《解直角三角形及其应用》(中考复习课)教学设计(1)

《解直角三角形及其应用》（中考复习课）教学设计

一、学情分析：

本设计针对普通中学学生，且未分重点班和非重点班，均为平行分班。由于一般教材均将《解直角三角形》内容编排于九年级下册，因此在设计本内容复习时，学生有一定基础。同时九年级学生通过近三年的数学学习，已具备了一定的几何识图及演绎推理能力，也掌握了一定的数学思想方法及数学活动的经验。

二、教学任务与目标

1、能从整个学段梳理并掌握直角三角形中边、角关系，初步掌握锐角三角函数本质。

2、能用这些关系来解决复杂几何图形中的相关计算，渗透转化与方程思想方法。为综合数学应用问题的解决提供基础。

3、能利用这种关系解决生活中的实际问题，培养学生建模、识图、计算能力。

三、教学设计

板块一：梳理直角三角形中边、角关系及理解锐角三角函数的本质。

问题1：如图Rt △ABC 中，∠C=90°，请你说一说其中边、角关系. 【功能分析】本任务问题是让学生理一理初中学段中直角三角形中的边、角 间关系，理解锐角三角函数，为后面复习提供基础。

【活动设计】同学们先独立完成，再小组交流并互帮互纠。

【反馈方式】教师巡视点拨，然后呈现部分小组活动结果，共同归纳整理。

1、边的关系 c b a >+，222c b a =+

角的关系 ︒=∠=∠+∠90C B A

边与角的关系 c a B A ==cos sin ，c b B A ==sin cos ，1tan tan a A B b

== 2、根据三角形（直角三角形）的一些边、角，求出其余边、角叫解三角形（直角三角形）。 问题2：上图中，如果记y AB

BC =，则写出y 与∠A 的函数关系 1、若∠A 分别取∠A 1、∠A 2，其对应的y 取y 1、y 2，若∠A 1<∠A 2，则说出y 1与y 2的关系。

2、同桌互相说一说特殊角的三角函数值，若2

345=+︒)sin(α，则α=。 【功能分析】锐角三角函数是学生较为难理解的概念，它又是高中学段的必备知识，本任务问题意在让学生进一步理清三角函数的概念及其性质的一些特征，同时通过熟记一些特殊的B A C a b c

三角函数值进行技能运算。当然，在这里对于一些特殊的性质如：122=+ααcos sin 等不作要求。

【活动设计】学生独立思考后同桌交流，并相互帮助纠正。

【反馈方式】教师巡视帮助学习困难学生的进一步理解，并归纳三角函数值仅与角的大小有关，与该图是在直角三角形还是在一般三角形无关。

问题3：根据上述理解，完成下列相关问题

1、（09'乌鲁木齐）如图：半圆中，AB 为直径，C 、D 为半圆上点，

且AB=6，AC=4，则=B sin 。

2、（09'常州中考）如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， AC=5，BC=2，则=∠DCB cos 。

3、（09'辽宁中考）如图△ABC 中，AB=AC ，BC=6，AB=5，则 =B sin 。 【功能分析】通过学生自我感悟，三角函数值仅与角的大小有关，而与角在何处，在何种三角形中无关，同时，渗透不同的转化思想来解决问题（转化成另一个角，或将一般三角形转化成直角三角形）。这种转化思想渗透于整个解直角三角形，更是后面解直角三角形的重要思想方法。

【活动设计】学生独立分析，并同桌交流。

【反馈方式】教师巡视，并在巡视中帮助学习有困难学生，然后对上述三题分别作方法性的点评。题1中，∠D 放入直角三角形是用构造还是用转化？题2中已有直角三角形，那么将∠DCB 置于Rt △CDB 中思考，还是可将∠DCB 转化？题3中没有直角三角形，那么求B sin ，如何构造直角三角形？因此通过点评分析，帮助学生归纳出这里的数学思想方法。 板块二：利用解直角三角形来解一般三角形

问题1：如图△ABC 中，∠B=45°，∠C=30°，AB=24，

求AC 长。 【功能分析】对于一般三角形如何利用特殊角？引导学生构造三角形。建立直角三角形模型来解决问题。这种由一般转化为特殊的思想方法在解三角形时是一种有效的方法。

【活动设计】引导学生读句分析，看到45°联想到什么？看到30°又联想到什么？然后分析该从哪里切入？分析后由学生独立完成，过程中小组互相帮助。

D B C A D A B C A C

B

A B

E C D h 37° 45

【反馈方式】师生分析后，教师巡视，帮助困难学生，对于已

完成的学生可继续思考后面题。归纳上述图形的变式。

问题2：如图在△ABC 中，∠B=45°，∠C=30°，BC=31+，

求AB 、AC 。

【功能分析】在上述问题1中，学生通过构造直角三角形能直接解出直角三角形，其中BC 边上的高是关键量，在解决问题中起到“桥”的作用，本问题中的这种“桥”的作用更明显，只有算出这个“桥”才能将这些图形紧密联系，同时设计本题主要是渗透方程思想。

【活动设计】由学生独立分析，小组互帮互纠，并感悟方法。

【反馈方式】教师对小组活动巡视点拨，并及时归纳这里的两种寻找等量关系的途径：一是根据三角函数将其它量表示成x 的代数式。x AB x AC x DC x BD 223===

=,,,，再根据31+=+DC BC 列出等量关系；二是根据三角函数直接寻找等量关系。

x AD BD ==，则x DC -+=31，则x

x -+=︒3130tan ， 同时，教师及时归纳变式问题。

板块三：解直角三角形的实际应用

问题1：（2011南京中考）如图，某数学课外活动小组测量电视塔

AB 的高度，他们借助一个高度为30m 的建筑物CD 进行测量，在 点C 处塔顶B 的仰角为45°，在点E 处测得B 的仰角为37°

（B 、D 、E 三点在一条直线上）．求电视塔的高度h ．（参考数据：

sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 【功能分析】将一些解直角三角形问题赋予实际背景中，往往图形显得较为复杂，但其中不外乎上述“板块二”中所涉及的基本图形，因此在实际问题中，关键在于寻找基本图形，同时，对于实际问题一般锐角的三角函数应用，能提高学生的计算力。

【活动设计】引导学生读题分析，识别图形，逐步联想，寻找关键量，然后独立完成。同桌互相指导，并探索是否还有其他方法。

【反馈方式】巡视并帮助学习困难学生，呈现不同的实施路径并作点评分析：

路径一：寻找△DEC ，得EC 3037=︒tan ，得EC=40；再寻找△EBA ，得40

37+=︒h h tan ，A B C D A

B C D A C

B D A B

C 10 D