2020年高考理科数学一轮复习：第七章《立体几何》

第一节空间几何体及其体积、表面积

教材细梳理

知识点1空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

(2)旋转体的结构特征

方体}，它们之间的关系如何？

提示：A

B

D

E

C

思考2：设A ＝{棱锥}，B ＝{正棱锥}，C ＝{正四面体}，D ＝{正三棱锥}，它们之间的关系如何？

提示：A

B

D

C

知识点2 三视图与直观图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)画三视图应遵循的原则和注意事项

①务必做到“长对正(正视图与俯视图一样长)高平齐(正视图与侧视图一样高)、宽相等(侧视图与俯视图一样宽)”．

②在三视图中，看不见的线用虚线，看得见的线用实线．

③确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图就可能不同． (3)斜二测画法规则

①夹角：原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴(或y ′轴)垂直．

②方向：原图形中与x 轴、y 轴、z 轴平行的，在直观图中与x ′轴，y ′轴，z ′轴平行． ③长度：原图形中与x 轴、z 轴平行的，在直观图中长度不变，原图形中与y 轴平行的，长度变成原来的1

2

．

知识点3 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和侧面积

知识点

[拓展]

1.平面化：求空间几何体的表面积，就是求其展开图的面积． 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图如下表

(1)棱长为a 的正四面体，其高为6

3

a .其内切球和外接球的球心重合，是正四面体的中心．其外接球和内切球的半径分别为

64a 和612a .其正四面体体积为212

a 3. (2)棱锥的体积是等底、等高的棱柱体积的1

3

.

四基精演练

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)斜二测画法中，原图形中的平行、垂直关系在直观图中不变．( ) (2)斜二测画法中，三角形的直观图应是三角形．( ) (3)斜二测画法中，正方形的直观图应是正方形．( ) (4)一个几何体的三视图完全相同，这个几何体只能是球．( )

(5)已知球O 的半径R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝

3

2

a .( ) (6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )

答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)×

2.(知识点1)如图，长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′被截去一部分，其中EH ∥A ′D ′.剩下的几何体是( ) ⇐源自必修二P 10B 组T 1

A ．棱台

B ．四棱柱

C ．五棱柱

D ．简单组合体

答案：C

3.(知识点4)正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) ⇐源自必修二P 27练习T 1

A ．48(3＋3)

B ．48(3＋23)

C ．24(6＋2)

D ．144 答案：A

4.(知识点2、3)(2018·全国卷Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图，

则圆柱的表面积为________． 答案：32＋128π

5.(知识点3、4)(2018·全国卷Ⅲ改编)设A 、B 、C 、D 是同一个半径为4的球的球面上四点，则正四面体ABCD 的体积为________．

答案：512327

考点一 几何体的三视图与直观图[基础练通]

[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫

榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成正方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

解析：两木构件咬合成长方体时，榫头完全进入卯眼，易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为A.故选A.

答案：A

(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．

解析：如图①，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .

图①

在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22

. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1. ∴BC ＝BE ＋EC ＝

2

2

＋1. 由此可得原图形如图②所示．

图②

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝

2

2＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，

∴这块菜地的面积S

＝1

2(A′D′＋B′C′)·A′B′

＝1

2×⎝

⎛

⎭

⎫

1＋1＋

2

2

×2＝2＋

2

2.

答案：2＋

2 2

[母题变式]

1.若本例(1)改为：将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到如图②所示的几何体，则该几何体的侧视图为()

解析：选B.正方体截去两个三棱锥后的几何体的侧视图可以看见的实线段为AD1、AD、DD1、D1B1、AB1，而线段B1C被遮住，在侧视图中为虚线，所以侧视图为选项B中的图形．故选B.

2.若本例(2)改为：正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．

解析：画出平面直角坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图

O′A′B′(如图)．D′为O′A′的中点．