平面直角坐标系3.25
平面直角坐标系
式中：N———6°带的带号
图2离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在......
应当注意的是，高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。其主 要特点有以下三点：
（1）投影后中央子午线为直线，长度不变形，其余经线投影对称并且凹向于中央子午线，离中央子午线越远， 变形越大。
第一象限还可以写成Ⅰ，第二象限还可以写成Ⅱ，第三象限还可以写成Ⅲ，第四象限也可以写成Ⅳ。 .第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反） 2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同） 3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
发展历程
笛卡尔坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。
传说：
有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没 有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？ 这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、 才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝 爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子 里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地 面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位 置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、 2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的 一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。百科x混知：图解 笛卡尔
考点09 平面直角坐标系与函数初步(精练)(解析版)
考点09.平面直角坐标系与函数初步（精练）限时检测1：最新各地模拟试题（40分钟）1．（2023·河北石家庄·校联考二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A 处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（）A ．向北偏西150°方向航行4海里B ．向南偏西120°方向航行3海里C ．向北偏西60°方向航行4海里D ．向东偏北150°方向航行3海里【答案】C 【分析】据方向角的定义：以正南或正北为基准，到目标所在线形成的小于90︒的角，进行判断即可．【详解】根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里，故选：C ．【点睛】本题考查利用方向角确定位置．熟练掌握方向角的定义，是解题的关键．2.（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，将线段AB 先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90︒，则点B 的对应点B '的坐标是（）A ．()4,1-B ．()1,2-C ．()41-,D ．()1,2-【答案】D【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30︒，45︒，60︒，90︒，180︒．【详解】解：如图，将线段AB 先向右平移5个单位，得到点()2,1B ，连接OB ，将OB 绕原点顺时针旋转90︒，则B '对应坐标为()1,2-，故选：D ．【点睛】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．3．（2023年江苏·统考模拟预测）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑，用时18s 在整个过程中，他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．A ．北偏东30︒方向B ．北偏西30︒方向【答案】A 【分析】根据市二中的坐标为()1,1A ，省二院的坐标为平行线，过点B 作BC AC ⊥，交x 轴的平行线于点30DAB ∠=︒，即可求出结果．A【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中，由坐标确定点的位置、方位角、锐角三角函数，构造直角三角形，求BAC ∠的正切值是解题的关键．5．（2023·湖南长沙·中考模拟）在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是（）A ．(5,1)-B ．(5,1)-C ．(1,5)D ．(5,1)--【答案】D【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：点(5,1)关于原点对称的点的坐标是(5,1)--．故选D ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．6．（2023·湖北荆州市·中考模拟）若点()1,22P a a +-关干x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据题意求出点P 关于x 轴的对称点P '坐标，根据点P '在第四象限列方程组，求解即可.【详解】∵()1,22P a a +-∴点P 关于x 轴的对称点P '坐标为()1,22P a a '+-∵P '在第四象限∴10220a a +>⎧⎨-<⎩解得：11a -<<故选：C 【点睛】本题考查点关于坐标轴对称点求法，以及根据象限点去判断参数的取值范围，能根据题意找见相关的关系是解题关键．A ．10B ．16C ．18【答案】A 【分析】由题意知：4945BC DC AD ==-==，，【详解】解：根据图2可知当点P 在CD 上运动时，是在4x =，9x =之间；所以在直角梯形ABCD 中∴ACD 面积为12CD 【点睛】考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．11-，B．( A．()【答案】C【分析】由点A的坐标可得接OB，由勾股定理可得OB由勾股定理得：2211OB =+=将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转得到112AOB BOB B OB ∠=∠=∠202382527÷=⋯ ，∴点2023B 和【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、点的坐标规律的探索，熟练掌握以上知A ．3B ．4【答案】A【答案】3232(,)22-【分析】根据旋转的性质画出图形，求出【详解】解：如图所示，将则3OA OA '==，75A OE ∠=︒-'∵点A '在第四象限，∴点A 的对应点【点睛】本题考查旋转的性质、16．（2023·浙江绍兴·校考一模）3P ，…，均在格点上，其顺序按图中根据这个规律，点2016P 的坐标为【答案】(504,504)-【分析】根据各个点的位置关系，可得出从4除余1的点在第三象限的角平分线上，象限的角平分线上，所以点2016P 项象限内点的符号得出答案即可．【详解】解：由图知，令0n ≥从(1,1)P 开始，(,)P n n -在第4过点P 作PC AB ⊥延长线于点C 点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为225AB OA OB ∴=+=，PA ∴45PAB ∠=︒Q ，PC AB ⊥，∴ 2102AC PC AP ∴===，∴C AOB ∠=∠ ，DBC ABO ∠=∠【答案】(1)见解析；(2)见解析，点2C 的坐标为()2,4-．【分析】（1）根据轴对称的性质分别作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点，然后顺次连接即可得到111A B C △；（2）根据旋转的性质分别作出点1A 、1B 、1C 绕点O 顺时针旋转180︒的对应点，顺次连接即可得到222A B C △，然后根据所作图形可得点2C 的坐标．【详解】（1）解：111A B C △如图：（2）解：222A B C △如图：由图可得：点2C 的坐标为()2,4-．【点睛】本题考查了作图—轴对称和旋转，熟练掌握轴对称和旋转的性质是解题的关键．19．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图1，长度为6千米的国道AB 两侧有M ，N 两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C 和D ，其中A 、C 之间的距离为2千米，C 、D 之间的距离为1千米，N 、C 之间的乡镇公路长度为2.3千米，M 、D 之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两(1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：x/千米0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0y/千米10.5 6.58.510.512.5(2)如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道（3）①由图形可知，若物流基地修建在故若要使物流基地T 沿公路到D 两点）．故答案为：C 、D 之间（含②由①可知，若要使物流基地之间（含C 、D 两点），由图3可知，D 、E 段上离点【答案】(1)()633,3-(2)618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()12,8【分析】（1）过点D 作DG x ⊥轴，根据旋转得到OAD ∠的性质，求出,DG OG 的长，即可；（2）过点D 作DG 由勾股定理得出AE 的长，等面积法求出DH ，进而求出∵旋转，∴30,6OAD AD OA ∠=︒==，∴132DG AD ==，∴633OG OA AG =-=-，∴D 点坐标为()633,3-；（2）过点D 作DG x ⊥轴于G ，DH AE ⊥于H ，如图所示：∵90OAC ∠=︒，∴四边形GAHD 为矩形，∴,GA DH =∵矩形OACB ，()0,8B ，∴8OB =，90AOB ∠=︒，∵旋转，∴8,90DE OB ADE AOB ==∠=∠=︒，∴AE =由旋转的性质得：,DAE AOC AD AO ∠=∠=，∴AOC ADO ∠=∠，∴DAE ADO ∠=∠，∴AE OC ∥，∴GAE AOD ∠=∠，∴DAE GAE ∠=∠，在AEG △和AED △中，90AGE ADE GAE DAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AEG AED ≌，∴6AG AD ==，8EG ED ==，∴12OG OA AG =+=，∴点E 的坐标为()12,8．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．21．（2023·天津河东·校考模拟预测）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地，设小明出发()min x 后，到达距离甲地()m y 的地方，图中的折线表示的是y 与x 之间的函数关系．(1)甲、乙两地的距离为______，小明速度______4分钟后走的路程______；=a ______离甲地400米的时间______(2)求当024x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式；【答案】(1)2000m ；200m /min ；800m ；14；2min 或22min (2)()()()2000102000101420002001424x x y x x x ⎧≤≤⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩【分析】（1）根据函数图象进行求解即可；（2）当010x ≤≤时，小明在从甲地到乙地的途中，利用路程=速度⨯时间列出对应的关系；当1014x <<时，小明在休息，则2000y =；当1424x ≤≤时小明在乙地到甲地的途中，利用路程=速度⨯时间列出对应的关系式即可．【详解】（1）解：由函数图象可知，甲、乙两地的距离为2000m ，∵小明在前10分钟一共行驶了2000m ，∴小明的速度为200010200m /min ÷=，∴4分钟后走的路程为2004800m ⨯=；∵小明从甲地到乙地和从乙地到甲地的速度相同，∴小明从甲地到乙地和从乙地到甲地的时间相同，∴241014a =-=；当小明在从甲地到乙地的过程中距离甲地400米时，则时间为4002002min ÷=；当小明在从乙地到甲地的过程中距离甲地400米时，则时间为()20004002001422min -÷+=；故答案为：2000m ；200m /min ；800m ；14；2min 或22min ；（2）解：当010x ≤≤时，小明在从甲地到乙地的途中，则200y x =；当1014x <<时，小明在休息，则2000y =；当1424x ≤≤时，小明在乙地到甲地的途中，则2000200y x =-；综上所述，()()()2000102000101420002001424x x y x x x ⎧≤≤⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩．