(完整版)数学模型第二章习题答案

15．速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车v s ρ获得的功率与、S 、的关系.

P v ρ解: 设、、S 、的关系为， 其量纲表达式为:P v ρ0),,,(=ρs v P f [P]=, []=,[]=,[]=,这里是基本量纲.

3

2

-T

ML v 1

-LT

s 2L ρ3

-ML T M L ,,量纲矩阵为：

A=)

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡---ρ()()()()()()(001310013212s v P T M L 齐次线性方程组为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=--=+=-++0

300

32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲定理得　， ， 其中是无量纲常数.

i P 11

31ρπs

v P -=113ρλs v P =∴λ16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义v ρμg 是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.

v 解：设,,, 的关系为,,,=0.其量纲表达式为[]=LM 0T -1，[]=L -

v ρμg (f v ρμg )v ρ3MT 0，[

]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量

μg 纲.

量纲矩阵为

A=)

()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----齐次线性方程组Ay=0 ，即

⎪⎩⎪

⎨⎧==+=+0

2y -y - y -0

y y 0y y -3y -y 431

324321的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲定理 得

. ，其中是无量纲常数.i P g v μρπ13--=3

ρ

μλg

v =∴λ

16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中

*

v ρμγg 粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.

v 解：设,,,， 的关系为.其量纲表达式为

v ρμγg 0),,,,(=g v f μργ[]=LM 0T -1，[]=L -3MT 0，[]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[]=LM 0T 0 ，[

v ρμγ]=LM 0T -2

g 其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为

A=)

()()()()()()()(210010110011311

g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----齐次线性方程组Ay=0 即

⎪⎩

⎪

⎨

⎧=---=+=+--+0200

35414354321y y y y y y y y y y 的基本解为

⎪⎩

⎪⎨⎧

---=--=21,1,1,23,0()2

1,0,0,21,1(21

y y 得到两个相互独立的无量纲量

⎩⎨⎧==-----2/11

2/322

/12/11g g v μργ

πγπ即 . 由 , 得 1212/12/31,--==πμργπγg g v 0),(21=Φππ)

(1

21-=πϕπ , 其中是未定函数.

∴)(12/12/3-=μργϕγυg g ϕ

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期

的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期,摆长, 质量,重力加速度，阻力系数的关系为

t l m g k 0

),,,,(=k g m l t f

其量纲表达式为：

1

12120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t ， 其中，，是基本量纲.

10-=MT L L M T 量纲矩阵为

A=)

()()()()()()()(120011010001010

k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--齐次线性方程组

⎪⎩⎪

⎨

⎧

=--=+=+0

200541

5342y y y y y y y 的基本解为

⎪⎩

⎪⎨⎧

--=-=)

1,21,1,21,0()0,2

1,0,21,1(21

Y Y 得到两个相互独立的无量纲量

∴, , g l t =

1π)(21πϕπ=2

/12

/12mg kl =π∴ ，其中是未定函数 .)(2/12

/1mg

kl g l t ϕ=

ϕ 考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为

g k ,；,;,. 又 t 't l 'l m '

m (2

/12

/1g m l k g l t '''=

'ϕ当无量纲量

时， 就有 .l l m m '=

'l

l l g g l t

t '

=

⋅'='

（三）2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售

k 速率为常数，．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间一边生产r r k >()00T t <<一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每

)(0T t T <<)(t g ⎩⎨⎧==---2

2

/112/11

2/12/1ππk g m l g tl