等比中项及等比数列的性质
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故选B.
6.(2013深圳市高级中学高二段考)已知实数a,b(a<b)的等差中项是-,
2
解析:由题知, • a,b是一元二次方程x2-3x+2=0的两根.
又a<b, • a=1,b=2.
7.已知等比数列｛an｝中,a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列，则
a2+a3+a4=
解析：Tai=1,且4ai,2a2,a3成等差数列，二4a2=4ai+a3,
又••• b2>0, ••• b2=2,
5.等比数列｛an｝中,an>0,且as• a6=9,则log3a2+log3a9等于(B )wenku.baidu.com
(A)9(B)2(C)3(D)1解析：T等比数列｛an｝中,an>0且a5a6=9,
• log3a2+log3a9=log3(a2a9)=log3(a5a6)=log39=2.
解得32=3.
答案:3
9.有三个数成等比数列，其积为27,其平方和为91,求这三个数.
,3
解：设这三个数为-a,aq（公比为
3
（》
由①得a=3.
1 盟
将a=3代入②得q*亏所以9q4-82q2+9=0,令q2二t(t>0),所以9t2-82t+9=0,得11=9,t2=.
!
所以q=± 3或q二士-.
2 2
即4ai-q=4ai+ai-q,二q -4q+4=0,二q=2.
故a2+a3+a4=ai(q+q2+q3)=14.
答案:14
能力提升
8.已知等差数列｛an｝的公差为2,若ai,a2,a5成等比数列，则a?等
解析：由题意知ai=a2-2,a5=82+6,
因为ai,a2,a5成等比数列， 所以d；=aia5,即鬭=(a2-2)(a2+6),
2.（2013汉中高三模拟）数列｛an｝满足：口^讦a • an+2（n€N+）,且a4=7,a6=21,则a8等于(B)(A)35 (B)63 (C)21苗(D)士21凋解析：依题意知,｛an｝为等比数列,
••• a4,a6,a8成等比数列，
・2
••业=a4• a8, •a詈牛=63.故选B.
3.设数列｛an｝为等比数列，则下面四个数列： ①｛旳；②｛Pan｝（P为非零常数）;③｛an• an+i｝;
④{an+ an+l}.
其中等比数列的个数为（C）
(A)1(B)2(C)3(D)4解析：因为｛an｝为等比数列，所以址=q,所以写=^)3=q3.
又因为鬪工0,所以佃｝为等比数列.
竺=^=q,且par0, 从而｛pan｝为等比数列.
竺竺Q=q2,且a1・a2工0.
所以｛an• an+i｝为等比数列.
(1)判断数列｛bn｝是否为等比数列？说明理由； ⑵若｛bn｝是等比数列，求出｛bn｝的通项公式.
解：(1)数列｛bn｝是等比数列，理由如下:
• an+2=3an+1-2an, • • an+2-an+1= 2(an+1-an),
警综=2(n € N,
-a1=1,a2=3,b1=a2-a1=2, ••• ｛bn｝是首项为2,公比为2的等比数列.
⑵ 由(1)可知bn=2-2n-1=2n.
第二课时 等比中项及等比数列的性质
臣疋
【选题明细表】
知识点、方法
题号
易
中
等比数列的性质
1、 2、 3、 5
数列的综合问题
4、 6、 7、 8
9、10
基础达标
1.（2012吉林油田高中检测）已知等比数列｛an｝中，若a4• a6=9,则ai• a9的值为（B）
(A)3(B)9(C)士3(D)士9解析：T4+6=1+9,• a1-a9=a4• a6=9.故选B.
3
(1)当q=3时，此数列为1,3,9;
⑵ 当q=-3时，此数列为-13-9;
⑶当q丄时，此数列为9,3,1;
3
⑷ 当q二-i时，此数列为-93-1.
3
综上所述,这三个数为1,3,9或-13-9.
亦评本题运用了三个数成等比数列……，已知积时丄可设成£,a,aq的形
e
式,这种技巧可简化解题过程.
10.已知数列｛an｝中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n € N+),bn=an+1-an.
1,-1,1,-1,…是等比数列，但an+an+i=O,｛an+a+i｝不是等比数列.故选
C.
0艸
4.若1,ai,a2,4成等差数列；1,bi,b2,b3,4成等比数列，则百的值等于
忙
解析：•/1,ai,a2,4成等差数列,
•公差d±=1,
4-1
ai-a2=-d=-1;
又••• 1,bi,b2,b3,4成等比数列，• •62=1 X 4,• b2=士2.