【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键．限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）1．（2022·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（）A ．()3,1B ．()1,1-C ．()1,3D ．()1,1-【答案】A【分析】把点()1,1的横坐标加2，纵坐标不变，得到()3,1，就是平移后的对应点的坐标．【详解】解：点()1,1向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为()3,1．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律是解答本题的关键．2．（2023年四川省自贡市中考数学真题）如图，边长为3的正方形OBCD 两边与坐标轴正半轴重合，点C 的坐标是（）A ．(3,3)-B ．()3,3-C ．()3,3D ．(3,3)--【答案】C 【分析】根据正方形的性质，结合坐标的意义即可求解．【详解】解：∵边长为3的正方形OBCD 两边与坐标轴正半轴重合，∴3OB BC ==∴()3,3C ,故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握正方形的性质，数形结合是解题的关键．3.（2023·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 的坐标为()6,0，将ABO 绕着点B 顺时针旋转60︒，得到DBC △，则点C 的坐标是（）A ．()33,3【答案】B 【分析】过点C 作CE ⊥求解即可．【详解】解：过点C 作则90CEB ∠=︒由题意可得：∴132BE BC ==，∴∴C 点的坐标为(3,3【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含A ．．．．A ．4个B ．3个C ．2个【答案】C 【分析】利用图表信息结合APF 面积及逐个运动阶段得到计算数据，逐个判断正误即可．【详解】由矩形及点P 运动过程可知：2s =t 时，点P 位于点1【点睛】本题考查动点面积计算问题，能够在不同位置清晰计算面积及结合图表确认拐点位置是解题关键．6．（2022·贵州·中考真题）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶30km 后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1h到达目的地．汽车行驶的时间x （单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（）A．汽车在高速路上行驶了2.5h B．汽车在高速路上行驶的路程是180kmC．汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/h D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/h【答案】D【分析】观察图象可得汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h；汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，即可求解．【详解】解：A、根据题意得：汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h，故本选项错误，不符合题意；B、汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km，故本选项错误，不符合题意；C、汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h，故本选项错误，不符合题意；D、汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，故本选项正确，符合题意；选：D【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键．7．（2022·广西玉林·中考真题）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示,y y分别表示兔子与乌龟所走的路了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，12程）．下列说法错误．．的是()A ．兔子和乌龟比赛路程是500米B ．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟C ．兔子比乌龟多走了50米D ．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点【答案】C【分析】依据函数图象进行分析即可求解．【详解】由函数图象可知：兔子和乌龟比赛的路程为500米，兔子休息的时间为50-10=40分钟，乌龟休息的时间为35-30=5分钟，即兔子比乌龟多休息40-5=35分钟，比赛中兔子用时55分钟，乌龟用时60分钟，兔子比乌龟早到终点5分钟，据此可知C 项表述错误，故选：C ．【点睛】本题考查了根据函数图象获取信息的知识，读懂函数图象的信息是解答本题的关键．8．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（）A ．狐狸B ．猫C ．蜜蜂D ．牛【答案】B 【分析】根据题意“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示()()()2,21,13,1，，对应的字母为“DOG ”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示()()()2,13,21,3，，，对应表格中的“CAT ”，即可求解．【详解】解：∵“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示()()()2,21,13,1，，对应的字母为“DOG ”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示()()()2,13,21,3，，，对应表格中的“CAT ”，表示的动物是“猫”．故选B ．【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．9．（2021·贵州遵义·统考中考真题）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a +bi （a ，b 为实数）的数叫做复数，用z ＝a +bi 表示，任何一个复数z ＝a +bi 在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z （a ，b ）表示，如：z ＝1+2i 表示为Z （1，2），则z ＝2﹣i 可表示为（）A ．Z （2，0）B ．Z （2，﹣1）C ．Z （2，1）D ．Z （﹣1，2）【答案】B【分析】根据题中的新定义解答即可．【详解】解：由题意，得z ＝2−i 可表示为Z （2，−1）．故选：B ．【点睛】本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（2023·江苏镇江·统考中考真题）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s （单位：m ）与时间t （单位：min ）之间的函数关系．已知小明购物用时30min ，从商场返回家的速度是从家去商场速度的1.2倍，则a 的值为（）A ．46B ．48C ．50D ．52【答案】D 【分析】设小明从家去商场的速度为m/min x ，则他从商场返回家的速度为1.2m/min x ，根据“从家去商场和从商场返回家路程不变”列方程求解即可．【详解】解：设小明从家去商场的速度为m/min x ，则他从商场返回家的速度为1.2m/min x ，根据题意得：()()423042 1.2x a x -=-⨯，解得：52a =，故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图像、一元一次方程的实际应用，根据函数图象正确列出一元一次方程式解题关键．10．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，关于x 的函数y 的图象与x 轴有且仅有三个交点，分别是A ．4个B ．3个【答案】C 【分析】结合函数图象逐个分析即可．【详解】由函数图象可得：当0y >时，31x -<<-或3x >；故①y ②将函数y 的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．11．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B ，C 的坐标分别为点A 对应点的坐标为．【答案】()3,1-【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可．【详解】解：∵B ，C 的坐标分别为∴点A 的坐标为：()1,3--，连接OA 故答案为：()3,1-【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质．12．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点【答案】三【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：依题意，10,20x x ->-≠∴1x >且2x ≠，故答案为：1x >且2x ≠．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．14．（2022·四川广安·中考真题）若点P （m +1，m ）在第四象限，则点Q （﹣3，m +2）在第________象限．【答案】二【分析】根据点P （m +1，m ）在第四象限，可得到10m -<<，从而得到20m +>，即可求解．【详解】解：∵点P （m +1，m ）在第四象限，∴100m m +>⎧⎨<⎩，解得：10m -<<，∴20m +>，∴点Q （﹣3，m +2）在第二象限．故答案为：二【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．16．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）点(2，3)关于y 轴对称的点的坐标为_____．【答案】(﹣2，3)【分析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于y 轴的对称点的坐标是（-x ，y ），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【详解】点（2，3）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．【答案】()3,3【分析】根据点A的坐标是【详解】解： 点A的坐标是【答案】－1【分析】如图，过点A段BF BGCF AG=，由(2,5A-【详解】如图，过点A【答案】4【分析】先根据图象得甲乙的速度差为【详解】解：设甲的速度为x 千米/小时，则乙的速度为则：()54528x x ⎡⎤-+=⨯⎣⎦，解得：10x =【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键．(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．(2)求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．【答案】(1)30(2)(3120y x x =+30<≤【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，（2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为的取值范围；（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a ，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：（2）解：设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为将()30,210和()60,300两个点代入，可得（3）解：甲组每天挖30021036030-=-（米）∴乙组每天挖734-=（米），乙组挖掘的总长度为。
高考物理试题库 专题3.25 复合场问题(能力篇)(原卷版)
（选修3-1）第三部分磁场专题3.25 复合场问题（能力篇）一．选择题1.（2019山东青岛三模）如图所示，平面直角坐标系xOy的x轴上固定一带负电的点电荷A，一带正电的点电荷B绕A在椭圆轨道上沿逆时针方向运动，椭圆轨道的中心在O点，P1、P2、P3、P4为椭圆轨道与坐标轴的交点。
为使B绕A做圆周运动，某时刻起在此空间加一垂直于xOy平面的匀强磁场，不计B受到的重力。
