重庆大学理论力学课件
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理论力学课件 第一章力的投影,主矩主矢
•
•
v Fn
=
X niv
•
+ Yn
vj
+
v Znk
z
Fn O x
Fi
F1 y
F2
∑ X1 + X 2 +L+ X n = X
∑ Y1 + Y2 + L + Yn = Y
∑ Z1 + Z2 + L + Zn = Z
v FV
=
(∑
X
)iv
+ (∑Y )vj
+ (∑ Z )kv
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
合力解析表达式Fv形R式= (−153.6iv −170.5 vj )N
合力的大小和方向
∑ ∑ FR = ( X )2 + ( Y )2 = 229.5N
θ
=
arctan
∑Y ∑X
= 47.98°
y
θO x
FR
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力 2、汇交力系合成的几何法
例1-4：边长为a的正方体受到四个大小都等于F的力， 方向如图，求此力系的主矢。
z A
G
F4
O
F1
E x
B
F2
H
F3
C y
D
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
z
解
A
B 四力的矢量解析表达式：
G
F2
H
v F1
=
F
⎜⎜⎝⎛
2
v i
+
2
2 2
v j
15-3绕定轴转动刚体的轴承动反力(重庆大学理论力学课件)
加平衡质量
达朗贝尔原理的应用
根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学 方程的方法，称为动静法。
应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可 以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反 力。
应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上 的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。 因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就 方便得多。
h FB
mg
Bc
b
M B 0 F I h m g c F N A ( b c ) 0 FNB( 1 )
A
FNA
M A 0 F I h m g b F N B ( b c ) 0 ( 2 )
汽车的动态平衡方程
F I = Ma
MB0, FIhmg F cNA(bc)0 (1) MA0, FIhmg F bNB(bc)0 (2)
M O I J x z J y z 2 i J y z J x z 2 j J Z k
惯性力系对于转轴 z 的惯性力矩为
惯性力系对固结于刚体并垂直于 转轴的x、y两轴的惯性力矩分别为
Jxz mixz Jyz mi yz
四、平衡方程
为了转动刚体支座反力，将此主动力 系也向O点简化，如图所示
绕定轴转动刚体的轴承动反力：
（1）动反力:在工程实际中，由于高速转子绕定轴转动
时产生的作用于轴承上的附加力，称为动反力，动反力
往往很大，以至使机器零件破坏或引起振动。
（2）产生原因：
FNA
①质心C不在转轴上时： 如图所示：两质量相等的 小球m1和m2，绕铅垂直轴
F1I m1 D
B
c m2 F2I x
15-3 绕定轴转动刚体的轴承动反力
理论力学完整ppt课件
理论力学
主讲 王卫东
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1
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2
绪
论
一、理论力学的研究对象和内容 二、理论力学发展简史 三、学习理论力学的目的 四、理论力学的研究方法
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3
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真汽 车 碰 撞 仿
4
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5
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6
一、理论力学的研究对象和内容
理论力学——研究物体机械运动规律的科学。
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15
都江堰
岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝 引水工程。始建于公元前256～前251年。
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16
赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，
敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”
的美誉。
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3 随着科学技术的发展，交叉学科的地位也越来越 重要。力学与其它学科的渗透形成了生物力学、爆 炸力学、物理力学等边缘学科，这就需要我们有坚 实的理论力学基础。
4 培养分析问题、解决问题的方法。
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24
四、理论力学的研究方法
是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立 公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论， 形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。
17
张衡与地动仪
东汉时期，中国发生地震的次数是比较多的，为了测定地
震方位，及时地挽救人民的生命财产，公元126年，张衡在第二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次担任太史令之后， 就注意掌握收集地震的情报和记录，经过
多年的潜心研究，终于在公元132年(东汉顺帝阳嘉元年)，发明
主讲 王卫东
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1
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2
绪
论
一、理论力学的研究对象和内容 二、理论力学发展简史 三、学习理论力学的目的 四、理论力学的研究方法
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3
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真汽 车 碰 撞 仿
4
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5
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6
一、理论力学的研究对象和内容
理论力学——研究物体机械运动规律的科学。
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15
都江堰
岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝 引水工程。始建于公元前256～前251年。
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16
赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，
敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”
的美誉。
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3 随着科学技术的发展，交叉学科的地位也越来越 重要。力学与其它学科的渗透形成了生物力学、爆 炸力学、物理力学等边缘学科，这就需要我们有坚 实的理论力学基础。
4 培养分析问题、解决问题的方法。
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24
四、理论力学的研究方法
是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立 公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论， 形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。
17
张衡与地动仪
东汉时期，中国发生地震的次数是比较多的，为了测定地
震方位，及时地挽救人民的生命财产，公元126年，张衡在第二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次担任太史令之后， 就注意掌握收集地震的情报和记录，经过
多年的潜心研究，终于在公元132年(东汉顺帝阳嘉元年)，发明
理论力学课件(第一章)
刚体平衡条件是变形体平衡 的必要条件而非充分条件。
hห้องสมุดไป่ตู้
h
变形体平衡问题特例
分析：
FA FB F 2sin
A
B
C
FA A F FB B
h h L A LB , cos cos 1 1 FA FB c L A ch( ) cos cos
二力平衡公理（公理2 ）
作用在刚体上的两个力，使刚体平衡的必要和充分 条件是：两个力的大小相等，方向相反，作用线沿同一 直线。
F1 F2
· 此公理揭示了最简单的力系平衡条件。·
加减平衡力系公理（公理3 ）
在已知力系上加或减去任意平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用。 · 此公理是研究力系等效的重要依据。 · 由此公理可导出下列推理：刚体上力的可传性
杆AB所受的力。
