13.2转动惯量(重庆大学土木理论力学课件)

z
因此，均质圆柱体可看成是 由一叠圆盘叠放而成，故对于其
中心轴的转动惯量也等于
J Oz
mR 2
2
y x
推论2 均质等厚壁圆筒，内半径为R1，外半径为R1 ，质量
为m对其中心轴的转动惯量为
1 2 2 J z m( R1 R2 ) 2
若设该圆筒的质量为m, 密度为
R1
z
R2
m m 2 V H R2 R12
或者，假想刚体的质量集中在距离轴为的圆周上， （假想把刚体压成一个细圆环），其转动惯量与原 刚体的转动惯量相等。
J z m z2
6、均质物体的Jz 若物体的质量为连续分布，则Jz的表达式应改写为
J z r dm
2 m
对于均质物体，其密度r为常量，如以V表示物体 的体积，则有，
m J z r dV r 2 dV V V V
2
7、常见情形
①均质等截面细直杆对于通过中点且与杆垂直的y轴的转动惯 量。
m m 2 J z r dV r 2 Adr V V Al V
m 0.5l 2 1 2 r dr ml l 0.5l 12
与此相对应的回转半径为：
J z r 2 dV
V
m r 2 dV V V
J xy J yx mi xi yi i 1 n J xz J zx mi xi zi (13.13) i 1 n J yz J zy mi yi zi i 1
n
惯性主轴
惯性积的量纲与转动惯量的量纲相同。但是，由式 （13―13）知，由于刚体各质点的坐标 xi , y i , z i 的值 可正可负或为零，因此由它们的乘积之和求得的惯性 积也是可正可负或为零的。
出现大小相等、符号相反项，故 J xz mi xi zi 0。

同理， J xy 0
。所以z轴必是主轴之一。
称刚体对x、y轴的惯性积 称刚体对x、z轴的惯性积 称刚体对y、z轴的惯性积
由定义式可知惯性积是代数量
J xy J yx mi xi yi i 1 n J xz J zx mi xi zi i 1 n J yz J zy mi yi zi i 1
2.惯性主轴 1) 定义
若Jyz=Jxz=0，则z轴是刚 体在O点的惯性主轴。
对称轴
对称面
a)若刚体有一对称面，则垂直于 该对称面的任一轴均为主轴。
惯性主轴
b)若刚体有一对称轴，则该轴一定为主轴。
2)主转动惯量
刚体对惯性主轴的转动惯量称为主转动惯量。
3)中心惯性主轴
通过刚体质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。
部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
例
均质圆盘与均质杆组成的复摆如图 ，已
知：圆盘质量为m1，半径r，杆质量m2，长L，试 求复摆对悬挂轴O的转动惯量。 解： J o J o杆 J o盘
l J o杆 J c1 m 2 2 1 1 1 2 2 m 2l m 2l m 2l 2 12 4 3
x
表示。
z
Jz m
5. 回转半径 定义：
z
Jz m
则
J z m z
2
即：物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方 的乘积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与 密度无关。 对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的 均质刚体，其回转半径是相同的。
5、回转半径
z
Jz m
显然、如假想地将刚体质量m 集中于一点而不改变刚体对某 轴的转动惯量，则 此点到该轴的距离就等于刚体对该轴的回转半径。
5)惯性积的平行轴定理
z1
J x ' y ' J xc yc mab
因为a、b是刚体质心c在 直角坐标系ox’y’中的坐标， 其值是代数量，所以Jxcyc不 一定是最小惯性积。
dA
y1
图13-10
若 J xy J zx ，则x轴称为刚体在O点的惯性主轴，
而
J x 称为刚体对主轴x的主转动惯量。相似地，
第十三章 动量矩定理
13.2 转动惯量
13.2
一、刚体对轴的转动惯量 1、定义：
转动惯量
z
zi
xi
知，
mi ri 2 J z
mi
2、力学意义 由 J z M z ( Fi e ) 当a=1时，
yi y
x
J z M z ( Fi e )
即：转动惯量在数值上等于使转动刚体获得一个单位 的 角加速度时所需要的力矩。
因此，在 m i xi z i 中，必将成对出现大小相等、 符号相反项，故 J m x z 0 。
xz

