高中数学必修4综合测试题含答案
高中数学必修4测试题及答案资料讲解.docx
高中数学必修 4 测试试题第Ⅰ卷(选择题共 60 分)一、选择题:本答题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.-300°化为弧度是()4B.5C.2D.5 A.33362.为得到函数y sin(2x) 的图象,只需将函数y sin( 2x) 的图像()36A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度44C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度223.函数y sin(2 x) 图像的对称轴方程可能是()3A.x B.x12C.x6D.x.w.w.k.s.5.u.c.o612 4.若实数 x 满足㏒2x =2+sin, 则 x 1 x10()A. 2x-9B. 9-2xC.11D. 95. 点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点,则y值为 () xA. 3B. -3C.3D. -333 6. 函数y sin(2x) 的单调递增区间是()3A.k, k 5Z B.2k,2k5k Z k12121212C.k,k 5Z D.2k,2k5k Z k66667.sin(-10π )的值等于() A .1B.-1C.3D.-3 322228.在△ ABC 中,若sin( A B C ) sin( A B C ) ,则△ABC必是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角9. 函数 y sin x sin x 的值域是()A.0B.1,1C.0,1D.2,010. 函数 y sin x sin x 的值域是()A.1,1B.0,2C.2,2D.2,011.函数y sin x tan x 的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数12.比较大小,正确的是()A .sin(5)sin 3sin 5B.sin( 5)sin 3sin 5C.sin3sin( 5)sin 5D.sin 3sin( 5)sin 5第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)二、填空题(每小题 6 分,共 30 分)13.终边在坐标轴上的角的集合为 _________.14.时针走过 1 小时 50 分钟,则分钟转过的角度是______.15.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,则这个扇形的圆心角是________________.16. 已知角的终边经过点P(-5,12),则sin+2cos的值为______.17.一个扇形的周长是 6 厘米,该扇形的中心角是1 弧度,该扇形的面积是________________.三、解答题:本大题共 4 小题,共 60分。
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分,满分150分,时间120 分钟。
第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题 5分,共60分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 )n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos (a+ ®= — 5,贝V sin ()B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 [答案]Cn 3 4[解析]•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0,则在(0,2 内)B 的取值范围是()3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才,n j, • sin 3> 0,故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin [( a+ a[点评](1)可用排除法求解,T=器53 245 = 25;A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4[答案]B[解析]2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0,即sin e>2或sin < —"2,又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象,可由函数y= sin2x —cos2x的图象()A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到[答案]C[解析]y= sin2x+ cos2x= , 2sin(2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移:个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中,值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
2019—2020年最新人教A版高中数学必修四第1单元综合测试含答案.doc
单元综合测试一时间:120分钟 分值:150分第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.若角600°的终边上有一点(-4,a),则a 的值是( ) A .-4 3B .±4 3 C.3D .43解析:因为tan600°=a-4=tan(540°+60°)=tan60° =3,故a =-43.答案:A2.已知cos(π2+φ)=32,且|φ|<π2,则tan φ=( )A .-33B.33 C .-3D.3解析:由cos(π2+φ)=32,得sin φ=-32,又|φ|<π2,∴cos φ=12,∴tan φ=-3.答案:C3.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x =π3对称的是( )A .y =sin(2x +π6)B .y =sin(x2+π6)C .y =sin(2x -π6)D .y =sin(2x -π3)解析:∵最小正周期为π,∴ω=2,又图象关于直线x =π3对称,∴f(π3)=±1,故只有C 符合. 答案:C4.若2k π+π<θ<2k π+5π4(k ∈Z),则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )A .sin θ<cos θ<tan θB .cos θ<tan θ<sin θC .cos θ<sin θ<tan θD .sin θ<tan θ<cos θ解析:设π<α<54π,则有sin θ=sin α,cos θ=cos α,tan θ=tan α, ∵tan α>0,而sin α<0,cos α<0,∴B 、D 排除,又∵cos α<-22<sin α,即cos α<sin α,排除A.选C.答案:C5.已知A 是三角形的内角,且sinA +cosA =52,则tanA 等于( )A .4+15B .4-15C .4±15D .以上均不正确解析:因为sinA +cosA =52,所以2sinAcosA =14>0.所以A 为锐角.又(sinA -cosA)2=1-2sinAcosA =1-14=34,所以sinA -cosA=±32.从而可求出sinA ,cosA 的值,从而求出tanA =4±15.答案:C6.函数y =2sin(π6-2x)(x ∈[0,π])的单调递增区间是( )A .[0,π3]B .[π12,7π12]C .[π3,5π6]D .[5π6,π]解析:由π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π可得π3+k π≤x ≤5π6+k π(k ∈Z).∵x ∈[0,π],∴单调递增区间为[π3,5π6].答案:C7.为得到函数y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3的图象,只需将函数y =sinx 的图象( )A .向左平移π6个单位长度B .向右平移π6个单位长度C .向左平移5π6个单位长度D .向右平移5π6个单位长度解析:∵y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+π2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +5π6,∴只需将y =sinx 的图象向左平移5π6个单位长度.答案:C8.已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则函数f(x)的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-7π12,5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-7π12,-π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12,17π12 解析:由图形可得14T =23π-512π,∴T =π,则ω=2,又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π,2.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π+φ=2,∴φ=-π3,∴f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3,其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π12,k π+512π(k ∈Z),取k =1,即得选项D. 答案:D9.设a 为常数,且a>1,0≤x ≤2π,则函数f(x)=cos 2x +2asinx -1的最大值为( )A .2a +1B .2a -1C .-2a -1D .a 2解析:f(x)=cos 2x +2asinx -1=1-sin 2x +2asinx -1 =-(sinx -a)2+a 2, ∵0≤x ≤2π,∴-1≤sinx ≤1,又a>1,∴f(x)max =-(1-a)2+a 2=2a -1. 答案:B 10.函数y =cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,A ,B 分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为22,则该函数图象的一条对称轴方程为( )A .x =2πB .x =π2C .x =1D .x =2解析:函数y =cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1,最小值为-1,所以周期T =2222-22=4,所以ω=π2,又函数为奇函数,所以cos φ=0(0<φ<π)⇒φ=π2,所以函数解析式为y =cos(π2x +π2)=-sin π2x ,所以直线x =1为该函数图象的一条对称轴.答案:C11.中国最高的摩天轮是“南昌之星”,它的最高点离地面160米,直径为156米,并以每30分钟一周的速度匀速旋转,若从最低点开始计时,则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )A .41米B .43米C .78米D .118米解析:摩天轮转轴离地面高160-⎝ ⎛⎭⎪⎫1562=82(米),ω=2πT =π15,摩天轮上某个点P 离地面的高度h 米与时间t 的函数关系是h =82-78cos π15t ,当摩天轮运行5分钟时,其离地面高度为h =82-78cosπ15t =82-78×12=43(米).答案:B12.设ω>0,函数y =sin(ωx +π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D .3解析:方法一:函数y =sin(ωx +π3)+2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y =sin[ω(x -4π3)+π3]+2=sin(ωx -4π3ω+π3)+2的图象.∵两图象重合,∴ωx +π3=ωx -4π3ω+π3+2k π,k ∈Z ,解得ω=32k ,k ∈Z.又ω>0,∴当k =1时,ω的最小值是32.方法二:由题意可知,4π3是函数y =sin(ωx +π3)+2(ω>0)的最小正周期T 的正整数倍,即4π3=kT =2k πω(k ∈N *),ω=32k ,ω的最小值为32.答案:C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是________弧度,扇形面积是________.解析:圆心角α=lr =128=32,扇形面积S =12lr =12×12×8=48.答案:324814.方程sinx =lgx 的解的个数为________.解析:画出函数y =sinx 和y =lgx 的图象(图略),结合图象易知这两个函数的图象有3个交点.答案:315.设f(x)=asin(πx +α)+bcos(πx +β),其中a ,b ,α,β为非零常数.若f(2 013)=-1,则f(2 014)=________.解析:f(2 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β) =-1,f(2 014)=asin(2 014π+α)+bcos(2 014π+β) =asin[π+(2 013π+α)]+bcos[π+(2 013π+β)]=-[asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β)]=1. 答案:116.关于函数f(x)=cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3+1有以下结论:①函数f(x)的值域是[0,2];②点⎝ ⎛⎭⎪⎫-512π,0是函数f(x)的图象的一个对称中心;③直线x =π3是函数f(x)的图象的一条对称轴;④将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,与所得图象对应的函数是偶函数.其中,所有正确结论的序号是________.解析:①∵-1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3≤1,∴0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3+1≤2;②∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-5π12=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-5π6+π3+1=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2+1=1≠0,∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫-512π,0不是函数f(x)图象的一个对称中心;③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+π3+1=cos π+1=0,函数取得最小值,∴直线x =π3是函数f(x)的图象的一条对称轴;④将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,与所得图象对应的函数解析式为g(x)=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6+π3+1=cos2x +1,此函数是偶函数.综上所述,①③④正确.答案:①③④三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin θ=45,π2<θ<π,(1)求tan θ;(2)求sin 2θ+2sin θcos θ3sin 2θ+cos 2θ的值.解:(1)∵sin 2θ+cos 2θ=1,∴cos 2θ=1-sin 2θ=925.又π2<θ<π,∴cos θ=-35. ∴tan θ=sin θcos θ=-43.(2)sin 2θ+2sin θcos θ3sin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+2tan θ3tan 2θ+1=-857.18.(12分)(1)已知cos(75°+α)=13,其中α为第三象限角,求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值;(2)已知π<θ<2π,cos(θ-9π)=-35,求tan(10π-θ)的值.解:(1)cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)] =-cos(75°+α)=-13,sin(α-105°)=-sin[180°-(75°+α)] =-sin(75°+α). ∵α为第三象限角,∴75°+α为第三或第四象限角,又cos(75°+α)=13>0,∴75°+α为第四象限角, ∴sin(75°+α)=-1-cos 275=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫132=-223,∴cos(105°-α)+sin(α-105°)=-13+223=22-13.(2)由已知得cos(θ-9π)=-35,∴cos(π-θ)=-35,∴cos θ=35,∵π<θ<2π,∴3π2<θ<2π,∴sin θ=-45,∴tan θ=-43,∴tan(10π-θ)=tan(-θ)=-tan θ=43.19.(12分)已知函数f(x)=2cos(2x -π4),x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.(2)求函数f(x)在区间[-π8,π2]上的最小值和最大值,并求出取得最值时x 的值.解:(1)因为f(x)=2cos(2x -π4),所以函数f(x)的最小正周期为T =2π2=π.由-π+2k π≤2x -π4≤2k π(k ∈Z),得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z),故函数f(x)的单调递增区间为[-3π8+k π,π8+k π](k ∈Z).(2)因为f(x)=2cos(2x -π4)在区间[-π8,π8]上为增函数,在区间[π8,π2]上为减函数,又f(-π8)=0,f(π8)=2,f(π2)=2cos(π-π4)=-2cos π4=-1,所以函数f(x)在区间[-π8,π2]上的最大值为2,此时x =π8;最小值为-1,此时x =π2.20.(12分)函数f 1(x)=Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一段图象过点(0,1),如图所示.(1)求函数f 1(x)的表达式;(2)把f 1(x)的图象向右平移π4个单位长度得到f 2(x)的图象,求f 2(x)取得最大值时x 的取值.解:(1)由图知,T =π,于是ω=2πT =2.将y =Asin2x 的图象向左平移π12,得y =Asin(2x +φ)的图象,于是φ=2×π12=π6.将(0,1)代入y =Asin(2x +π6),得A =2.故f 1(x)=2sin(2x +π6).(2)依题意,f 2(x)=2sin[2(x -π4)+π6]=-2cos(2x +π6),当2x +π6=2k π+π(k ∈Z),即x =k π+5π12(k ∈Z)时,y max =2.此时x 的取值为{x|x =k π+5π12,k ∈Z}.21.(12分)已知函数f(x)=2sin(2x +π6)-1.(1)若点P(1,-3)在角α的终边上,求f(α2-π12)的值;(2)若x ∈[-π6,π3],求f(x)的值域.解:(1)因为点P(1,-3)在角α的终边上,所以sin α=-32,cos α=12,所以f(α2-π12)=2sin[2×(α2-π12)+π6]-1=2sin α-1=2×(-32)-1=-3-1.(2)令t =2x +π6,因为x ∈[-π6,π3],所以-π6≤2x +π6≤5π6,而y =sint 在[-π6,π2]上单调递增,在[π2,5π6]上单调递减, 且sin(-π6)=-12,sin 5π6=12,所以函数y =sint 在[-π6,5π6]上的最大值为1,最小值为-12,即-12≤sin(2x +π6)≤1,所以f(x)的值域是[-2,1].22.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式;(2)根据(1)的结果,若函数y =f(kx)(k>0)的最小正周期为2π3,当x ∈[0,π3]时,方程f(kx)=m 恰有两个不同的解,求实数m 的取值范围.解:(1)设f(x)的最小正周期为T , 得T =11π6-(-π6)=2π,由T =2πω,得ω=1.又⎩⎨⎧B +A =3,B -A =-1.解得⎩⎨⎧A =2,B =1.令ω·5π6+φ=π2,即5π6+φ=π2,解得φ=-π3,∴f(x)=2sin(x -π3)+1.(2)∵函数y =f(kx)=2sin(kx -π3)+1的最小正周期为2π3,又k>0,∴k =3,令t =3x -π3,∵x ∈[0,π3],∴t ∈[-π3,2π3],若sint =s 在[-π3,2π3]上有两个不同的解,则s ∈[32,1),∴方程f(kx)=m 在x ∈[0,π3]时恰好有两个不同的解,则m ∈[3+1,3),即实数m的取值范围是[3+1,3).。
高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案
