13.5相对于质心的动量矩(重庆大学土木理论力学课件)解析
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dLxc M xc ( Fi e ) dt dLyc M yc ( Fi e ) dt dLzc M zc ( Fi e ) dt
dLC／dt= MC （13.22）
（13.23）
其中 LxC、LyC、LzC是质点系对于轴xC、yC、zC的动量矩 这几个方程表明：质点系对于随同质心平动的任一轴的动量 矩对于时间的变化率，等于作用于质点系上所有外力对同一 轴的矩的代数和。
13.5
质点系相对于质心的动量矩定理
在前面的阐述中，特别指明了矩心是固定点 （或矩轴是固定轴）。 但是，可以证明，如选取质点系的质心作为
矩心（或原点在质心的平动坐标系的轴为矩轴），
动量矩定理具有相同的表达形式。
§13.5
质点系相对与质心的动量矩定理
一、质点系相对与质心的动量矩
1、分解质心的运动
①建立质心平动坐标系
dLC d (LO rC mvC ) dt dt
dLO (vC mvC rC maC ) dt
dLC dLO rC maC dt dt
n n dLO (e) (e) ri Fi M O (Fi ) dt i 1 i 1
dLC dLO rC maC dt dt
＝∑MO(Fi)－rC×∑Fi ＝∑ri×Fi－∑rC×Fi
LO= rC×mvC ＋LC
＝∑（ri－rC）×Fi
＝∑ri′×Fi
n n dLC ri Fi ( e ) M C (Fi ( e ) ) dt i 1 i 1
dLC／dt= MC
3、意义：
（13.22）
质点系相对于质心的动量矩对于时间的变化率，等于
vi vc vri
mi vi mi (vc vri )
而对于固定点O的动量矩为：
ri rc ri
若质点Mi的质量为mi，则该质点的动量为：
M o (mi vi ) ri mi (vc vri )
(rc ri) mi (vc vri )
M o (mi vi ) ri mi (vc vri ) (rc ri) mi (vc vri )
下面讨论质点系在相对质心平动坐标系 的运动中对质心的动量矩和在绝对运动中对
质心的动量矩之间的关系。
4、讨论：质点系相对于质心的动量矩
事实上，从上面的推导过程可以看出，当动坐标系随同质 心C平动时，不论用相对速度还是用绝对速度计算，结果都 一样（ 因为由于牵连速度而有的动量矩 ∑ ri′×mivC =0 ）。
比较
dLO／dt= MO O点——固定点 dLC／dt= MC（13.22） C点——质心（运动点）
〖注意〗：只有当动点是质心时，才能得到式 （ 13.22 ）的推导结果。否则，有些项就不会为零。 故不能对任一动点取动量矩矩心。
4、投影形式 将式（ 13.22 ）投影到随质心平动的直角坐标系 x'C、y'C、zC′轴上，得
②牵连运动 动系随质心平动。 作用于质点的外力合力为Fie。
③相对运动
质点系相对于质心的运动（质点系不能说相对于质心转
动，刚体才是相对于质心转动）。 2、任一质点mi的矢径
如图所示，O为定点，C为质点系的质心，任一质点mi的 矢径
ri rc ri
任一质点Mi的速度
vi vc vri
作 用于质点系上所有外力对（同一点）质心的主矩。
这个结论称 为质点系相对于质心的动量矩定理。 该定理在形式上与质点系 相对于固定点的动量矩定理
完全一样。
dLO／dt= MO
质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的 数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种 简单的关系
5、讨论
（2）若∑MzC=0，则由LzC=ct知， 质点系相对于质心 zC轴的动量矩
守恒。
（2）若∑MzC=0，则由LzC=ct知， 质点系相对于质心zC轴的 动量 矩守恒。 例如：跳水运动员在离开跳板后， 设空气阻力不计，则他在空中时
ri mi vri 是质点系在相对于质心平动坐标系 式中 Lc 的运动中对质心的动量矩。
Lo rc mvc Lc
于是得质点系相对于
O点的动量矩。
Lo rc mvc Lc
式（ 13.21 ）表明，质点系对任一点 O 的动量矩等 于集中于质心的系统动量 mvC 对于 O点的动量矩 与 此系统对于质心的动量矩的矢量和。
下面就将LC称为质点系对于质心的动量矩。
即：质点系对于质心的相对动量矩 LC′ 等于质点系对于
质心的绝对动量矩LC
此结论对质心本身的运动未作任何限制，但动系一定是 原点在质心的平动坐标系。
二、质点系相对于质心的动量矩定理
1、质点系相对于质心的动量矩 由 LO= rC×mvC ＋LC 得 LC= LO － rC×mvC 2、定理（推导）
则整个质点系对于固定点O的动量矩为：
Lo M o (mi vi ) (rc ri) mi (vc vri )
rc mi vc ri mi vc rc mi vri ri mi vri
rc mvc ( mi ri) vc rc mi vri ri mi vri
其中：
m mi
为整个质点系的质量。
L0 rc mvc ( mi ri) vc rc mi vri ri mi vri
由质心运动定理可知
∑miri′=mrC′ ，Σmivri=mvrC
因为质心是动坐标系原点， 所以rC′=0，vrC=0，从而
L0 rc mvc ri mi vri
可以证明，对于平面运动的刚体，如速度瞬心到质心的距离 保持不变，则对于瞬心可直接应用动量矩定理，无须作任何 修正。 例如：①均质圆轮沿轨道滚动而不滑动的情形；
②均质杆两端分别沿铅垂墙面和水平地面
滑动的情形。即质心到瞬心的距离不变.