解：1. 选活塞杆为研究对象，受力分析如图。
E D
列平衡方程
B A l
F F
C
x
0, 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
y
F
y
l
解方程得杆AB，BC所受
的力
F FBA FBC 11.35 kN 2 sin
—— 能和一个力系等效的一个力。 —— 一个力等效于一个力系，则力系中的各
力称为这个力（合力）的分力。
§1-2 共点力系、刚体上力系的等效及平衡
汇交力系 是指各力的作用线汇交于一点的力系。 共点力系 ：（一种特殊的汇交力系）是指力系
中各力的作用线作用交于一点，且作用点相同。
F
《理论力学》重庆大学出版社第四版 第二章
例题 1-4
平面汇交力系与平面力偶系
解:
用解析法求解
y
A
1.取制动蹬ABD作为研究对象。 2.画出受力图，并由力的可传 性化为共点力系。
x
FD
O
q
B
F
B
3.列出平衡方程：
F
D
F F
x y
0， 0，
FB F cos q FD cos 0 FD sin F sin q 0
构的一部分。司机踩到制
F
A
q
动蹬上的力F=212 N，方向 与水平面成q = 45角。当 平衡时，DA铅直，BC水平，
24cm
试求拉杆BC所受的力。已 知EA=24 cm， DE=6 cm点 E在铅直线DA上 ，又B ，
B O D
E
C
6cm
(a)
C ，D都是光滑铰链，机构
的自重不计。
21
静力学
F FB
O
P
B
A
FB
(b)
q
FB sin q F FA FB cos q P
解得
FA
FA F
P
F FB 10 kN, sin q
FA P FB cos q 11.34 kN
(c) 14
静力学
例题 1-3
平面汇交力系与平面力偶系
2. 碾子能越过障碍的力学条 件是 FA=0， 得封闭力三角形abc。
q
B
A
h
13
静力学
例题 1-3
平面汇交力系与平面力偶系
解：
R
1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。 各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条 件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
平面汇交力系与平面力偶系
解:
用解析法求解
y
A
1.取制动蹬ABD作为研究对象。 2.画出受力图，并由力的可传 性化为共点力系。
x
FD
O
q
B
F
B
3.列出平衡方程：
F
D
F F
x y
0， 0，
FB F cos q FD cos 0 FD sin F sin q 0
构的一部分。司机踩到制
F
A
q
动蹬上的力F=212 N，方向 与水平面成q = 45角。当 平衡时，DA铅直，BC水平，
24cm
试求拉杆BC所受的力。已 知EA=24 cm， DE=6 cm点 E在铅直线DA上 ，又B ，
B O D
E
C
6cm
(a)
C ，D都是光滑铰链，机构
的自重不计。
21
静力学
F FB
O
P
B
A
FB
(b)
q
FB sin q F FA FB cos q P
解得
FA
FA F
P
F FB 10 kN, sin q
FA P FB cos q 11.34 kN
(c) 14
静力学
例题 1-3
平面汇交力系与平面力偶系
2. 碾子能越过障碍的力学条 件是 FA=0， 得封闭力三角形abc。
q
B
A
h
13
静力学
例题 1-3
平面汇交力系与平面力偶系
解：
R
1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。 各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条 件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
《重庆大学理论力学》课件
刚体动力学
刚体的转动惯量
转动惯量的定义
转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，等于刚 体质量与质心到旋转轴距离平方的乘积。
转动惯量的计算
根据刚体的质量和质心位置，可以计算出刚体的转动 惯量。
转动惯量的性质
转动惯量是定值，与刚体的转速和角速度无关，只与 刚体的质量和质心位置有关。
刚体的运动方程
刚体的运动方程
动量、角动量、动能的定理
总结词
阐述了动量、角动量和动能定理的基本 概念和原理，以及它们在力学中的重要 应用。
VS
详细描述
介绍了动量定理、角动量定理和动能定理 的基本思想和应用。动量定理说明了力的 作用与物体动量的变化之间的关系，角动 量定理则描述了力矩的作用与物体角动量 的变化之间的关系。动能定理则揭示了能 量守恒的原理，即一个系统在力的作用下 运动时，其动能的变化等于外力所做的功 。
边值问题的求解方法
边值问题通常采用有限元法、有限差分法等数值方法进行求解。
06
专题研究
非线性力学
非线性力学概述
非线性力学是理论力学的一个重要分支，主要研究非线性现象的规律 和性质。
非线性振动的特点
非线性振动具有多种复杂的运动形式，如混沌、分岔等，其运动状态 与初始条件和外部激励密切相关。
非线性模型的建立
稳定性的定义
一个动力学系统在受到外部干扰时，能够保 持其原有状态或恢复到原有状态的能力。