下列说法中可能正确的是（）A. 当B运动到点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场B. 当B运动到点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场C. 当B运动到点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场D. 当B运动到点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场2．（6分）（2019北京通州二模）如图所示，两平行金属板中有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，一个α粒子从两板正中央垂直电场、磁场入射，它在金属板间运动轨迹如图中曲线所示，则在α粒子飞跃金属板间区域过程中（）A．α粒子的动能增大B．α粒子的电势能增大C．电场力对α粒子做负功D．磁场力对α粒子做负功3．（6分）（2019河南开封三模）如图甲所示，将一带正电的物块无初速地放在倾斜传送带底端，皮带轮以恒定的速率沿顺时针转动，该装置处于垂直纸面的匀强磁场中，物块由传送带底端运动至顶端的过程中，其v﹣t图象如图乙所示，物块全程运动的时间为t2，以下说法正确的是（图乙中t1、t2、v m均为已知量）（）A．匀强磁场垂直纸面向里B．由图可知皮带轮的传动速度可能小于v mC．由图可以求出物块运动的总位移x D．在t1﹣t2时间内，物块仍可能相对皮带向下滑动4.(多选)如图甲所示，绝缘轻质细绳一端固定在方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场中的O点，另一端连接带正电的小球，小球电荷量q＝6×10－7 C，在图示坐标中，电场方向沿竖直方向，坐标原点O的电势为零。
当小球以2 m/s的速率绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动时，细绳上的拉力刚好为零。
平面直角坐标系背景下的存在性问题(提升练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题3.25平面直角坐标系背景下的存在性问题（分层练习）（提升练）1．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若点Q 的坐标为(,)ax y x ay ++，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”．（1）已知点(2,6)A -的“12级关联点”是点A '；（2）已知点(1,2)M m m -的“3-级关联点”N 位于x 轴上，求点N 的坐标；（3）在（2）的条件下，若存在点H ，且2HM =，直接写出H 点坐标．2．在平面直角坐标系xOy 中有四点(4,6)(4,6)(2,1)(2,1)A B C D ----，，，．（1）在图中描出四点A B C D ，，，，再连接AB CD ，；（2）直接写出线段AB 与线段CD 的位置关系；（3）若AB 与y 轴交于点M ，CD 与y 轴交于点N ，在线段MN 上是否存在一点P ，使得三角形ABP 与三角形CDP 的面积相等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图：在正方形网格上有一个ABC ．（1）画出ABC 关于直线MN 的对称图形111A B C △；（2）ABC 的形状是___________三角形；（3）若在MN 上存在一点Q ，使得QA QC +最小，请在图中画出点Q 的位置；（4）若网格上最小正方形的边长为1，求ABC 的面积．4．已知(3004())A C -，，，，点B 在x 轴上，且4AB =．（1）求点B 的坐标，在平面直角坐标系中画出ABC ，并求出ABC 的面积．（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以A ，C ，P 为顶点的三角形的面积为9？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在y 轴上是否存在点Q ，使得ACQ 是等腰三角形？若存在，请画出点Q 的位置，并直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知(0,)A a ，(,0)B b ，(,)C b c 三点，其中a ，b ，c 满足关系式2(3)0b -=，2(4)0c -≤．（1）求a ，b ，c 的值：（2）求出三角形ABC 的面积？（3）如果在第二象限内有一点1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积；（4）在（3）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ，点B 的坐标为()3,4-，点C 的坐标为()3,0，点A 在x 轴的负半轴上，且9AC =．（1）直接写出点A 的坐标；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得16POB ABC S S =△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）把点C 向上平移4个单位长度得到点H ，作射线CH ，连接BH ，点M 在射线CH 上运动（不与点C ，H 重合），试探究HBM ∠，BMA ∠，MAC ∠之间的数量关系，并证明你的结论．7．如图，在平面立角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点()3,0A ，点()0,4B ，点C 在y 轴的负半轴上，若将CAB △沿直线AC 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点D 处．（1）直接写出AB 的长__________．（2）求点D 和点C 的坐标；（3）y 轴上是否存在一点P ，使得12PAB OCD S S =？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，点(,1)A a a +在第一象限，点(,0)B b 在x 轴负半轴上，且a ，b 满足20a +-=，连接AB 交y 轴正半轴于点H ．（1）求a 、b 的值以及三角形AOB 的面积AOB S ；（2）根据三角形AOH 的面积、三角形BOH 的面积与三角形AOB 的面积三者之间的数量关系，求点H 的坐标；（3）在y 轴上是否存在点(0,)P n ，使得3APB AOB S S > ，若存在，求出点P 的纵坐标n 的取值范围；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,2C ，过C 作CB x ⊥轴于B ．（1）求ABC 的面积．（2）若过B 作BD AC ∥交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，如图，求AED ∠的度数；（3）在x 轴上存在点P 使得CBP 的面积等于ABC 面积的32，请直接写出P 点．10．在直角坐标系中，有正方形ABCD （四条边相等，四个内角都是90︒），其中AB 平行于y 轴，点A 在第二象限．（1）如图，若()24A -，，AB 长为6，则点B ，C ，D 的坐标分别为：B ______，C ______，D ______；（2）若()3A a -，，()3B b -，，点是直角坐标系中的一个动点，23P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点Q 从B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 方向运动，运动时间为t ()2230b c t ++++-=．①当2t =时，求APQ △的面积；②试问是否存在点P ，使得12APQ APB S S =△△，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，(,0)A a ，(,0)B b ，(1,2)C -，且22(3)0a b ++-=，（1）求a ，b 的值；（2）①在y 轴的正半轴上存在一点M ，使12COM ABC S S =△△，求点M 的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M ，使12COM ABC S S =△△，仍然成立？若存在请直接写出符合条件的点M 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为(,0),(,)a a b ，点C 在y 轴上，且BC x ∥轴，a ，b 满足|3|0a -．一动点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O ﹣A ﹣B ﹣C ﹣O 的路线运动（点P 首次回到点O 时停止），运动时间为t 秒（0t ≠）．（1）直接写出点A ，B 的坐标；（2）点P 在运动过程中，连接PO ，若PO 把四边形ABCO 的面积分成1:2的两部分，求出点P 的坐标．（3）点P 在运动过程中，是否存在点P 到x 轴的距离为12t 个单位长度的情况，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(,0)A a ，(,0)B b ，且a ，b 满足226(2312)0a a b ++-+=，现同时将点A ，B 分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ．（1）请直接写出A ，B 两点的坐标．（2）如图2，点P 是线段AC 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接PQ ，PO ，当点P 在线段AC 上移动时（不与A ，C 重合），请找出PQD ∠，OPQ ∠，POB ∠的数量关系，并证明你的结论．（3）在坐标轴上是否存在点M ，使三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,2)A ，过点(1,0)-作x 轴的垂线l ，点A 关于直线l 的对称点为B ．（1）点B 的坐标为_____________；（2）已知点(3,2)C --，点(1,2)D -，在图中描出点B ，C ，D ，顺次连接点A ，B ，C ，D ．①在四边形ABCD 内部有一点P ，满足PAD PBC S S =△△且PAB PCD S S = ，则此时点P 的坐标为_____________，PAB S =△_____________；②在四边形ABCD 外部是否存在点Q ，满足QAD QBC S S =△△且QAB QCD S S =△△，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知()0,A a ，(),0B b ，其中a ，b 满足20a -=，点C 是第一象限内的点，90ABC ∠=︒，AB BC =．（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标．（2）如果在第二象限内有一点(),1P m ，是否存在点P ，使得ABP 的面积等于ABC 的面积？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）在平面直角坐标系是否存在点E ，使ABE 与ABC 全等，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，在平面直角坐标系中，已知(0,),(,0)A a B b，其中a 的整数部分，在数轴上，b 表示的数在原点的左侧，离原点的距离是2个单位长度．（1）填空：=a ________，b =________；（2）在（1）条件下，如果在第三象限内有一点(1,)P m -，请用含m 的式子表示四边形AOPB 的面积；（3）如图2，点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(5,0)，点M 的坐标为(2,2)--，动点P 从原点O 出发以每秒4个单位长度的速度沿y 轴负方向移动，同时点B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，连接AP MP 、，设运动时间为(0)t t >秒．是否存在这样的t ，使AMP ABM S S ∆∆=？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．A 、B 两点的坐标分别为,0A m （）、0,B n （），且|3|0m n --，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若POB △的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使EOP AOB ≌？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足()24240a b a +-++=．（1）求OA ，OB 长度；（2）在x 轴上是否存在点C ，使得三角形ABC 的面积是12；若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 从点B 出发沿着y 轴运动（点P 不与原点、B 点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB 、AP ，当运动的时间t 为几秒时，3ABP AOP S S ＝并求出此时点P 的坐标．参考答案1．（1）(5,1)；（2）16(,0)5N ；（3）42(,)55H -或162(,)55H --【分析】（1）根据新定义代入求解；（2）先根据新定义写出坐标，再根据x 轴上的点的特征，列方程求解；（3）根据平行直线的关系求解．（1）解：由题意得：()()11(26,26)22A '⨯-+-+⨯，即(5,1)A '；（2）解：由题意得：(332,61)N m m m m -++-+-，∵N 位于x 轴上，∴610m m -+-=，解得：15m =-，∴16(,0)5N ；（3）解：由（2）得：15m =-，∴6(,)552M --，∵HM x 轴，且2HM =，∴42(,55H -或162(,)55H --．【点拨】本题考查了点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题的关键．2．