6.(2013深圳市高级中学高二段考)已知实数a,b(a<b)的等差中项是-,
2
解析:由题知, • a,b是一元二次方程x2-3x+2=0的两根.
又a<b, • a=1,b=2.
7.已知等比数列｛an｝中,a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列，则
a2+a3+a4=
解析：Tai=1,且4ai,2a2,a3成等差数列，二4a2=4ai+a3,
又••• b2>0, ••• b2=2,
5.等比数列｛an｝中,an>0,且as• a6=9,则log3a2+log3a9等于(B )wenku.baidu.com
(A)9(B)2(C)3(D)1解析：T等比数列｛an｝中,an>0且a5a6=9,
• log3a2+log3a9=log3(a2a9)=log3(a5a6)=log39=2.
解得32=3.
答案:3
9.有三个数成等比数列，其积为27,其平方和为91,求这三个数.
,3
解：设这三个数为-a,aq（公比为
3
（》
由①得a=3.
1 盟
将a=3代入②得q*亏所以9q4-82q2+9=0,令q2二t(t>0),所以9t2-82t+9=0,得11=9,t2=.
!
所以q=± 3或q二士-.
2 2
即4ai-q=4ai+ai-q,二q -4q+4=0,二q=2.
故a2+a3+a4=ai(q+q2+q3)=14.
答案:14
能力提升
8.已知等差数列｛an｝的公差为2,若ai,a2,a5成等比数列，则a?等
解析：由题意知ai=a2-2,a5=82+6,
因为ai,a2,a5成等比数列， 所以d；=aia5,即鬭=(a2-2)(a2+6),
2.（2013汉中高三模拟）数列｛an｝满足：口^讦a • an+2（n€N+）,且a4=7,a6=21,则a8等于(B)(A)35 (B)63 (C)21苗(D)士21凋解析：依题意知,｛an｝为等比数列,
••• a4,a6,a8成等比数列，
・2
••业=a4• a8, •a詈牛=63.故选B.
3.设数列｛an｝为等比数列，则下面四个数列： ①｛旳；②｛Pan｝（P为非零常数）;③｛an• an+i｝;
④{an+ an+l}.
其中等比数列的个数为（C）
(A)1(B)2(C)3(D)4解析：因为｛an｝为等比数列，所以址=q,所以写=^)3=q3.
又因为鬪工0,所以佃｝为等比数列.
竺=^=q,且par0, 从而｛pan｝为等比数列.
竺竺Q=q2,且a1・a2工0.
所以｛an• an+i｝为等比数列.
(1)判断数列｛bn｝是否为等比数列？说明理由； ⑵若｛bn｝是等比数列，求出｛bn｝的通项公式.
解：(1)数列｛bn｝是等比数列，理由如下:
• an+2=3an+1-2an, • • an+2-an+1= 2(an+1-an),
警综=2(n € N,
-a1=1,a2=3,b1=a2-a1=2, ••• ｛bn｝是首项为2,公比为2的等比数列.
⑵ 由(1)可知bn=2-2n-1=2n.
第二课时 等比中项及等比数列的性质
臣疋
【选题明细表】
知识点、方法
题号
易
中
等比数列的性质
1、 2、 3、 5
数列的综合问题
4、 6、 7、 8
9、10
基础达标
1.（2012吉林油田高中检测）已知等比数列｛an｝中，若a4• a6=9,则ai• a9的值为（B）
(A)3(B)9(C)士3(D)士9解析：T4+6=1+9,• a1-a9=a4• a6=9.故选B.
3
(1)当q=3时，此数列为1,3,9;
⑵ 当q=-3时，此数列为-13-9;
⑶当q丄时，此数列为9,3,1;
3
⑷ 当q二-i时，此数列为-93-1.
3
综上所述,这三个数为1,3,9或-13-9.
亦评本题运用了三个数成等比数列……，已知积时丄可设成£,a,aq的形
e
式,这种技巧可简化解题过程.
10.已知数列｛an｝中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n € N+),bn=an+1-an.
1,-1,1,-1,…是等比数列，但an+an+i=O,｛an+a+i｝不是等比数列.故选
C.
0艸
4.若1,ai,a2,4成等差数列；1,bi,b2,b3,4成等比数列，则百的值等于
忙
解析：•/1,ai,a2,4成等差数列,
•公差d±=1,
4-1
ai-a2=-d=-1;
又••• 1,bi,b2,b3,4成等比数列，• •62=1 X 4,• b2=士2.