稳定性的分类
根据不同的分类标准，稳定性可以分为线性稳定性 和非线性稳定性、局部稳定性和全局稳定性等类型 。
稳定性分析的方法
通过分析系统的平衡点、线性化、能量等特 性，研究其稳定性，为实际应用提供理论支 持。
04
动力学系统的运动方程
刚体的转动惯量
转动惯量的定义
转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，等于刚 体质量与质心到旋转轴距离平方的乘积。
转动惯量的计算
根据刚体的质量和质心位置，可以计算出刚体的转动 惯量。
转动惯量的性质
转动惯量是定值，与刚体的转速和角速度无关，只与 刚体的质量和质心位置有关。
刚体的运动方程
刚体的运动方程
动量、角动量、动能的定理
总结词
阐述了动量、角动量和动能定理的基本 概念和原理，以及它们在力学中的重要 应用。
VS
详细描述
介绍了动量定理、角动量定理和动能定理 的基本思想和应用。动量定理说明了力的 作用与物体动量的变化之间的关系，角动 量定理则描述了力矩的作用与物体角动量 的变化之间的关系。动能定理则揭示了能 量守恒的原理，即一个系统在力的作用下 运动时，其动能的变化等于外力所做的功 。
边值问题的求解方法
边值问题通常采用有限元法、有限差分法等数值方法进行求解。
06
专题研究
非线性力学
非线性力学概述
非线性力学是理论力学的一个重要分支，主要研究非线性现象的规律 和性质。
非线性振动的特点
非线性振动具有多种复杂的运动形式，如混沌、分岔等，其运动状态 与初始条件和外部激励密切相关。
非线性模型的建立
稳定性的定义
一个动力学系统在受到外部干扰时，能够保 持其原有状态或恢复到原有状态的能力。
稳定性的分类
根据不同的分类标准，稳定性可以分为线性稳定性 和非线性稳定性、局部稳定性和全局稳定性等类型 。
稳定性分析的方法
通过分析系统的平衡点、线性化、能量等特 性，研究其稳定性，为实际应用提供理论支 持。
04
动力学系统的运动方程
14.4机械能守恒(重庆大学理论力学课件)
k=3.35×106N/m
因dmax应大于dst，因此上式应取正号。
钢索的最大张力为
Fmax k max k st (1
v mg (1 g k ) m
v2 ) g st
v＝0.5m/s， m=250kg
k=3.35×106N/m
代入数据，解得Fmax＝16.9kN
由此可见，当鼓轮被突然卡住后，钢索的张力增大了5.9倍。
设质点系在运动过程的初始与终了瞬时的动能分别为 T1和T2，所受力在这过程中所作的功为W12,根据动能定理 有
T1 T2＝W1， 2
如系统运动中，只有有势力作功，而有势力的功可用 势能计算，即
T1 T2＝W1， V1 V2 2
移项后得
T1 V1 T2 V2
T1 V1 T2 V2
应用机械能守恒定律，有
k 2 1 k 2 2 0 2 m1 gs (2m1 m2 )v0 1 2 4 2
考虑到λ1=λs ， λ2=λs+s， m1g = kλs ，将上式整 理后得
A
O
v0 s v2= 0
k
k 2 1 2 s (2m1 m2 )v0 2 4
从而求得物块 A的最大下降距离
1 1
其中 U 1 和 U 2 分别表示势函数在 M 1 和 M 2位置时的值。 式(14-24)表明：质点在势力场中运动时，有势力的功等 于质点在其运动的始末位置的势函数值之差。
4、势函数与势力的关系
将式(14-4)和(14-23)比较，
W Fx dx Fy dy Fz dz (14.4)
则质点系各质点的z坐标为z1， z2 ，…， zn时的势能为
V=Σmig(zi-zi0)
理论力学第一章PPT课件
一般不必分析销钉受力，当要分 析时，必须把销钉单独取出．
-
36
（3） 固定铰链支座
约束特点： 由上面构件1或2 之一与地面或机架固定而成． 约束力：与圆柱铰链相同
以上三种约束（径向轴承、光滑圆柱铰链、固定铰链支 座）其约束特性相同，均为轴与孔的配合问题，都可称作 光滑圆柱铰链．
-
37
固定铰链支座
（3）光滑铰链——FAy , FAx
（4）滚动支座—— F⊥N 光滑面
球铰链——空间三正交分力
止推轴承——空间三正交分力
-
45
§1-3 物体的受力分析和受力图 力学模型与力学简图
物体的受力分析和受力图
在受力图上应画出所有力，主动力和约束力（被动力） 画受力图步骤： 1.取所要研究物体为研究对象（分离体），画出其简图
-
15
推理2 三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作 用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力 的作用线通过汇交点。
-
16
注意： 三力平衡不一定汇交
特例
F
2F
F
杆称
-
17
公理4 作用和反作用定律
作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、 反向、共线，作用在相互作用的两个物体上．
绪
论
-
1
一、理论力学的研究对象和内容
1、研究对象 是研究物体机械运动一般规律的科学
机械运动是指物体在空间的位置随时间的改变
平衡 指物体相对于地面保持静止或匀速直线运
动的状态，平衡是机械运动的一种特殊形式。
-
2
2、理论力学的研究内容:
静力学
运动学
动力学
14.2例题曲柄滑道(重庆大学理论力学课件)