高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A组1、在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限的角:(1)-265°;(2)-1000°;(3)-843°10′;(4)3900°.答案:(1)95°,第二象限;(2)80°,第一象限;(3)236°50′,第三象限;(4)300°,第四象限.说明:能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角,并判定是第几象限角.2、写出终边在x轴上的角的集合.答案:S={α|α=k·180°,k∈Z}.说明:将终边相同的角用集合表示.3、写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-360°≤β<360°的元素β写出来:(1)60°;(2)-75°;(3)-824°30′;(4)475°;(5)90°;(6)270°;(7)180°;(8)0°.答案:(1){β|β=60°+k·360°,k∈Z},-300°,60°;(2){β|β=-75°+k·360°,k∈Z},-75°,285°;(3){β|β=-824°30′+k·360°,k∈Z},-104°30′,255°30′;(4){β|β=475°+k·360°,k∈Z},-245°,115°;(5){β|β=90°+k·360°,k∈Z},-270°,90°;(6){β|β=270°+k·360°,k∈Z},-90°,270°;(7){β|β=180°+k·360°,k∈Z},-180°,180°;(8){β|β=k·360°,k∈Z},-360°,0°.说明:用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合,并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角.4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.说明:用角度制和弧度制写出各象限角的集合.5、选择题:(1)已知α是锐角,那么2α是( ) A .第一象限角 B .第二象限角C .小于180°的正角D .第一或第二象限角 (2)已知α是第一象限角,那么2α是( )、 A .第一象限角 B .第二象限角C .第一或第二象限角D .第一或第三象限角 答案:(1)C说明:因为0°<α<90°,所以0°<2α<180°. (2)D说明:因为k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z ,所以180451802k k α︒<<︒+︒,k∈Z .当k 为奇数时,2α是第三象限角;当k 为偶数时,2α是第一象限角. 6、一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角等于1弧度吗?为什么?答案:不等于1弧度.这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度,而等于半径长的弦所对的弧比半径长.说明:了解弧度的概念. 7、把下列各角度化成弧度: (1)36°;(2)-150°;(3)1095°;(4)1440°.答案:(1)5π;(2)56π;(3)7312π-;(4)8π.说明:能进行度与弧度的换算.8、把下列各弧度化成度: (1)76π-;(2)103π-;(3)1.4;(4)23. 答案:(1)-210°;(2)-600°;(3)80.21°;(4)38.2°.说明:能进行弧度与度的换算. 9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板,使其弧AB 的长为112cm ,求圆心角∠AOB 是多少度(可用计算器,精确到1°).答案:64°说明:可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数,再将弧度换算为度,也可以直接运用角度制下的弧长公式.10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°,求这条弧所在的圆的半径(可用计算器,精确到1cm ).答案:14cm .说明:可以先将度换算为弧度,再运用弧度制下的弧长公式,也可以直接运用角度制下的弧长公式.B 组1、每人准备一把扇子,然后与本小组其他同学的对比,从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子,并用计算器算出它的面积S 1.(1)假设这把扇子是从一个圆面中剪下的,而剩余部分的面积为S 2,求S 1与S 2的比值; (2)要使S 1与S 2的比值为0.618,则扇子的圆心角应为几度(精确到10°)? 答案:(1)(略)(2)设扇子的圆心角为θ,由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-,可得θ=0.618(2π-θ),则θ=0.764π≈140°.说明:本题是一个数学实践活动.题目对“美观的扇子”并没有给出标准,目的是让学生先去体验,然后再运用所学知识发现,大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足:120.618SS =(黄金分割比)的道理.2、(1)时间经过4 h (时),时针、分针各转了多少度?各等于多少弧度?(2)有人说,钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确?请说明理由. (提示:从午夜零时算起,假设分针走了t min 会与时针重合,一天内分针和时针会重合n 次,建立t 关于n 的函数关系式,并画出其图象,然后求出每次重合的时间.)答案:(1)时针转了-120°,等于23π-弧度;分针转了-1440°,等于-8π弧度 (2)设经过t min 分针就与时针重合,n 为两针重合的次数. 因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=, 时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯,所以()230360t n πππ-=,即72011t n =. 用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象(如下页图)或表格,从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间.n u1 15. 981.82 16. 1047.3 17. 1112.7 18. 1178.2 19. 1243.6 20. 1309.1 21. 1374.5 22.1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440(min ),所以144011n ≤,于是n≤22.故时针与分针一天内只会重合22次.说明:通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念,并将问题引向深入,用函数思想进行分析.在研究时针与分针一天的重合次数时,可利用计算器或计算机,从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度,不难得到正确的结论.3、已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿,当大轮转动一周时,小轮转动的角是__________度,即__________rad .如果大轮的转速为180r/min (转/分),小轮的半径为10.5cm ,那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________.答案:864°,245π,151.2π cm. 说明:通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式.当大齿轮转动一周时,小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ,所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=. P20习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值:(1)173π-;(2)214π;(3)236π-;(4)1500°.答案:(1)1sin ,tan 22ααα===(2)sin tan 122ααα=-=-=;(3)1sin ,cos tan 2ααα===(4)1sin ,tan 2ααα=== 说明:先利用公式一变形,再根据定义求值,非特殊角的三角函数值用计算器求.2、已知角α的终边上有一点的坐标是P (3a ,4a ),其中a≠0,求sinα,cosα,tanα的三角函数值.答案:当a >0时,434sin ,cos ,tan 553ααα===;当a <0时,434sin ,cos ,tan 553ααα=-=-=-.说明:根据定义求三角函数值. 3、计算:(1)6sin (-90°)+3sin0°-8sin270°+12cos180°; (2)10cos270°+4sin0°+9tan0°+15cos360°;(3)22322costantan sin cos sin 2446663ππππππ-+-++;(4)2423sincos tan 323πππ+-. 答案:(1)-10;(2)15;(3)32-;(4)94-.说明:求特殊角的三角函数值.4、化简:(1)asin0°+bcos90°+ctan180°;(2)-p 2cos180°+q 2sin90°-2pqcos0°;(3)223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-; (4)13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---.答案:(1)0;(2)(p -q )2;(3)(a -b )2;(4)0.说明:利用特殊角的三角函数值化简.5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值. (1)4x π=;(2)34x π=. 答案:(1)-2;(2)2.说明:转化为特殊角的三角函数的求值问题. 6、确定下列三角函数值的符号:(1)sin186°; (2)tan505°; (3)sin7.6π; (4)23tan()4π-; (5)cos940°;(6)59cos()17π-. 答案:(1)负;(2)负;(3)负;(4)正;(5)负;(6)负. 说明:认识不同位置的角对应的三角函数值的符号. 7、确定下列式子的符号: (1)tan125°·sin273°;(2)tan108cos305︒︒;(3)5411sin cos tan 456πππ;(4)511cos tan 662sin 3πππ. 答案:(1)正;(2)负;(3)负;(4)正.说明:认识不同位置的角对应的三角函数值的符号. 8、求下列三角函数值(可用计算器):(1)67sin()12π-; (2)15tan()4π-;(3)cos398°13′; (4)tan766°15′. 答案:(1)0.9659;(2)1;(3)0.7857;(4)1.045.说明:可先运用公式一转化成锐角三角函数,然后再求出三角函数值. 9、求证:(1)角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ<0; (2)角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ<0; (3)角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>;(4)角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ>0. 答案:(1)先证如果角θ为第二或第三象限角,那么sinθ·tanθ<0. 当角θ为第二象限角时,sinθ>0,tanθ<0,则sinθ·tanθ<0; 当角θ为第三象限角时,sinθ<0,tanθ>0,则sinθ·tanθ<0, 所以如果角θ为第二或第三象限角,那么sinθ·tanθ<0. 再证如果sinθ·tanθ<0,那么角θ为第二或第三象限角.因为sinθ·tanθ<0,即sinθ>0且tanθ<0,或sinθ<0且tanθ>0, 当sinθ>0且tanθ<0时,角θ为第二象限角; 当sinθ<0且tanθ>0时,角θ为第三象限角,所以如果sinθ·tanθ<0,那么角θ为第二或第三象限角. 综上所述,原命题成立. (其他小题略)说明:以证明命题的形式,认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号.10、(1)已知sin α=,且α为第四象限角,求cosα,tanα的值; (2)已知5cos 13α=-,且α为第二象限角,求sinα,tanα的值; (3)已知3tan 4α=-,求sinα,cosα的值;(4)已知cosα=0.68,求sinα,tanα的值(计算结果保留两个有效数字).答案:(1)1,2 (2)1212,135-;(3)当α为第二象限角时,34sin ,cos 55αα==-, 当α为第四象限角时,34sin ,cos 55αα=-=;(4)当α为第一象限角时,sinα=0.73,tanα=1.1,当α为第四象限角时,sinα=-0.73,tanα=-1.1. 说明:要注意角α是第几象限角.11、已知1sin 3x =-,求cosx ,tanx 的值.答案:当x 为第三象限角时,cos tan x x ==当x 为第四象限角时,cos tan 34x x ==- 说明:要分别对x 是第三象限角和第四象限角进行讨论.12、已知3tan 2απαπ=<<,求cosα-sinα的值.答案:11)2说明:角α是特殊角. 13、求证: (1)2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-;(2)tan 2α-sin 2α=tan 2α·sin 2α;(3)(cosβ-1)2+sin 2β=2-2cosβ;(4)sin 4x +cos 4x=1-2sin 2xcos 2x .答案:(1)2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边; (2)222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边;(3)左边=1-2cosβ+cos 2β+sin 2β=2-2cosβ;(4)左边=(sin 2x +cos 2x )2-2sin 2x·cos 2x=1-2sin 2x·cos 2x .说明:还可以从右边变为左边,或对左右同时变形.可提倡一题多解,然后逐渐学会选择较为简单的方法.B 组1、化简(1+tan 2α)cos 2α. 答案:1说明:根据同角三角函数的基本关系,将原三角函数式转化为正余弦函数式.2α为第二象限角. 答案:-2t anα说明:先变形,再根据同角三角函数的基本关系进行化简. 3、已知tanα=2,求sin cos sin cos αααα+-的值.答案:3说明:先转化为正切函数式. 4、从本节的例7可以看出,cos 1sin 1sin cos x x x x+=-就是sin 2x +cos 2x=1的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗?答案:又如sin 4x +cos 4x=1-2sin 2x·cos 2x 也是sin 2x +cos 2x=1的一个变形;2211tan cos x x=+是sin 2x +cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形;等等. 说明:本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形.P29习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上: (1)cos210°=__________; (2)sin263°42′=__________; (3)cos()6π-=__________; (4)5sin()3π-=__________;(5)11cos()9π-=__________;(6)cos (-104°26′)=__________; (7)tan632°24′=__________; (8)17tan6π=__________. 答案:(1)-cos30°; (2)-sin83°42′ (3)cos 6π;(4)sin3π; (5)2cos 9π-;(6)-cos75°34′; (7)-tan87°36′; (8)tan6π-. 说明:利用诱导公式转化为锐角三角函数. 2、用诱导公式求下列三角函数值: (1)17cos()4π-; (2)sin (-1574°); (3)sin (-2160°52′); (4)cos (-1751°36′);(5)cos1615°8′;(6)26sin()3π-.答案:(1)2;(2)-0.7193;(3)-0.0151;(4)0.6639;(5)-0.9964;(6)-说明:先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3、化简:(1)sin(-1071°)·sin99°+sin(-171°)·sin(-261°);(2)1+sin(α-2π)·sin(π+α)-2cos2(-α).答案:(1)0;(2)-cos2α说明:先利用诱导公式转化为角α的三角函数,再进一步化简.4、求证:(1)sin(360°-α)=-sinα;(2)cos(360°-α)=cosα;(3)tan(360°-α)=-tanα.答案:(1)sin(360°-α)=sin(-α)=-sinα;(2)略;(3)略.说明:有的书也将这组恒等式列入诱导公式,但根据公式一可知,它和公式三等价,所以本教科书未将其列入诱导公式.B组1、计算:(1)sin420°·cos750°+sin(-330°)·cos(-660°);(2)tan675°+tan765°-tan(-330°)+tan(-690°);(3)252525sin cos tan() 634πππ++-.答案:(1)1;(2)0;(3)0.说明:先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.2、已知1sin()2πα+=-,计算:(1)sin(5π-α);(2)sin()2πα+;(3)3cos()2πα-; (4)tan()2πα-. 答案:(1)12; (2)3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角(3)12-; (4)3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明:先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数,然后再根据同角三角函数的基本关系得解. P46习题1.4A 组1、画出下列函数的简图:(1)y=1-sinx ,x∈[0,2π]; (2)y=3cosx +1,x∈[0,2π]. 答案:(1)(2)说明:可以直接用“五点法”作出两个函数的图象;也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象,再通过变换得到这两个函数的图象.2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合,并分别写出最大值、最小值是什么.(1)11cos ,23y x x π=-∈R ; (2)3sin(2),4y x x π=+∈R ;(3)31cos(),226y x x π=--∈R ; (4)11sin(),223y x x π=+∈R .答案:(1)使y 取得最大值的集合是{x|x=6k +3,k∈Z },最大值是32; 使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ,k∈Z },最大值是12; (2)使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ,最大值是3;使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ,最小值是-3; (3)使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ,最大值是32; 使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ,最小值是32-; (4)使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ,最大值是12;使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ,最小值是12-. 说明:利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质,研究所给函数的最大值、最小值性质.3、求下列函数的周期: (1)2sin 3y x =,x∈R ; (2)1cos 42y x =,x∈R . 答案:(1)3π;(2)2π说明:可直接由函数y=Asin (ωx+φ)和函数y=Acos (ωx+φ)的周期2T πω=得解.4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)sin103°15′与sin164°30′; (2)4744cos()cos()109ππ--与; (3)sin508°与sin144°;(4)cos760°与cos (-770°). 答案:(1)sin103°15′>sin164°130′; (2)4744cos()cos()109ππ->-; (3)sin508°<sin144°;(4)cos760°>cos (-770°).说明:解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究. 5、求下列函数的单调区间: (1)y=1+sinx ,x∈R ; (2)y=-cosx ,x∈R . 答案:(1)当[2,2]22x k k ππππ∈-++,k∈Z 时,y=1+sinx 是增函数;当3[2,2]22x k k ππππ∈++,k∈Z 时,y=1+sinx 是减函数. (2)当x∈[(2k -1)π,2kπ],k∈Z 时,y=-cosx 是减函数; 当x∈[2kπ,(2k +1)π],k∈Z 时,y=-cosx 是增函数. 说明:利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性. 6、求函数tan()26y x π=-++的定义域.答案:{|,}3x x k k ππ≠+∈Z .说明:可用换元法.7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期. 答案:2π. 说明:可直接由函数y=Atan (ωx+φ)的周期T πω=得解. 8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小: (1)13tan()tan()57ππ--与; (2)tan1519°与tan1493°; (3)93tan 6tan(5)1111ππ-与; (4)7tantan 86ππ与. 答案:(1)13tan()tan()57ππ->-;(2)tan1519°>tan1493°;(3)93tan 6tan(5)1111ππ>-;(4)7tantan 86ππ<. 说明:解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究.9、根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x 的集合:(1)1+tanx≥0;(2)tan 0x . 答案:(1){|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤;(2){|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤.说明:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式. 10、设函数f (x )(x∈R )是以 2为最小正周期的周期函数,且x∈[0,2]时f (x )=(x -1)2.求f (3),7()2f 的值.答案:由于f (x )以2为最小正周期,所以对任意x∈R ,有f (x +2)=f (x ).于是:f (3)=f (1+2)=f (1)=(1-1)2=0;273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=. 说明:利用周期函数的性质,将其他区间上的求值问题转化到区间[0,2]上的求值问题. 11、容易知道,正弦函数y=sinx 是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有,对称中心的坐标是什么?另外,正弦曲线是轴对称图形吗?如果是,对称轴的方程是什么?你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗? 对余弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题.答案:由正弦函数的周期性可知,除原点外,正弦曲线还有其他对称中心,其对称中心坐标为(kπ,0),k∈Z .正弦曲线是轴对称图形,其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z .由余弦函数和正切的周期性可知,余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+,k∈Z ,对称轴的方程是x=kπ,k∈Z ;正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π,k∈Z ,正切曲线不是轴对称图形. 说明:利用三角函数的图象和周期性研究其对称性.B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x 的取值集合:(1)sin )2x x ∈R ≥;(22cos 0()x x ∈R ≥. 答案:(1)2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤; (2)33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤. 说明:变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式.2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间. 答案:单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z . 说明:利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间.3、已知函数y=f (x )的图象如图所示,试回答下列问题: (1)求函数的周期;(2)画出函数y=f (x +1)的图象;(3)你能写出函数y=f (x )的解析式吗?答案:(1)2;(2)y=f (x +1)的图象如下;(3)y=|x -2k|,x∈[2k-1,2k +1],k∈Z .说明:可直接由函数y=f (x )的图象得到其周期.将函数y=f (x )的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=f (x +1)的图象.求函数y=f (x )的解析式难度较高,需要较强的抽象思维能力.可先求出定义域为一个周期的函数y=f (x ),x∈[-1,1]的解析式为y=|x|,x∈[-1,1],再根据函数y=f (x )的图象和周期性,得到函数y=f (x )的解析式为y=|x -2k|,x∈[2k-1,2k +1],k∈Z . P57习题1.5A 组1、选择题:(1)为了得到函数1cos()3y x =+,x∈R 的图象,只需把余弦曲线上所有的点( )A .向左平行移动3π个单位长度 B .向右平行移动3π个单位长度C .向左平行移动13个单位长度 D .向右平行移动13个单位长度(2)为了得到函数cos5xy =,x∈R 的图象,只需把余弦曲线上所有的点的( )、 A .横坐标伸长到原来的5倍,纵坐标不变 B .横坐标缩短到原来的15倍,纵坐标不变 C .纵坐标伸长到原来的5倍,横坐标不变D .纵坐标缩短到原来的15倍,横坐标不变 (3)为了得到函数1cos 4y x =,x∈R 的图象,只需把余弦曲线上所有的点的( ).A .横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变B .横坐标缩短到原来的14倍,纵坐标不变 C .纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变 D .纵坐标缩短到原来的14倍,横坐标不变 答案:(1)C ;(2)A ;(3)D .2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图(有条件的可用计算器或计算机作图检验):(1)14sin 2y x =,x∈R ; (2)1cos32y x =,x∈R ; (3)3sin(2)6y x π=+,x∈R ;(4)112cos()24y x π=-,x∈R .答案:(1)(2)(3)(4)说明:研究了参数A 、ω、φ对函数图象的影响.3、不画图,直接写出下列函数的振幅、周期与初相,并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到(注意定义域):(1)8sin()48xy π=-,x∈[0,+∞);(2)1sin(3)37y x π=+,x∈[0,+∞). 答案:(1)振幅是8,周期是8π,初相是8π-.先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度,得到函数1sin()8y x π=-,x∈R 的图象;再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到函数2sin()48x y π=-,x∈R的图象;再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍(横坐标不变),得到函数38sin()48x y π=-,x∈R 的图象;最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去,就得到函数8sin()48x y π=-,x∈[0,+∞)的图象.(2)振幅是13,周期是23π,初相是7π.先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度,得到函数1sin()7y x π=+,x∈R 的图象;再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变),得到函数2sin(3)7y x π=+,x∈R的图象;再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变),得到函数31sin(3)37y x π=+,x∈R 的图象;最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去,就得到函数1sin(3)37y x π=+,x∈[0,+∞)的图象.说明:了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系,并认识函数y=Asin (ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系.4、图 1.5-1的电流i (单位:A )随时间t (单位:s )变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞.(1)求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相; (2)当t=0,1171,,,(:s)60015060060单位时,求电流i . 答案:(1)周期为150,频率为50,振幅为5,初相为3π.(2)t=0时,2i =;1600t =时,i=5;1150t =时,i=0;7600t =时,i=-5;160t =时,i=0.说明:了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系,并求函数值.5、一根长为l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球.小球摆动时,离开平衡位置的位移s (单位:cm )与时间t (单位:s)的函数关系是),[0,)3s t π=+∈+∞. (1)求小球摆动的周期;(2)已知g≈980cm/s 2,要使小球摆动的周期是1s ,线的长度l 应当是多少?(精确到0.1cm ) 答案:(1)2(2)约24.8cm . 说明:了解简谐振的周期.B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s答案:根据已知数据作出散点图(如图).由散点图可知,振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-,x∈[0,+∞). 说明:作出已知数据的散点图,然后选择一个函数模型来描述,并根据已知数据求出该函数模型.2、弹簧挂着的小球作上下运动,它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定:2sin()4h t π=+.以t 为横坐标,h 为纵坐标,作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象,并回答下列问题: (1)小球在开始振动时(即t=0)的位置在哪里?(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少? (3)经过多少时问小球往复运动一次? (4)每秒钟小球能往复振动多少次?答案:函数2sin()4h t π=+在[0,2π]上的图象为(1)小球在开始振动时的位置在(0,2);(2)最高点和最低点与平衡位置的距离都是2;(3)经过2π秒小球往复运动一次;(4)每秒钟小球能往复振动12π次.说明:结合具体问题,了解解析式中各常数的实际意义.3、如图,点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动.求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系,并求点P的运动周期和频率.答案:点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin(ωt+φ),t∈[0,+∞);点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ.说明:应用函数模型y=rsin(ωt+φ)解决实际问题.P65习题1.61、根据下列条件,求△ABC的内角A:(1)1sin2A=;(2)2cos A=-;(3)tanA=1;(4)3 tan A=-.答案:(1)30°或150°;(2)135°;(3)45°;(4)150°.说明:由角A是△ABC的内角,可知A∈(0°,180°).2、根据下列条件,求(0,2π)内的角x:(1)3sin x=-;(2)sinx=-1;(3)cosx=0;(4)tanx=1.答案:(1)4533ππ或;(2)32π;(3)322ππ或;(4)544ππ或.说明:可让学生再变换角x的取值范围求解.3、天上有些恒星的亮度是会变化的.其中一种称为造父(型)变星,本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天?最亮时是几等星?最暗时是几等星?答案:5.5天;约3.7等星;约4.4等星.说明:每个周期的图象不一定完全相同,表示视星等的坐标是由大到小.4、夏天是用电的高峰时期,特别是在晚上.为保证居民空调制冷用电,电力部门不得不对企事业拉闸限电,而到了0时以后,又出现电力过剩的情况.因此每天的用电也出现周期性的变化.为保证居民用电,电力部门提出了“消峰平谷”的想法,即提高晚上高峰时期的电价,同时降低后半夜低峰时期的电价,鼓励各单位在低峰时用电.请你调查你们地区每天的用电情况,制定一项“消峰平谷”的电价方案.答案:先收集每天的用电数据,然后作出用电量随时间变化的图象,根据图象制定“消峰平谷”的电价方案.说明:建立周期变化的模型解决实际问题.B 组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起,在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料,统计过去一年不同时期的日出和日落时间.(1)在同一坐标系中,以日期为横轴,画出散点图,并用曲线去拟合这些数据,同时找到函数模型;(2)某同学准备在五一长假时去看升旗,他应当几点到达天安门广场? 答案:略.说明:建立周期变化的函数模型,根据模型解决实际问题.2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的?收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论.答案:略.说明:收集数据,建立周期变化的函数模型,根据模型提出个人意见.然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式,获取这方面的信息,以此来说明自己的结论. P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ,并且把S 中适合不等式-2π≤β≤4π的元素β写出来:(1)4π; (2)23π-;(3)125π; (4)0.答案:(1)79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ;(2)22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ;(3)128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ; (4){β|β=2kπ,k∈Z },-2π,0,2π.说明:用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合,并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角.2、在半径为15cm 的圆中,一扇形的弧含有54°,求这个扇形的周长与面积(π取3.14,计算结果保留两个有效数字).答案:周长约44cm ,面积约1.1×102cm 2.说明:可先将角度转化为弧度,再利用弧度制下的弧长和面积公式求解. 3、确定下列三角函数值的符号:(1)sin4; (2)cos5; (3)tan8; (4)tan (-3). 答案:(1)负;(2)正;(3)负;(4)正.说明:将角的弧度数转化为含π的形式或度,再进行判断. 4、已知1cos 4ϕ=,求sinφ,tanφ.答案:当φ为第一象限角时,sin tan 4ϕϕ==当φ为第四象限角时,sin tan ϕϕ== 说明:先求sinφ的值,再求tanφ的值.5、已知sinx=2cosx ,求角x 的三个三角函数值.答案:当x 为第一象限角时,tanx=2,cos x x ==;当x 为第三象限角时,tanx=2,cos x x == 说明:先求tanx 的值,再求另外两个函数的值.6、用cosα表示sin 4α-sin 2α+cos 2α.答案:cos 4α.说明:先将原式变形为sin 2α(sin 2α-1)+cos 2α,再用同角三角函数的基本关系变形. 7、求证:(1)2(1-sinα)(1+cosα)=(1-sinα+cosα)2;(2)sin 2α+sin 2β-sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β=1. 答案:(1)左边=2-2sinα+2cosα-2sinαcosα=1+sin 2α+cos 2α-2sinα+2cosα-2sinαcosα =右边. (2)左边=sin 2α(1-sin 2β)+sin 2β+cos 2αcos 2β=cos 2β(sin 2α+cos 2α)+sin 2β =1=右边.说明:第(1)题可先将左右两边展开,再用同角三角函数的基本关系变形. 8、已知tanα=3,计算:(1)4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+;(2)sinαcosα;(3)(sinα+cosα)2. 答案:(1)57;(2)310;(3)85.说明:第(2)题可由222sin tan 9cos ααα==,得21cos 10α=,所以23sin cos tan cos 10αααα==.或2222sin cos tan 33sin cos 10sin cos tan 131αααααααα====+++. 9、先估计结果的符号,再进行计算. (1)252525sincos tan()634πππ++-; (2)sin2+cos3+tan4(可用计算器).答案:(1)0;(2)1.0771.说明:先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小,再估计结果的符号. 10、已知1sin()2πα+=-,计算: (1)cos (2π-α);(2)tan (α-7π).答案:(1)当α为第一象限角时,cos(2)πα-=,当α为第二象限角时,cos(2)πα-=(2)当α为第一象限角时,tan(7)3απ-=,当α为第二象限角时,tan(7)απ-= 说明:先用诱导公式转化为α的三角函数,再用同角三角函数的基本关系计算. 11、先比较大小,再用计算器求值:(1)sin378°21′,tan1111°,cos642.5°; (2)sin (-879°),3313tan(),cos()810ππ--; (3)sin3,cos (sin2).答案:(1)tan1111°=0.601,sin378°21′=0.315,cos642.5°=0.216; (2)sin (-879°)=-0.358,3313tan()0.414,cos()0.588810ππ-=--=-; (3)sin3=0.141,cos (sin2)=0.614.说明:本题的要求是先估计各三角函数值的大小,再求值验证. 12、设π<x <2π,填表:说明:熟悉各特殊角的三角函数值. 13、下列各式能否成立,说明理由: (1)cos 2x=1.5;(2)3sin 4x π=-.答案:(1)因为cos x =cos x =1,1><-,所以原式不能成立;(2)因为sin x =,而|1<,所以原式有可能成立.说明:利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断.14、求下列函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合:(1)sin xy π=,x∈R ;(2)y=3-2cosx ,x∈R .答案:(11π,此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ;1π,此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ;(2)最大值为5,此时x 的集合为{x|x=(2k +1)π,k∈Z }; 最小值为1,此时x 的集合为{x|x=2kπ,k∈Z }.说明:利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质,研究所给函数的最大值和最小值性质. 15、已知0≤x≤2π,求适合下列条件的角x 的集合: (1)y=sinx 和y=cosx 都是增函数; (2)y=sinx 和y=cosx 都是减函数;(3)y=sinx 是增函数,而y=cosx 是减函数; (4)y=sinx 是减函数,而y=cosx 是增函数. 答案:(1)3{|2}2x x ππ≤≤; (2){|}2x x ππ≤≤;(3){|0}2x x π≤≤;(4)3{|}2x x ππ≤≤. 说明:利用函数图象分析.16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图: (1)1sin(3),;23y x x π=-∈R (2)2sin(),;4y x x π=-+∈R (3)1sin(2),;5y x x π=--∈R(4)3sin(),.63xy x π=-∈R 答案:(1)(2)(3)(4)说明:可要求学生在作出图象后,用计算机或计算器验证. 17、(1)用描点法画出函数y=sinx ,[0,]2x π∈的图象.(2)如何根据第(1)小题并运用正弦函数的性质,得出函数y=sinx ,x∈[0,2π]的图象? (3)如何根据第(2)小题并通过平行移动坐标轴,得出函数y=sin (x +φ)+k ,x∈[0,2π]的图象?(其中φ,k 都是常数)答案:(1)x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.170.340.500.640.770.870.940.981(2)由sin (π-x )=sinx ,可知函数y=sinx ,x∈[0,π]的图象关于直线2x =对称,据此可得函数y=sinx ,[,]2x ππ∈的图象;又由sin (2π-x )=-sinx ,可知函数y=sinx ,x∈[0,2π]的图象关于点(π,0)对称,据此可得出函数y=sinx ,x∈[π,2π]的图象.(3)先把y 轴向右(当φ>0时)或向左(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度,再把x 轴向下(当k >0时)或向上(当k <0时)平行移动|k|个单位长度,最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度,并擦去[0,2π]之外的部分,便得出函数y=sin (x +φ)+k ,x∈[0,2π]的图象.说明:学会用不同的方法作函数图象.18、不通过画图,写出下列函数的振幅、周期、初相,并说明如何由正弦曲线得出它们的图象:(1)sin(5),;6y x x π=+∈R(2)12sin,.6y x x =∈R 答案:(1)振幅是1,周期是25π,初相是6π. 把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度,可以得函数sin()6y x π=+,x∈R 的图象;再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍(纵坐标不变),就可得出函数sin(5)6y x π=+,x∈R 的图象.(2)振幅是2,周期是2π,初相是0.把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数1sin6y x =,x∈R 的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),就可得到函数12sin()6y x =,x∈R 的图象.说明:会根据解析式求各物理量,并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象.B 组1、已知α为第四象限角,确定下列各角的终边所在的位置:(1)2α; (2)3α; (3)2α. 答案:(1)3(1)42k k παππ+<<+,所以2α的终边在第二或第四象限; (2)9012030901203k k α︒+︒<<︒+︒+︒,所以3α的终边在第二、第三或第四象限;(3)(4k +3)π<2α<(4k +4)π,所以2α的终边在第三或第四象限,也可在y 轴的负半轴上.说明:不要求探索α分别为各象限角时,nα和nα的终边所在位置的规律.。
