北京工业大学机械振动学历年真题
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北京工业大学 研究生《机械振动学》2014 年期末复习
−3 0 3− 2 p 变换令： p = ，有 k 0 −3 −4 {u} = 7 −3p {0} 则： p(6 p 2 − 29 p + 27) = k 0 −4 4− 4p
λm
有 = ω1 0, = ω2 = p1 0, = p2 1.2590, = p3 3.5744 ，于是
2、求图示四自由度系统振动的固有频率与振型，画出振型图。(2005.2) 解：取质量块 m1 , m2 , m3 的水平位移 x1 , x2 , x3 为广义坐标，则由影响系数法列出质量和刚度矩阵为
1 2 −1 0 0 1 −1 2 −1 0 ，K =k M =m 0 −1 2 −1 1 1 0 0 −1 2 −k 0 0 2k − λ m −k 2k − λ m −k 0 求出特征值： ( K − λ M )u = 0 ，即 {u} = {0} 0 −k 2k − λ m −k 0 0 −k 2k − λ m −1 0 0 2− p −1 2 − p −1 0 λm ，有 k 变换令： p = 0 {u} = {0} 则： ( p − 2)4 − 3( p − 2)2 + 1 = 0 −1 2 − p −1 k 0 −1 2 − p 0
4、质量为 m、半径为 R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在 CA=a 的 A 点系有两根弹性刚 度系数为 k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 （2013.1） 解：如图，令 θ 为柱体的转角，转动方程 θ = θ sin ωn t 则系统的动能和势能分别为： k A a R
2
k
= ω θ 和 T = V 可得： ω = 利用 θ n max max n
R + a 4k 4k (R + a ) = 2 R 3mR 3m
2
二、求振幅类型
1、一位移传感器的固有频率为 4Hz，无阻尼，用以测量频率为 12Hz 的简谐振动、测得振幅为 0.275cm， 问实际振幅为多少？若加入一阻尼器， 阻尼比为 0.7， 问测得的振幅为多少， 误差为多少？ （2004.2、 2008.4、2009.2、2013.2） 解：仪器振动属于强迫振动，则相对位移的幅值为： z = y
+ k ( x − y ) = 0 ，其中 y = e sin ωt 运动方程： mx
+ kx = 则有 mx ke sin ωt
而ω =
v 0.4 = = 8rad / s ，= ωn R 0.05
k = m
175400 = 24.476rad / s 293
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= γ
ω 8 = = 0.327 ωn 24.467
e = = 0.2844cm 2 k 4γ 2ξ 2 + (1 − γ 2 ) 2 1 − γ ke
可解得稳态响应方程为 = x A sin(ωt − ϕ )
= A
三、多自由度求振型常规解法
1、 求图示系统扭转振动的固有频率与振型， 画出振型图。 （ k 表示扭转刚度，J 表示转动惯量） (2004.3、 2013.4) 解：取质量块 m1 , m2 , m3 的水平位移 x1 , x2 , x3 为广义坐标，则由影响系数法列出质量和刚度矩阵为
γ2
(1 − γ 2 ) 2 + 4ξ 2γ 2
频率比 γ = =
ω ωn
12 = 3 ，无阻尼 ξ = 0 ， z = 0.275cm 代入数据得： y = 0.244cm 4
加阻尼后 ξ = 0.7 ，代入数据得： z1 = 0.243cm
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北京工业大学 研究生《机械振动学》2014 年期末复习
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北京工业大学 研究生《机械振动学》 期末复习
一、求固有频率类型（方法：能量法；运动方程法）
1、求图示单自由度系统的固有频率。 （2004.1） 解：设转子转动方程 θ = θ sin ωn t ， 则系统的动能和势能分别为：
1 1 1 2 2 1 1 2 = 1 mθ 2ω 2 R 2 + 1 MR 2θ 2ω 2 Tmax = mv 2 + J ω 2 = mθ R + MR 2θ n n 2 2 2 22 2 4