F
x
0 : F cos mg sin 0
I
即: ma cos mg sin 0 tan a / g
求得的θ即为水面相对于水箱平衡平衡时的倾角。
y
θ
a
θ θ
FI FN
mg
x
ma cos mg sin 0 tan a / g
例3 如图所示，机车沿水平直线轨道以匀加速 度 a 行驶，求水箱中水面的倾斜角θ。 解： （1）取水的自由表面
y
θ
上质量为m的某一水分
子为研究对象。 （2）受力分析： 水分子的重力mg， 其它水分子给该水分子
a
θ θ
FI FN
mg
x
的约束反力FN，虚加的惯性力FI， FI＝－ma
（3）列平衡方程：
XC
R CQ YC 2 r B P A RB W I RA
I
I MC
C
1
I MB
列平衡方程，求解
M
C
F 0:
B
I I I I F R M C M B P RB W RA r 0
1 a a 2 F 1 W P P 12 Q 2 2 2 g 2 gr
aE ' aE 2a
aE ' 2a a C R 2r r
例6续1
虚加惯性力
I RA
a aB a B C r
F
W Q 2a I a M C J C C 2 g g r P P I I RB aB a M B J B B P 12 a g g g r
y T2 T1 1
重庆大学版理论力学第一章
都被固定在支承不动的平面上，而销子成为轴是 被约束的物体的一种约束，因此，其约束反力的 特性与光滑圆柱形铰链约束的约束反力类似。
4）可动铰支座。 FN
5）链杆约束。
FN 的实际方向也可以向下
FN
6）球形铰链支座约束和止推轴承。
Fz Fy
Fz Fy
Fx
Fx
1.4 受力分析和受力图 1.4.1 受力分析
（1）始终保持在一条直线上。 （2）任意相同时间间隔的改变量相同。
1.1.2 力的概念
定义：力是物体（刚体）间的相互机械作用的抽象表 示。
作用（相互）形式：直接接触作用、非直接接触作用。 作用（相互）效果：
物体的大小、形状和空间位置的改变----内效应
刚体的空间位置的改变----外效应
力的三要素（Three elements of force） ：
解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择 研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公理 分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。
作用在物体上的力有：一类是主动力,如重力,风力,气体 压力等。 一类是被动力，即约束反力。
1.4.2 受力图（Free body diagram） 画物体受力图主要步骤为：(1)选研究对象；(2)取分离体；
FND
A
FAx
FAy
F1
B
C
FNB
F2
D
FND
由三力平衡汇交定理可得F2与 FND汇交于一点O，C与O 点连线便可以确定C点得力的作用线 。因此，梁CD的受力也 可画为如下形式。
F1
F2
A
B
C
D
45
C
FC
O
F2
4）可动铰支座。 FN
5）链杆约束。
FN 的实际方向也可以向下
FN
6）球形铰链支座约束和止推轴承。
Fz Fy
Fz Fy
Fx
Fx
1.4 受力分析和受力图 1.4.1 受力分析
（1）始终保持在一条直线上。 （2）任意相同时间间隔的改变量相同。
1.1.2 力的概念
定义：力是物体（刚体）间的相互机械作用的抽象表 示。
作用（相互）形式：直接接触作用、非直接接触作用。 作用（相互）效果：
物体的大小、形状和空间位置的改变----内效应
刚体的空间位置的改变----外效应
力的三要素（Three elements of force） ：
解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择 研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公理 分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。
作用在物体上的力有：一类是主动力,如重力,风力,气体 压力等。 一类是被动力，即约束反力。
1.4.2 受力图（Free body diagram） 画物体受力图主要步骤为：(1)选研究对象；(2)取分离体；
FND
A
FAx
FAy
F1
B
C
FNB
F2
D
FND
由三力平衡汇交定理可得F2与 FND汇交于一点O，C与O 点连线便可以确定C点得力的作用线 。因此，梁CD的受力也 可画为如下形式。
F1
F2
A
B
C
D
45
C
FC
O
F2
15动静法(1)(重庆大学理论力学课件)
根据质点的达朗伯原理， 对于每一个质点有
Fi Fi Fi 0
A N I
（i＝1，2，… ，n）
Fi Fi Fi 0
A N I
上式表明，质点系中每个质点上真实的主动力、约束力和它的
惯性力形式上组成平衡力系。这称为质点系的达朗伯原理。
2、质点系的达朗伯原理
对于由个质点组成的空间一般质点系，由静力学知，空间 一般力系平衡时应满足力系的主矢量和对任一点的主矩分别 等于零的条件，即
惯性力的大小等于质量乘以加速度，方向与加速 度相反，作用在使此物体产生加速度的其它物体上。 惯性力在工程实际中意义
当物体质量很大或运动的加速度很大时，惯性力