人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)
人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)高中数学必修4综合测试满分:150分时间:120分钟注意事项:客观题请在答题卡上用2B铅笔填涂,主观题请用黑色水笔书写在答题卡上。
一、选择题:(共12小题,每小题5分,共60分。
)1.sin300°的值为A。
-31 B。
3 C。
22 D。
1/22.角α的终边过点P(4,-3),则cosα的值为A。
4 B。
-3 C。
2/5 D。
-4/53.cos25°cos35°-sin25°sin35°的值等于A。
3/11 B。
3/4 C。
2/11 D。
-2/114.对于非零向量AB,BC,AC,下列等式中一定不成立的是A。
AB+BC=AC B。
AB-AC=BCC。
AB-BC=BC D。
AB+BC=AC5.下列区间中,使函数y=sinx为增函数的是A。
[0,π] B。
[π,2π] C。
[-π/2,π/2] D。
[-π,0]6.已知tan(α-π/3)=1/√3,则tanα的值为A。
4/3 B。
-3/5 C。
-5/3 D。
-3/47.将函数y=sinx图象上所有的点向左平移π/3个单位长度,再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的函数解析式为A。
y=sin(2x+π/3) B。
y=sin(2x+2π/3)C。
y=sin(2x-π/3) D。
y=sin(2x-2π/3)8.在函数y=sinx、y=sin(2x+π/2)、y=cos(2x+π)中,最小正周期为π的函数的个数为()A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个9.下列命题中,正确的是A。
|a|=|b|→a=b B。
|a|>|b|→a>bC。
|a|=0→a=0 D。
a=b→a∥b10.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如右图所示,此函数的解析式为y=2sin(2x-π/3)11.方程sin(πx)=x的解的个数是()A。
高中数学 必修4模块 综合测试卷
高中数学 必修4模块 综合测试卷一.选择题(每小题5分,共60分)1、下列各角中与3π-终边相同的是( )A .35π-B .32πC .34πD .35π2、=-)611cos(π( ) A .21 B .21- C .23- D .23 3、已知),0(,53cos παα∈-=,则=αtan ( )A .34B .34-C .34±D .43±4、函数x y sin =的图象( ) A .关于点)1,2(π对称 B .关于直线π=x 对称C .关于点)0,(π对称D .关于y 轴对称 5、函数x y 2cos 21=的周期为( ) A .π B .π2 C . π4 D .4π 6、函数)4tan(π+=x y 的单调增区间为( )A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-4,43ππππk k B .)4,43(ππππ+-k k C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2,2ππππk k D .)2,2(ππππ+-k k7、在△ABC 中,a=,b=B =45°,则A 等于()A .30°B .60°C .60°或120°D . 30°或150°8、9、在△ABC 中,周长为7.5cm ,且sinA :sinB :sinC =4:5:6,下列结论:①::=4:5:6a b c②::a b c ③=2,=2.5,=3a cm b cm c cm ④::=4:5:6A B C 其中成立的个数是 ( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个9、化简θθ44sin cos - 的结果为( )A .θ4sinB .θ4cosC .θ2sinD .θ2cos 10、在ABC ∆中,若B A B A cos cos sin sin <,则ABC ∆一定是( )A .等边三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形 二、填空题(每小题5分,共20分)11、=+167cos 43sin 77cos 43cos _______________. 12、在△ABC中,=2,=a c B 150°,则b =13、在△ABC 中,若SinA :SinB :SinC=5:7:8,则B 大小为______________.14、把函数)62s i n (π-=x y 的图象向左平移3π个单位,所得图象的函数解析式为_____________________________. 三、解答题15.已知,在△ABC 中,A=45°,C=30°,c=10cm ,求a 、b 和B 。
(完整版)高中数学必修4测试题(附答案).docx
数学必修 4一 . 选择题:1. 的正弦值等于()3( A ) 3( B )1( C )3 ( ) 1222D22.215°是 ()(A )第一象限角 (B )第二象限角 (C )第三象限角(D )第四象限角3.角 的终边过点 P ( 4,- 3),则 cos 的值为()(A )4(B )- 3(C )4( D )3 4.若 sin <0,则角 的终边在 55()(A )第一、二象限 (B )第二、三象限 (C )第二、四象限(D )第三、四象限5.函数 y=cos2x 的最小正周期是 ()(A ) ( B )2(C )(D ) 246.给出下面四个命题:① AB BA0 ;② ABBCAC ;③ AB -AC BC ;④ 0 AB 0 。
其中正确的个数为()(A )1 个( B ) 2 个 ( C ) 3 个(D )4 个7.向量 a (1, 2) , b (2,1) ,则()(A ) a ∥ b(B ) a ⊥ b(C ) a 与 b 的夹角为 60° ( D ) a 与 b 的夹角为 30°8. 化简 1sin 2 160 的结果是()(A ) cos160(B ) cos160( C ) cos160( D ) cos160领军教育二 . 填空题11.已知点 A (2,- 4),B (- 6,2 ),则 AB 的中点 M 的坐标为12.若 a (2,3) 与 b ( 4, y) 共线,则 y = ;13.若 tan1,则sincos=;22sin3cos14.已知 a1, b 2 , a 与 b 的夹角为 ,那么 a b a b =315.函数 y sin 2 x 2 sin x 的值域是 y;三.解答题16.(1) 已知 cosa = -4,且 a 为第三象限角,求 sina 的值54sin 2cos(2) 已知 tan3,计算的值 .5cos3sinv v v v1 ,17.已知向量 a , b 的夹角为 60o , 且 | a | 2 , | b | v v (2)v v (1) 求 a gb ;求 | a b |.9. 函数 y2 sin(2 x ) cos[2( x)] 是()(A )(B )r(1,2) , b ( 3,2) , 当 k 为何值时, 周期为的奇函数周期为的偶函数18. 已知 a44r r r r(C ) 周期为的奇函数 ( D )周期为的偶函数(1) ka b 与 a 3b 垂直?22(2)r r r r平行?平行时它们是同向还是反向?10.函数 y A sin( x) 在一个周期内的图象如下,此函数的解析式ka b 与 a 3b为()(A ) y2sin( 2x2 ) ( ) y2 sin(2x)33(C )x )( )y2sin(Dy2 sin( 2x)2331领军教育.设 OA(3,1) , OB ( 1,2) ,OC OB,BC∥OA,试求满足19OD OA OC 的 OD 的坐标(O为坐标原点)。
最新高中数学测试题组(必修4)全套含答案
新课程高中数学训练题组目录:数学4(必修)数学4(必修)第一章:三角函数(上、下)[基础训练A组] 数学4(必修)第一章:三角函数(上、下)[综合训练B组] 数学4(必修)第一章:三角函数(上、下)[提高训练C组] 数学4(必修)第二章:平面向量 [基础训练A组]数学4(必修)第二章:平面向量 [综合训练B组]数学4(必修)第二章:平面向量 [提高训练C组]数学4(必修)第三章:三角恒等变换 [基础训练A组]数学4(必修)第三章:三角恒等变换 [综合训练B组]数学4(必修)第三章:三角恒等变换 [提高训练C组](数学4必修)第一章 三角函数(上)[基础训练A 组]一、选择题1.设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2.给出下列各函数值:①)1000sin(0-;②)2200cos(0-;③)10tan(-;④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有( ) A .① B .② C .③ D .④ 3.02120sin 等于( )A .23±B .23C .23- D .214.已知4sin 5α=,并且α是第二象限的角,那么 tan α的值等于( )A .43-B .34- C .43 D .345.若α是第四象限的角,则πα-是( )A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6.4tan 3cos 2sin 的值( )A .小于0B .大于0C .等于0D .不存在二、填空题1.设θ分别是第二、三、四象限角,则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2.设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: ①0<<OM MP ;②0OM MP <<; ③0<<MP OM ;④OM MP <<0, 其中正确的是_____________________________。
人教A版高中数学必修四测试题及答案全套
人教A版高中数学必修四测试题及答案全套人教A版高中数学必修四测试题及答案全套阶段质量检测(一)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.在0°~360°的范围内,与-510°终边相同的角是()A。
330° B。
210° C。
150° D。
30°2.若sinα = 3/3,π/2 < α < π,则sin(α+π/2) = ()A。
-6/3 B。
-1/2 C。
16/2 D。
33.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是()A。
2 B。
2sin1 C。
2sin1 D。
sin24.函数f(x) = sin(x-π/4)的图象的一条对称轴是()A。
x = π/4 B。
x = π/2 C。
x = -π/4 D。
x = -π/25.化简1+2sin(π-2)·cos(π-2)得()A。
sin2+cos2 B。
cos2-sin2 C。
sin2-cos2 D。
±cos2-sin26.函数f(x) = tan(x+π/4)的单调增区间为()A。
(kπ-π/2.kπ+π/2),k∈Z B。
(kπ。
(k+1)π),k∈ZC。
(kπ-4π/4.kπ+4π/4),k∈Z D。
(kπ-3π/4.kπ+3π/4),k∈Z7.已知sin(π/4+α) = 1/√2,则sin(π/4-α)的值为()A。
1/3 B。
-1/3 C。
1/2 D。
-1/28.设α是第三象限的角,且|cosα| = α/2,则α的终边所在的象限是()A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限9.函数y = cos2x+sinx在[-π/6.π/6]的最大值与最小值之和为()A。
3/4 B。
2 C。
1/3 D。
4/310.将函数y = sin(x-π/3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移一个单位,得到的图象对应的解析式为()A。
高中数学必修四各章节练习题(附带答案解析)
1.已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟,那么,经过一节课,分针旋转形成的角是( )A .120°B .-120°C .270°D .-270°解析:分针旋转形成的角是负角,每60分钟转动一周,所以一节课45分钟分针旋转形成的角是-360°×4560=-270°.答案:D2.下列叙述正确的是( )A .第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B .始边相同而终边不同的角一定不相等C .第四象限角一定是负角D .钝角比第三象限角小解析:-330°角是第一象限角,但不能作为三角形的内角,故A 错;280°角是第四象限角,它是正角,故C 错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D 错.答案:B3.若α是第四象限角,则180°-α是第________象限角. 解析:∵角α与角-α的终边关于x 轴对称, 又∵角α的终边在第四象限,∴角-α终边在第一象限,又角-α与180°-α的终边关于原点对称,∴角180°-α的终边在第三象限. 答案:三4.在0°~360°范围内:与-1 000°角终边相同的最小正角是________,是第________象限角.解析:-1 000°=-3×360°+80°,∴与-1 000°角终边相同的最小正角是80°,为第一象限角. 答案:80° 一5.在角的集合{α|α=k ·90°+45°,k ∈Z }中, (1)有几种终边不相同的角?(2)若-360°<α<360°,则集合中的α共有多少个?解:(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种,分别是与45°、135°、-135°、-45°终边相同的角.(2)令-360°<k ·90°+45°<360°,得-92<k <72. 又∵k ∈Z ,∴k =-4,-3,-2,-1,0,1,2,3, ∴满足条件的角共有8个.1.下列命题中,正确的是( ) A .1弧度是1度的圆心角所对的弧 B .1弧度是长度为半径的弧C .1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D .1弧度是1度的弧与1度的角之和解析:利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项. 答案:C2.2 100°化成弧度是( ) A.35π3 B .10π C.28π3D.25π3解析:2 100°=2 100×π180=35π3. 答案:A3.若扇形的圆心角为60°,半径为6,则扇形的面积为________. 解析:扇形的面积S =12|α|r 2=12×π3×62=6π. 答案:6π4.若θ角的终边与8π5角的终边相同,在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________.解析:由题设知θ=2k π+8π5,k ∈Z ,则θ4=k π2+2π5,k ∈Z . ∴当k =0时,θ4=2π5; 当k =1时,θ4=9π10; 当k =2时,θ4=7π5; 当k =3时,θ4=19π10. 答案:2π5,9π10,7π5,19π105.已知α=-800°.(1)把α改写成β+2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α的终边在第几象限;(2)求 γ角,使γ与α角的终边相同,且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2.解:(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=14π9, ∴α=14π9+(-3)×2π,α角与14π9的终边相同, ∴α是第四象限角.(2)∵与α角终边相同的角为2k π+α,k ∈Z ,α与14π9终边相同, ∴γ=2k π+14π9,k ∈Z .又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,∴-π2<2k π+14π9<π2, 当k =-1时,不等式成立, ∴γ=-2π+14π9=-4π9.1.有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin α>0,则α是第一、二象限的角;④若α是第二象限的角,且P (x ,y )是其终边上一点,则cos α=-xx 2+y2, 其中不正确的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3答案:D2.若点P 的坐标是(sin2,cos2),则点P 位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 答案:D3.sin420°=________.答案:324.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角. 解析:要使原式有意义,必须cos αtan α>0,即需cos α,tan α同号,所以α是第一或第二象限角.答案:一或二 5.求下列各式的值.(1)sin1 470°;(2)cos 9π4;(3)tan(-116π). 解:(1)sin1 470°=sin(4×360°+30°)=sin30°=12. (2)cos 9π4=cos(2π+π4)=cos π4=22. (3)tan(-11π6)=tan(-2π+π6)=tan π6=33.1.已知角α的正弦线的长度为单位长度,那么角α的终边( ) A .在x 轴上 B .在y 轴上 C .在直线y =x 上 D .在直线y =-x 上答案:B2.已知11π6的正弦线为MP ,正切线为AT ,则有( ) A .MP 与AT 的方向相同 B .|MP |=|AT | C .MP >0,AT <0D .MP <0,AT >0 解析:三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.MP =sin 11π6<0,AT =tan 11π6<0.答案:A3.若角α的正弦线的长度为12,且方向与y 轴的正方向相反,则sin α的值为________.答案:-124.函数y =lg(sin x -cos x )的定义域为________.解析:利用三角函数线,如下图,MN 为正弦线,OM 为余弦线,要使sin x ≥cos x ,即MN ≥OM ,则π4≤x ≤54π,(在[0,2π]内).∴定义域为{x |π4+2k π≤x ≤54π+2k π,k ∈Z }. 答案:{x |π4+2k π≤x ≤54π+2k π,k ∈Z }5.在单位圆中画出满足cos α=12的角α的终边,并写出α组成的集合.解:如图所示,作直线x =12交单位圆于M ,N ,连接OM ,ON ,则OM ,ON 为α的终边.由于cos π3=12,cos 5π3=12,则M 在π3的终边上,N 在5π3的终边上,则α=π3+2k π或α=5π3+2k π,k ∈Z . 所以α组成的集合为S =⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα=π3+2k π或α=5π3+2k π,k ∈Z .1.已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A .-1213 B .-513 C.513D.213解析:因为α是第二象限角,所以cos α<0, 故cos α=-1-sin 2α=-1-(513)2=-1213.答案:A2.已知cos α-sin α=-12,则sin αcos α的值为( ) A.38 B .±38 C.34D .±34解析:由已知得(cos α-sin α)2=sin 2α+cos 2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=14,解得sin αcos α=38,故选A.答案:A3.若sin θ=-45,tan θ>0,则cos θ=________.解析:由已知得θ是第三象限角,所以cos θ=-1-sin 2θ=-1-(-45)2=-35. 答案:-354.已知tan α=3,则2sin 2α+4sin αcos α-9cos 2α的值为________. 解析:原式=2sin 2α+4sin αcos α-9cos 2αsin 2α+cos 2α=2tan 2α+4tan α-9tan 2α+1 =2×32+4×3-932+1=2110.答案:21105.若π2<α<π,化简cos α1-cos 2α+sin α1-sin 2α1-cos 2α.解:因为π2<α<π,所以cos α=-1-sin 2α,sin α=1-cos 2α,所以原式=cos αsin α+sin α(-cos α)1-cos 2α=cos αsin α-sin αcos αsin 2α=cos αsin α-cos αsin α=0.1.cos(-20π3)等于( ) A.12 B.32 C .-12D .-32解析:cos(-20π3)=cos 20π3 =cos(6π+2π3)=cos 2π3=-12. 答案:C2.sin600°+tan240°的值是( ) A .-32 B.32 C .-12+ 3 D.12+3 解析:sin600°+tan240°=sin(360°+240°)+tan(180°+60°) =sin240°+tan60°=sin(180°+60°)+tan60° =-sin60°+tan60°=-32+3=32. 答案:B3.已知sin(45°+α)=513,则sin(135°-α)=________.解析:sin(135°-α)=sin[180°-(45°+α)] =sin(45°+α)=513. 答案:5134.已知α∈(0,π2),tan(π-α)=-34,则sin α=________. 解析:由于tan(π-α)=-tan α=-34, 则tan α=34,解方程组⎩⎨⎧sin αcos α=34,sin 2α+cos 2α=1,得sin α=±35,又α∈(0,π2),所以sin α>0. 所以sin α=35. 答案:355.化简tan (2π-θ)sin (-2π-θ)cos (6π-θ)cos (θ-π)sin (5π+θ).解:原式=tan (-θ)sin (-θ)cos (-θ)(-cos θ)(-sin θ)=(-tan θ)(-sin θ)cos θcos θsin θ=tan θ.1.已知sin40°=a ,则cos130°等于( ) A .a B .