由于 θ 很小， sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1
( MgL + ka 2 ) 2 化简得 θ + θ= 0 ML2
MgL + ka 2 ∴ ωn = ML2
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3、求图示单自由度系统的固有频率。 （2006.1、2008.1、2009.1） 说明：1、图中 Kθ 为扭转弹簧的刚度；2、杆的质量不计；3、静平衡时质量 M 处于垂直向下 解：如图，设小球转动方程 θ = θ sin ωn t ， 则系统的动能和势能分别为：
−2 0 3− p 0 ，有 k −2 变换令： p = 5 − 2 p −3 {u} = {0} 则： ( p − 3)(2 p 2 − 11 p + 2) = k 0 −3 3− p
λJ
有 = p1 0.1883, = p2 3, = p3 5.3117 ，于是 = ω1
3 −2 0 1 J =J 2 ，K = k −2 5 −3 0 −3 3 1
求出特征值：
3k − λ J ( K − λ J )u = 0 ，即 −2k 0
−2k 5k − 2 λ J −3k
0 −3k {u} = {0} 3k − λ J
误差：
y − z1 0.244 − 0.243 ×= ×= 100% 100% 0.41% y 0.244
2、求图示机构中质量 m 做微摆时的最大摆角，除质量 m 外，其他构件质量均不计。(2005.3) 解：设 θ 为广义坐标，由动力学方程有：
= ml 2θ −mgl sin θ + (mRω 2 sin ωt )l cos θ g Rω 2 化简得： θ + θ = sin ωt l l
+ kx = 解：(1)依题意机器的振动方程为 Mx F sin ωt
弹簧的刚度 = k 振动角频率 = ω
Mg =
δ
441×10 = 684360 N m 0.5 × 0.01
2π n 2π ×1200 = = 40π rad s 60 60
= x(t ) X sin(ωt + ϕ ) 则稳态响应为：
0.1883k = , ω2 J
2k = , ω3 J
5.3117 k J
0 −2 0 1 0 1.5 r 0 有 (K − λ M p2 = 3 时解 ( K − λ2 M )u = = → 0 1 0 ) −2 −1 −3 0 −3 0 0 0 0
有 p1 0.382, = = p2 1.382, = p3 2.618, = p4 3.618百度文库， 于是 ω1 =
0.382k 1.382k = , ω2 = , ω3 m m
2.618k = , ω4 m
3.618k m
T
当 p1 = 0.382 时代入 ( K − λ M )u = 0 得出∴ u1 = (1 1.618 1.618 1) 当 p2 = 1.382 时代入 ( K − λ M )u = 0 得出∴ u2 =− ( 1 0.618 当 p3 = 2.618 时代入 ( K − λ M )u = 0 得出∴ u3 = (1 − 0.618 当 p4 = 3.618 时代入 ( K − λ M )u = 0 得出∴ u4 =− ( 1 1.618 振型图如下:
振幅： X =
F 100 = = 1.667 ×10−5 m 2 2 k − ω M 684360 − 1600π × 441
−5
(2)机器传递给地基的力 Ft =kX =684360 × 1.667 × 10
=14.41N
4、一电梯用钢绳悬挂在滑轮上，以等速度 v = 0.4 m s 上升，滑轮的半径 R = 5cm ,由于不均匀磨损有 一定的偏心，偏心距 e = 0.254cm ，电梯的质量 m = 293kg 。试计算当钢绳长 L = 30m 时电梯的振幅， 此时绳子的刚度为 k = 175400 N m (2008.3、2013.3) 解：由于存在一定偏心，系统可以看成是由基础运动形成的强迫振动：
1 2 1 3 3 2 2 2 Tmax = J Bθ θ mR 2θ = = mR 2 2 2 4
（平行轴定理 J B = J C + mR = mR + mR = mR ）
2 2 2
C
1 2
3 2
B
θ
2 1 2 Vmax = 2⋅ k =+ k ( R a) θ 2 ( R + a )θ 2
∴ u2 =− ( 1.5 0 1)T
同理当 p1 = 0.1883 时求得∴ u1 = (0.6667 同理当 p3 = 4.3713 时求得 = ∴ u3 (0.6667 振型图如下:
0.9372 1)T − 0.7706 1)T