会达到相当大的数值，将引起物体的破坏。如高速转
动的物体的惯性力能达到很大值，在这些物体进行强
度计算或校核时，必须给予充分的考虑。
例如图示航空燃气涡轮叶片，每个叶片的质量不过 0.1kg，但叶轮转速很高，如n≈10000r/min，法向惯性力 （离心力）的数值
1800g n 2 D
这样才能保证混凝土浆或钢水
FI ω
F FN
mg
紧贴转筒内壁被压紧成形。
二、质点系的达朗伯原理
1、推导：设非自由质点系由个质点组成，质点间有约束， 其中任一质点Mi的质量为mi，加速度为ai，作用于质点上 的力有主动力FiA和约束力FiN ， 则有
mi ai Fi A Fi N
7、举例
例1 设飞球调速器的主轴O1y1以匀角速w转动，试求调速器
两臂的张角a。设重锤C的质量为m，飞球的质量各为m1，各 杆长均为l，杆重可以忽略不计，如图所示。
解：当调速器稳定运转时，飞 球在水平面内作匀速圆周运动，因 此惯性力（即离心力） FI 垂直并 通过主轴，其大小为
Fi Fi Fi 0
A N I
（i＝1，2，… ，n）
Fi Fi Fi 0
A N I
上式表明，质点系中每个质点上真实的主动力、约束力和它的
惯性力形式上组成平衡力系。这称为质点系的达朗伯原理。
2、质点系的达朗伯原理
对于由个质点组成的空间一般质点系，由静力学知，空间 一般力系平衡时应满足力系的主矢量和对任一点的主矩分别 等于零的条件，即
惯性力的大小等于质量乘以加速度，方向与加速 度相反，作用在使此物体产生加速度的其它物体上。 惯性力在工程实际中意义
当物体质量很大或运动的加速度很大时，惯性力
会达到相当大的数值，将引起物体的破坏。如高速转
动的物体的惯性力能达到很大值，在这些物体进行强
度计算或校核时，必须给予充分的考虑。
例如图示航空燃气涡轮叶片，每个叶片的质量不过 0.1kg，但叶轮转速很高，如n≈10000r/min，法向惯性力 （离心力）的数值
1800g n 2 D
这样才能保证混凝土浆或钢水
FI ω
F FN
mg
紧贴转筒内壁被压紧成形。
二、质点系的达朗伯原理
1、推导：设非自由质点系由个质点组成，质点间有约束， 其中任一质点Mi的质量为mi，加速度为ai，作用于质点上 的力有主动力FiA和约束力FiN ， 则有
mi ai Fi A Fi N
7、举例
例1 设飞球调速器的主轴O1y1以匀角速w转动，试求调速器
两臂的张角a。设重锤C的质量为m，飞球的质量各为m1，各 杆长均为l，杆重可以忽略不计，如图所示。
解：当调速器稳定运转时，飞 球在水平面内作匀速圆周运动，因 此惯性力（即离心力） FI 垂直并 通过主轴，其大小为
13.5相对于质心的动量矩(重庆大学土木理论力学课件)解析
当他离开跳板时，他的四肢伸直，其转动惯量较大。
当他在空中时，把身体卷缩起来，使转动惯量变小， 于是得到较大的角速度，可以在空中多翻几个跟斗。
这种增大角速度的办法，常应用在花样滑冰、芭蕾舞，
体操表演和杂技表演中。
§13.6
刚体的平面运动动微分方程
对于一般运动的质点系，各质点的运动可分解为随同
其质心一起的牵连运动和相对于固连在质心的平动坐标系
第二式投影到过质心C且与图平面垂直的z′轴上，得
d 2 xC m 2 Fx (e) dt d 2 yC m 2 Fy (e) dt d 2 J C 2 J C M C (F (e) ) dt
设刚体绕z′轴转动的角速度为w，与计算定轴转动刚体对 转动轴的动量矩相似，可以得到刚体对z′轴的动量矩等 于 Lz′ =Jz′w 其中Jz′是刚体对zC轴的转动惯量。于是，式（13.24）最后
dLxc M xc ( Fi e ) dt dLyc M yc ( Fi e ) dt dLzc M zc ( Fi e ) dt
dLC／dt= MC （13.22）
（13.23）
其中 LxC、LyC、LzC是质点系对于轴xC、yC、zC的动量矩 这几个方程表明：质点系对于随同质心平动的任一轴的动量 矩对于时间的变化率，等于作用于质点系上所有外力对同一 轴的矩的代数和。
其中：
m mi
为整个质点系的质量。
L0 rc mvc ( mi ri) vc rc mi vri ri mi vri
由质心运动定理可知
∑miri′=mrC′ ，Σmivri=mvrC
因为质心是动坐标系原点， 所以rC′=0，vrC=0，从而
L0 rc mvc ri mi vri
13.2转动惯量(重庆大学土木理论力学课件)解析
3、性质
转动惯量的性质与刚体的质量以及质量相对于转动
轴的分布状况有关。
4、单位：kg·m2；kg·cm2
若单位制不同，则Jz的单位不同， 为了避免不同的单位制引起错误， 也为了便于记忆，将 Jz /m，就变 成只与长度有关的量（而各单位制
z
zi
xi x
mi
yi y
中长度都是基本量）因此就可统一 表示。
J z' mi[xi2 ( yi d )2 ]
mi (xi2 yi2) ( mi )d 2 2d mi yi
mi m , mi yi myC 0
J z' J zC md 2
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。
推论： J z J zC md 2
m
对于均质物体，其密度r为常量，如以V表示物体 的体积，则有，
Jz
r 2dV
V
m V
r 2dV
V
7、常见情形
①均质等截面细直杆对于通过中点且与杆垂直的y轴的转动惯 量。