（1）见分析；（2）AB CD ∥；（3）存在，11(0,)3P 【分析】（1）根据A ，B ，C ，D 的坐标确定A ，B ，C ，D 的位置即可，再画线段；（2）证明AB x ∥轴，CD x ∥轴，可得答案；（3）如图，设(0,)P y ，16y -<<，则8461AB CD MP y NP y ===-=+，，，，由ABP CDP S S = ，可得1122AB MP CD NP ⋅=⋅，再建立方程求解即可．（1）解：A ，B ，C ，D 如图示，线段AB ，CD 即为所画的线段；（2）∵A ，B 的纵坐标相同，∴AB x ∥轴，同理：CD x ∥轴，∴AB CD ∥．（3）如图，设(0,)P y ，16y -<<，则8461AB CD MP y NP y ===-=+，，，．∵ABP CDP S S = ，即1122AB MP CD NP ⋅=⋅∴2MP NP =，即2(6)1y y -=+，解得：113y =∴110,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，掌握平面直角坐标系内线段的长度的计算是解本题的关键．3．（1）见分析；（2）等腰直角三角形；（3）见分析；（4）5【分析】（1）分别确定A ，B ，C 关于直线MN 的对称点1A ，1B ，1C ，再顺次连接即可；（2）先标注图形，再证明ACK CBH ≌，利用全等三角形的性质可得答案；（3）先确定C 关于直线MN 的对称点C '，再连接AC '，交直线MN 于Q 即可；（4）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．（1）解：如图，111A B C △即为所求；．（2）如图，标注图形，由图形可得：1AK CH ==，3CK BH ==，90AKC BHC ∠=∠=︒，∴ACK CBH ≌，∴AC BC =，ACK CBH ∠=∠，∴90BCH ACK BCH CBH ∠+∠=∠+∠=︒，∴1809090ACB ∠=-=°°°，∴ABC 为等腰直角三角形．（3）如图，Q 即为所求；（4）111341313245222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ．【点拨】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，网格三角形面积的计算，掌握以上基础知识是解本题的关键．4．（1）点B 的坐标为()70-，或()10，，图见分析，ABC 的面积为8；（2）点P 的坐标为()010，或()02-，；（3）点Q 的坐标为()09，，()04-，，708⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()01-，．【分析】（1）根据(3004())A C -，，，，点B 在x 轴上，且4AB =，可知点B 的横坐标与点A 的横坐标的差的绝对值为4，从而可以求得点B 的坐标，从而可以求得ABC 的面积．（2）根据题意可知点P 在点C 的上方或者下方，从而可以求得点P 的坐标．（3）根据已知条件可以将各种情况在坐标系中表示出来，利用勾股定理列式计算从而可以得出点的坐标．（1）解：∵(3004())A C -，，，，点B 在x 轴上，且4AB =，∴设点B 的坐标为(0)x ，，()|3|4x --=．解得，7x =-或1x =．∴点B 的坐标为()70-，或()10，．在平面直角坐标系中画出ABC ，如下图所示：∴()()137482AB C S ⎡⎤---⨯⎣⎦== ，()213482AB C S ⎡⎤--⨯⎣⎦== ．即ABC 的面积为8；（2）解：在y 轴上存在点P ，使得以A 、C 、P 三点为顶点的三角形的面积为9．设点P 的坐标为()0y ，，由题意可知点P 可能在点C 的上方或下方．当点P 在点C 上方时，()4|3|92ACP y S -⨯-== ，解得，10y =．当点P 在C 点下方时，()4|3|92ACP y S -⨯-== ，解得，=2y -．由上可得，点P 的坐标为()010，或()02-，；（3）解：在y 轴上存在点Q ，使得ACQ 是等腰三角形．如下图所示：∵(3004())A C -，，，，∴22345AC =+，当5QC AC ==时，点Q 的坐标为：()09，或()01-，；当5AQ AC ==时，点Q 与点C 关于x 轴对称，点Q 的坐标为：()04-，；当QC QA =时，设点Q 的坐标为()0y ，，则()22243y y -=+，解得78y =，∴点Q 的坐标为708⎛⎫ ⎪⎝⎭，，综上，使得ACQ 是等腰三角形，点Q 的坐标为：()09，，()04-，，708⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()01-，．【点拨】本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积、等腰三角形的判定、勾股定理，解题的关键是能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积．5．（1）2a =，3b =，4c =；（2）6；（3）3m -；（4）存在，1(3,)2P -【分析】（1）用非负数的性质求解；（2）由（1）得出A ，B ，C 的坐标，再利用三角形面积公式计算；（3）把四边形ABOP 的面积看成两个三角形面积和，用m 来表示；（4）求出ABC 的面积，结合（3）列出方程即可．（1）解：由已知2|2|(3)0a b -+-=，2(4)0c -≤及2(4)0c -≥，∴20a -=，30b -=，40c -=，可得：2a =，3b =，4c =；（2）由（1）得：(0,2)A ，(3,0)B ，(3,4)C ，∴三角形ABC 的面积为1134622B x BC ⨯⨯=⨯⨯=；（3） 12332ABO S =⨯⨯=△，12()2APO S m m =⨯⨯-=-△，()33ABO APO ABOP S S S m m ∴=+=+-=-△△四边形；（4）14362ABC S =⨯⨯= ，ABCABOP S S = 四边形36m \-=，则3m =-，所以存在点1(3,)2P -使ABC ABOP S S = 四边形．【点拨】本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，根据题意容易解答．6．（1）()6,0-；（2）存在点P ，点P 的坐标为()0,2或()0,2-；（3）MAC HBM BMA ∠=∠+∠或BMA HBM MAC ∠=∠+∠．【分析】（1）根据点A 在x 轴的负半轴上，9AC =，点C 的坐标为()3,0即可求得答案．（2）先求得OP 的长度，分两种情况写出点P 的坐标：当点P 位于点O 的上方；点P 位于点O 的下方．（3）分两种情况讨论：点M 在点H 上方；点M 在线段CH 上．利用平行线的性质及三角形的外角的性质求解即可．解：（1）∵点A 在x 轴的负半轴上，9AC =，点C 的坐标为()3,0，∴点A 的坐标为()6,0-．（2）存在点P ，点P 的坐标为()0,2或()0,2-．理由如下：如图所示，连接BP ，BO ．∵194182ABC S =⨯⨯=△，∴1332POB S OP =⨯=△．∴2OP =．当点P 位于点O 的上方时，点P 的坐标为()0,2．当点P 位于点O 的下方时，点P 的坐标为()0,2-．综上所述，点P 的坐标为()0,2或()0,2-．（3）∵点H 的坐标为()3,4，点B 的坐标为()3,4-，∴BH x ∥轴．①点M 在点H 上方．设AM 与BH 交于点K ，如图所示．∵BH x ∥轴，∴MAC MKH ∠=∠．∵MKH HBM BMA ∠=∠+∠．∴MAC HBM BMA ∠=∠+∠．②点M 在线段CH 上．过点M 作x 轴的平行线，交y 轴于点G ，如图所示．∵BH x ∥轴，MG x ∥轴，∴BH MG ∥．∴HBM BMG ∠=∠．∵MG x ∥轴，∴MAC AMG ∠=∠．∴BMA BMG AMG HBM MAC ∠=∠+∠=∠+∠．综上所述，MAC HBM BMA ∠=∠+∠或BMA HBM MAC ∠=∠+∠．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系、平行线的性质、三角形的外角的性质，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．7．（1）5；（2）点()8,0D ，点C ()0,6-；（3）存在，()0,4-或()0,12【分析】（1）直接利用勾股定理求解AB 即可；（2）证明5AD AB ==，可得8OD =，可得点()8,0D ，设点OC 的长度为m ，可得4BC m =+，可得()22284m m +=+，可得6m =，从而可得答案；（3）求解168242OCD S =⨯⨯= ，设()0,P y ，则4PB y =-，结合12PAB OCD S S = ，再建立方程求解即可．（1）解：∵点()3,0A ，点()0,4B ，∴5AB ==；（2）由折叠得：CAB CAD △≌△，5AD AB ∴==，点()3,0A ，3OA ∴=，8OD ∴=，∴点()8,0D ，设点OC 的长度为m ，4BC m ∴=+，由折叠得CD BC =，在Rt COD 中，由勾股定理得即222OC OD CD +=，即()22284m m +=+，解得6m =，点C 在y 轴的负半轴上，∴点C 的坐标为()0,6-；（3）∵()0,6C -，()8,0D ，∴168242OCD S =⨯⨯= ，设()0,P y ，则4PB y =-，∵12PAB OCD S S = ，∴11432422y ⨯-⨯=，∴48y -=，解得：4y =-或12y =，∴点P 的坐标为()0,4-或()0,12．【点拨】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，轴对称的性质，全等三角形的性质，熟练的利用方程解题是解本题的关键．8．（1）2a =，4b =-，6AOB S =V ；（2）()0,2H ；（3）当 3APB AOB S S > 时，则8n >或4n <-【分析】（1）根据算术平方根与绝对值的非负性可求a 、b 的值，然后根据三角形的面积公式可进行求解；（2）设点()0,H h ，然后根据等积法可进行求解；（3）由题意可分点P 在y 轴的正半轴和负半轴两种情况进行求解．（120a +-=0,20a ≥-≥，∴2160,20b a -=-=，∴4,2b a =±=，∵点(,0)B b 在x 轴负半轴上，∴4b =-，∴()2,3,(4,0)A B -，∴4OB =，∴1362AOB S OB =⨯⋅= ；（2）解：设点()0,H h ，∴OH h =，∵1123622AOB BOH AOH S S S OH OB OH OH =+=⋅+⨯⋅== ，∴2OH h ==，∴()0,2H ；（3）解：由题意可分：①当点P 在y 轴的正半轴时，则有2PH n =-，∴()142332APB AOB S PH PH S =⋅+⋅=> ，∴26n ->，即8n >；②当点P 在y 轴的负半轴时，则有2PH n =-，∴()142332APB AOB S PH PH S =⋅+⋅=> ，∴26n ->，即4n <-；综上所述：当 3APB AOB S S > 时，则8n >或4n <-．【点拨】本题主要考查坐标与图形及算术平方根与绝对值的非负性，熟练掌握坐标与图形及算术平方根与绝对值的非负性是解题的关键．9．（1）4；（2）45AED ∠=︒；（3）P 点的坐标为()4,0-或()8,0【分析】（1）根据CB x ⊥求出B 点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）如图，过E 作EF AC ∥，利用平行线的判定和性质，得到5618090CAB ODB CBA ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，13∠=∠，24∠∠=，结合角平分线的定义，利用()112342AED CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠，进行求解即可；（3）设点P 的坐标为()0m ,，利用CBP 的面积等于12BP BC ⋅，列方程求解即可．（1）解：∵CB x ⊥轴，()2,2C ，∴()2,0B ，∵()2,0A -，∴4AB =，2CB =，∴14242ABC S =⨯⨯= ；（2）如图，过E 作EF AC ∥．∵CB x ⊥轴，∴CB y ∥轴，90CBA ∠=︒，∴6ODB ∠=∠．又∵BD AC ∥，∴5CAB ∠=∠，∴5618090CAB ODB CBA ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒．∵BD AC ∥，∴BD AC EF ∥∥，∴13∠=∠，24∠∠=．∵AE ，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，∴132CAB ∠=∠，142ODB ∠=∠，∴()11234452AED CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒；（3）解：设(),0P m ，∵()2,0B ，()2,2C ，∴2BP m =-，2BC =，由（1）知：4ABC S = ，∴CBP 的面积=113224222BP BC m ⋅=-⋅=⨯，解得：8m =或4m =-；∴P 点的坐标为()4,0-或()8,0．【点拨】本题考查坐标与图形．正确的识图，通过点的坐标确定线段的长度，构造平行线，进行角度的转化，是解题的关键．10．（1）()22--，，()42-，，()44，；（2）①9②存在，927P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【分析】（1）利用()24A -，，AB 长为6，以及正方形的性质即可求解；（2）利用非负性的性质求得3a =，2b =-，3c t =-，得到()33A -，，()32B --，，()22C -，，()23D ，，()32P t -，；①当2t =时，求得P 点坐标()12，，Q 点坐标()12--，，根据割补法求解即可；②利用割补法列式计算即可求解．