第五章 相似矩阵及二次型
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施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
b1 a1
[b1, a2 ] b2 a2 b1 [b1, b1] [b1, ar ] [b2, ar ] [br 1, ar ] br ar b1 b2 br 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [br 1, br 1] 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 郑 等价 陶
工 程 学 院 郑 陶 然
1 a2 1 0 1 0 1 1 1 1 a 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 [ 1 , 1 ] [ 1 , 2 ]
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向量间的夹角 当x0 y0时
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
arccos
称为n维向量x与y的夹角
[ x, y] || x |||| y ||
当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向 量都正交
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
向量在规范正交基中的坐标 若e1 e2 er是V的一个规范正交基 那么V中任一向量a 应能由e1 e2 er线性表示 并且 a[a e1]e1[a e2]e2 [a er]er 事实上 设a1e12e2 rer 则 eiTaieiTeii 即ieiTa [a ei]
然
把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基
e1 1 b1 e2 1 b2 er 1 br || b1|| || b2 || || br ||
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例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用 矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 [x y]xTy
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn 天 津 师 [x y]称为向量x与y的内积
1 1 1 b b1 b 1 1 1 0 e1 2 e2 2 1 e3 3 1 1 || b1 || || b2 || || b3 || 6 3 2 1 e1 e2 e3即为所求
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例3 已知a1(1 1 1)T 求一组非零向量a2 a3 使a1 a2 a3 两两正交 解 a2 a3应满足方程a 1Tx0 即 天 津 x1x2x30 师 范 大 学 它的基础解系为 计 算 1(1 0 1)T 2(0 1 1)T 机 与 信 把基础解系正交化 即得所求 亦即取 息
计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
特征多项式与特征方程 设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的 特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程
提示 Axx(AE)x0 齐次方程(AE)x0有非零解|AE|0
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解 设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足 a1Ta30 a2Ta30 即a3应满足齐次线性方程组
x1 1 1 1 x 0 1 2 1 2 0 x 3 郑 r r 陶 1 1 1 1 1 1 1 0 1 由 A ~ ~ 然 1 2 1 0 3 0 0 1 0 得基础解系(1 0 1)T 取a3(1 0 1)T即合所求
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规范正交基 设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 如 果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2 er是 天 津 师 V的一个规范正交基
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正交阵 如果 n 阶矩阵 A 满足 ATAE( 即 A1AT) 那么称 A 为正交矩 阵 简称正交阵
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量 且两两正交
n 阶正交阵 A 的 n 个列 ( 行 ) 向量构成向量空间 Rn 的一个规 范正交基 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 郑 陶 2 2 2 2 正交矩阵举例 然 P 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2
范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)[x y][y x] (2)[x y][x y] (3)[xy z][x z][y z] 郑 (4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0 陶 然 (5)[x y]2[x x][y y] ——施瓦茨不等式
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
解 令b1a1
再令
1 4 1 5 1 [b1, a2] b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] 4 1 1 5 1 1 [b1, a3] [b2, a] b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2]
§52 方阵的特征值与特征向量
工程技术中的一些问题 如振动问题和稳定性 问题 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量 的问题 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组 的问题 也都要用到特征值的理论
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铃
特征值与特征向量 设A是n阶矩阵 如果数和n维非零向量x使关系式 Axx 天 津 师 成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 范 大 的对应于特征值的特征向量 学
§51 向量的内积、长度及正交性
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵 的相似对角化和二次型的化简问题 其中涉及向量的 内积、长度及正交等知识 本节先介绍这些知识
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn 天 津 师 [x y]称为向量x与y的内积
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向量的长度 令
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2 2 2 || x || [ x, x] x1 x2 xn
||x||称为n维向量x的长度(或范数)
向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0 (2)齐次性 ||x||||x|| (3)三角不等式 ||xy||||x||||y|| >>>
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正交阵 如果 n 阶矩阵 A 满足 ATAE( 即 A1AT) 那么称 A 为正交矩 阵 简称正交阵
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
正交矩阵的性质 (1)若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 (2)若A和B都是正交阵 则AB也正交阵
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施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
说明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个 基规范正交化
定理1 若n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 郑 陶 则a1 a2 ar线性无关 >>>
然
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例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T 正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交
正交变换 若P为正交矩阵 则线性变换yPx称为正交变换
设yPx为正交变换 则有
|| y || y T y x T P T Px x T x || x ||
这说明 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的 形状保持不变) 这是正交变换的优良特性
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例如 向量组
1 1 2 2 1 1 e1 e2 e3 2 2 0 0 0 0 郑 陶 然 是R4的一个规范正交基
注 当||x||1时 称x为单位向量
特征值与特征向量 设A是n阶矩阵 如果数和n维非零向量x使关系式 Axx 天 津 师 成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 范 大 的对应于特征值的特征向量 学
计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
特征多项式与特征方程 设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的 特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程
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0 0 0 0 1 1 e4 2 2 1 1 2 2
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规范正交基 设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 如 果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量ห้องสมุดไป่ตู้则称e1 e2 er是 天 津 师 V的一个规范正交基