Jz
m V
r2dV m
V
Al
r2 Adr
V
m 0.5l r2dr 1 ml2
l 0.5l
由式（13-5）可知，在所有相互平行的轴中，物 体对于通过其质心的轴的转动惯量为最小。
例如，均质等截面细 直杆对于通过杆端且 与杆垂直的z′轴的 转动惯量为：
J z
J zC
md 2
1 12
ml 2
m( l )2 2
1 3
ml 2
z 0.577l
3、其他方法
重庆大学理论力学
不致下滑（支架自重不计）。
解: （1）解析法
取支架为研究对象,受力分析如图。
平衡方程为
Fx 0, FNA FNB 0
F
Fy 0, FA FB F 0
C
MO(F) 0 ,
d
x
hFNA 2 (FA FB ) xF 0 14
静力学
第五章 摩擦
例题5-3
即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有Fs=F，因此静
摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不
能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为 最大静摩擦力，此时物体 处于平衡的临界状态。当主动力
F大于Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即
0 Fs Fmax
(a)
(b)
4
静力学
补充方程
FA fs FNA , FB fs FNB
联立求解得
FNA FNB 2F,
x 40 cm
（2）几何法
支架受力分析如图所示。
由几何关系得
h h1 h2
(x
d 2
)
tan
jf
(x
d 2
)
tan
jf
解得 x h 40 cm
2 tan jf
由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全 约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交 定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。
Fx 0, F FA FB 0
F
C
P
A
FA
FB x
B
Fy 0, FNA FNB P 0
补充方程
FA fs FNA , FB fs FNB
解: （1）解析法
取支架为研究对象,受力分析如图。
平衡方程为
Fx 0, FNA FNB 0
F
Fy 0, FA FB F 0
C
MO(F) 0 ,
d
x
hFNA 2 (FA FB ) xF 0 14
静力学
第五章 摩擦
例题5-3
即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有Fs=F，因此静
摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不
能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为 最大静摩擦力，此时物体 处于平衡的临界状态。当主动力
F大于Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即
0 Fs Fmax
(a)
(b)
4
静力学
补充方程
FA fs FNA , FB fs FNB
联立求解得
FNA FNB 2F,
x 40 cm
（2）几何法
支架受力分析如图所示。
由几何关系得
h h1 h2
(x
d 2
)
tan
jf
(x
d 2
)
tan
jf
解得 x h 40 cm
2 tan jf
由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全 约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交 定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。
Fx 0, F FA FB 0
F
C
P
A
FA
FB x
B
Fy 0, FNA FNB P 0
补充方程
FA fs FNA , FB fs FNB
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MO (FR ) MO (Fi )
⑶ 平衡
当 FRˊ= 0，MO = 0
则原力系平衡。
13
静力学
第三章 平面任意力系
例题3-1 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个
力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以 上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的
F4
FRy Fy
C 30° x F1 F2 sin 60 F4 sin 30
0.768 kN
2m
所以，主矢的大小
FR FRx2 FRy2 0.794 kN
15
静力学
第三章 平面任意力系
例题3-1
主矢的方向：
y
cosFR
,i
FRx FR
0.614,
10
静力学
第三章 平面任意力系
4.平面任意力系的简化结果分析