（1）解：∵正方形ABCD ，AB 平行于y 轴，()24A -，，AB 长为6，∴()22B --，，()42C -，，()44D ，；故答案为：()22--，，()42-，，()44，；（2()2230b c t +++-=0≥，()220b +≥，30c t +-≥，∴3a =，2b =-，3c t =-，∴()33A -，，()32B --，，()22C -，，()23D ，，()32P t -，；①当2t =时，代入求得P 点坐标()12，，此时Q 点坐标()12--，，连接CP DP ，,APQ APD CDP CPQ ABQ ABCD S S S S S S =----矩形△△△△△1111551515432592222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；②假设存在点P 满足题意，则有12APQ APB S S =△△，∵当5t =时，A 、P 、Q 三点共线，三角形不存在，∴5t <，将两者分别用含有t 的代数式表示()()1111115665165465222222t t t t ⨯⨯⨯-=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯，化简得()561534t t -=-，解得：307t =，此时927P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，坐标与图形性质，绝对值、算术平方根和偶次方的非负性质，三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和三角形面积公式是解题的关键，属于中考常考题型．11．（1）2a =-，3b =；（2）①(0,5)M ；②(0,5)M -或0()5,2M -或5(,0)2M ；【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案；（2）①设(0,)M m ，根据面积关系列式求解即可得到答案；②分负半轴及x 轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案；（1）解：∵22(3)0a b ++-=，2(3)0b -≥，20a +≥，∴30b -=，20a +=，解得：2a =-，3b =；（2）解：①设(0,)M m ，∵(2,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C -，12COM ABC S S =△△，∴111152222m ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得：5m =，∴(0,5)M ；②i ：当M 在y 轴负半轴时，设(0,)M m ，∵(2,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C -，12COM ABC S S =△△，∴111()152222m ⨯-⨯=⨯⨯⨯，解得：5m =-，∴(0,5)M -；ii ：当M 在x 轴上时，设(,0)M m ，∵(2,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C -，12COM ABC S S =△△，∴111252222m ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得：52m =±，∴0()5,2M -或5(,0)2M ；综上所述：(0,5)M -或0()5,2M -或5(,0)2M ；【点拨】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围城图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高．12．（1）(3,0),(3,4)A B ；（2）点P 的坐标为8(3,3或(2,4)；（3）存在，点P 的坐标为(3,1)或14(0,)5【分析】（1）直接利用非负数的性质即可解答；（2）证明四边形ABCO 为长方形，求出面积，再分两种情况：当4POA S = 时和当4OPC S = 时，分别列出方程，求解即可；（3）分两种情况：点P 在AB 上运动和点P 在OC 上运动，根据点P 到x 轴的距离为12t 个单位长度列出方程，求解即可．（1）解：由题意知，a ，b 满足|3|0a -=，∵|3|0.a -≥>，∴30,40a b -=-=，∴3,4a b ==，∴(3,0),(3,4)A B ；（2）由题意可知，AB x ⊥轴，BC OA =，∵BC x ∥轴，∴四边形ABCO 为长方形，∵(3,4)B ，∴3412ABCO S =⨯=矩形，∵PO 把四边形ABCO 的面积分成1:2的两部分，∴一部分面积为4，另一部分面积为8，∴可分两种情况讨论：当4POA S = 时和当4OPC S = 时，①当4POA S = 时，此时点P 在AB 上，点P 的坐标为(3,23),23t AP t -=-，∴()11323422POA S OA AP t =⋅⋅=⨯⨯-= ，∴176t =，∴823=3t -，∴点P 的坐标为8(3,)3，②当4OPC S = 时，此时点P 在BC 上，点P 的坐标为(102,4),102t CP t -=-，∴()111024422OPC S CP CO t =⋅⋅=⨯-⨯= ，∴4,t =，∴点P 的坐标为(2,4)，综上可知，，点P 的坐标为8(3,)3或(2,4)；（3）存在，理由如下：①当P 在AB 上运动时，12AP t =，由（2）可知，23AP t =-，∴1.232t t -=，∴2t =，∴231AP t =-=，∴点P 的坐标为(3,1)，②当P 在OC 上运动时，142OP t =-，∴11422t t -=，∴285t =，∴141425OP t =-=，∴点P 的坐标为14(0,)5，综上可知，点P 的坐标为(3,1)或14(0,5．【点拨】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键．13．（1）(3,0)A -；(2,0)B ；（2）360PQD OPQ POB ∠+∠+∠=︒；（3）存在，(2,0)或(8,0)-或4(0,)3-或16(0,)3【分析】（1）根据绝对值的非负性、偶次方的非负性分别求出a 、b ，得到点A ，B 的坐标；（2）求出五边形QPOBD 的内角和，根据平行线的性质得到180QDB OBD ∠+∠=︒，计算即可；（3）根据题意求出ACD 的面积，分点M 在x 轴上、点M 在y 轴上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．（1）解：()22623120a a b ++-+= ，260a ∴+=，()223120a b -+=，解得：3a =-，2b =，则点A ，B 的坐标分别为(3,0)A -，(2,0)B ；（2）解：360PQD OPQ POB ∠+∠+∠=︒，理由如下：五边形QPOBD 的内角和(52)180540=-⨯︒=︒，∵CD AB ∥，180QDB OBD ∴∠+∠=︒，()540360PQD OPQ POB QDB OBD ∴∠+∠+∠=︒-∠+∠=︒；（3）解：由题意得，点C 的坐标为(5,2)-，点D 的坐标为(0,2)，则ACD 的面积15252=⨯⨯=，当点M 在x 轴上时，设点M 的坐标为(,0)x ，则3AM x =--，由题意得，13252x ⨯--⨯=，解得：2x =或8-，当点M 在y 轴上时，设点M 的坐标为(0,)y ，则2DM y =-，由题意得，12352y ⨯-⨯=，解得：43y =-或163，综上所述，三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等时，存在点M ，且点M 的坐标为()2,0或()8,0-或40,3⎛⎫-⎪⎝⎭或160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查的是几何变换的综合题，非负数的性质、平移变换、三角形的面积计算，掌握坐标与图形的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．14．（1）()2,2-；（2）①21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，83．②()1,6Q --，理由见分析【分析】（1）根据对称性可知点A 和点B 到直线l 的距离相等，且纵坐标相等即可求解；（2）①根据点A ，B ，C ，D 的坐标可得点A 和点B 关于直线l 对称，点C 和点D 关于直线l 对称，AB CD ，2AB =，4CD =，由PAD PBC S S =△△，可知点P 在直线l 上，设点P ()1,p -，再根据PAB PCD S S = 可得()()112222AB p CD p ⨯-=⨯+，求解即可得点P 坐标，进而即可求解PAB S ；②与①同理，设()1,Q q -，根据QAB QCD S S =△△，可得()()112222AB q CD q ⨯-=⨯--，解方程进而即可求解．解：（1）∵点A 坐标为()0,2，过点(1,0)-作x 轴的垂线l ，∴点A 到直线l 的距离为1，∵点A 和点B 关于直线l 的对称点，∴()2,2B -，故答案为：()2,2-；（2）如图所示：顺次连接A ，B ，C ，D ，可以发现四边形ABCD 是等腰梯形，且关于直线l 对称，①∵点()0,2A ，点()2,2B -，点(3,2)C --，点(1,2)D -，∴点A 和点B 关于直线l 对称，点C 和点D 关于直线l 对称，AB CD ，2AB =，4CD =，∵在四边形ABCD 内部有一点P ，满足PAD PBC S S =△△，则点P 在直线l 上，设点P ()1,p -，∵PAB PCD S S = ，∴()()112222AB p CD p ⨯-=⨯+，即()()11224222p p ⨯⨯-=⨯+，整理得：32p =-，解得：23p =-，∴点21,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴1212822223233PAB S AB ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，故答案为：21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，83；②存在，理由：∵QAD QBC S S =△△∴点Q 在对称轴l 上，设()1,Q q -，∵QAB QCD S S =△△，∴()()112222AB q CD q ⨯-=⨯--，即()()11224222q q ⨯⨯-=⨯⨯--，解得：6q =-，∴点()1,6Q --．【点拨】本题考查坐标与图形—对称，三角形面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想和参数构造方程解决问题．15．（1）()0,2A ，()10B ,，()3,1C ；（2）()2,1P -；（3）()2,1E -，()1,1--或()2,3【分析】（1）根据20a -+可得2a =，1b =，从而得到()0,2A ，()10B ,，再根据90ABC ∠=︒，AB BC =构造全等三角形，即可得到点C 的坐标；（2）根据ABC 三个顶点坐标可求()115123212222ABC S =⨯+⨯-⨯⨯⨯=△，则52ABP ABC S S ==△△，又因为ABP AOB PMB APMO S S S S =+- 梯形，即可求点P 的坐标；（3）根据三角形全等画出符合题意的图形，确定点E ，由（1）求点C 的坐标的方法可求出点1E 坐标，点1E 与点2E 关于点A 对称，点C 与点3E 关于点B 对称，即可得到点E 的三个坐标．（1）解：∵()2210a b -+-=，∴210a b -+-=∴2a =，1b =，∴()0,2A ，()10B ,，∴2OA =，1OB =过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则90BDC AOB ∠=∠=︒∵12180ABC ︒∠+∠+∠=，90ABC ∠=︒∴1290∠+∠=︒，在Rt BCD 中，3290∠+∠=︒，∴13∠=∠∵AB BC =，∴Rt Rt BCD ABO ≌∴2BD OA ==，∴1CD OB ==，∴213OD =+=，∵点C 在第一象限内，∴()3,1C ．（2）存在．过点P 作PM x ⊥轴于点M ，则90PMO ∠=︒∵()115123212222ABC S =⨯+⨯-⨯⨯⨯=△，∴52ABP ABC S S ==△△∵ABP AOB PMB APMO S S S S =+- 梯形，∴()()()11151212112222m m ⨯-⨯++⨯⨯-⨯⨯-=，∴2m =-，∴()2,1P -（3）()2,1E -，()1,1--或()2,3理由：如图所示，当1≌ ABE ABC ，且点1E 在第一象限时，由（1）同理得()12，3E 当2≌ ABE ABC ，且点2E 在第二象限时，点1E 与点2E 关于点A 对称∴()22，1E -当3≌ ABE ABC ，且点3E 在第二象限时，点C 与点3E 关于点B 对称∴()31，-1E -综上所述，()2,1E -，()1,1--或()2,3故答案为：()2,1E -，()1,1--或()2,3【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角坐标系中求三角形的面积以及点之间的对称问题，解题的关键是熟悉掌握运用全等三角形的性质与判定．16．（1）4,2-；（2）4m -；（3）存在，5．【分析】（1的范围即可求出它的整数部分a ；根据数轴上的点表示的数即可求出b ；（2）将四边形AOPB 的面积分解成两个三角形AOB ∆与BOP ∆的面积和即可求出；（3）先用t 表示点(0,4),(5,0)P t B t -+，然后用t 表示ABM ∆与AMP ∆的面积，然后根据题意列式即可求出答案．