i
i
i

因为，如以对称面为xy面，z轴垂直于对称面，根据对称面 的定义，在(xi、yi、zi)处有一质点，则在(xi、yi、-zi)处必有 一相同质点与之对应。因此，在
m
i
xi z i 中，必将成对
J z J zC md
证明：设质量为m的刚体，质心为C， O'z'//Cz
J zC mi ri mi ( xi yi )
2 2 2
J z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi ' xi , yi ' yi d J z ' mi [ xi 2 ( yi d )2 ]
1 m 4 H R2 R14 2 2 H R2 R12
R1
z
R2
1 2 m R2 R12 2
y x
1 2 J z m( R12 R2 ) 2
在实际工程在中所遇到的物体可以看成为由几个简 单形状的物体组合而成。 当求这些物体对某轴的转动惯量时，可将物体划分 为几个简单的形状，分为几部分，而该物体对某轴的转 动惯量则应等于各部分对同一轴的转动惯量的总和。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来 处理。
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。
推论：
J zC md 2 Jz
由式（13-5）可知，在所有相互平行的轴中，物 体对于通过其质心的轴的转动惯量为最小。 例如，均质等截面细
直杆对于通过杆端且
与杆垂直的z′轴的
转动惯量为：
1 2 l 2 1 2 J z J zC md ml m( ) ml z 0.577l 12 2 3
J xy J yx mi xi yi i 1 n J xz J zx mi xi zi i 1 n J yz J zy mi yi zi i 1
n
(12.6)
J xy J yx J xz J zx J yz J zy
2
3、其他方法

对于形状或质量分布不规则的物体，其转动惯 量往往难以根据前述公式计算，而可采用实验 的方法测定之。
例如：扭转振动法；落体观测法；复摆法。

4．计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时， 可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加
起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心
3、性质 转动惯量的性质与刚体的质量以及质量相对于转动 轴的分布状况有关。 4、单位：kg· 2；kg· 2 m cm 若单位制不同，则Jz的单位不同， 为了避免不同的单位制引起错误， 也为了便于记忆，将 Jz /m，就变
z
zi
xi
mi
yi y
成只与长度有关的量（而各单位制
中长度都是基本量）因此就可统一
2
1
2
J o杆
l 1 J c1 m 2 m 2l 2 2 3
2
J o盘 J c2 m1 (l R) 2 1 m1 R 2 m1 (l R) 2 2
J o J o杆 J o盘
1 1 2 m 2l m1 R 2 m1 (l R) 2 3 2
n
2)量纲:
[J]=[M][L]2
3)单位：千克· 2（kg·2） 米 m
J xy J yx xydm M 4)积分式 对于质量连续简单形状的刚体 J xz J zx M xzdm mi dm J yz J zy yzdm M
对称面
Jz
是主
如 J yz J zx ，则y轴是刚体在O点的主轴，而 J y 是主转动惯 量；如 J xy J yz，则z轴是刚体在O点的主轴，而 转动惯量。
z1
dA
y1
图13-10


应当注意，主轴是对某一点而言的，对于不同的点，主轴 的方位一般是不同的。但是，不论在哪一点，总能找到三 个相互垂直的主轴。 通过刚体质心的主轴称为中心惯性主轴。 通常，求惯性主轴的计算较繁。 但是，如果刚体具有对称面或对称轴，则决定主轴的 问题大为简化。设刚体具有一对称面，则垂直于对称 面的轴即为该轴与对称面交点的主轴之一。 因为，如以对称面为xy面，z轴垂直于对称面，根 据对称面的定义，在(xi、yi、zi)处有一质点，则在(xi、 yi、—zi)处必有一相同质点与之对应。
三、惯性积与惯性主轴
在刚体动力学中，除了前面已学过的转动惯 量之外，还要用到另一物理量——刚体对通过O点 的两个相互垂直的轴的惯性积（或称离心转动惯 量），它们定义为 1.惯性积 1)定义
J xy J yx m i xi yi （13―13） J yz J zy m i yi zi J zx J xz m i z i xi