三角形中考压轴题(带答案)
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中考专题-------三角形
一.选择题(共3小题)
1.(2014•山西)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且
EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为
( )
A
.
a2B
.
a2
C
.
a2
D
.
a2
考
点:
全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
专
题:
几何图形问题;压轴题.
分析:过E作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,△EPM≌△EQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解.
解答:解:过E作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q
,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
又∵∠EPM=∠EQN=90°,
∴∠PEQ=90°,
∴∠PEM+∠MEQ=90°,
∵三角形FEG是直角三角形,
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°,
∴∠PEM=∠NEQ,
∵AC是∠BCD的角平分线,∠EPC=∠EQC=90°,∴EP=EQ,四边形PCQE是正方形,
在△EPM和△EQN中,
,
∴△EPM≌△EQN(ASA)
∴S△EQN=S△EPM,
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积,∵正方形ABCD的边长为a,
∴AC=
a,
∵EC=2AE,
∴EC=
a,
∴EP=PC=
a,
∴正方形PCQE的面积=
a×
a=
a2,
∴四边形EMCN的面积=
a2,
故选:D.
点评:本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是作出辅助线,证出△EPM≌△EQN.
2.(2014•武汉模拟)如图∠A=∠ABC=∠C=45°,E、F分别是AB、BC的中点,则下列结论,①EF⊥BD,②EF=
BD,③∠ADC=∠BEF+∠BFE,④AD=DC,其中正确的是( )
A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④
考
点:
三角形中位线定理;全等三角形的判定与性质.
专
题:
压轴题.
分析:根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解.
解答:解:如下图所示:连接AC,延长BD交AC于点M,延长AD交BC于Q,延长CD交AB于P.
∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB
∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC
点D为两条高的交点,所以BM为AC边上的高,即:BM⊥AC.
由中位线定理可得EF∥AC,EF=
AC∴BD⊥EF,故①正确.
∵∠DBQ+∠DCA=45°,∠DCA+∠CAQ=45°,
∴∠DBQ=∠CAQ,
∵∠A=∠ABC,∴AQ=BQ,
∵∠BQD=∠AQC=90°,
∴根据以上条件得△AQC≌△BQD,∴BD=AC∴EF=
AC,故②正确.
∵∠A=∠ABC=∠C=45°
∴∠DAC+∠DCA=180°﹣(∠A+∠ABC+∠C)=45°
∴∠ADC=180°﹣(∠DAC+∠DCA)=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC
故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立;
无法证明AD=CD,故④错误.
故选B.
本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用.
点
评:
3.(2013•河北模拟)四边形ABCD中,AC和BD交于点E,若AC平分∠DAB,且AB=AE,AC=AD,有以下四个命题:①AC⊥BD;
②BC=DE;③∠DBC=
∠DAB;④AB=BE=AE.其中命题一定成立的是( )
A.①②B.②③C.①③D.②④全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
考
点:
专
压轴题.
题:
分析:根据等腰三角形的性质,等边三角形的判定,圆内接四边形的性质,全等三角形的性质判断各选项是否正确即可.
解答:解:∵AB=AE,一个三角形的直角边和斜边一定不相等,∴AC不垂直于BD,①错误;
利用边角边定理可证得△ADE≌△ABC,那么BC=DE,②正确;由△ADE≌△ABC可得∠ADE=∠ACB,那么A,B,C,D四点共圆,∴∠DBC=∠DAC=
∠DAB,③正确;
△ABE不一定是等边三角形,那么④不一定正确;
②③正确,故选B.
点评:此题主要考查了全等三角形的性质,以及直角三角形中斜边最长;全等三角形的对应边相等;等边三角形的三边相等.
二.填空题(共6小题)
4.(2015•泰安一模)如图,将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形,再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形,…如此继续下去,结果如下表,则a n= 3n+1 (用含n的代数式表示).所剪次数1234…n
正三角形
个数
471013…a n
考
点:
等边三角形的性质.菁优网版权所有
专
题:
压轴题;规律型.
分析:根据图跟表我们可以看出n代表所剪次数,a n代表小正三角形的个数,也可以根据图形找出规律加以求解.
解解:由图可知没剪的时候,有一个三角形,以后每剪一次就多出