（1）解： 45<<，且a 4a ∴=，在数轴上，b 表示的数在原点的左侧，离原点的距离是2个单位长度，2b ∴=-；故答案为：4,2-；（2）解： 在第三象限内有一点(1,)P m -，0m ∴<，AOB BOPAOPB S S S ∆∆=+四边形11||22BO AO BO m =⋅+⋅1124222m =⨯⨯-⨯⨯4m =-；∴用含m 的式子表示四边形AOPB 的面积为：(4)m -；（3）解：如图2，连接MO ，动点P 从原点O 出发以每秒4个单位长度的速度沿y 轴负方向移动，同时点B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为(0)t t >秒，(0,4),(5,0)P t B t ∴-+，5(1)6AB t t ∴=+--=+，4OP t =，1OA =，112(6)2622ABM S AB t t ∆∴=⨯⨯=+⨯=+，AMP AMO MOP AOPS S S S ∆∆∆∆∴=+-111124214222t t =⨯⨯+⨯-⨯⨯142t t=+-21t =+当216t t +=+时，AMP ABM S S ∆∆=，解得5t =，∴存在这样的t ，当5t =时，AMP ABM S S ∆∆=．【点拨】此题考查了平面直角坐标系下点的坐标与三角形、四边形的面积，熟练掌握用“割补法”求图形的面积、利用参数构建方程解决问题是解答此题的关键．17．（1）=6OA ，3OB =；（2）48t ≤≤且6t ≠；（3）3或9【分析】（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出m 、n 的值，即可得出答案；（2）分两种情况进行讨论，用t 表示出三角形的面积，然后分别求出t 的取值范围即可；（3）根据EOP AOB ≌时，一定要使3OP OB ==，然后分两种情况：P 在线段OA 上时或P 在线段OA 的延长线上进行讨论，求出t 的值即可．（1）解：∵|3|260m n n ---，∴30m n --=，260n -=，解得：=3n ，=6m ，∴=6OA ，3OB =；（2）解：分为两种情况：①当P 在线段OA 上时，如图所示：AP t =，6PO t =-，∴BOP 的面积()13=63=922S t t --⨯⨯，∵若POB △的面积不大于3且不等于0，∴30932t -≤＜，解得：46t ≤＜；②当P 在线段OA 的延长线上时，如图所示：∵AP t =，6PO t =-，∴BOP 的面积()13=63=922S t t --⨯⨯，∵若POB △的面积不大于3且不等于0，∴30932t -≤＜，解得：68t ≤＜；即t 的范围是48t ≤≤且6t ≠；（3）解：∵EOP AOB ≌，∴3OP OB ==，分两种情况：①当P 在线段OA 上时，如图所示：∵633AP OA OP =-=-=，∴331t ==；②当P 在线段OA 的延长线上时，如图所示：∵639AP OA OP =+=+=，∴991t ==；即存在这样的点P ，使EOP AOB ≌，t 的值是3或9．【点拨】本题主要考查了绝对值的非负性和算术平方根的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性和算术平方根的非负性，注意进行分类讨论．18．（1）2,6OA OB ==；（2）存在；()2,0C 或()6,0C -；（3）当P 移动2.25秒，此时30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或P 移动4.5秒，此时()0,3P -时，3ABP AOP S S ＝．【分析】（1）根据非负性求出a b ，的值即可；（2）利用12ABC S AC OB =⋅ 进行计算即可；（3）12ABP BP OA S =⋅V ，12AOP S OP OA =⋅△，利用3ABP AOP S S ＝进行计算即可．（1）解：∵()24240a b a +-++=，()240240a b a +-≥+≥，，∴4=0a b +-，24=0a +，解得：2,6a b =-=，∴()()2006A B -，，，，∴2,6OA OB ==；（2）解：存在．设(),0C m 则：11261222ABC S AC OB m =⋅=+⨯=△，∴24m +=，∴24m +=或24m +=-，解得：2m =或6m =-，∴()2,0C 或()6,0C -（3）解：设()0,n P 1162622ABP S BP OA n n =⋅=-⨯=-△，11222AOP S OP OA n n =⋅=⨯=△，∵3ABP AOP S S ＝，∴63n n -=，∴()2269n n -=，整理得：22390n n +-=，解得：3n =-或32n =，当3n =-时：63 4.52t +==（秒），当32n =时：362 2.252t -==（秒）；∴当P 移动2.25秒，此时30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或P 移动4.5秒，此时()0,3P -时，3ABP AOP S S ＝．【点拨】本题考查平面直角坐标系下的点的坐标和动点问题，根据题意准确的找出点的位置是解题的关键．。
(完整版)平面直角坐标系知识点总结(可编辑修改word版)
温馨提示(a , b )与(b , a )顺序不同，含义就不同。
例如：用(3 , 5) 表示第 3 列的第 5 位同学，那么(5 , 3) 就表示第 5 列的第 3 位同学。
夯实基础平面直角坐标系平面直角坐标系的有关概念一．有序数对在日常生活中，可以用有序数对来描述物体的位置，这样可以用含有两个数的组合来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数 a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a , b )。
例 1：（1）在一层的电影院内如何找到电影票上所指的位置？（2）在电影票上， 如果把“5 排 8 号”简记为（5,8），那么“4 排 9 号”如何表示？（8,3）表示什么含义？二．平面直角坐标系相关概念具体内容平面直角坐标系定义在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系两轴水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向 原点 两轴的交点O 为平面直角坐标系的原点 坐标平面坐标系所在的平面叫做坐标平面三．象限x 轴和 y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图。
y第二象限第三象限第一象限Ox第四象限y b • Oax例 2：设M (a , b ) 为平面直角坐标系中的点。
（1） 当a > 0, b < 0 时，点M 位于第几象限？（2） 当ab > 0 时，点M 位于第几象限？四．点的坐标对于坐标平面内的任意一点 A ，过点 A 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数 a 、b 分别叫做点 A 的横坐标和纵坐标，有序数对(a , b )叫做点 A 的坐标，记作A (a , b ) ，如图。
1. 已知坐标平面内的点，确定点的坐标先由已知点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，设垂足分别为 A 、 B ，再求出垂足 A 在 x 轴上的坐标 a 与垂足 B 在 y 轴上的坐标b ，最后按顺序写成(a , b )即可。
(含答案)九年级数学人教版上册课时练第22章《22.2 二次函数与一元二次方程》(2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程一、选择题1.已知二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k>-1.25B.k≥-1.25且k≠0C.k≥-1.25D.k>-1.25且k≠02.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)的一个解x的范围是()A.3.00<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.263.如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=0.5x2+bx+c的顶点,则方程0.5x2+bx+c=1的解的个数是()A.0或2B.0或1C.1或2D.0,1或24.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是()A.m≥﹣2B.m≥5C.m≥0D.m＞45.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+2025的值为()A.2023B.2024C.2025D.20266.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(﹣2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是()A.x＜﹣2B.﹣2＜x＜4C.x＞0D.x＞47.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1(a＞1)的图象与x轴交点的判断，正确的是()A.没有交点B.只有一个交点，且它位于y轴右侧C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧8.已知二次函数y=ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c=0有一个根大于4.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.抛物线y=x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.310.下表是一组二次函数y=x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5=0的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.311.如图,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,-4).则下列结论中错误的是()A.b2>4acB.ax2+bx+c≥-6C.若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>nD.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-112.如图所示为二次函数y=x2+bx的图象，对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是().A.t≥-1B.-1≤t＜3C.-1≤t＜8D.3＜t＜8二、填空题13.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x 的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是.14.若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m取值范围是.15.二次函数y=ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m=0有实数根，则m的取值范围为.16.抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点，则k的取值范围是_______________.17.已知抛物线y=x2-k的顶点为点P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k值是．18.已知函数y=|x2-4|，若方程|x2-4|=m(m为实数)有4个不相等实数根，则m取值范围是.三、解答题19.如图所示，已知二次函数y=x2-4x+3．(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况．(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．20.如图所示，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．(1)请直接写出点D的坐标．(2)求二次函数的表达式．(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点(﹣1，8)并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为(3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．22.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;(2)若该抛物线的对称轴为直线x=2.5.①求该抛物线的函数解析式;②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?23.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），D（﹣1，0）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．24.已知关于x 的一元二次方程x 2-(m+1)x+21(m 2+1)=0有实数根.(1)求m 的值.(2)先作y=x 2-(m+1)x+12(m 2+1)的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后图象的表达式.(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n 2-4n 的最大值和最小值.参考答案1.B.2.C.3.D.4.A.5.D.6.B.7.D.8.B.9.C.10.C.11.C.12.C.13.x<-1或x>4.14.m>31.15.m≤3.16.k≤1.25且k≠1.17.3.18.0＜m<4.19.