初中函数的概念

江苏省赣榆县海头二中张孝军

我们先了解一下函数形成的简要历史：1、函数是从研究各种运动问题中产生的。 2、函数概念经历了这样几个阶段：①把研究的曲线当作函数；②把由一个变量和一些常量以任何方式形成的解析表达式作为函数；③用对应关系定义的函数；④用集合定义的函数。实际上函数概念到此还没有终结，还在发展。分析函数概念的形成历史，我们可以看出几点：1、函数概念的形成是由研究静止现象到研究运动、变化现象的结果；2、函数概念的形成是人类活动不断深化的结果，是人类思维能力和认识能力提高的结果。

基于函数形成的历史，使我们认识到要使学生形成清晰的函数概念，必须使学生经历由常量数学到变量数学的转变，而要使学生实现这种观念上的质的飞跃，必定要经历一个困难的过程。困难主要表现在：①长时间处理常量数学问题使学生形成了静止、孤立、片面看问题的固定思维方式；②思维能力水平的制约。初中学生的整体思维能力还不高，一方面，初中学生的思维从初一到初三由借助于具体形象，具体的事例进行思维活动向抽象思维发展；另一方面，在学生学习了推理后，学生的思维由杂乱向有序发展，随着概念的不断丰富，推理能力的不断提高，学生逐步形成了逻辑思维能力，但要使学生理解函数概念，只是具备这些条件是不行的，学生还必须具有辨证思维的能力。

函数概念由模糊到清晰经历了近300年就说明了困难的程度。我们都知道，观念上的转变是非常困难的，所以要使学生实现观念上的转变，首要的任务是使学生接触运动现象，认识运动现象，思考运动现象，这样才能使学生认识变量的存在，然后逐步使学生理解变量的意义，实现由常量到变量的转变。然后使学生认识到运动变化过程中确实存在相互联系的量，实现由习惯于处理静止现象到处理运动现象的过渡，促进学生运动观的形成，这样才有可能使学生理解函数的意义；另外，还必须切实提高学生的思维水平。

在处理函数概念时，把函数概念分为两个阶段：初中阶段和高中阶段。对初中学生来说，只要使初中学生认识到：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的。（2）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。（3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应即可。初中阶段主要使学生能处理能用解析式表达的函数即可。要使学生掌握几类简单的函数：正比例函数、反比例函数、简单的二次函数，理解他们的定义，知道它们的图象和性质，会用它们的图形和性质解答一些生活和其他学科中的简单问题就行了。

研究函数既要用到代数的方法又要用到几何的方法，所以要使学生学好函数的知识，就必须使学生不仅熟练掌握代数和几何的方法，还要使学生理解代数和几何之间的关系，融合代数方法和几何方法，而这对于一般的学生来说难度是比较大的。

基于以上分析，我们作为一名初中教师，在实施函数教学时，要把握好初中函数教学的度，要根据初中学生的思维特点和知识结构进行教学过程设计。

下面笔者就谈谈自己对函数概念教学的处理方式。

一、渗透阶段，使学生逐渐认识变量及变量之间的相互关系

对字母表示数的认识，是学生体验、认识变量的开端，在这段内容的教学中教师要促使学生感受到变量的意义，体验变量的概念。在代数式的值的教学中再强化变量的意义，再让学生通过代数式的值与代数式中字母取值的之间的相互依赖关系，感受到变量之间的相互联系。再在方程特别是二元一次方程的学生中，进一步促进学生认识两个量之间是相互关联的，体会到两个变量之间的相互依存关系。二、强化阶段，促进学生对变量之间的关系的认识，形成事物之间是相互联系的认识

到了初二开始学习几何，在几何教学中，函数关系的例子非常多。像中点的定义、角的平分线的定义就揭示两个量之间的关系；还有两个角互余、互补，揭示的都是两个变量之间的关系。像平行线四边形的性质，中位线定理等等都蕴涵着函数关系。作为教师，一方面要在学习这些知识的过程中有意识地不断渗透变量的意识——即在现实生活中存在着大量变量，且变量之间并不是独立的，而是相互联系的；另一方面，通过这些知识使学生熟悉把几何问题代数化的方法，为函数的代数和几何方法的结合打好基础，为后来函数的学习作好充分的准备。