三、质点系相对于质心的动量矩
守恒的情形 （1）若∑MCi=0，则由 LC=ct 知，质点系相对于质心 C 的 动量矩守恒
dLC／dt= MC （13.22）
（13.23）
其中 LxC、LyC、LzC是质点系对于轴xC、yC、zC的动量矩 这几个方程表明：质点系对于随同质心平动的任一轴的动量 矩对于时间的变化率，等于作用于质点系上所有外力对同一 轴的矩的代数和。
13.5
质点系相对于质心的动量矩定理
在前面的阐述中，特别指明了矩心是固定点 （或矩轴是固定轴）。 但是，可以证明，如选取质点系的质心作为
矩心（或原点在质心的平动坐标系的轴为矩轴），
动量矩定理具有相同的表达形式。
§13.5
质点系相对与质心的动量矩定理
一、质点系相对与质心的动量矩
1、分解质心的运动
①建立质心平动坐标系
dLC d (LO rC mvC ) dt dt
dLO (vC mvC rC maC ) dt
dLC dLO rC maC dt dt
n n dLO (e) (e) ri Fi M O (Fi ) dt i 1 i 1
dLC dLO rC maC dt dt
＝∑MO(Fi)－rC×∑Fi ＝∑ri×Fi－∑rC×Fi
LO= rC×mvC ＋LC
＝∑（ri－rC）×Fi
＝∑ri′×Fi
n n dLC ri Fi ( e ) M C (Fi ( e ) ) dt i 1 i 1
dLC／dt= MC
3、意义：
（13.22）
质点系相对于质心的动量矩对于时间的变化率，等于
vi vc vri
mi vi mi (vc vri )
而对于固定点O的动量矩为：
ri rc ri
若质点Mi的质量为mi，则该质点的动量为：
M o (mi vi ) ri mi (vc vri )
(rc ri) mi (vc vri )
M o (mi vi ) ri mi (vc vri ) (rc ri) mi (vc vri )
下面讨论质点系在相对质心平动坐标系 的运动中对质心的动量矩和在绝对运动中对
质心的动量矩之间的关系。
4、讨论：质点系相对于质心的动量矩
事实上，从上面的推导过程可以看出，当动坐标系随同质 心C平动时，不论用相对速度还是用绝对速度计算，结果都 一样（ 因为由于牵连速度而有的动量矩 ∑ ri′×mivC =0 ）。
比较
dLO／dt= MO O点——固定点 dLC／dt= MC（13.22） C点——质心（运动点）
〖注意〗：只有当动点是质心时，才能得到式 （ 13.22 ）的推导结果。否则，有些项就不会为零。 故不能对任一动点取动量矩矩心。
4、投影形式 将式（ 13.22 ）投影到随质心平动的直角坐标系 x'C、y'C、zC′轴上，得
②牵连运动 动系随质心平动。 作用于质点的外力合力为Fie。
③相对运动
质点系相对于质心的运动（质点系不能说相对于质心转
动，刚体才是相对于质心转动）。 2、任一质点mi的矢径
如图所示，O为定点，C为质点系的质心，任一质点mi的 矢径
ri rc ri
任一质点Mi的速度
vi vc vri
作 用于质点系上所有外力对（同一点）质心的主矩。
这个结论称 为质点系相对于质心的动量矩定理。 该定理在形式上与质点系 相对于固定点的动量矩定理
完全一样。
dLO／dt= MO
质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的 数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种 简单的关系
5、讨论
（2）若∑MzC=0，则由LzC=ct知， 质点系相对于质心 zC轴的动量矩
守恒。
（2）若∑MzC=0，则由LzC=ct知， 质点系相对于质心zC轴的 动量 矩守恒。 例如：跳水运动员在离开跳板后， 设空气阻力不计，则他在空中时
ri mi vri 是质点系在相对于质心平动坐标系 式中 Lc 的运动中对质心的动量矩。
Lo rc mvc Lc
于是得质点系相对于
O点的动量矩。
Lo rc mvc Lc
式（ 13.21 ）表明，质点系对任一点 O 的动量矩等 于集中于质心的系统动量 mvC 对于 O点的动量矩 与 此系统对于质心的动量矩的矢量和。
下面就将LC称为质点系对于质心的动量矩。
即：质点系对于质心的相对动量矩 LC′ 等于质点系对于
质心的绝对动量矩LC
此结论对质心本身的运动未作任何限制，但动系一定是 原点在质心的平动坐标系。
二、质点系相对于质心的动量矩定理
1、质点系相对于质心的动量矩 由 LO= rC×mvC ＋LC 得 LC= LO － rC×mvC 2、定理（推导）
则整个质点系对于固定点O的动量矩为：
Lo M o (mi vi ) (rc ri) mi (vc vri )
rc mi vc ri mi vc rc mi vri ri mi vri
rc mvc ( mi ri) vc rc mi vri ri mi vri
其中：
m mi
为整个质点系的质量。
L0 rc mvc ( mi ri) vc rc mi vri ri mi vri
由质心运动定理可知
∑miri′=mrC′ ，Σmivri=mvrC
因为质心是动坐标系原点， 所以rC′=0，vrC=0，从而
L0 rc mvc ri mi vri
可以证明，对于平面运动的刚体，如速度瞬心到质心的距离 保持不变，则对于瞬心可直接应用动量矩定理，无须作任何 修正。 例如：①均质圆轮沿轨道滚动而不滑动的情形；
②均质杆两端分别沿铅垂墙面和水平地面
滑动的情形。即质心到瞬心的距离不变.
三、质点系相对于质心的动量矩
守恒的情形 （1）若∑MCi=0，则由 LC=ct 知，质点系相对于质心 C 的 动量矩守恒