等比数列前n项和性质

性质4：
Snm Sn qnSm
习题2.5第6题： 已知{Sn}是等比数列{an}的前n项和， S3, S9 , S6 成等差数列，求证：a2 , a8 , a5 成等差数列.
证明：由 S3, S9 , S6 成等差数列，得 S3 S6 2S9
若q=1，则 S3 3a1 ，S6 6a1 ，S9 9a1 .
a2 a5 2a8 a2 ，a8 ，a5 成等差数列.
课堂小结:
1. {an}是等比数列 Sn Aqn B 其中A 0, q 1, A B 0.
2. Sn为等比数列的前n项和， Sn≠0， 则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．
3. 在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)， S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和， 则 S偶 q. S奇
(2) 等比数列中，Sn＝48，S2n＝60，则 S3n＝___6_3___.
探究3：
性质3：
在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)，
S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和，
则 S偶 q
.
S奇
练习3：
等比数列{an}共2n项，其和为－240， 且奇数项的和比偶数项的和大80，
则公比q ＝____2____.
a1 0 ， S3 S6 2S9 与题设矛盾 ， q 1 .

a1
(1

q3
)

a1
(1

q6
)
1q
1q
2a1 (1 q9 ) 1q
即 q3 q6 2q9 q 0， 1 q3 2q6
a2 a5 a1q a1q4 a1q(1 q3) a1q(2q6 ) 2a1q7
Sn
na1
2
an
nn 1
na1 2 d
推导方法
ຫໍສະໝຸດ Baidu倒序相加
等比数列
Sn
a1 1 qn 1q
q 1
a1 anq 1q
错位相减
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑
公比是否为1 .
探究1： 性质1：
1. 前n项和公式的函数特征：
当q=1时 Sn na1是n的正比例函数
且S10 5, S20 15.
(1).求S30; 35
(2).问S10, S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
性质2：
Sn为等比数列的前n项和， Sn≠0， 则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．
练习2：
(1) 等比数列中，S10＝10，S20＝30，则 S30＝___7_0___.
（2）当q

1时，Sn

a1(1 - qn 1- q
)

a1 1- q
- a1 1- q
qn
记A

a1 1- q
,即Sn

-Aq n

A, 是一个指数式与一个常
数的和
其中A 0，q 1
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m·3n＋1，则
实数m＝____-_1_____.
探究2：
已知Sn是等比数列an的前n项和,
2.5.2 等比数列的前 n 项和 (2)
知识回顾：
通项公式： an a1qn1
前n项和公式：
Sn

na1 a1(1

q
n
)
1 q

a1 anq 1q
(q 1) (q 1)
两个公式共有5个基本量:
a1 ，q，n，an，Sn可知“三求二”.
填表
数列
等差数列
前n 项和 公式