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有 ωn =
2
g l
Rω l g l
则振幅 θ m =
1 Rω 2 = ω 2 1− (ω ) g − lω 2 n
3、机器质量为 441kg, 支承在弹簧隔振器上, 弹簧的静变形为 0.5cm, 机器有一偏心重,产生偏心激振力 F=100N, 若机器的转速为 1200rpm, 且阻尼忽略不计。(2006.2、2007.3、2008.2) (1) 求机器的振幅 (2) 求机器传给地基的力
= Tmax
1 1 2 2 1 = Mv 2 M = θ L M ωn 2θ 2 L2 2 2 2
Vmax =
1 1 θ Kθ θ 2 + MgL(1 − cos θ ) = Kθ θ 2 + 2 MgL sin 2 2 2 2
由于 θ 很小， sin
θ
2
≈
θ
2 Kθ + MgL ML2
由 Tmax = Vmax 可得： ωn =
Vmax=
θ 1 2 1 2 2 kx +MgL(1 − cos θ )= kθ R + 2 MgL sin 2 2 2 2
θ
2 ≈
由于 θ 很小， sin
θ
2
ka 2 + MgL ML2
由 Tmax = Vmax 可得： ωn = 法二：运动方程法
设 θ 为广义坐标，由动力学方程有：
2 = ML2θ − MgL sin θ − ka sin θ cos θ a ，
0.618 1)T − 0.618 1)T − 1.618 1)T
3、求图示三自由度系统振动的固有频率与振型，画出振型图。(2006.3、2008.4) 解：取质量块 m1 , m2 , m3 的水平位移 x1 , x2 , x3 为广义坐标，则由影响系数法列出质量和刚度矩阵为
2 3 −3 0 M = m 3 k −3 7 −4 ，K = 0 −4 4 4 −3k 0 3k − 2λ m 求出特征值： ( K − λ M )u = 0 ，即 −3k 7 k − 3λ m −4k {u} = {0} 0 −4k 4k − 4λ m
= Vmax
1 2 1 2 2 = kx kθ R 2 2
2k 2m + M
由 Tmax = Vmax 可得： ωn =
2、求图示单自由度系统的固有频率。 （2005.1、2007.1） 解：法一：能量法 设小球转动方程 θ = θ sin ωn t ， 则系统的动能和势能分别为：
Tmax =
1 1 1 2 2 2 Mv 2 ML θ ML2θ 2ωn = = 2 2 2
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−3 0 3− 2 p 变换令： p = ，有 k 0 −3 −4 {u} = 7 −3p {0} 则： p(6 p 2 − 29 p + 27) = k 0 −4 4− 4p
λm
有 = ω1 0, = ω2 = p1 0, = p2 1.2590, = p3 3.5744 ，于是
2、求图示四自由度系统振动的固有频率与振型，画出振型图。(2005.2) 解：取质量块 m1 , m2 , m3 的水平位移 x1 , x2 , x3 为广义坐标，则由影响系数法列出质量和刚度矩阵为
1 2 −1 0 0 1 −1 2 −1 0 ，K =k M =m 0 −1 2 −1 1 1 0 0 −1 2 −k 0 0 2k − λ m −k 2k − λ m −k 0 求出特征值： ( K − λ M )u = 0 ，即 {u} = {0} 0 −k 2k − λ m −k 0 0 −k 2k − λ m −1 0 0 2− p −1 2 − p −1 0 λm ，有 k 变换令： p = 0 {u} = {0} 则： ( p − 2)4 − 3( p − 2)2 + 1 = 0 −1 2 − p −1 k 0 −1 2 − p 0
4、质量为 m、半径为 R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在 CA=a 的 A 点系有两根弹性刚 度系数为 k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 （2013.1） 解：如图，令 θ 为柱体的转角，转动方程 θ = θ sin ωn t 则系统的动能和势能分别为： k A a R
2
k
= ω θ 和 T = V 可得： ω = 利用 θ n max max n
R + a 4k 4k (R + a ) = 2 R 3mR 3m
2
二、求振幅类型