-a C.1-a 2D .-1-a 2解析:cos130°=cos(90°+40°)=-sin40°=-a .答案:B2.已知sin(α-π4)=13,则cos(π4+α)的值等于( ) A.223 B .-232 C.13D .-13解析:∵π4+α-(α-π4)=π2, ∴cos(π4+α)=cos[π2+(α-π4)] =-sin(α-π4)=-13. 答案:D3.已知sin(π6-θ)=13,则cos(π3+θ)等于________. 解析:cos(π3+θ)=cos[π2-(π6-θ)] =sin(π6-θ)=13. 答案:134.已知cos α=15,且α为第四象限角,那么cos(α+π2)等于________. 解析:∵α为第四象限角且cos α=15, ∴sin α=-1-cos 2α=-25 6. ∴cos(α+π2)=-sin α=25 6. 答案:2655.化简1+2sin (π2-2)·cos (π2+2).解:原式=1+2cos2·(-sin2)=1-2sin2cos2=(sin2-cos2)2=|sin2-cos2|. 又∵sin2>cos2,∴原式=sin2-cos2.1.函数y =-sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,3π2的简图是( )解析:用特殊点来验证.x =0时,y =-sin0=0,排除选项A ,C ;又x =-π2时,y =-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2=1,排除选项B.答案:D2.方程x +sin x =0的根有( ) A .0个 B .1个 C .2个D .无数个解析:设f (x )=-x ,g (x )=sin x ,在同一直角坐标系中画出 f (x )和g (x )的图象,如图所示.由图知f (x )和g (x )的图象仅有一个交点,则方程x +sin x =0仅有一个根.答案:B3.用“五点法”画y =1-cos x ,x ∈[0,2π]的图象时,五个关键点的坐标是________.答案:(0,0),⎝⎛⎭⎪⎫π2,1,(π,2),⎝⎛⎭⎪⎫3π2,1,(2π,0)4.函数y =2cos x -2的定义域是________. 解析:由2cos x -2≥0得cos x ≥22, 借助y =cos x 的图象可得cos x ≥22的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π-π4≤x ≤2k π+π4,k ∈Z .答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π-π4≤x ≤2k π+π4,k ∈Z 5.在[0,2π]内用五点法作出y =-sin x -1的简图. 解:(1)按五个关键点列表xπ2π3π22πy -1 -2 -1 0 -1(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象,如图所示:1.函数y =2cos(π3-ωx )的最小正周期是4π,则ω等于( ) A .2 B.12 C .±2D .±12解析:4π=2π|ω|,∴ω=±12. 答案:D2.定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5,则f (2 011)=( )A .f (1)B .f (2)C .f (3)D .f (4) 解析:f (2 011)=f (402×5+1)=f (1). 答案:A3.若函数f (x )=sin ωx (ω>0)的周期为π,则ω=________. 解析:由于周期T =2πω,所以2πω=π,解得ω=2. 答案:24.已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数,且f (1)=1,则f (5)=________.解析:由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数,则f (5)=f (5-6)=f (-1)=-f (1).又f (1)=1,则f (5)=-1. 答案:-15.若函数f (x )是以π2为周期的奇函数,且f (π3)=1,求 f (-176π)的值.证明:∵f (x )的周期为π2,且为奇函数, ∴f (-17π6)=f (-3π+π6)=f (-6×π2+π6) =f (π6).而f (π6)=f (π2-π3)=f (-π3)=-f (π3)=-1, ∴f (-17π6)=-1.1.函数y =sin(2x +52π)的图象的一条对称轴方程是( ) A .x =-π2 B .x =-π4 C .x =π8D .x =54π解析:y =sin(2x +52 π)=cos2x ,令2x =k π(k ∈Z ),则x =k2 π(k ∈Z ).当k =-1时,x =-π2.答案:A2.函数y =2sin(2x -π4)的一个单调递减区间是( ) A .[3π8,7π8] B .[-π8,3π8] C .[3π4,5π4]D .[-π4,π4]解析:令z =2x -π4,函数y =sin z 的单调递减区间是[π2+2k π,3π2+2k π](k ∈Z ).由π2+2k π≤2x -π4≤3π2+2k π,k ∈Z , 得3π8+k π≤x ≤7π8+k π,k ∈Z . 令k =0,3π8≤x ≤7π8. 答案:A3.下列关系式中正确的是( ) A .sin11°<cos10°<sin168° B .sin168°<sin11°<cos10° C .sin11°<sin168°<cos10° D .sin168°<cos10°<sin11°解析:∵sin168°=sin(180°-168°)=sin12°,cos10°=sin80°, ∴sin11°<sin12°<sin80°. ∴sin11°<sin168°<cos10°. 答案:C4.设ω>0,若函数f (x )=2sin ωx 在[-π3,π4]上单调递增,则ω的取值范围是________.解析:令-π2≤ωx ≤π2,-π2ω≤x ≤π2ω,则[-π2ω,π2ω]是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的,即[-π3,π4]⊆[-π2ω,π2ω],则⎩⎪⎨⎪⎧π4≤π2ω,-π3≥-π2ω.⇒ω≤32.答案:[0,32]5.求函数y =1-2cos 2x +5sin x 的最大值和最小值. 解:y =1-2cos 2x +5sin x =2sin 2x +5sin x -1 =2(sin x +54)2-338.∵sin x ∈[-1,1],而y 在[-1,1]上是增函数, ∴当sin x =-1时,函数取得最小值-4; 当sin x =1时,函数取得最大值6.1.y =tan(x +π)是( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既是奇函数又是偶函数 D .非奇非偶函数答案:A2.函数y =2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π4的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0 解析:由3x -π4=k π2,得x =k π6+π12 令k =-2得x =-π4.故选C. 答案:C3.函数y =2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 2的定义域是________.解析:由π3-x 2≠k π+π2,得x ≠-2k π-π3,k ∈Z ,故函数y =2tan ⎝⎛⎭⎪⎫π3-x 2的定义域是:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠-π3-2k π,k ∈Z .答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠-π3-2k π,k ∈Z4.使函数y =2tan x 与y =cos x 同时为单调增的区间是________. 解析:由y =2tan x 与y =cos x 的图象知,同时为单调增的区间为(2k π-π2,2k π)(k ∈Z )和(2k π+π,2k π+3π2)(k ∈Z ).答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π-π2,2k π(k ∈Z )和(2k π+π,2k π+3π2)(k ∈Z )5.求函数y =tan(π-x ),x ∈⎝⎛⎭⎪⎫-π4,π3的值域.解:y =tan(π-x )=-tan x ,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,π3上为减函数,所以值域为(-3,1).1.把函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4的图象向左平移π8个单位长度,所得到的图象对应的函数是( )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数也是偶函数D .非奇非偶函数解析:y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x -π8,向左平移π8个单位长度后为y =sin[2(x -π8+π8)]=sin2x ,为奇函数,故选A.答案:A2.为了得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象,只需把函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的图象( )A .向左平移π4个单位长度 B .向右平移π4个单位长度 C .向左平移π2个单位长度 D .向右平移π2个单位长度 解析:由y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6――→x →x +φy=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x +φ)+π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,即2x +2φ+π6=2x -π3,解得φ=-π4,即向右平移π4个单位长度.答案:B3.用“五点法”画函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3(ω>0)在一个周期内的简图时,五个关键点是(-π6,0),(π12,2),(π3,0),(712 π,-2),(5π6,0),则ω=________.解析:周期T =5π6-(-π6)=π. ∴2πω=π,ω=2. 答案:24.把函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象对应的一个解析式为________.解析:把函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度,得函数y =2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6+π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π4的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y =2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π4的图象,即y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x -π4.答案:y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x -π45.已知函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+1.(1)用“五点法”画出函数的草图.(2)函数图象可由y =sin x 的图象怎样变换得到? 解:(1)列表:2x +π4 0 π2 π 3π2 2π x -π8 π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示.将y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π8,7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位,即可得到y =sin(2x +π4)+1的整个图象.1.函数y =2sin(x 2+π5)的周期、振幅依次是( ) A .4π,-2 B .4π,2 C .π,2D .π,-2解析:在y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)中,T =2πω,A 叫振幅(A >0),故y =2sin(x 2+π5)的周期T =2π12=4π,振幅为2,故选B.答案:B2.已知函数f (x )=2 sin(ωx +φ),x ∈R ,其中ω>0,-π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π,且当x =π2时,f (x )取得最大值,则( )A .f (x )在区间[-2π,0]上是增函数B .f (x )在区间[-3π,-π]上是增函数C .f (x )在区间[3π,5π]上是减函数D .f (x )在区间[4π,6π]上是减函数 解析:∵函数f (x )的最小正周期为6π,∴2πω=6π,得ω=13,在x =π2时,函数f (x )取得最大值, ∴13×π2+φ=2k π+π2,k ∈Z . 又∵-π<φ≤π,∴φ=π3. ∴f (x )=2sin(13x +π3).由2k π-π2≤13x +π3≤2k π+π2(k ∈Z ), 得6k π-52π≤x ≤6k π+12π(k ∈Z ).∴f (x )的增区间是[6k π-52π,6k π+π2](k ∈Z ). 取k =0,得[-52π,π2]是f (x )的一个增区间. ∴函数f (x )在区间[-2π,0]上是增函数. 答案:A3.函数y =|5sin(2x +π3)|的最小正周期为________. 解析:∵y =5sin(2x +π3)的最小正周期为π, ∴函数y =|5sin(2x +π3)|的最小正周期为π2. 答案:π24.使函数f (x )=3sin(2x +5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________. 解析:∵函数f (x )=3sin(2x +5θ)的图象关于y 轴对称, ∴f (-x )=f (x )恒成立,∴3sin(-2x +5θ)=3sin(2x +5θ). ∴sin(-2x +5θ)=sin(2x +5θ).∴-2x +5θ=2x +5θ+2k π(舍去)或-2x +5θ+2x +5θ=2k π+π(k ∈Z ).即10θ=2k π+π,故θ=k π5+π10(k ∈Z ). 答案:θ=k π5+π10,k ∈Z5.已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的一段图象如图,试求这个函数的解析式.解:方法一:易知A =22,T4=6-2=4. ∴T =16,∴2πω=16,∴ω=π8. 又∵图象过点(2,22). ∴22sin(π8×2+φ)=2 2. 又∵|φ|<π2,∴φ=π4. 于是y =22sin(π8x +π4).方法二:易知A =22,由图可知,第二、第三两关键点的横坐标分别为2和6.∵⎩⎨⎧2ω+φ=π2,6ω+φ=π,∴⎩⎪⎨⎪⎧ω=π8,φ=π4.∴y =22sin(π8x +π4).1.已知某人的血压满足函数解析式f (t )=24sin(160πt )+115.其中f (t )为血压(mmHg),t 为时间(min),则此人每分钟心跳的次数为( )A .60B .70C .80D .90解析:由题意可得频率f =1T =160π2π=80(次/分),所以此人每分钟心跳的次数是80.答案:C2.如图表示电流I 与时间t 的关系I =A sin(ωt +φ)(A >0,ω>0)在一个周期内的图象,则该函数的解析式为( )A .I =300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt +π3B .I =300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt -π3C .I =300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt +π3D .I =300sin(100πt -π3)解析:由图象得周期T =2(1150+1300)=150,最大值为300,图象经过点(1150,0),则ω=2πT =100π,A =300,∴I =300sin(100πt +φ). ∴0=300sin(100π×1150+φ). ∴sin(2π3+φ)=0.取φ=π3, ∴I =300sin(100πt +π3). 答案:C 3.如图为某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要________s 往复一次.解析:由图象知周期T =0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次.答案:0.84.据市场调查,某种商品每件的售价按月呈f (x )=A sin(ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元,则f (x )=________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A +B =8,-A +B =4,解得A =2,B =6.周期T =2(7-3)=8,∴ω=2πT =π4,∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x +φ+6. 又当x =3时,y =8,∴8=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+φ+6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+φ=1.由于|φ|<π2,∴φ=-π4, ∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x -π4+6.答案:2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x -π4+65.如图所示,摩天轮的半径为40 m ,O 点距地面的高度为50 m ,摩天轮做匀速转动,每3 min 转一圈,摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处.(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度;(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间P 点距离地面超过70 m? 解:(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系,设t min 时P 距地面的高度为y ,依题意得y =40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t -π2+50.(2)令40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t -π2+50>70,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t -π2>12,∴2k π+π6<2π3t -π2<2k π+5π6(k ∈Z ),∴2k π+2π3<2π3t <2k π+4π3(k ∈Z ),∴3k +1<t <3k +2(k ∈Z ).令k =0得1<t <2. 因此,共有1 min P 点距地面超过70 m.单元综合测试一时间:120分钟 分值:150分第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.若角600°的终边上有一点(-4,a ),则a 的值是( ) A .-4 3 B .±43 C. 3D .43解析:因为tan600°=a-4=tan(540°+60°)=tan60° =3,故a =-4 3. 答案:A2.已知cos(π2+φ)=32,且|φ|<π2,则tan φ=( ) A .-33 B.33 C .- 3D.3 解析:由cos(π2+φ)=32,得sin φ=-32,又|φ|<π2,∴cos φ=12,∴tan φ=- 3. 答案:C3.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x =π3对称的是( )A .y =sin(2x +π6) B .y =sin(x 2+π6) C .y =sin(2x -π6)D .y =sin(2x -π3)解析:∵最小正周期为π,∴ω=2,又图象关于直线x =π3对称, ∴f (π3)=±1,故只有C 符合. 答案:C4.若2k π+π<θ<2k π+5π4(k ∈Z ),则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )A .sin θ<cos θ<tan θB .cos θ<tan θ<sin θC .cos θ<sin θ<tan θD .sin θ<tan θ<cos θ解析:设π<α<54π,则有sin θ=sin α, cos θ=cos α,tan θ=tan α, ∵tan α>0,而sin α<0,cos α<0,∴B 、D 排除,又∵cos α<-22<sin α,即cos α<sin α,排除A.选C. 答案:C5.已知A 是三角形的内角,且sin A +cos A =52,则tan A 等于( )A .4+15B .4-15C .4±15D .以上均不正确解析:因为sin A +cos A =52,所以2sin A cos A =14>0.所以A 为锐角.又(sin A -cos A )2=1-2sin A cos A =1-14=34,所以sin A -cos A =±32.从而可求出sin A ,cos A 的值,从而求出tan A =4±15.答案:C6.函数y =2sin(π6-2x )(x ∈[0,π])的单调递增区间是( ) A .[0,π3] B .[π12,7π12] C .[π3,5π6]D .[5π6,π]解析:由π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π 可得π3+k π≤x ≤5π6+k π(k ∈Z ).∵x ∈[0,π],∴单调递增区间为[π3,5π6]. 答案:C7.为得到函数y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3的图象,只需将函数y =sin x 的图象( )A .向左平移π6个单位长度 B .向右平移π6个单位长度 C .向左平移5π6个单位长度D .