粒子群算法原理及在函数优化中的应用(附程序)

粒子群算法原理及其在函数优化中的应用

1 粒子群优化（PSO ）算法基本原理

1.1 标准粒子群算法

假设在一个D 维的目标搜索空间中，有m 个代表问题潜在解的粒子组成一个种群12[,,...,]m =x x x x ，第i 个粒子的信息可用D 维向量表示为

12[,,...,]T i i i iD x x x =x ，其速度为12[,,...,]T i i i iD v v v =v 。算法首先初始化m 个随机粒

子，然后通过迭代找到最优解。每一次迭代中，粒子通过跟踪2个极值进行信息交流，一个是第i 个粒子本身找到的最优解，称之为个体极值，即

12[,,...,]T i i i iD p p p =p ；另一个是所有粒子目前找到的最优解，称之为群体极值，

即12[,,...,]T g g g gD p p p =p 。粒子在更新上述2个极值后，根据式(1)和式(2)更新自己的速度和位置。

11122()()t t t t t t i i i i g i w c r c r +=+-+-v v p x p x (1)

11t t t i i i ++=+x x v (2)

式中，t 代表当前迭代次数，12,r r 是在[0,1]之间服从均匀分布的随机数，12

,c c 称为学习因子，分别调节粒子向个体极值和群体极值方向飞行的步长，w 为惯性权重，一般在0.1~0.9之间取值。在标准的PSO 算法中，惯性权重w 被设为常数，通常取0.5w =。在实际应用中，x 需保证在一定的围，即x 的每一维的变化围均为min max [,]X X ，这在函数优化问题中相当于自变量的定义域。

1.2 算法实现步骤

步骤1：表示出PSO 算法中的适应度函数()fitness x ；（编程时最好以函数的形式保存，便于多次调用。）

步骤2：初始化PSO 算法中各个参数(如粒子个数，惯性权重，学习因子，最大迭代次数等)，在自变量x 定义域随机初始化x ，代入()fitness x 求得适应度值，通过比较确定起始个体极值i p 和全局极值g p 。

步骤3：通过循环迭代更新x 、i p 和g p ： ①确定惯性权重w 的取值（当w 不是常数时）。

②根据式(1)更新粒子的速度1k i +v ，若速度中的某一维超过了max V ，则取为

max

V 。

③根据式(2)更新自变量x ，若x 的取值超过其定义域，则在其定义域重新初

始化。

④代入()fitness x 求得适应度值，通过比较更新个体极值i p 和全局极值g p 。 步骤4：判断是否满足终止条件(通常设为达到最大迭代次数或达到估计精度要求)，若不满足，则转入步骤(3)，若满足，则输出估计结果，算法结束。

2 程序实现

2.1 各种测试函数（适应度函数）

测试函数是用来测试算法性能的一些通用函数，下面先给出一些测试函数的三维图（自变量为两维，加上函数值共三维）如图1-图17所示。

z2 = x 2-cos(18*x)+y 2-cos(18*y)

图1 测试函数1

z4 = 4*x2-2.1*x4+x6/3+x*y-4*y2+y4

图2 测试函数2

z5 = (y-5.1*x2/4/π/π+5*x/π-6)2+10*(1-1/8/π)*cos(x)+10

-10

图3 测试函数3

z7 = x*exp(-x2-y2)

图4 测试函数4

z8

-5

图5 测试函数5

r=sqrt(x2+y2)+eps; z9=sin(r)/r;

图6 测试函数6

f6

-5

图7 测试函数7

图8 测试函数8

-100

图9 测试函数9

图10 测试函数10

NDparabola

-10

图11 测试函数11

f6

图12 测试函数12

Rosenbrock

-10

图13 测试函数13

图14 测试函数14

tripod

图15 测试函数15

图16 测试函数16

Griewank

-10

图17 测试函数17

2.2 程序实现

首先给出绘制测试函数的程序：

%% 绘图测试函数draw_fitness.m

clear;clc;close all;

%%

[x,y]=meshgrid(-10:0.5:10);

z2 = x.^2-cos(18*x)+y.^2-cos(18*y);

figure(1); surf(x,y,z2); minz2=min(min(z2));title('z2 = x^2-cos(18*x)+y^2-cos(18*y)');

%%

z4 = 4*x.^2-2.1*x.^4+x.^6/3+x.*y-4*y.^2+y.^4;

figure(2); surf(x,y,z4); minz4=min(min(z4));title('z4 = 4*x^2-2.1*x^4+x^6/3+x*y-4*y^2+y^4'); %%

z5 = (y-5.1*x.^2/4/pi/pi+5*x/pi-6).^2+10*(1-1/8/pi)*cos(x)+10;

figure(3); surf(x,y,z5); minz5=min(min(z5));title('z5 =

(y-5.1*x^2/4/\pi/\pi+5*x/\pi-6)^2+10*(1-1/8/\pi)*cos(x)+10');

%%

[x,y]=meshgrid(-5:0.5:5);

z7 = x.*exp(-x.^2-y.^2);

figure(4); surf(x,y,z7); minz7=min(min(z7));title('z7 = x*exp(-x^2-y^2)');

%%

[x,y]=meshgrid(-5:0.25:5);

z8 = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ...

- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ...

- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2);

figure(5); surf(x,y,z8); minz8=min(min(z8)); title('z8 ');

%%

r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps; z9=sin(r)./r;

figure(6); surf(x,y,z9); minz9=min(min(z9));title(' r=sqrt(x^2+y^2)+eps; z9=sin(r)/r;');

%%

[x,y]=meshgrid(-5:0.25:5);

num=sin(sqrt(x.^2+y.^2)).^2 - 0.5;

den=(1.0+0.01*(x.^2+y.^2)).^2;

z10=0.5 +num./den;

figure(7); surf(x,y,z10); minz10=min(min(z10));title('f6');

%%

[x,y]=meshgrid(-10:0.5:10);

z12=abs(x)+abs(y)+abs(x).*abs(y);

figure(8); surf(x,y,z12); minz12=min(min(z12));

%%

[x,y]=meshgrid(-100:5:100);

z13=max(abs(x),abs(y));

figure(9); surf(x,y,z13); minz13=min(min(z13));

%%

[x,y]=meshgrid(0:0.5:10);