三元一次方程组
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知识点梳理
1、满足三元一次方程组的条件是：
（1）方程组中一共含有三个未知数；
（2）含有未知数的项的次数是1；
（3）方程组中的每个方程都是整式方程；
2、三元一次方程组的解法：
（1）利用代入法和加减法，消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出未知数的值；
（3）将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起。
3、三元一次方程组的实际应用
基础练习
1、下列方程是三元一次方程的是 （填序号）
① 1x y z +-= ② 437xy z += ③ 270y z x
+-= ④ 6430x y +-= 2、下列是三元一次方程组的是 （填序号）
① 237844x y z x y z x y z --=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩ ② 2364835a b b c b +=⎧⎪=⎨⎪-=⎩ ③ 789xy yz zx =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ④ 5237240x y z y z x x z w +-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩
⑤112
1141110x y y z
z x
⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩
3、若()2115210a b a x y z -+-++=是一个关于,,x y z 的三元一次方程，则 a = ，b = ；
4、解三元一次方程组
236
1
25
x y z
x y
x y z
++=
⎧
⎪
-=
⎨
⎪+-=
⎩
先消去，化为关于，
的二元一次方程再求解较简单。
5、解方程组
323
2411
751
x y z
x y z
x y z
-+=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪+-=
⎩
，若要使计算简便，消元的方法是（）
A、消去x
B、消去y
C、消去z
D、以上说法都不对
6、已知三元一次方程组
540
3411
2
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪++=-
⎩
，经过步骤①-③和③×4+②消去未知数
z后，得到的二元一次方程组是；
7、由方程组
3
2
9
x y
y z
z x
+=
⎧
⎪
+=-
⎨
⎪+=
⎩
，可以得到x y z
++的值等于；
8、如果
280
2350
x y z
x y z
+-=
⎧
⎨
-+=
⎩
，其中0
xyz≠，那么::
x y z=；
提升练习
专训一：灵活求解三元一次方程组1、解方程组
（1）
3
5
4
x y
y z
x z
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
（2）
231
3222
441
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪-+-=-
⎩
（3）
29
35
514
x y
y z
x z
+=
⎧
⎪
-=-
⎨
⎪-+=
⎩
（4）
236
21
25
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
-+=-
⎨
⎪+-=
⎩
2、解较复杂的三元方程组（换元法）
1122
1141115x y z x y z
x y
⎧+-=⎪⎪⎪-+=-⎨⎪⎪+=⎪⎩
3、解含比例的三元方程组（等比法）
::1:2:32315
x y z x y z =⎧⎨+-=⎩
专训二：利用三元一次方程组求字母的值
1、已知方程组354x y a y z a z x a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
的解使代数式23x y z -+的值等于-10，求a 的值；
2、已知关于,,x y z 的方程组8132ax by cy bz x z c -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，的解是121x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
，求,,a b c 的值；
3、在2y ax bx c =++中，当1x =-时，2y =；当2x =时，8y =；当5x =时，158y =.
（1）求,,a b c 的值； （2）求2x =-时，y 的值；
专训三：列二元一次方程组解决生活实际问题
1、有大中小三辆车共载乘客180人，已知大型车载客人数比中型车载客人数 的3倍还多1人，小型车载客人数比中型车载客人数的
12
还少1人，则大、中、 小三辆车分别载客 ；
2、一个三位数各位数字的和是14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，若把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则这个三位数是什么？