解：(1)y=x 2-4x+3=x 2-4x+4-4+3=（x-2）2-1.∴顶点C 的坐标是（2，-1）.当x≤2时，y 随x 的增大而减小；当x≥2时，y 随x 的增大而增大.(2)令x 2-4x+3=0，解得x 1=3，x 2=1.∴点A 的坐标是（1，0），点B 的坐标是（3，0）.∴S △ABC =21AB×h=21×2×1=1.20.解：(1)D（-2，3）.(2)设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c，由题意得ïîïíì==++=+-30039c c b a c b a ,解得ïîïíì=-=-=321c b a ,∴二次函数的表达式为y=-x 2-2x+3.(3)x<-2或x>1.21.解：(1)∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点(﹣1，8)与点B(3，0)，∴解得：∴抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x+3(2)∵y=x 2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1，∴P(2，﹣1)过点P 作PH⊥Y 轴于点H，过点B 作BM∥y 轴交直线PH 于点M，过点C 作CN⊥y 轴叫直线BM 于点N，如下图所示：S △CPB =S 矩形CHMN ﹣S △CHP ﹣S △PMB ﹣S △CNB =3×4﹣×2×4﹣﹣=3即：△CPB 的面积为322.解：(1)证明:∵y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)(x-m-1),∴令y=0,得x 1=m,x 2=m+1.∵m≠m+1,∴无论m 为何值,该抛物线与x 轴一定有两个公共点(m,0),(m+1,0).(2)①∵y=(x-m)(x-m-1)=x 2-(2m+1)x+m(m+1),∴该抛物线的对称轴为直线x=--(2+1)2=2+12,又该抛物线的对称轴为x=2.5,2+12=2.5,解得m=2,∴该抛物线的函数解析式为y=x 2-5x+6.②∵y=x 2-5x+6=（x-2.5）2-0.25,∴该抛物线沿y 轴向上平移0.25个单位长度后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.23.解：（1）∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，∴，∴a=，b=﹣，c=﹣1，∴二次函数的解析式为y=x 2﹣x﹣1；（2）当y=0时，得x 2﹣x﹣1=0；解得x 1=2，x 2=﹣1，∴点D 坐标为（﹣1，0）；∴图象如图，∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是﹣1＜x＜4．24.解：(1)对于一元二次方程x 2-(m+1)x+21(m 2+1)=0，Δ=(m+1)2-4×21(m 2+1)=-m 2+2m-1=-(m-1)2，∵方程有实数根，∴-(m-1)2≥0.∴m=1.(2)由(1)知y=x 2-2x+1=(x-1)2，它的图象关于x 轴的对称图形的函数表达式为y=-(x-1)2,∴平移后的表达式为y=-(x+2)2+2=-x 2-4x-2.(3)由îíì---=+=2422x x y n x y ,消去y 得到x 2+6x+n+2=0，由题意知Δ≥0，∴36-4(n+2)≥0.∴n≤7.∵n≥m，m=1，∴1≤n≤7.令y′=n2-4n=(n-2)2-4，∴当n=2时，y′的值最小，最小值为-4，n=7时，y′的值最大，最大值为21.∴n2-4n的最大值为21，最小值为-4.。
《平面直角坐标系》知识讲解
《平面直角坐标系》全章知识讲解一、有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对。
1、记作（a ，b ）；2、注意：a 、b 的先后顺序对位置的影响。
例1．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的数：21a b ++．例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+1＝8，现将数对(-2，3)放入其中得到数m ，再将数对(m ，1)放入其中，得到的数是________．举一反三：【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________．二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如右图：1、各象限内点的坐标特点：第一象限（+，+）； 第二象限（-，+）；第三象限（-，-）； 第四象限（+，-）．2、原点及坐标轴上点的坐标特点：原点：P （0，0）；X 轴上的点：P （x ，0）；Y 轴上的点：P （0，y ）例1、在平面直角坐标系中，点P （2，﹣3）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例2、若点A （﹣3，n ）在x 轴上，则点B （n ﹣1，n+1）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例3、点P （0，3）在（ ）.A ．x 轴的正半轴上B ．x 的负半轴上C ．y 轴的正半轴上D ．y 轴的负半轴上举一反三：1、若点P(a ，4﹣a)是第二象限的点，则a 必须满足( )A.a ＜4B.a ＞4C.a ＜0D.0＜a ＜42、平面直角坐标系中有一点P ，点P 到y 轴的距离为2，点P 的纵坐标为﹣3，则点P 的坐标是( )A.(﹣3，﹣2)B.(﹣2，﹣3)C.(2，﹣3)D.(2，﹣3)或(﹣2，﹣3)3、在平面直角坐标系中，点(﹣1，m 2+1)一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、 如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( ) ．A ．(5，2)B ．(-6，3)C ．(-4，-6)D ．(3，-4)5、第三象限内的点P (x ，y )，满足|x |＝5，y 2＝9，则点P 的坐标为________．3、点到坐标轴的距离坐标平面内点P(x ，y)到x 轴的距离为|y|，到y 轴的距离为|x|．例1、若点P是第二象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是．例2、点P的坐标为（3a-2，8-2a），若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是（）.A．23或4 B．-2或6 C．23或-4 D．2或-6举一反三：1、已知点P在第二象限，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，那么点P的坐标是.2、在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为() ．A．3 B．-3 C．4 D．-44、平行或垂直于坐标轴直线上的点坐标特征平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．例1、点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，则直线BC与x轴的关系为．例2、经过两点A（2，3）、B（﹣4，3）作直线AB，则直线AB（）A．平行于x轴B．平行于y轴C．.经过原点D．无法确定三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．例1、如图所示，建立适当的直角坐标系，写出图中的各顶点的坐标．举一反三：1、如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，﹣2）例13．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A．（﹣3，3）B．（3，2）C．（0，3）D．（1，3）2．用坐标表示平移(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．(2)图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．例1、△ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．(1)将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么?(2)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?(3)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?举一反三：【变式】（1）将点P（325,-5）向左平移35个单位，再向上平移4个单位后得到的坐标为 .（2）将点P向左平移35个单位，再向上平移4个单位后得到1P(2，-1)，则点P的坐标为 .（3）将点P(m-2，n+1)沿x轴负方向平移3个单位，得到1P (1-m，2)，则点P坐标 .(4)把点P1(2，-3)平移后得点P2(-2，3)，则平移过程是________________.（5）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为．（6）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．（1，7） C．（1，1）D．（2，1）四：点坐标的规律性例1、如图，一个粒子在第一象限和x，y轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…）且每秒运动一个单位长度，那么2010秒时，这个粒子所处位置为（）A．（14，44）B．（15，44）C．（44，14）D．（44，15）例2、如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是．例3、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P60的坐标是．。
新人教版七年级数学下册《平面直角坐标系》知识点归纳及例题(K12教育文档)
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平面直角坐标系知识点归纳1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；2、 坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对(b a ,）一一对应；其中，a 为横坐标,b 为纵坐标坐标;3、x 轴上的点，纵坐标等于0;y 轴上的点,坐标轴上的点不属于任何象限；4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1)点P （y x ,）所在的象限横、纵坐标x 、y 的取值的正负性； （2）点P （y x ,)所在的数轴 横、纵坐标x 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则（1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y （3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a6、 平行直线上的点的坐标特征：a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；XX7、 对称点的坐标特征:a) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数; b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -, 即纵坐标不变，横坐标互为相反数； c) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --,即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称关于原点对称8、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m=，即横、纵坐标相等；b) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 习题1、在平面直角坐标系中，线段BC ∥x 轴，则 ( ） A ．点B 与C 的横坐标相等 B ．点B 与C 的纵坐标相等C ．点B 与C 的横坐标与纵坐标分别相等D ．点B 与C 的横坐标、纵坐标都不相等2．若点P ),(y x 的坐标满足0=xy 则点P 必在 （ ) A ．原点 B ．x 轴上 C ．y 轴上 D ．x 轴或y 轴上3．点P 在x 轴上 ，且到y 轴的距离为5,则点P 的坐标是 （ ） A ．(5，0) B ．(0,5) C ．（5,0)或(—5，0） D ．(0，5)或（0,—5）4。
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复习课
复习巩固
1、有序数对的概念
用含有不同意义的两个数 组成一个数对来表示一个准确 的位置。记做（a，b）
2、平面直角坐标系的概念：
平面内两条互相垂直、原点重合的数 轴，组成平面直角坐标系，水平方
向的数轴称为x轴或横轴，习惯取向
右的方向为正方向，竖直方向上的
数轴称为y轴或纵轴，习惯取向上的
（8，2），而狮 子的坐标为（6， 6），你能在图 中标出来狮子的 位置吗？
4 3 2 1
0
· · 仙鹤 （2，1）
大树 （8，2）
1234567 8
x
7、下图是某市旅游景点的示意图,若用(3,2) 表示科技大学的位置,那么其他景点的位置
呢?