向右平移5π6个单位长度 解析:∵y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+π2 =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +5π6, ∴只需将y =sin x 的图象向左平移5π6个单位长度. 答案:C8.已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-7π12,5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-7π12,-π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12,17π12 解析:由图形可得14T =23π-512π,∴T =π,则ω=2,又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π,2.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π+φ=2, ∴φ=-π3,∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3, 其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π12,k π+512π(k ∈Z ), 取k =1,即得选项D. 答案:D9.设a 为常数,且a >1,0≤x ≤2π,则函数f (x )=cos 2x +2a sin x -1的最大值为( )A .2a +1B .2a -1C .-2a -1D .a 2解析:f (x )=cos 2x +2a sin x -1 =1-sin 2x +2a sin x -1 =-(sin x -a )2+a 2,∵0≤x ≤2π,∴-1≤sin x ≤1,又a >1,∴f (x )max =-(1-a )2+a 2=2a -1. 答案:B 10.函数y =cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,A ,B 分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为22,则该函数图象的一条对称轴方程为( )A .x =2π B .x =π2 C .x =1D .x =2解析:函数y =cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1,最小值为-1,所以周期T =2(22)2-22=4,所以ω=π2,又函数为奇函数,所以cos φ=0(0<φ<π)⇒φ=π2,所以函数解析式为y =cos(π2x +π2)=-sin π2x ,所以直线x =1为该函数图象的一条对称轴.答案:C11.中国最高的摩天轮是“南昌之星”,它的最高点离地面160米,直径为156米,并以每30分钟一周的速度匀速旋转,若从最低点开始计时,则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )A .41米B .43米C .78米D .118米解析:摩天轮转轴离地面高160-⎝ ⎛⎭⎪⎫1562=82(米),ω=2πT =π15,摩天轮上某个点P 离地面的高度h 米与时间t 的函数关系是h =82-78cos π15t ,当摩天轮运行5分钟时,其离地面高度为h =82-78cos π15t =82-78×12=43(米).答案:B12.设ω>0,函数y =sin(ωx +π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D .3解析:方法一:函数y =sin(ωx +π3)+2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y =sin[ω(x -4π3)+π3]+2=sin(ωx -4π3ω+π3)+2的图象.∵两图象重合,∴ωx +π3=ωx -4π3ω+π3+2k π,k ∈Z ,解得ω=32k ,k ∈Z .又ω>0,∴当k =1时,ω的最小值是32.方法二:由题意可知,4π3是函数y =sin(ωx +π3)+2(ω>0)的最小正周期T 的正整数倍,即4π3=kT =2k πω(k ∈N *),ω=32k ,ω的最小值为32. 答案:C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是________弧度,扇形面积是________.解析:圆心角α=l r =128=32, 扇形面积S =12lr =12×12×8=48.答案:32 4814.方程sin x =lg x 的解的个数为________.解析:画出函数y =sin x 和y =lg x 的图象(图略),结合图象易知这两个函数的图象有3个交点.答案:315.设f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β),其中a ,b ,α,β为非零常数.若f (2 013)=-1,则f (2 014)=________.解析:f (2 013)=a sin(2 013π+α)+b cos(2 013π+β) =-1,f (2 014)=a sin(2 014π+α)+b cos(2 014π+β) =a sin[π+(2 013π+α)]+b cos[π+(2 013π+β)] =-[a sin(2 013π+α)+b cos(2 013π+β)]=1. 答案:116.关于函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3+1有以下结论:①函数f (x )的值域是[0,2];②点⎝⎛⎭⎪⎫-512π,0是函数f (x )的图象的一个对称中心;③直线x =π3是函数f (x )的图象的一条对称轴;④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,与所得图象对应的函数是偶函数.其中,所有正确结论的序号是________.解析:①∵-1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3≤1, ∴0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3+1≤2;②∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-5π12=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-5π6+π3+1=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2+1=1≠0,∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫-512π,0不是函数f (x )图象的一个对称中心;③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+π3+1=cosπ+1=0,函数取得最小值,∴直线x =π3是函数f (x )的图象的一条对称轴;④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,与所得图象对应的函数解析式为g (x )=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6+π3+1=cos2x +1,此函数是偶函数.综上所述,①③④正确.答案:①③④三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin θ=45,π2<θ<π, (1)求tan θ;(2)求sin 2θ+2sin θcos θ3sin 2θ+cos 2θ的值.解:(1)∵sin 2θ+cos 2θ=1,∴cos 2θ=1-sin 2θ=925.又π2<θ<π,∴cos θ=-35. ∴tan θ=sin θcos θ=-43.(2)sin 2θ+2sin θcos θ3sin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+2tan θ3tan 2θ+1=-857.18.(12分)(1)已知cos(75°+α)=13,其中α为第三象限角,求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值;(2)已知π<θ<2π,cos(θ-9π)=-35,求tan(10π-θ)的值. 解:(1)cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)] =-cos(75°+α)=-13,sin(α-105°)=-sin[180°-(75°+α)] =-sin(75°+α). ∵α为第三象限角,∴75°+α为第三或第四象限角,又cos(75°+α)=13>0, ∴75°+α为第四象限角,∴sin(75°+α)=-1-cos 2(75°+α) =-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫132=-223, ∴cos(105°-α)+sin(α-105°) =-13+223=22-13. (2)由已知得cos(θ-9π)=-35, ∴cos(π-θ)=-35,∴cos θ=35, ∵π<θ<2π,∴3π2<θ<2π,∴sin θ=-45, ∴tan θ=-43,∴tan(10π-θ)=tan(-θ)=-tan θ=43.19.(12分)已知函数f (x )=2cos(2x -π4),x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间.(2)求函数f (x )在区间[-π8,π2]上的最小值和最大值,并求出取得最值时x 的值.解:(1)因为f (x )=2cos(2x -π4),所以函数f (x )的最小正周期为T =2π2=π.由-π+2k π≤2x -π4≤2k π(k ∈Z ),得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z ),故函数f (x )的单调递增区间为[-3π8+k π,π8+k π](k ∈Z ).(2)因为f (x )=2cos(2x -π4)在区间[-π8,π8]上为增函数,在区间[π8,π2]上为减函数,又f (-π8)=0,f (π8)=2,f (π2)=2cos(π-π4)=-2cos π4=-1,所以函数f (x )在区间[-π8,π2]上的最大值为2,此时x =π8;最小值为-1,此时x =π2.20.(12分)函数f 1(x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的一段图象过点(0,1),如图所示.(1)求函数f 1(x )的表达式;(2)把f 1(x )的图象向右平移π4个单位长度得到f 2(x )的图象,求f 2(x )取得最大值时x 的取值.解:(1)由图知,T =π,于是ω=2πT =2.将y =A sin2x 的图象向左平移π12,得y =A sin(2x +φ)的图象,于是φ=2×π12=π6.将(0,1)代入y =A sin(2x +π6),得A =2.故f 1(x )=2sin(2x +π6).(2)依题意,f 2(x )=2sin[2(x -π4)+π6] =-2cos(2x +π6),当2x +π6=2k π+π(k ∈Z ),即x =k π+5π12(k ∈Z )时, y max =2.此时x 的取值为{x |x =k π+5π12,k ∈Z }. 21.(12分)已知函数f (x )=2sin(2x +π6)-1.(1)若点P (1,-3)在角α的终边上,求f (α2-π12)的值; (2)若x ∈[-π6,π3],求f (x )的值域.解:(1)因为点P (1,-3)在角α的终边上, 所以sin α=-32,cos α=12,所以f (α2-π12)=2sin[2×(α2-π12)+π6]-1 =2sin α-1=2×(-32)-1=-3-1. (2)令t =2x +π6,因为x ∈[-π6,π3],所以-π6≤2x +π6≤5π6,而y =sin t 在[-π6,π2]上单调递增, 在[π2,5π6]上单调递减, 且sin(-π6)=-12,sin 5π6=12,所以函数y =sin t 在[-π6,5π6]上的最大值为1, 最小值为-12,即-12≤sin(2x +π6)≤1, 所以f (x )的值域是[-2,1].22.(12分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+B (A >0,ω>0)的一系列对应值如下表:(1)(2)根据(1)的结果,若函数y =f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3,当x ∈[0,π3]时,方程f (kx )=m 恰有两个不同的解,求实数m 的取值范围. 解:(1)设f (x )的最小正周期为T , 得T =11π6-(-π6)=2π, 由T =2πω,得ω=1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B +A =3,B -A =-1.解得⎩⎪⎨⎪⎧A =2,B =1.令ω·5π6+φ=π2,即5π6+φ=π2,解得φ=-π3, ∴f (x )=2sin(x -π3)+1.(2)∵函数y =f (kx )=2sin(kx -π3)+1的最小正周期为2π3, 又k >0,∴k =3,令t =3x -π3, ∵x ∈[0,π3],∴t ∈[-π3,2π3],若sin t =s 在[-π3,2π3]上有两个不同的解, 则s ∈[32,1),∴方程f (kx )=m 在x ∈[0,π3]时恰好有两个不同的解,则m ∈[3+1,3),即实数m的取值范围是[3+1,3).1.如图,在⊙O 中,向量OB →,OC →,AO →是( ) A .有相同起点的向量 B .共线向量 C .模相等的向量 D .相等的向量解析:由题知OB →,OC →,AO →对应的有向线段都是圆的半径,因此它们的模相等.答案:C2.下列说法中正确的是( ) A .若|a |>|b |,则a >b B .若|a |=|b |,则a =b C .若a =b ,则a ∥bD .若a ≠b ,则a 与b 不是共线向量解析:向量不能比较大小,所以A 不正确;a =b 需满足两个条件:a ,b 同向且|a |=|b |,所以B 不正确,C 正确;a 与b 是共线向量只需方向相同或相反,所以D 不正确.答案:C3.设O 是正方形ABCD 的中心,则OA →,BO →,AC →,BD →中,模相等的向量是________.解析:∵四边形ABCD 为正方形,O 为正方形的中心, ∴OA =BO ,即|OA →|=|BO →|,|AC →|=|BD →|. 答案:OA →与BO →,AC →与BD →4.如图所示,四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形. (1)与向量ED →相等的向量为______;(2)若|AB →|=3,则向量EC →的模等于________. 解析:(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中, ∵AB →=ED →,AB →=DC →,∴ED →=DC →. (2)由(1)知ED →=DC →,∴E 、D 、C 三点共线,|EC →|=|ED →|+|DC →|=2|AB →|=6. 答案:(1)AB →、DC →(2)65.一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB →,BC →,CA →. (2)求|CA →|. 解:(1)如图所示. (2)|AB →|=100 m , |BC →|=100 m ,∠ABC =45°+15°=60°, 则△ABC 为正三角形. 故|CA →|=100 m.1.在四边形ABCD 中,AC →=AB →+AD →,则( ) A .ABCD 一定是矩形 B .ABCD 一定是菱形 C .ABCD 一定是正方形D .ABCD 一定是平行四边形解析:由AC →=AB →+AD →知由A ,B ,C ,D 构成的四边形一定是平行四边形.答案:D2.下列等式不成立的是( ) A .0+a =a B .a +b =b +a C.AB →+BA →=2BA →D.AB →+BC →=AC →解析:对于C ,∵AB →与BA →是相反向量, ∴AB →+BA →=0. 答案:C3.化简(AB →+MB →)+(BO →+BC →)+OM →=________.解析:原式=(AB →+BO → )+(OM →+MB → )+BC →=AO →+OB →+BC →=AB →+BC →=AC →.答案:AC →4.若a =“向北走8 km ”,b =“向东走8 km ”,则|a +b |=________;a +b 的方向是________.解析:由向量加法的平行四边形法则,知|a +b |=82,方向为东北方向.答案:8 2 km 东北方向5.在水流速度为4 3 km/h 的河中,要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶,求船在静水中的航行速度的大小和方向.解:设AB →表示水流的速度,AC →表示船的实际航行速度,如图,作出AB →,AC →,连接BC ,作AD 綊BC ,连接DC ,则AD →为所求船的静水航速,且AD →+AB →=AC →.∵|AB →|=43,|AC →|=12, tan ∠ACB =4312=33. ∴∠ACB =30°=∠CAD , |AD →|=|BC →|=83,∠BAD =120°.∴船在静水中的航行速度的大小为8 3 km/h ,方向与水流速度成120°角.1.下列等式: ①0-a =-a ②-(-a )=a ③a +(-a )=0 ④a +0=a ⑤a -b =a +(-b ) ⑥a +(-a )=0正确的个数是( )A .3B .4C .5D .6解析:根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确. 答案:C2.设AB →,BC →,AC →是三个非零向量,且AB →+BC →=AC →,则( ) A .线段AB ,BC ,AC 一定构成一个三角形 B .线段AB ,BC 一定共线 C .线段AB ,BC 一定平行D .线段AB ,BC ,AC 构成三角形或共线解析:由于三角形法则对于共线时也成立,因此线段AB ,BC ,AC 可以构成三角形,也可以共线,但线段AB ,BC 不可能平行.答案:D3.若向量a 与b 共线,且|a |=|b |=1,则|a -b |=________. 解析:∵a 与b 共线, ∴两向量同向或反向. 又|a |=|b |=1,∴|a -b |=0或2. 答案:0或24.化简:(1)(AD →-BM →)+(BC →-MC →)=________. (2)(PQ →-MO →)+(QO →-QM →)=________. 答案:(1)AD → (2)PQ →5.如图,在五边形ABCDE 中,若四边形ACDE 是平行四边形,且AB →=a ,AC →=b ,AE →=c ,试用a ,b ,c 表示向量BD →,BE →,CE →.解:∵四边形ACDE 为平行四边形, ∴CD →=AE →=c ,BC →=AC →-AB →=b -a . ∴BD →=BC →+CD →=b -a +c , BE →=AE →-AB →=c -a , CE →=AE →-AC →=c -b .1.在四边形ABCD 中,若AB →=-12CD →,则此四边形是( ) A .平行四边形 B .菱形 C .梯形D .矩形解析:由AB →=-12CD →可得,在四边形ABCD 中有AB ∥CD ,但|AB |≠|CD |,故为梯形.答案:C2.已知非零向量a ,b 满足a =λb ,b =λa (λ∈R ),则λ=( ) A .-1 B .±1 C .0D .0解析:∵a =λb ,b =λa ,∴a =λ2a ,∴λ±1.答案:B3.化简:2(a -2b )+3(13a +b )=________. 答案:3a -b4.若|a |=5,b 与a 的方向相反,且|b |=7,则a =________b . 解析:∵b 与a 方向相反,∴设a =λb (λ<0) ∴|a |=|λ||b |,∴5=|λ|×7,∴|λ|=57, ∴λ=±57,又λ<0,∴λ=-57. 答案:-57 5.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且AB =2CD ,M ,N 分别是DC 和AB 的中点,若AB →=a ,AD →=b ,试用a ,b 表示BC →和MN →.解:在四边形ANMD 中,有 MN →=MD →+DA →+AN → =-12DC →-AD →+12AB → =-AD →-12(12AB →)+12AB →=-AD →+14AB →=14a -b . 在四边形ABCD 中,有BC →=BA →+AD →+DC →=-AB →+AD →+12AB → =AD →-12AB →=b -12a .1.已知e 1,e 2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中,不能作为一组基底的是( )A .e 1,e 1+e 2B .e 1-2e 2,e 2-2e 1C .e 1-2e 2,4e 2-2e 1D .e 1+e 2,e 1-e 2解析:因为4e 2-2e 1=-2(e 1-2e 2),从而e 1-2e 2与4e 2-2e 1共线.答案:C2.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b ,若点D 满足BD →=2DC →,以b 与c 作为基底,则AD →=( )A.23b +13cB.53c -23bC.23b -13cD.13b +23c解析:∵BD →=2DC →,∴AD →-AB →=2(AC →-AD →), ∴AD →-c =2(b -AD →),∴AD →=13c +23b . 答案:A。
高中数学(必修4)第一章(上)三角函数综合测试题C组(含答案)
(数学4必修)第一章 三角函数(上)[提高训练C 组] 一、选择题1.化简0sin 600的值是( )A .0.5B .0.5- C.2 D.2-2.若10<<a ,ππ<<x 2,则11cos cos )(2--+---x x a a x x a x x a的值是( )A .1B .1-C .3D .3- 3.若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πα,则αsin log 33等于( ) A .αsin B .αsin 1 C .αsin - D .αcos 1- 4.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( )A .5.0sin 1B .sin0.5C .2sin0.5D .tan0.55.已知sin sin αβ>,那么下列命题成立的是( )A .若,αβ是第一象限角,则cos cos αβ>B .若,αβ是第二象限角,则tan tan αβ>C .若,αβ是第三象限角,则cos cos αβ>D .若,αβ是第四象限角,则tan tan αβ>6.若θ为锐角且2coscos 1-=--θθ,则θθ1coscos -+的值为( )A .22B .6C .6D .4二、填空题1.已知角α的终边与函数)0(,0125≤=+x y x 决定的函数图象重合,αααsin 1tan 1cos -+的值为_____________. 2.若α是第三象限的角,β是第二象限的角,则2βα-是第 象限的角.3.在半径为30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源, 射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为0120,若要光源 恰好照亮整个广场,则其高应为_______m (精确到0.1m )4.如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限。
