大于第三边 D 、最多有两边相等 4.等腰三角形两边长分别为 3、7,则它的周长为( ) A 、13 B 、17 C 、13 或17 D 、不能确定 5.如右图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是AB 边上的高, 那么图中与∠A 相等的角是( ) A 、∠ B B 、∠ACD C 、∠BC D D 、∠BDC 6.下列图形中具有稳定性有( ) A 、正方形 B 、长方形 C 、梯形 D 、直角三角形 7. 若三角形两边长分别是4、5,则周长c 的范围是( ) A.1<c <9 B.9<c <14 C.10<c <18 D. 无法确定 8. 一个三角形的三个内角中( ) A. 至少有一个等于90° B. 至少有一个大于90° C. 不可能有两个大于89° D. 不可能都小于60° 9.等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长是( ) A .17 B .13 C .17或22 D .22 10、一个三角形的两边分别为3和8,第三边长是一个偶数,则第三边的长不能为( ) A 、6 B 、8 C 、10 D 、12 A B C D

11.如图,图中共有_____个三角形 ,其中以BC 为一边的三角形是________________;以∠A 为一个内角的三角形是___________. 12.如图,AE 、AD 、CF 分别是△ABC 的高、中线和角平分线, ⑴∵AE 是△ABC 的高, ∴∠____=∠____=90°; ⑵∵AD 是△ABC 的中线,∴____=___=2 1 ____; ⑶∵CF 是△ABC 的角平分线,∴∠____=∠____= 2 1 ∠____. 13.如果三角形的两边分别是a=3cm ,b=4cm ,那么第三边c 的长度范围是__________. 14.△ABC 的周长为12,三边a 、b 、c 之间存在关系a -1=b ,b -1=c ,则三边长a=____,b=_____,c=____. 15.直角三角形两个锐角的外角平分线所组成的锐角等于_________度. 16.在△ABC 中,若∠C+∠A=2∠B ,∠C -∠A=80°,则∠A=___,∠B=___,∠C=___. 17.一个三角形三个外角度数的比是3∶3∶2,则该三角形的形状是______________. 18.等腰三角形的一腰中线分该三角形的周长为15cm 、18cm ,则底边长为__________. 19.△ABC 中,如果∠C=55°,∠B -∠A=10°,那么∠A=_____. 20.如图,△ABC 中,D 是BC 延长线上一点,E 是AC 上一点,∠A=∠B ,∠ACD=∠EDC ,如果∠AED=140°,那么∠ACD=________,∠B=_______. A B C D E F A B C D E

平行四边形和三角形的中位线专题培优

平行四边形和三角形的中位线(二) 1、如图,过□ABCD内一点P作边的平行线EF、GH,若S四边形PHCF =5,S四边形PGAE=3,则S△PBD=_________. 2、如图,□ABCD中,M、N分别是AD、AB上的点,且BM=ND, 其交点为P,求证:∠CPB=∠CPD. 3、已知等腰△EAD和等腰△CAB,EA=ED,CA=CB,∠AED=∠ACB=α,以线段AC、AE为边作平行四边形ACFE,连接BF、DF. (1)如图1,当α=90°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数; (2)如图2,当0°<α<90°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数.

4、如图1,在△O AB 中,∠OAB=900,∠AOB=300,OB =8.以OB 为边,在△OAB 外作等边△OBC,D 是OB 的中点,连接A D并延长交O C于E. (1)求证:四边形AB CE 是平行四边形; (2)如图2,将图1中的四边形ABCO 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为FG,求OG 的长。 5、如图,△ABC 中,∠A CB =90°,C D⊥AB 于D ,A E平分∠BAC ,交C D于K,交BC 于E ,F 为BE 上一点且B F=CE ,求证:F K∥AB. 6、四边形ABCD 中,A D∥BC,(1)如图1,若E、F 分别是A B、CD 的中点,求证:EF= 2 1 (AD+BC ) (2)如图,2,若G 、H 分别是A B、C D的中点,求证:GH< 2 1 (A B+CD) (3)如图3,连接AC 、B D,若M 、N分别是AC 、BD 的中点,求证:MN <2 1 (BC —AD)

《三角形中位线定理》

课题:三角形中位线定理 科目:数学教学对象:八年级课时:§18.1平行四边形第4课时提供者:大城县第四中学毕宝清 一、教学目标 1.知识与技能: 理解三角形中位线的概念;探索并掌握三角形中位线定理;能正确应用三角形中位线定理解决问题。 2.过程与方法: 经历探索三角形中位线定理的过程,感受数学转化思想。 3.情感态度与价值观: 培养学生大胆猜想、合理论证、归纳结论的科学精神。 二、教学重点、难点 1.重点:探究三角形中位线定理并应用,应用三角形中位线定理解决有关问题。2.难点:三角形中位线定理的证明。 三、教具准备 多媒体、三角形纸片 四、教学过程 教 学 环 节 教学内容师生活动设计意图 一、情境设置 导入新课蚕丝吐尽春未老,烛泪成灰秋更稠。 春播桃李三千圃,秋来硕果满神州。 为感恩教师,七年级六班召开主题 班会,班长要求每个同学把手中的 三角形原料裁成四面完全相同的彩 旗装扮教室,应该怎么裁剪呢? 教师引 导学生观察 图片,思考问 题后出示课 题. 教育学生懂得感 恩,从学生的生活实际 出发,创设情境,提出 问题,激发学生强烈的 好奇心和求知欲.

环 节 教学内容师生活动设计意图 二、 动手操作 观察发现探究一:三角形中位线的概念 活动一:请同学们按要求画图: (1)画一个任意的△ABC; (2)取AB、AC的中点D、E; (3)连接DE 三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段叫做三 角形的中位线。 问题1:一个三角形有几条中位线? 请学生画出三角形中所有中位线。 问题2:三角形的中位线和三角形 的中线有何异同? 教师引 导学生在练 习本上作图, 实践操作后 分析线段DE 的特征,独立 思考并总结 归纳出三角 形中位线的 定义. 教师 用红笔标出 定义的关键 词:“线段中 点”、“线段” 让学生在作图过 程中充分感知三角形 中位线并加深印象。 通过学生实践操 作把握概念的本质,有 利于学生今后更加准 确运用。 三、 探究性质定理 深化认知探究二:三角形的中位线定理 问题3:如图,DE是△ABC的中位 线,DE与BC有什么 关系? 通过拼图活动 寻求辅助线做法。 (1)把三角形 纸片沿中位线DE裁开。 (2)变换△ADE的位置,想办 法去构造一条线段等于2DE, (3)画出变换后的图形,并把 △ADE移动后的对应的位置用虚线 画出来。 (4)请仔细观察哪条线段是 DE的2倍。 (5)我们只要证明哪两条线 段相等就可以。 (6)辅助线做法该怎么写? (7)请构思并书写证明过程。 教师引导 学生从2个 方面探究两 条线段之间 的关系。 学生独立 思考寻求方 法探究结论, 小组讨论交 流并根据探 究结果猜想 三角形的中 位线定理。 教师板书证 明过程,并用 展台展示其 他证明方法。 调动已有知识经 验,结合学生实践操作 感知思考、交流合作探 究三角形中位线的定 理。 通过学生亲自拼 图操作,进一步探究辅 助线做法,并为定理的 证明作好准备工作 经历这个探究的 过程让学生意识到讨 论、合作是学生完成学 习任务的一种手段,而 交流则促进学生智慧 成果共享。

相关文档
最新文档