高等数学：第三节 定积分的换元法、分部积分法

（1）换元的基本思路是方便有效地找出被积函
数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。
（2）换元的同时一定要相应地变换积分的上、 下限。
（3）同不定积分的换元法不同的是，在用换元 法求出原函数后，不必代回原来的变量，这使 问题变得更加方便、简单。
（4）同不定积分一样，d x 可看作对 x 的微分 .
（5）上述换元公式也可反过来使用。
a
0
0
a
0 [ f (x ) f ( x) ]d x
即
a
a
f ( x)d x [ f ( x) f ( x) ] d x
a
0
a
a
即
f (x)d x [ f (x) f (x) ] d x
a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f (x ) f ( x )
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
则
b
f (x)d x F(b) F(a)
a
由不定积分换元法有 f [ (t)] '(t)d t F[ (t)] c
f [ (t)] '(t)d t F[ (t)]
F[( )] F[( )]
b
F(b) F(a) a f (x)d x
几点注记：
b
a
f ( x)d x
f [ (t)] '(t)d t
第四节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 不定积分的换元法
• 第一类换元公式
u (x)
f [(x)] '(x) d x
f (u) du (1)
• 第二类换元公式
x (t)
f (x) d x f [ (t) ] '(t)dt (2)
定理：假设（1） f ( x)在[a,b]上连续；
则
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
（2）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为奇函数，
则
a
a f (x)d x 0
证明：
a
a
0
f (x)d x a
a
f (x)d x 0
f (x)d x
对右边第一个积分作变换： x t d x d t
当 x a 时 , t a , 当 x 0 时 , t sin 3 x sin 5 x d x
解：
0
sin 3 x sin 5 x d x
0
sin 3 x (1 sin 2 x) d x
0
sin 3 x cos x d x
0
sin 3 x d (sin x)
[2 5
sin
5 2
x]
0
000
×
y
在 [0 , ] 上 sin 3 x sin 5 x 0
y sin 3 x sin 5 x
且仅当 x 0, , 时等于零
2
sin 3 x sin 5 x d x 0 0
0
x
2
例3：计算
0
sin 3 x sin 5 x d x
解：
0
sin 3 x sin 5 x d x 0
sin 3 x cos 2 x d x
0
sin 3 x |cos x | d x
2
0
sin 3 x cos x d x
sin 3 x cos x d x
2
2
0
sin 3 x d (sin x)
sin 3 x d (sin x)
2
[2 5
sin
5 2
x]
2 0
[2 5
sin
5 2
x]
( 20) (0 2 )
5
5
4 5
2
例4：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
（2）若 f (x) 为奇函数，即 f (x ) f ( x )
a
a f (x)d x 0
例5：求 解：设
5 5
x 3 sin 2x x4 x2 1
d
x
f (x)
x 3 sin 2x x4 x2 1
f
(x)
( x) 3 sin 2( x) (x)4 (x)2 1
x 3 sin 2x x4 x2 1
证明：
a
a
0
f (x)d x a
a
f (x)d x 0 f (x)d x
对右边第一个积分作变换： x t d x d t
当 x a 时 , t a , 当 x 0 时 , t 0 ,
0
0
a
a f (x)d x a f ( t )dt 0 f ( x)dx
a
a
a
f ( x)d x f ( x)d x f ( x)d x
例1：求积分
8
0
1
d
x
3
x
解： 令 x t 3 , d x 3t 2d t ,
当 x = 0 时，t = 0， 当 x = 8 时， t = 2， 在 [ 0 , 2 ] 上， x t 3 连续可导且单调，所以
8 d x
0 13 x
2 3t 2 d t 3 2 (t 2 t) (t 1) 1 d t
b
x ( t )
a f ( x)dx f [ (t)] (t)dt
x (t )
f ( x)d x f [ (t)] '(t)d t
b
u ( x )
f [ ( x)] ( x)dx
f (u)d u
a
其中 (a) , (b) ,
u (x)
f [ ( x)] ( x)d x f (u) du
（2）函数x (t)在[ , ]上 是f (单x)值d x的且 有f 连[续(t)导]数'(；t)d t
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t )的值在
[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
则
有 b a
f
(
x)dx
f [ (t )] (t )dt .
证明：设 f (x)d x F(x) c
0 1t
0
1t
3
2
0
(
t
1 1 1
t
)
d
t
3[
t2 2
t
ln (1
t )]
2 0
3ln 3
• 对换元法中的条件常用观测法加以验证。
例2：求积分
a
0
a 2 x 2 d x (a 0)
解：令 x asint , d x acost d t ,
当 x 0 时, 取 t 0 , 当 x a 时, sin t 1, t ,
2
a
a2 x2dx 2
a 2 a 2 sin 2t a cos t d t
0
0
2 a| cos t | acos t d t 2 acos t acos t d t
0
0
a 2 2
2
0
( 1 cos 2t ) d t
a2 2
[t sin2t 2
]
2
0
a 2
4
想一想，为什么不能取 t 的范围为 [ 0 ,