5.若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,{}|22B x x =-≤≤, 则B A I =_______________________________________。
北师大版高中数学必修四:第一、二章综合测试题(含答案)
阶段性测试题三(第一、二章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分150分,时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,其中有且仅有一个是正确的.)1.下列各式中,不能化简为AD →的是( ) A .(AB →+CD →)+BC →B .(AD →+MB →)+(BC →+CM →) C .MB →+AD →-BM → D .OC →-OA →+CD →[答案] C[解析] A 中,(AB →+CD →)+BC →=AB →+BC →+CD →=AD →; B 中,(AD →+MB →)+(BC →+CM →)=AD →+MB →+BM →=AD →. C 中,MB →+AD →-BM →=MB →+AD →+MB →=2MB →+AD →; D 中,OC →-OA →+CD →=AC →+CD →=AD →,故选C. 2.设a 、b 、c 是非零向量,下列命题正确的是( ) A .(a·b )·c =a·(b·c )B .|a -b|2=|a|2-2|a||b|+|b|2C .若|a|=|b|=|a +b|,则a 与b 的夹角为60°D .若|a|=|b|=|a -b|,则a 与b 的夹角为60° [答案] D[解析] 对于A ,数量积的运算不满足结合律,A 错;对于B ,|a -b|2=|a|2-2a ·b +|b |2=|a |2-2|a||b |·cos<a ,b>+|b |2,B 错,对于C 、D ,由三角形法则知|a |=|b |=|a -b |组成的三角形为正三角形,则<a ,b >=60°,∴D 正确.3.(2014·山东曲阜师范附属中学高一模块测试)已知一个扇形的半径为1,弧长为4,则该扇形的面积为( )A .1B .2C .3D .4[答案] B[解析] 扇形的面积S =12lR =12×4×1=2.4.(2014·湖北长阳一中高一月考)下列说法正确的是( ) A .第三象限的角比第二象限的角大B .若sin α=12,则α=π6C .三角形的内角是第一象限角或第二象限角D .不论用角度制还是弧度制度量一个角,它们与扇形所对应的半径的大小无关 [答案] D[解析] -120°是第三象限角,120°是第二象限角,而-120°<120,排除A ;若sin α=12,则α=π6+2k π或α=5π6+2k π(k ∈Z ),排除B ;当三角的内角等于90°时,它既不是第一象限,也不是第二象限,排除C ,故选D.5.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD →=2DB →,CD →=rAB →+sAC →,则r +s 的值是( ) A .23B .43C .-3D .0[答案] D[解析] CD →=AD →-AC →,DB →=AB →-AD →, ∴CD →=AB →-DB →-AC →=AB →-12CD →-AC →,∴32CD →=AB →-AC →, ∴CD →=23AB →-23AC →,又AC →=rAB →+sAC →,∴r =23,s =-23,∴r +s =0,故选D.6.在△ABC 中,D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点,点M 是△ABC 的重心,则MA →+MB →-MC →等于( )A .0B .4MD →C .4MF →D .4ME →[答案] C [解析] 如图,由已知得,MA →+MB →=2MF →,又∵M 为△ABC 的重心, ∴|MC |=2|MF |,∴-MC →=CM →=2MF →, ∴MA →+MB →-MC →=4MF →.7.如图所示,点P 在∠AOB 的对角区域MON 内,且满足OP →=xOA →+yOB →,则实数对(x ,y )可以是( )A .(12,-13)B .(14,12)C .(-23,-13)D .(-34,25)[答案] C[解析] 向量OP →用基底OA →、OB →表示具有惟一性,结合图形知x <0,y <0,故选C. 8.(2014·江西九江外国语高一月考)已知sin(α+75°)=12,则cos(α-15°)=( )A .32B .-32 C .12D .-12[答案] C[解析] ∵cos(15°-α)=sin(α+75°)=12,∴cos(α-15°)=cos(15°-α)=12.9.函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫32x +π4的图象相邻的两个零点之间的距离是( ) A .π3B .2π3C .4π3D .2π[答案] B[解析] 函数y =sin ⎝⎛⎭⎫32x +π4的图象相邻的两个零 点之间的距离为半个周期,又T =2π32=4π3,∴T 2=2π3.10.函数y =cos ⎝⎛⎭⎫-3x +π3的一个对称中心为( ) A .⎝⎛⎭⎫π6,0 B .⎝⎛⎭⎫π3,0 C .⎝⎛⎭⎫5π18,0 D .⎝⎛⎭⎫π2,0[答案] C[解析] y =cos ⎝⎛⎭⎫-3x +π3=cos ⎝⎛⎭⎫3x -π3, 令3x -π3=k π+π2(k ∈Z ),∴x =k π3+5π18(k ∈Z ).当k =0时,x =5π18,故选C.11.已知向量OA →=(4,6),OB →=(3,5),且OC →⊥OA →,AC →∥OB →,则向量OC →等于( ) A .(-37,27)B .(-27,421)C .(37,-27)D .(27,-421)[答案] D[解析] 设OC →=(x ,y ),则AC →=OC →-OA →=(x -4,y -6).∵OC →⊥OA →,AC →∥OB →,∴⎩⎪⎨⎪⎧4x +6y =0x -43=y -65,解得⎩⎨⎧x =27y =-421.∴OC →=(27,-421).12.△ABC 为等边三角形,且边长为2,点M 满足BM →=2AM →,则CM →·CA →=( ) A .6 B .3 C .15 D .12[答案] A [解析] 如图,∵BM →=2AM →,∴AB =AM =2, 又∵△ABC 为等边三角形, ∴∠BAC =60°,即∠CAM =120°.又AM =AC ,∴∠AMC =∠ACM =30°,∴∠BCM =90°. ∴CM =BM 2-BC 2=16-4=2 3. ∴CM →·CA →=|CM →|·|CA →|cos30°=23×2×32=6.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每空4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知sin α、cos α是方程2x 2-x -m =0的两根,则m =________. [答案] 34[解析] 由题意,得⎩⎨⎧sin α+cos α=12sin αcos α=-m2,解得m =34,又m =34时满足方程2x 2-x -m =0有两根.14.已知向量a =(1,0),b =(1,1),则(1)与2a +b 同向的单位向量的坐标表示为________; (2)向量b -3a 与向量a 夹角的余弦值为________. [答案] (1)(31010,1010) (2)-255[解析] (1)2a +b =2(1,0)+(1,1)=(3,1),∴与2a +b 同向的单位向量为(31010,1010).(2)cos 〈a ,b -3a 〉=a ·(b -3a )|a |·|b -3a |=(1,0)·(-2,1)5=-255.15.已知函数f (x )=a sin2x +cos2x (a ∈R )的图象的一条对称轴方程为x =π12,则a 的值为________.[答案]33[解析] 由题意,得f (0)=f ⎝⎛⎭⎫π6,即a sin0+cos0=a sin π3+cos π3,∴32a =12,∴a =33. 16.设单位向量m =(x ,y ),b =(2,-1).若m ⊥b ,则|x +2y |=________. [答案]5[解析] 本题考查了向量垂直,坐标运算、数量积等.由m ⊥b 知m ·b =0,即2x -y =0①,又由m 为单位向量,所以|m |=1,即x 2+y 2=1 ②,由①②联立解得⎩⎨⎧x =55y =255或⎩⎨⎧x =-55y =-255,所以|x +2y |= 5.三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考) (1)已知A (1,2)、B (3,5)、C (9,14),求证:A 、B 、C 三点共线; (2)已知|a |=2,|b |=3,(a -2b )·(2a +b )=-1,求a 与b 的夹角. [解析] (1)AB →=(2,3),AC →=(8,12), ∴AC →=4AB →, ∴AC →与AB →共线. 又∵AC →与AB →有公共点A , ∴A 、B 、C 三点共线. (2)设a 与b 的夹角为θ,则(a -2b )·(2a +b )=2a 2-3a ·b -2b 2=2×4-3×2×3×cos θ-2×9=-10-18cos θ=-1,∴cos θ=-12.∵θ∈[0,π],∴θ=2π3.18.(本小题满分12分)已知两个非零向量a 、b 满足(a +b )⊥(2a -b ),(a -2b )⊥(2a +b ),求a 与b 的夹角的余弦值.[解析] 由(a +b )⊥(2a -b ),(a -2b )⊥(2a +b ),得⎩⎪⎨⎪⎧(a +b )·(2a -b )=0,(a -2b )·(2a +b )=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2+a ·b -b 2=0,①2a 2-3a ·b -2b 2=0.② 由①×3+②得a 2=58b 2,∴|a |2=58|b |2,即|a |=58|b |.③由①得a ·b =b 2-2a 2=|b |2-2×58|b |2=-14b 2,④由③④可得cos θ=a ·b|a |·|b |=-14|b |258|b |·|b |=-1010.∴a 、b 的夹角的余弦值为-1010. 19.(本小题满分12分)函数f (x )=A sin(ωx -π6)+1(A >0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式;(2)设α∈(0,π2),f (α2)=2,求α的值.[解析] (1)∵函数f (x )的最大值为3, ∴A +1=3,即A =2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,∴最小正周期T =π,∴ω=2.故函数f (x )的解析式为y =2sin(2x -π6)+1.(2)∵f (α2)=2sin(α-π6)+1=2,即sin(α-π6)=12,∵0<α<π2,∴-π6<α-π6<π3,∴α-π6=π6,故α=π3.20.(本小题满分12分)已知a =3i -4j ,a +b =4i -3j , (1)求向量a 、b 的夹角;(2)对非零向量p 、q ,如果存在不为零的常数α、β使αp +βq =0,那么称向量p 、q 是线性相关的,否则称向量p 、q 是线性无关的.向量a 、b 是线性相关还是线性无关的?为什么?[解析] (1)b =(a +b )-a =i +j ,设a 与b 夹角为θ,根据两向量夹角公式: cos θ=a ·b |a ||b |=3-452=-210.故夹角θ=π-arccos210. (2)设常数α,β使得αa +βb =0,那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α+β=0-4α+β=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α=0β=0,所以不存在非零常数α,β,使得αa +βb =0成立.故a 和b 线性无关.21.(本小题满分12分)如图所示,函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|≤π2)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12,3和⎝⎛⎭⎫11π12,-3,求该函数的解析式.[解析] 由题意知A =3,设最小正周期为T , 则T 2=11π12-5π12=π2, ∴T =π,又T =2πω,∴ω=2.∴函数解析式为y =3sin(2x +φ). ∵点⎝⎛⎭⎫5π12,3在图象上, ∴3=3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12+φ, ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π6+φ=1. ∴5π6+φ=2k π+π2, ∴φ=2k π-π3,k ∈Z .∵|φ|≤π2,∴φ=-π3.∴函数的解析式为y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3.22.(本小题满分14分)已知函数f (x )=23sin(3ωx +π3),其中ω>0.(1)若f (x +θ)是周期为2π的偶函数,求ω及θ的值; (2)若f (x )在(0,π3]上是增函数,求ω的最大值.[解析] (1)由函数解析式f (x )=23sin(3ωx +π3),ω>0整理可得f (x +θ)=23sin[3ω(x +θ)+π3]=23sin(3ωx +3ωθ+π3),由f (x +θ)的周期为2π,根据周期公式2π=2π3ω,且ω>0,得ω=13,∴f (x +θ)=23sin(x +θ+π3), ∵f (x +θ)为偶函数,定义域x ∈R 关于原点对称, 令g (x )=f (x +θ)=23sin(x +θ+π3),∴g (-x )=g (x ),23sin(x +θ+π3)=23sin(-x +θ+π3),∴x +θ+π3=π-(-x +θ+π3)+2k π,k ∈Z ,∴θ=k π+π6,k ∈Z .∴ω=13,θ=k π+π6,k ∈Z .(2)∵ω>0,∴2k π-π2≤3ωx +π3≤π2+2k π,k ∈Z ,∴2k π3ω-15π18ω≤x ≤π18ω+2k π3ω,k ∈Z ,若f (x )在(0,π3]上是增函数,∴(0,π3]为函数f (x )的增区间的子区间,∴π18ω≥π3,∴ω≤16,∴ωmax =16.。
高中数学 第二章 综合检测题 新人教A版必修4
第二章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分150分,时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(08²湖北文)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )²c =( ) A .(-15,12) B .0 C .-3 D .-11 [答案] C[解析] ∵a +2b =(-5,6),c =(3,2), ∴(a +2b )²c =-5³3+6³2=-3.2.已知a =(1,-1),b =(λ,1),a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( ) A .λ>1 B .λ<1 C .λ<-1D .λ<-1或-1<λ<1 [答案] D[解析] 由条件知,a ²b =λ-1<0,∴λ<1, 当a 与b 反向时,假设存在负数k ,使b =k a ,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ=k 1=-k,∴⎩⎪⎨⎪⎧k =-1λ=-1.∴λ<1且λ≠-1.3.在四边形ABCD 中,若AB →²CD →=-|AB →|²|CD →|,且BC →²AD →=|AD →|²|BC →|,则该四边形一定是( )A .平行四边形B .矩形C .菱形D .正方形 [答案] A[解析] 由AB →²CD →=-|AB →|²|CD →|可知AB →与CD →的夹角为180°,∴AB ∥CD .又由BC →²AD →=|AD →|²|BC →|知BC →与AD →的夹角为0°, ∴BC ∥AD ,∴四边形ABCD 是平行四边形.4.如果两个非零向量a 和b 满足等式|a |+|b |=|a +b |,则a ,b 应满足( ) A .a ²b =0 B .a ²b =|a |²|b | C .a ²b =-|a |²|b | D .a ∥b [答案] B[解析] 由|a |+|b |=|a +b |知,a 与b 同向,故夹角为0°,∴a ²b =|a |²|b |cos0°=|a |²|b |.5.(08²湖南理)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且DC →=2BD →,CE →=2EA →,AF →=2FB →,则AD →+BE →+CF →与BC →( )A .反向平行B .同向平行C .互相垂直D .既不平行也不垂直 [答案] A[解析] AD →+BE →+CF →=AB →+BD →+BC →+CE →+BF →-BC →=AB →+13BC →+BC→-23AC →-13AB →-BC →=23(AB →-AC →)+13BC →=23CB →+13BC →=-13BC →,故选A. 6.在▱ABCD 中,已知AC →=(-4,2),BD →=(2,-6),那么|2AB →+AD →|=( )A .5 5B .2 5C .210 D.85 [答案] D[解析] 设AB →=a ,AD →=b ,则a +b =AC →=(-4,2),b -a =BD →=(2,-6), ∴b =(-1,-2),a =(-3,4), ∴2AB →+AD →=2a +b =(-7,6),∴|2AB →+AD →|=(-7)2+62=85.7.如右图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,OD →=d ,且E 、F 分别为AB 、CD 的中点,则( )A.EF →=12(a +b +c +d )B.EF →=12(a -b +c -d )C.EF →=12(c +d -a -b )D.EF →=12(a +b -c -d )[答案] C[解析] ∵EF →=OF →-OE →=12(OC →+OD →)-12(OA →+OB →)=12(c +d )-12(a +b ), ∴EF →=12(c +d -a -b ).8.在矩形ABCD 中,AE →=12AB →,BF →=12BC →,设AB →=(a,0),AD →=(0,b ),当EF →⊥DE →时,求得|a ||b |的值为( ) A .3 B .2 C. 3 D. 2 [答案] D[解析] 如图,∵EF →=EB →+BF →=12AB →+12AD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2,0+⎝ ⎛⎭⎪⎫0,b 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2,b2.又∵DE →=DA →+AE →=-AD →+12AB →=(0,-b )+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2,0=⎝ ⎛⎭⎪⎫a2,-b , ∵EF →⊥DE →,∴a 24-b 22=0,∴|a ||b |= 2.9.已知向量OA →=(2,2),OB →=(4,1),在x 轴上求一点P ,使AP →²BP →取最小值,则P 点的坐标是( )A .(3,0)B .(-3,0)C .(2,0)D .(4,0) [答案] A[解析] 设P (x 0,0),且AP →=(x 0-2,-2),BP →=(x 0-4,-1), ∴AP →²BP →=(x 0-2)(x 0-4)+2 =x 20-6x 0+10=(x 0-3)2+1, ∴x 0=3时,AP →²BP →取最小值.10.(08²浙江理)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足(a -c )²(b -c )=0,则|c |的最大值是( )A .1B .2 C. 2 D.22[答案] C[解析] 由(a -c )(b -c )=0得a ²b -(a +b )²c +c 2=0,即c 2=(a +b )c , 故|c |²|c |≤|a +b |²|c |,即|c |≤|a +b |=2,故选C.11.(09²辽宁文)平面向量a 与b 的夹角为60°,a =(2,0),|b |=1,则|a +2b |=( ) A. 3 B .2 3 C .4 D .12 [答案] B[解析] ∵a =(2,0),∴|a |=2,|a +2b |2=|a |2+4|b |2+4a ²b =4+4+4³2³1³cos60°=12, ∴|a +2b |=23,∴选B.12.设e 1与e 2为两不共线向量,AB →=2e 1-3e 2,BC →=-5e 1+4e 2,CD →=e 1+2e 2,则( ) A .A 、B 、D 三点共线 B .A 、C 、D 三点共线 C .B 、C 、D 三点共线 D .A 、B 、C 三点共线 [答案] A[解析] ∵BD →=BC →+CD →=-4e 1+6e 2 =-2(2e 1-3e 2)=-2AB →,∴AB →∥BD →, ∵AB →与BD →有公共点B ,∴A 、B 、D 三点共线.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.与向量a =(-5,12)共线的单位向量为________. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫-513,1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫513,-1213[解析] ∵|a |=13,∴与a 共线的单位向量为 ±a |a |=±⎝ ⎛⎭⎪⎫-513,1213.14.在△ABC 中,AB =2,AC =3,D 是边BC 的中点,则AD →²BC →=________. [答案] 52[解析] 由已知得AD →=12(AB →+AC →),BC →=AC →-AB →,∴AD →²BC →=12(AB →²AC →)²(AC →-AB →)=12(|AC →|2-|AB →|2)=12(9-4)=52. 