高等数学基础课课件第3讲_无穷小量(续)

[例]
f ( x ) x sinx,
x
问题：
两个无穷小量的商是否为无穷小量？
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二、无穷小量的比较 定义：
设在自变量的同一变化 过程中, f ( x )与g ( x )都是无穷小 . f ( x) (1) 若 l i m A 0, 则称当x 时, x g ( x ) f ( x )与g ( x )是同阶无穷小; f ( x) 特别, 当 l i m 1 时, 称当 x 时, x g ( x ) f ( x )与g ( x )是等价无穷小 . 记作 f ( x) ~ g( x) ( x ) 2015-1-31 4
三、求极限举例 2 x 4 [例1] lim 2 ? x2 2 x 3 x 2
x 4 ( x 2)( x 2) [解] lim 2 lim x2 2 x 3 x 2 x 2 ( 2 x 1)( x 2) ( x 2) 4 lim x 2 ( 2 x 1) 5 2 2 当x 2时, ( x 4)与( 2 x 3 x 2)是 4 2 2 同阶无穷小 ; ( x 4) ~ ( 2 x 3 x 2 ) 5
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数
一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义
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一、三个重要关系
1.（无穷小与无穷大） 若在自变量的某一个变 化过程中 , f ( x ) 是无穷大, 则在这个变化过程中 , 1 是无穷小. f ( x)
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符号 “o”与 “O” f ( x) (1) 若 lim 0, 则记 x x0 g ( x)
*
f ( x) o( g ( x))
( 2) 若 M 0, 使当x N ( x0 )时, 有 f ( x) M g( x) 则记成 f ( x ) O ( g ( x ))
[例] 当x 0时, si n x ~ x si n x x ( x )
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当 x 1时, si n x x , 误差是 ( x )
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性质2： 若当x 时, f ( x ), g ( x ), f1 ( x ), g1 ( x ) 均为无穷小 , 且有f ( x ) ~ f1 ( x ), f1 ( x ) g ( x ) ~ g1 ( x ), l i m 存在， x g ( x ) 1
则有 f ( x) f1 ( x ) lim lim x g( x ) x g ( x ) 1
f ( x) f ( x) f1 ( x ) g1 ( x ) lim lim lim lim x g( x ) x f ( x ) x g ( x ) x g( x ) 1 1 f ( x) f1 ( x ) lim lim 等价代换 x 0 g( x ) x 0 g ( x ) 1 2015-1-31 9
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( x x0 ). f ( x) 若 lim A, 则有 x x0 g ( x )
f ( x ) O( g( x ))
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几个常用的等价无穷小量
( x 0)
sinx ~ x arcsinx ~ x e 1 ~ x
x
tan x ~ x arctanx ~ x a 1 ~ x lna
f ( x) ( 2) 若 lim 0, 则称当x 时, x g ( x ) f ( x )与g( x )相比是高阶无穷小. 记作 f ( x ) ( g( x )) ( x ).
f ( x) ( 3)若 lim A 0, 则称当x 时, k x a [ g ( x )] f ( x )与g( x )相比是k阶无穷小.
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1 2 1 cos x ~ x (等价 ) 2 1 cos x ( x ) (高阶 )
1 cos x 是x 的 2 阶无穷小量
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tan x sin x [例3] lim ? 3 x 0 sin x
tan x sin x [解] lim 3 x 0 sin x 1 cos x 1 cos x 1 lim lim 2 x 0 sin 2 x x 0 sin x cos x
x
ln(1 x ) ~ x
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1 1 x 1 ~ x 2
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等价无穷小量的性质
性质1： 设当x 时, f ( x ), g( x )均为
无穷小, 则 f ( x ) ~ g( x ) f ( x ) g( x ) ( f ( x )) 或f ( x ) g( x ) ( g( x ))
x x si n sin 1 1 2 2 lim x lim x x 0 2 x 0 2 2 2
x 2 2 x 2 2
Hale Waihona Puke Baidu
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1 cos x 1 cos x 1 lim lim 1 2 1 2 x 0 x 0 x 2 2 x
1 cos x O( x ) (同阶 )
2.（极限与无穷小） l i m f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
x
其中 ( x ) 是当 x 时的无穷小.
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3.无穷大与无界函数
若在自变量的某一个变 化过程中 , f ( x) 是无穷大, 则f ( x )无界。反之不一定。
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1 cos x [例2] l i m ? 2 x 0 x
2 sin 1 cos x [解] lim lim 2 x 0 x 0 x x
x 2 2
2 x 2 2
2(si n ) (sin ) 1 lim x 2 lim x 0 ( ) 4 x 0 2 ( ) 2