简化结果可有四种情况：（1）FRˊ= 0，MO≠ 0； （2）FRˊ≠ 0， MO= 0；（3）FRˊ≠ 0， MO≠ 0；（4） FRˊ=0，MO=0。对以上进一步分析有以下三种情形。
（1）简化为一个力偶
当 FR= 0，MO≠ 0 则原力系合成为合力偶，其矩为
静力学
第三章 平面任意力系
2．平面任意力系向作用面内一点简化 • 主矢与主矩
设刚体上有一平面任意力系F1，F2，…，Fn，如图（a）。应 用力线平移定理，得一作用在点O的汇交力系F1′，F2′，…， Fn′以及相应的附加平面力偶系M1，M2，…，Mn，如图（b）。再 将平面汇交力系进一步合成过点O的一个力FRˊ，如图（c）,即
方向余弦
cos(FR , i)
Fx , FR
cos(FR , j)
Fy FR
n
n
主矩 M O M O (Fi ) (xi Fyi yi Fxi )
i 1
i 1
8
静力学
第三章 平面任意力系
3．固定端约束及其约束力 在工程实际中，有一种约束称固定端（或插入端）
n
n
FR Fi Fi
i 1
i 1
(c) 6
静力学
第三章 平面任意力系
平面力偶系进一步合成为对点O的一个力偶MO，即
n
n
MO Mi MO (Fi )
i1
i1
FRˊ是平面汇交力系的合力，它的大小和方向称为原力系的 主矢。MO为平面力偶系的合力偶，但它是原力系的主矩。主 矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指
1
静力学
第三章 平面任意力系
第三章 平面任意力系
若所有力的作用线都在同一平面 内，且它们既不相交于一点，又不平 行，此力系称为平面任意力系，简称 平面力系。本章将研究该力系的简化 与平衡问题，这是静力学的重点之一。 本章还介绍平面简单桁架的内力计算。
2
静力学
第三章 平面任意力系
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
明力系是对于哪一点的主矩。
结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化。 可得一个作用线通过简化中心的与主矢相等的力和 一个相对于简化中心的主矩。该主矩等于原力系对 简化中心的矩。它们的解析表达式为
7
静力学
第三章 平面任意力系
FR FRx FRy Fxi Fy j
大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2
支座，如电线杆的支座，阳台的支座等约束，使被约束物 体既不能移动也不能转动。其力学模型如下图所示。
9
静力学
第三章 平面任意力系
约束给约束物体的约束力实际上是一个分布力，在平面 问题中，它是一个平面任意力系，如图（a）所示。
无论它们是如何分布，根据 力系简化理论，可将它们向 A点简化得一力FA及一力MA， 如图（b）所示，也可表示 成两个分力FAx，FAy的形式， 如图（c），共有三个未知 数。
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
n
M O M O (Fi ) i 1
此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即
n
M M O M O (Fi )
i 1
11
静力学
第三章 平面任意力系
⑵ 简化为一个合力 当 FRˊ≠ 0， MO = 0
则原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心O，即
FR = FRˊ 当 FRˊ≠ 0，MO≠ 0
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
要研究一个力系的平衡，首先要研究它的简化。 力系简化的理论基础是力线平移定理。
1．力线平移定理
作用在刚体上点A的力F 可以平行移动（简称 平移）到任一点O上，但必须同时附加一个力偶， 此附加力偶的矩等于原来力F 对新作用点B的矩。
3
静力学
第三章 平面任意力系
请看动画
4
静力学
第三章 平面任意力系
5
最后合成结果。
y
F2
A 60°
B
F3
2m
F1
O
3m
F4 C 30° x
14
静力学
第三章 平面任意力系
例题3-1 解： 求向O点简化结果
y
F2
A 60°
F1
O
3m
1.求主矢 FR 。建立如图坐标系Oxy。
FRx Fx
B
F3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
0.598 kN
成结果是一个合力FR。如右图所示。
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
16
静力学
第三章 平面任意力系
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即 FR = FRˊ
但合力作用线不通过简化中心O，而到点O的距离d为
d MO FR
12
静力学
第三章 平面任意力系
至于作用线在点O 哪一侧，需根据主矢方向和主矩转 向确定。如下图所示
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力 系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点 的矩的代数和。即