15.已知a +b =2e 1-8e 2,a -b =-8e 1+16e 2,其中|e 1|=|e 2|=1,e 1⊥e 2,则a ²b =________.[答案] -63[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a +b =2e 1-8e 2a -b =-8e 1+16e 2得,⎩⎪⎨⎪⎧a =-3e 1+4e 2b =5e 1-12e 2,∴a ²b =(-3e 1+4e 2)²(5e 1-12e 2) =-15|e 1|2+56e 1²e 2-48|e 2|2=-63.16.已知OA →=(k,2),OB →=(1,2k ),OC →=(1-k ,-1),且相异三点A 、B 、C 共线,则实数k =________.[答案] -14[解析] AB →=OB →-OA →=(1-k,2k -2), AC →=OC →-OA →=(1-2k ,-3),∵A 、B 、C 三点共线,∴AB →∥AC →,∴(1-k )²(-3)-(2k -2)²(1-2k )=0,∴k =1或-14. ∵A 、B 、C 是不同三点,∴k ≠1,∴k =-14.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)已知a =(1,1),且a 与a +2b 的方向相同,求a ²b 的取值范围. [解析] ∵a 与a +2b 方向相同,且a ≠0, ∴存在正数λ,使a +2b =λa ,∴b =12(λ-1)a .∴a ²b =a ²⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(λ-1)a =12(λ-1)|a |2=λ-1>-1.即a ²b 的取值范围是(-1,+∞).18.(本题满分12分)已知a =(1,2),b =(-3,2),当k 为何值时, (1)k a +b 与a -3b 垂直?(2)k a +b 与a -3b 平行?平行时它们是同向还是反向? [解析] (1)k a +b =k ³(1,2)+(-3,2) =(k -3,2k +2),a -3b =(1,2)-3³(-3,2)=(10,-4).当(k a +b )²(a -3b )=0时,这两个向量垂直. 由10(k -3)+(2k +2)(-4)=0, 解得k =19.即当k =19时,k a +b 与a -3b 垂直.(2)当k a +b 与a -3b 平行时,存在唯一的实数λ使k a +b =λ(a -3b ). 由(k -3,2k +2)=λ(10,-4)得,⎩⎪⎨⎪⎧k -3=10λ,2k +2=-4λ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-13,λ=-13.即当k =-13时,两向量平行.∵λ=-13,∴-13a +b 与a -3b 反向.19.(本题满分12分)已知a =3i -4j ,a +b =4i -3j , (1)求向量a 、b 的夹角的余弦值;(2)对非零向量p ,q ,如果存在不为零的常数α,β使αp +βq =0,那么称向量p ,q 是线性相关的,否则称向量p ,q 是线性无关的.向量a ,b 是线性相关还是线性无关的?为什么?[解析] (1)b =(a +b )-a =i +j ,设a 与b 夹角为θ,根据两向量夹角公式:cos θ=a ²b |a ||b |=3-452=-210. (2)设存在不为零的常数α,β使得αa +βb =0,那么⎩⎪⎨⎪⎧3α+β=0-4α+β=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α=0β=0,所以不存在非零常数α,β,使得αa +βb =0成立.故a 和b 线性无关.20.(本题满分12分)已知正方形ABCD ,P 为对角线AC 上任一点,PE ⊥AB 于点E ,PF ⊥BC 于点F .求证:DP ⊥EF .[证明] 以A 为原点,AB 、AD 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系,设正方形边长为1,则AB →=(1,0),AD →=(0,1).由已知,可设AP →=(a ,a ),并可得EB →=(1-a,0),BF →=(0,a ),EF →=(1-a ,a ),DP →=AP →-AD →=(a ,a -1),∵DP →²EF →=(1-a ,a )²(a ,a -1) =(1-a )a +a (a -1)=0. ∴DP →⊥EF →,因此DP ⊥EF .21.(本题满分12分)设直线l :mx +y +2=0与线段AB 有公共点P ,其中A (-2,3),B (3,2),试用向量的方法求实数m 的取值范围.[解析] (1)P 与A 重合时,m ³(-2)+3+2=0, ∴m =52.P 与B 重合时,3m +2+2=0,∴m =-43.(2)P 与A 、B 不重合时,设AP →=λPB →,则λ>0. 设P (x ,y ),则AP →=(x +2,y -3),PB →=(3-x,2-y ).∴⎩⎪⎨⎪⎧x +2=λ(3-x )y -3=λ(2-y ),∴⎩⎪⎨⎪⎧x =3λ-2λ+1y =2λ+3λ+1,把x ,y 代入mx +y +2=0可解得λ=2m -53m +4,又∵λ>0,∴2m -53m +4>0.∴m <-43或m >52.由(1)(2)知,所求实数m 的取值范围是-∞,-43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52,+∞.22.(本题满分14分)已知a ,b 是两个非零向量,夹角为θ,当a +t b (t ∈R )的模取最小值时.(1)求t 的值;(2)求b 与a +t b 的夹角.[解析] (1)|a +t b |2=a 2+2t a ²b +t 2b 2=|b |2t 2+2|a ||b |cos θ²t +|a |2. ∴当t =-|a |cos θ|b |时,|a +t b |有最小值.(2)当t =-|a |cos θ|b |时,b ²(a +t b )=a ²b +t |b |2=|a |²|b |cos θ-|a |cos θ|b |²|b |2=0.∴b ⊥(a +t b ),即b 与a +t b 的夹角为90°.。
高中数学必修四练习册(后含答案)
C.{α|α=k·180°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
6.射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转 120°到达 OB 位置,由
OB 位置顺时针旋转 270°到达 OC 位置,则∠AOC=
()
A.150°
B.-150°
C.390°
D.-390°
7.若集合 M={α|α=±30°+k·180°,k∈Z},N={α|α=(-
D.α|α=2kπ+53π,k∈Z
3.已知集合 A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-
4≤α≤4},则 A∩B=( )
A.
B.{α|0≤α≤π|
C.{α|-4≤α≤4|
D.{α|-4≤α≤-π 或 0≤α≤π}
4.一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆心角是____
弧度 ( )
1.1.1 任意角
一、选择题
1.下列各命题正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角
D.小于 90°的角都是锐角
2.若 α 是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的
是( )
A.90°-α
B.90°+α
C.360°-α
D.180°+α
3.在“①160°,②480°,③-960°,④-1600°”这四个角
A.sinα+cosα<0
B.tanα-sinα<0
π
π
π
A.π
B.2
C.3
D.4
5.如图中,圆的半径为 5,圆内阴影部分的面积是( )
175π A. 36
125π B. 18
75π C. 18
人教A版新课标高中数学必修4第一章《三角函数》综合练习题(含答案)
第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p (-3,-4),则)2cos(απ+的值为( )A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ,圆心角为120︒所对的弧长为()A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是( )A .3π,2-,4πB .3π,2,12πC .6π,2,12πD .6π,2,4π4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变,横坐标变为原来的12,然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位,则表达式为( ) A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-5.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π3(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图像( )A .关于直线x =π4对称B .关于点(π3,0)对称C .关于点(π4,0)对称D .关于直线x =π3对称6.如图,曲线对应的函数是 ( ) A .y=|sin x | B .y=sin|x |C .y=-sin|x |D .y=-|sin x |7.函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是()A .2B .0C .41 D .68.函数y =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫-2x -π6(x ∈[0,π])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示,如果0,0,||2A πωϕ>><,则( )A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-,则sin()3πα-的值为()A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角,且βαcos cos >,则 ( )A.βα<;B.βαsin sin >;C.βαtan tan >;D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ,最小正周期为32π的函数,若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13.函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14.若sin α+cos αsin α-cos α=2,则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是 . 16.函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知α是第二象限角,sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--.(1)化简()f α; (2)若31sin()23πα-=-,求()f α的值.18.已知tan 3α=,求下列各式的值: (1)4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ;(2)212sin cos cos ααα+.19.(1)画出函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π - 2x 在一个周期的函数图像;(2)求出函数的对称中心和对称轴方程.20.已知y =a -b cos3x (b >0)的最大值为32,最小值为-12.(1)判断其奇偶性.(2)求函数y =-4a sin(3bx )的周期、最大值,并求取得最大值时的x ;21.已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间; (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、1[]216、13k << 17. 解析:(1)sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---;(2)若31sin()23πα-=-,则有1cos 3α=-,所以()f α=3。
(人教版B版2019课标)高中数学必修第四册 第十一章综合测试(含答案)
第十一章综合测试基础练习一、单选题1.如图,四棱锥P ABCD -,AC BD O =,M 是PC 的中点,直线AM 交平面PBD 于点N ,则下列结论正确的是( )A.O ,N ,P ,M 四点不共面B.O ,N ,M ,D 四点共面C.O ,N ,M 三点共线D.P ,N ,D 三点共线2.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,1AA AB AC BC ===,则异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值为( )A.12-B.12C.14-D.143.如图,在四面体ABCD 中,截面PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为( )A.AC BD ⊥B.AC ∥截面PQMNC.AC BD =D.异面直线PM 与BD 所成的角为45︒4.设E ,F 分别是正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点,且2AB =,1EF =,给出下列四个命题:①三棱锥11D B EF -的体积为定值; ②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒; ③11D B ⊥平面1B EF ;④直线11D B 与平面1D EF 所成的角为60︒。
其中正确的命题为( ) A.①②B.②③C.②④D.①④5.在如图的正方体ABCD A B C D ''''-中,3AB =,点M 是侧面BCC B ''内的动点,满足'AM BD ⊥,设AM 与平面BCC B ''所成角为θ,则tan θ的最大值为( )C.43D.34二、填空题6.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥面ABCD ,4PA AB ==,E ,F ,H 分别是棱PB ,BC ,PD 的中点,过E ,F ,H 的平面交棱CD 于点G ,则四边形EFGH 面积为________。
7.如图,在四面体ABCD 中,若截面PQMN 是正方形,则在下列命题中,正确的是________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
高中数学必修4综合测试题
一、选择题(50分)
1.将分针拨慢5分钟,则分钟转过的弧度数是 ( )
A .
3
π B .-
3
π C .
6
π D .-
6
π 2.已知角α的终边过点()m m P 34,
-,()0≠m ,则ααcos sin 2+的值是( ) A .1或-1 B .
52或52- C .1或52- D .-1或5
2 3、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是( )
A.35(
,
)(,
)244
ππ
π
π B.5(,)(,)424ππππ
C.353(,)(,)2442ππππ
D.33(,)(,)244
ππππ
4. 若|2|=a ,2||=b 且(b a -)⊥a ,则a 与b 的夹角是 ( )
(A )
6π (B )4π (C )3π
(D )π12
5 5.已知函数B x A y ++=)sin(ϕϖ的一部分图象如右图所示,如果2
||,0,0π
ϕϖ<>>A ,则( )
A.4=A
B.1=ϖ
C.6
π
ϕ=
D.4=B
6.已知==
-
∈x x x 2tan ,5
4
cos ),0,2
(则π
( )
A .24
7
B .24
7-
C .7
24
D .7
24-
7. 同时具有以下性质:“①最小正周期实π;②图象关于直线x =π3对称;③在[-π6,π
3]上是增函数”
的一个函数是 ( ) A . y =sin (x 2+π
6
)
B . y =cos (2x +π3)
C . y =sin (2x -π6)
D . y =cos (2x -π
6
)
8. 设i =(1,0),j =(0,1),a =2i +3j ,b =k i -4j ,若a ⊥b ,则实数k 的值为( )
A .-6
B .-3
C .3
D .6 9. 函数)34
cos(3)34sin(3x x y -+-=π
π
的最小正周期为 ( )
A .3
2π
B .3
π
C .8
D .4
10. 2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是θθ22cos sin ,25
1
-则的值等于( )
A .1
B .2524-
C .257
D .-25
7
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11. 已知3
3
22
cos
2
sin
=
+θ
θ
,那么θsin 的值为 ,θ2cos 的值为 12. 已知|a |=3,|b |=5, 且向量a 在向量b 方向上的投影为12
5
,则a ·b = .
13. 已知向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点(O 为坐标原点),那么
XB XA ⋅的最小值是___________________ 14.给出下列6种图像变换方法:
①图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的
2
1
;②图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;③图像向右平移3π个单位;④图像向左平移3
π
个单位;⑤图像向右平移
32π个单位;⑥图像向左平移3
2π
个单位。
请写出用上述变换将函数y = sinx 的图像变换到函数y = sin
(2x +3
π
)的图像的一个变换______________.(按变换顺序写上序号即可) 三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应有证明或演算步骤)
15.(12分)已知tan 2x =,求
)
(cos )sin(sin 1)
cos()cos()sin(222x x x x x x ---+++--+πππππ的值
16、(12分)已知cos(α-2β)=19-,sin(2αβ-)=2
3
,且α∈(2π,π),β∈(0,2π),求cos 2αβ+的值.
17. (12分)(2011广东卷理)已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直,其中
(0,)2
π
θ∈.
(1)求θsin 和θcos 的值;
(2)若sin()102
π
θϕϕ-=<<,求cos ϕ的值.
18. (14分)已知函数2
()sin cos cos (0)f x a x x x b a =⋅+> (1)写出函数的单调递减区间;
(2)设]2
0[π
,∈x ,()f x 的最小值是2-,最大值是3,求实数,a b 的值.
19.(14分) 已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+. (1)下图是sin()I A t ωϕ=+(0,π
ωϕ><
sin()I A t ωϕ=+的解析式;
(2)如果t 在任意一段
1
150
秒的时间内,电流 sin()I A t ωϕ=+ 那么ω的最小正整数值是多少?
20、(本题满分14分)设a 、b 是两个不共线的非零向量(R t ∈)
(1)记),(3
1
,,b a OC b t OB a OA +=
==那么当实数t 为何值时,A 、B 、C 三点共线? (2)若 1201||||夹角为与且b a b a ==,那么实数x 为何值时||b x a -的值最小?
高中数学必修4综合测试题参考答案
一、选择题。
1. D 2.B 3、B 4、B 5、C 6、D 7、C . 8、D 9、A 10、D 二、填空题。
11、
31,9
7
12、12 13.-8 14. ④②或②⑥ 15.解:
x
x
x x x x x x x x x x sin cos )1sin 2(sin )1sin 2(cos cos sin sin 1cos cos sin 22
2=++=-+++ ……………… 6分 由sin tan 2cos x x x == 得:原式=1
2 ………………………………………… 12分
18
解:1()sin 2(1cos 2)222
f x a x x b =
-+++
sin 2cos 2sin(2)223
a x x
b a x b π=
-+=-+ (1)3511222,23
21212
k x k k x k π
π
πππ
ππππ+
≤-
≤+
+≤≤+
511[,],1212
k k k Z ππ
ππ∴++∈为所求
(2
)20,2,sin(2)12
3
3
323
x x x π
π
π
ππ≤≤
-
≤-
≤
-≤-≤
min max ()2,()2
f x b f x a b =-
+=-=+=
222a b b a b ⎧=⎧+=-⎪⎪⇒⎨⎨=-+⎪⎩⎪+=⎩
19 解:(1)由图可知300A =,设11900t =-
,21180t =, ……………………(2分) 则周期211112()2()18090075
T t t =-=+=, …………………………(4分) ∴2150T π
ωπ==. ………………………………………………………(6分) 1900t =-时,0I =,即1sin[150()]0900πϕ⋅-
+=,sin()06
π
ϕ-=.
而2
πϕ<
, ∴6
π
ϕ=
.
故所求的解析式为300sin(150)6
I t π
π=+. ……………………………(8分)
(2)依题意,周期1150T ≤
,即21150
πω≤,(0)ω>, …………………(10分) ∴300942ωπ≥>,又*
N ω∈,故最小正整数943ω=. ……………(13分)
20、解:(1)A 、B 、C 三点共线知存在实数OB OA OC )1(,λλλ-+=使 即b t a b a )1()(3
1
λλ-+=+,…………………………………………………4分
则2
1
,31==
t 实数λ………………………………………………………………6分 (2),2
1120cos ||||-=⋅=⋅
b a b a
,12||22
222++=⋅⋅-⋅+=-∴x x b a x b x a b x a ……………………………9分
当2
3
||,21
取最小值
时b x a x --=…………………………………………12分。