函数概念的形成首先与物理学的发展是有关的。对运动的研究的不断深入，使人们逐渐认识到变量的存在和意义，对多种事物研究和思考，使人们认识事物之间是相互联系的，而不是独立的，这些思想的形成和深化是函数思想的形成的直接原因。所以用物理上的知识渗透变量意识、变量是相互联系的意识，是非常直观且有效的方法。像运动过程中的路程、速度和时间之间的关系就是典型的函数关系；力、压强和受力面积之间的关系也是典型的函数关系；等等，物理上很多知识都是促成学生函数概念形成的好素材。这就要求教师要熟悉函数的形成史，从多方面进行渗透，强化变量之间是存在相互联系的观念。

三、形成阶段，形成对函数概念的认识

在学生产生了变量意识、一些变量之间是存在相互联系的意识之后，学生对函数概念的理解的准备工作已经基本作好，就可以讲授函数的概念了。但教师在教授函数概念时，要在复习前面的相关知识的基础上重点强化上面的两种意识，让学生清醒的感受到这两种意识，然后在教给学生自变量、函数一些名称，并训练学生运用这些名词来叙述变量之间的关系，熟悉函数的相关概念，当然学生这时对函数

的理解还并不清晰。

然后，教师在以后的具体函数的教学中不断使学生理解函数概念的内涵。像正比例函数，是一类最简单的函数，在实际生活中大量存在，例如，在相似三角形中，每一对对应边的数量关系就构成了正比例函数关系；在直角三角形中30o角所对直角边与斜边之间也是正比例函数关系，等等。用这些具体例子使学生清楚的认识到两个变量之间的具体联系，认识到它们的共同特征，学生对函数概念就会逐渐理解，并且通过这些实例理解函数的性质更直观，在通过后面的反比例函数、二次函数的教学进一步促进学生理解函数概念的实质，这样可以加强学生对函数性质的理解。再者，这时初三物理中也有很多各类函数的例子，教师只要能从整体上把握教学，就可以挖掘出各种具体的材料和方法，使学生能更深刻认识函数的内涵和外延。

四、逐渐适应函数的学习方法

学习函数的方法与以前学习代数和几何的方法有着明显的不同。如函数的表达方式就是多样化的，有列表法，图像法，解析式法等，学生在一开始会不适应，所以在教函数学时要使学生逐渐适应这种多样化，使学生逐渐认识到这些方法的作用，了解各种方法在不同情况下使用，会用不同的方法表示函数。

数形结合法是学习函数的重要方法，这和前面的代数方法和几何方法明显不同，对这种方法的适应需要一定的时间，因为学生对一个式子和一个几何图形之间的对应还不适应，在教学时要使学生逐渐认识到一个解析式和一个图形之间的对应关系，在正比例函数、反比例函数、二次函数的学习过程中使学生认识到具体的对应关系：一次函数与一条直线对应，反比例函数与双曲线对应，一个关于x的二次函数与抛物线对应。通过这几类特殊的函数的学习使学生不断认识到图像的作用，从而逐渐适应这种方法，体会到这种方法的优点：解析式准确简洁，图像形象直观，通过数形结合法使学生认识到代数方法和几何的方法各自的作用及相互结合的优点。

通过上面的分析可以看出：函数概念的学习既要有观念上的转变，又要具备更强的抽象思维能力，提高学生的抽象思维能力和学生的认识能力是使学生形成函数思想的基础，所以教师在代数和几何教学过程中要切实把提高学生的思维能力和认识能力作为一项重要任务，把知识传授和思维能力培养有机结合起来，既促进学生形成知识结构，又使学生形成相应的能力结构，实现观念的转变。这就要求教师要从整体上把握教材，有一个整体教学计划，使教学活动成为一个有机整体，这样才能在教学活动中真正有效的提高学生的素质。