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院
b1 a1
[b1, a2 ] b2 a2 b1 [b1, b1] [b1, ar ] [b2, ar ] [br 1, ar ] br ar b1 b2 br 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [br 1, br 1] 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 郑 等价 陶
工 程 学 院 郑 陶 然
1 a2 1 0 1 0 1 1 1 1 a 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 [ 1 , 1 ] [ 1 , 2 ]
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向量间的夹角 当x0 y0时
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arccos
称为n维向量x与y的夹角
[ x, y] || x |||| y ||
当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向 量都正交
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向量在规范正交基中的坐标 若e1 e2 er是V的一个规范正交基 那么V中任一向量a 应能由e1 e2 er线性表示 并且 a[a e1]e1[a e2]e2 [a er]er 事实上 设a1e12e2 rer 则 eiTaieiTeii 即ieiTa [a ei]
然
把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基
e1 1 b1 e2 1 b2 er 1 br || b1|| || b2 || || br ||
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例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化
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说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用 矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 [x y]xTy
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn 天 津 师 [x y]称为向量x与y的内积
1 1 1 b b1 b 1 1 1 0 e1 2 e2 2 1 e3 3 1 1 || b1 || || b2 || || b3 || 6 3 2 1 e1 e2 e3即为所求
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例3 已知a1(1 1 1)T 求一组非零向量a2 a3 使a1 a2 a3 两两正交 解 a2 a3应满足方程a 1Tx0 即 天 津 x1x2x30 师 范 大 学 它的基础解系为 计 算 1(1 0 1)T 2(0 1 1)T 机 与 信 把基础解系正交化 即得所求 亦即取 息
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特征多项式与特征方程 设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的 特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程
提示 Axx(AE)x0 齐次方程(AE)x0有非零解|AE|0
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解 设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足 a1Ta30 a2Ta30 即a3应满足齐次线性方程组
x1 1 1 1 x 0 1 2 1 2 0 x 3 郑 r r 陶 1 1 1 1 1 1 1 0 1 由 A ~ ~ 然 1 2 1 0 3 0 0 1 0 得基础解系(1 0 1)T 取a3(1 0 1)T即合所求
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规范正交基 设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 如 果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2 er是 天 津 师 V的一个规范正交基
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正交阵 如果 n 阶矩阵 A 满足 ATAE( 即 A1AT) 那么称 A 为正交矩 阵 简称正交阵
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方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量 且两两正交
n 阶正交阵 A 的 n 个列 ( 行 ) 向量构成向量空间 Rn 的一个规 范正交基 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 郑 陶 2 2 2 2 正交矩阵举例 然 P 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2
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内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)[x y][y x] (2)[x y][x y] (3)[xy z][x z][y z] 郑 (4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0 陶 然 (5)[x y]2[x x][y y] ——施瓦茨不等式
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解 令b1a1
再令
1 4 1 5 1 [b1, a2] b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] 4 1 1 5 1 1 [b1, a3] [b2, a] b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2]
§52 方阵的特征值与特征向量
工程技术中的一些问题 如振动问题和稳定性 问题 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量 的问题 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组 的问题 也都要用到特征值的理论
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特征值与特征向量 设A是n阶矩阵 如果数和n维非零向量x使关系式 Axx 天 津 师 成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 范 大 的对应于特征值的特征向量 学
§51 向量的内积、长度及正交性
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵 的相似对角化和二次型的化简问题 其中涉及向量的 内积、长度及正交等知识 本节先介绍这些知识
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 [x y]x1y1x2y2 xnyn 天 津 师 [x y]称为向量x与y的内积
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向量的长度 令
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2 2 2 || x || [ x, x] x1 x2 xn
||x||称为n维向量x的长度(或范数)
向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0 (2)齐次性 ||x||||x|| (3)三角不等式 ||xy||||x||||y|| >>>
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正交阵 如果 n 阶矩阵 A 满足 ATAE( 即 A1AT) 那么称 A 为正交矩 阵 简称正交阵
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正交矩阵的性质 (1)若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 (2)若A和B都是正交阵 则AB也正交阵
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施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
天 津 师 范 大 学 计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
说明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个 基规范正交化
定理1 若n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 郑 陶 则a1 a2 ar线性无关 >>>
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例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T 正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交
正交变换 若P为正交矩阵 则线性变换yPx称为正交变换
设yPx为正交变换 则有
|| y || y T y x T P T Px x T x || x ||
这说明 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的 形状保持不变) 这是正交变换的优良特性
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例如 向量组
1 1 2 2 1 1 e1 e2 e3 2 2 0 0 0 0 郑 陶 然 是R4的一个规范正交基
注 当||x||1时 称x为单位向量
特征值与特征向量 设A是n阶矩阵 如果数和n维非零向量x使关系式 Axx 天 津 师 成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 范 大 的对应于特征值的特征向量 学
计 算 机 与 信 息 工 程 学 院 郑 陶 然
特征多项式与特征方程 设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的 特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程
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