1、一位移传感器的固有频率为 4Hz，无阻尼，用以测量频率为 12Hz 的简谐振动、测得振幅为 0.275cm， 问实际振幅为多少？若加入一阻尼器， 阻尼比为 0.7， 问测得的振幅为多少， 误差为多少？ （2004.2、 2008.4、2009.2、2013.2） 解：仪器振动属于强迫振动，则相对位移的幅值为： z = y
+ k ( x − y ) = 0 ，其中 y = e sin ωt 运动方程： mx
+ kx = 则有 mx ke sin ωt
而ω =
v 0.4 = = 8rad / s ，= ωn R 0.05
k = m
175400 = 24.476rad / s 293
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= γ
ω 8 = = 0.327 ωn 24.467
e = = 0.2844cm 2 k 4γ 2ξ 2 + (1 − γ 2 ) 2 1 − γ ke
可解得稳态响应方程为 = x A sin(ωt − ϕ )
= A
三、多自由度求振型常规解法
1、 求图示系统扭转振动的固有频率与振型， 画出振型图。 （ k 表示扭转刚度，J 表示转动惯量） (2004.3、 2013.4) 解：取质量块 m1 , m2 , m3 的水平位移 x1 , x2 , x3 为广义坐标，则由影响系数法列出质量和刚度矩阵为
γ2
(1 − γ 2 ) 2 + 4ξ 2γ 2
频率比 γ = =
ω ωn
12 = 3 ，无阻尼 ξ = 0 ， z = 0.275cm 代入数据得： y = 0.244cm 4
加阻尼后 ξ = 0.7 ，代入数据得： z1 = 0.243cm
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一、求固有频率类型（方法：能量法；运动方程法）
1、求图示单自由度系统的固有频率。 （2004.1） 解：设转子转动方程 θ = θ sin ωn t ， 则系统的动能和势能分别为：
1 1 1 2 2 1 1 2 = 1 mθ 2ω 2 R 2 + 1 MR 2θ 2ω 2 Tmax = mv 2 + J ω 2 = mθ R + MR 2θ n n 2 2 2 22 2 4
由于 θ 很小， sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1
( MgL + ka 2 ) 2 化简得 θ + θ= 0 ML2
MgL + ka 2 ∴ ωn = ML2
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3、求图示单自由度系统的固有频率。 （2006.1、2008.1、2009.1） 说明：1、图中 Kθ 为扭转弹簧的刚度；2、杆的质量不计；3、静平衡时质量 M 处于垂直向下 解：如图，设小球转动方程 θ = θ sin ωn t ， 则系统的动能和势能分别为：
−2 0 3− p 0 ，有 k −2 变换令： p = 5 − 2 p −3 {u} = {0} 则： ( p − 3)(2 p 2 − 11 p + 2) = k 0 −3 3− p
λJ
有 = p1 0.1883, = p2 3, = p3 5.3117 ，于是 = ω1
3 −2 0 1 J =J 2 ，K = k −2 5 −3 0 −3 3 1
求出特征值：
3k − λ J ( K − λ J )u = 0 ，即 −2k 0
−2k 5k − 2 λ J −3k
0 −3k {u} = {0} 3k − λ J
误差：
y − z1 0.244 − 0.243 ×= ×= 100% 100% 0.41% y 0.244
2、求图示机构中质量 m 做微摆时的最大摆角，除质量 m 外，其他构件质量均不计。(2005.3) 解：设 θ 为广义坐标，由动力学方程有：
= ml 2θ −mgl sin θ + (mRω 2 sin ωt )l cos θ g Rω 2 化简得： θ + θ = sin ωt l l
+ kx = 解：(1)依题意机器的振动方程为 Mx F sin ωt
弹簧的刚度 = k 振动角频率 = ω
Mg =
δ
441×10 = 684360 N m 0.5 × 0.01
2π n 2π ×1200 = = 40π rad s 60 60
= x(t ) X sin(ωt + ϕ ) 则稳态响应为：
0.1883k = , ω2 J
2k = , ω3 J
5.3117 k J
0 −2 0 1 0 1.5 r 0 有 (K − λ M p2 = 3 时解 ( K − λ2 M )u = = → 0 1 0 ) −2 −1 −3 0 −3 0 0 0 0
有 p1 0.382, = = p2 1.382, = p3 2.618, = p4 3.618百度文库， 于是 ω1 =
0.382k 1.382k = , ω2 = , ω3 m m
2.618k = , ω4 m
3.618k m
T
当 p1 = 0.382 时代入 ( K − λ M )u = 0 得出∴ u1 = (1 1.618 1.618 1) 当 p2 = 1.382 时代入 ( K − λ M )u = 0 得出∴ u2 =− ( 1 0.618 当 p3 = 2.618 时代入 ( K − λ M )u = 0 得出∴ u3 = (1 − 0.618 当 p4 = 3.618 时代入 ( K − λ M )u = 0 得出∴ u4 =− ( 1 1.618 振型图如下:
振幅： X =
F 100 = = 1.667 ×10−5 m 2 2 k − ω M 684360 − 1600π × 441
−5
(2)机器传递给地基的力 Ft =kX =684360 × 1.667 × 10
=14.41N
4、一电梯用钢绳悬挂在滑轮上，以等速度 v = 0.4 m s 上升，滑轮的半径 R = 5cm ,由于不均匀磨损有 一定的偏心，偏心距 e = 0.254cm ，电梯的质量 m = 293kg 。试计算当钢绳长 L = 30m 时电梯的振幅， 此时绳子的刚度为 k = 175400 N m (2008.3、2013.3) 解：由于存在一定偏心，系统可以看成是由基础运动形成的强迫振动：
1 2 1 3 3 2 2 2 Tmax = J Bθ θ mR 2θ = = mR 2 2 2 4
（平行轴定理 J B = J C + mR = mR + mR = mR ）
2 2 2
C
1 2
3 2
B
θ
2 1 2 Vmax = 2⋅ k =+ k ( R a) θ 2 ( R + a )θ 2
∴ u2 =− ( 1.5 0 1)T
同理当 p1 = 0.1883 时求得∴ u1 = (0.6667 同理当 p3 = 4.3713 时求得 = ∴ u3 (0.6667 振型图如下:
0.9372 1)T − 0.7706 1)T
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有 ωn =
2
g l
Rω l g l
则振幅 θ m =
1 Rω 2 = ω 2 1− (ω ) g − lω 2 n
3、机器质量为 441kg, 支承在弹簧隔振器上, 弹簧的静变形为 0.5cm, 机器有一偏心重,产生偏心激振力 F=100N, 若机器的转速为 1200rpm, 且阻尼忽略不计。(2006.2、2007.3、2008.2) (1) 求机器的振幅 (2) 求机器传给地基的力
= Tmax
1 1 2 2 1 = Mv 2 M = θ L M ωn 2θ 2 L2 2 2 2
Vmax =
1 1 θ Kθ θ 2 + MgL(1 − cos θ ) = Kθ θ 2 + 2 MgL sin 2 2 2 2
由于 θ 很小， sin
θ
2
≈
θ
2 Kθ + MgL ML2
由 Tmax = Vmax 可得： ωn =
Vmax=
θ 1 2 1 2 2 kx +MgL(1 − cos θ )= kθ R + 2 MgL sin 2 2 2 2
θ
2 ≈
由于 θ 很小， sin
θ
2
ka 2 + MgL ML2
由 Tmax = Vmax 可得： ωn = 法二：运动方程法
设 θ 为广义坐标，由动力学方程有：
2 = ML2θ − MgL sin θ − ka sin θ cos θ a ，
0.618 1)T − 0.618 1)T − 1.618 1)T
3、求图示三自由度系统振动的固有频率与振型，画出振型图。(2006.3、2008.4) 解：取质量块 m1 , m2 , m3 的水平位移 x1 , x2 , x3 为广义坐标，则由影响系数法列出质量和刚度矩阵为
2 3 −3 0 M = m 3 k −3 7 −4 ，K = 0 −4 4 4 −3k 0 3k − 2λ m 求出特征值： ( K − λ M )u = 0 ，即 −3k 7 k − 3λ m −4k {u} = {0} 0 −4k 4k − 4λ m
= Vmax
1 2 1 2 2 = kx kθ R 2 2
2k 2m + M
由 Tmax = Vmax 可得： ωn =
2、求图示单自由度系统的固有频率。 （2005.1、2007.1） 解：法一：能量法 设小球转动方程 θ = θ sin ωn t ， 则系统的动能和势能分别为：
Tmax =
1 1 1 2 2 2 Mv 2 ML θ ML2θ 2ωn = = 2 2 2