(9,13) 雁塔
钟楼 (6,10)
(9,10) 中心广场
8、如图，三角形三个顶点的坐标分别是:
第二象限 点在角平分线上的特点是：
①(0 , 6), (-4, 3), (4 , 3) 两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点 .
4 3
第一象限
点(x,y) ，
点在坐标轴上的特点是：
2
点在坐标轴上的特点是：
（3）在坐标平面内画出这些点，并写出各点
1
()
平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系，水平方向的数轴称为x轴或横轴，习惯取向右的方向为正方向，竖直方
（2）根据具体问题确定适当的 比例尺 ，并在 坐标轴上标出 单位长度 。
（3）在坐标平面内画出这些点，并写出各点
的 坐标 和各个地点的 名称
。
补充、另一种表示地理位置的方法？
方向和距离
4、用坐标表示平移
(1)左右平移：
数学课件32平面直角坐标系
04
平面直角坐标系中的图形
图形的基本性质
点的坐标
在平面直角坐标系中，每个点都 有唯一的坐标值，可以通过坐标
值确定点的位置。
距离公式
点与点之间的距离可以通过坐标值 计算，使用距离公式可以求出任意 两点间的距离。
平行和垂直
不同的直线方程可以表示同一条直线， 例如y=x和x-y=0表示同一条直线。
直线的交点与距离
两条直线的交点可以通过联立方程组求解得到，例如直线y=x+1与y=x+2的交点是(1/2,3/2)。
两条平行线之间的距离可以通过公式d=|c2-c1|/√(a²+b²)计算，其中a、 b是直线方程y=ax+b中的系数，c1和c2是直线与y轴的交点的y坐标。
物理学中的应用
在物理学中，许多问题可以通过建立平面直角坐标系来求解，例如质点的运动轨 迹、力的合成与分解等。
地理学中的应用
在地理学中，平面直角坐标系常用于描述地球上点的位置，例如经纬度的确定。THANKS源自感谢观看距离和角度计算
在平面直角坐标系中，两点间的距离 和两点间连线的倾斜角都可以通过坐 标值计算得出。
函数图像分析
函数性质研究
通过在平面直角坐标系中绘制函数的图像，可以直观地研究函数的单调性、周 期性、对称性等性质。
函数最值求解
在平面直角坐标系中，可以通过图像观察函数的极值点，从而求出函数的最值。
实际问题的解决
02
平面直角坐标系中的点
点的基本性质
点的确定性
在平面直角坐标系中，每 一个点都有一个唯一的位 置，由其横纵坐标确定。
点的有序性
北师版八年级数学 3.2 平面直角坐标系(学习、上课课件)
感悟新知
知识点 3 象限及点的坐标特征
知3－讲
1. 象限的划分
如图3-2-4，建立了平面直角坐标系以后，坐标平
面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，
每个部分称为象限，分别叫第一象限、
第二象限、第三象限和第四象限，坐
标轴上的点不属于任何象限.
感悟新知
2. 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征
方向依次排列为：第一象限、第二象限、第三象
限、第四象限.各象限的名称是一种规定，不能随
意更改.
2. 坐标原点既在x轴上，又在y轴上，它是两条坐标
轴唯一的公共点.
感悟新知
知3－练
例4 已知点P的坐标为(a＋3，b－1). (1)若点P在x轴上，则b＝____1___； (2)若点P在y轴上，则a＝___－__3__； (3)若点P在第三象限，则a的取值范围为_a_<_－__3__，b 的取值范围为__b_<__1__. 解题秘方：紧扣x轴、y轴上及象限内点的坐标特征 解答.
称为直角坐标系的原点 .
三要素：两条数轴； 有公共原点；互相垂直 .
感悟新知
知1－讲
特别解读 x轴、y轴都是数轴，都有原点、正方向和
单位长度 .数学中的平面直角坐标系的两条坐标 轴的单位长度一般视为相同，但实际问题中， 受两轴上数量意义的影响，两坐标轴上的单位 长度可以有所不同 .
感悟新知
知1－练
续表
点与 有序 实数 对的 关系
在直角坐标系中，对 于平面上的任意一点， 都有唯一的一个有序 实数对(即点的坐标)与 它对应；反过来，对 于任意一个有序实数 对，都有平面上的唯 一的一个点与它对应. 因此，平面上的点与 有序实数对一一对应 .
《平面直角坐标系》精品PPT课件
练习2：写出图中七边形ABCDEFＧ各个顶
点的坐标．
y G(0,4) 5
G4
3
A(-４,1) A
2 1
-4
-3 -2
B
-1O-1
B(-2,-1)
-2
-3
-4
F(5,5) F
E E(7,３)
1234
C
C(2,-1)
56
D(7,0) D
78 x
在直角坐标中，描出坐标(3,2)的Ａ．
纵轴 y
5 A点横坐标为3
A(3, 3) B(-２, ３)
丰
收
B 路北
繁
旭
A
1km
月
和
平
路
光
此图表示某城市
的部分街道，在
繁星大道和中山 路的交叉口的O
西
处，小亮向交警 C
叔叔问路．
一起探究
道
大
2km 1.5km
A(-2,1)
2km
3km
中
山
路
大
O
团
结
路
道
B (0,-1.5)
南
星
道
大
日
P(图书大厦) 东
1. 以Ｏ为参照点，点A，B，C的位置应如何表示？ ２．你能在图中找到(3, -1.5),(-2, ２)表示的点的位置 ３．街道所在的平面上的任何一点，它的位置都可以用一对数 表示出来吗？举例说明
叔叔问路．
大
2km
中
山
大
O
团
结
星
2km 1.5km
3km 路
路
大
日
旭
A P(图书大厦)
东
3.2 平面直角坐标系
·
2
（+，+）
2 （－，＋） ( -2，1 ) C 1
·
-4
-3
-2
-1
（－，－）-2
D ( -4，- 3 )
0 -1 -3 -4
1
3
· ·
4 5
B ( 4，2 )
F （5，0） x 横轴
·
· E
( 1，- 2 ) （＋，－）
·G
（0，-4）
3-2 平面直角坐标系
想一想： 下列各点分别在平面坐标的什么位置上？ A（3，2） B（0，－2） C（－3，－2） D（－3，0）E（－1.5，3） F（2，－3） 答：Ａ点在第一象限； Ｂ点在y轴上； Ｃ点在第三象限； Ｄ点在x轴上； Ｅ点在第二象限； Ｆ点在第四象限。
3-2 平面直角坐标系
§3.2 平面直角坐标系
3-2 平面直角坐标系
温故而知新
1.请你画出一条数轴．你能说出数轴的 三要素吗？
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴. 2.如图，你能说出数轴上点A和点B的 坐标吗？
3-2 平面直角坐标系
温故而知新
3.已知数轴上点C的坐标是5，点D的坐标 是-2，你能在数轴上画出点C和点D吗？
例1(1)求出图形轮廓线 F F' 3-2 平面直角坐标系 上各转折点A,O,B,C,D, D' E' E D E,F的坐标 A(0,-2) A'(0,-2) C' B' C B 1 O(0,0) O'(0,0) B(3,2) B'(-3,2) -4 -3 -2 -1 O O' 2 3 4 1 -1 C(2,2) C'(-2,2) A A' D(2,3) D'(-2,3) E(1,3) E'(-1,3) F(0,5) F'(0,5) （2）利用坐标关系，求出它们关于y轴对称点的 坐标。 （3）在同一坐标系中，描点A′,O′,B′,C′, D′,E′,F′,并用线段依次将它们连接起来。
七年级数学(上册)第三章平面直角坐标系简介
七年级数学（上册）第三章“平面直角坐标系”简介伟大的法国教学家笛卡儿创立了平面直角坐标系，用平面上的点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点。
他进而创立了解析几何学，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来。
他的这一天才创见，为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。
平面直角坐标系架起了数与形之间的桥梁，提前安排平面直角坐标系是本套教科书体系安排上的一个特点。
原教科书有关平面直角坐标系的内容只有2课时，放在初中三年级“函数”一章，作为学习函数的基础知识来安排。
这套教科书将平面直角坐标系“单独”设章，7课时，放在7年级上学期学习，其目的是让学生尽早接触平面直角坐标系这个数学工具，尽早感受数形结合的思想，同时也分散了难点。
本章教学时间约需7课时，具体分配如下：3.1平面直角坐标系（3课时）3.2坐标方法的简单应用（3课时）数学活动小结（1课时）一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构（本章知识结构如下图所示）（二）内容安排本章主要内容包括平面直角坐标系的有关概念和点与坐标（横，纵坐标均为整数）的对应关系，以及用坐标表示地理位置和用坐标表示平移等内容。
教科书首先从实际中需要确定物体的位置（如确定电影院中座位的位置以及确定教室中学生座位的位置等）出发，引出有序数对的概念，指出利用有序数对可以确定物体的位置，由此联想到是否可以用有序数对表示平面内点的位置的问题，结合数轴上确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，然后学习平面直角坐标系的有关概念，如横轴、纵轴、原点、坐标象限，建立点与坐标（横、纵坐标为整数）的对应关系。
对于坐标方法的简单应用，本章主要学习平面直角坐标系在确定地理位置和表示平移变换中的应用，用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际生活中的应用。
本章在安排这部分内容时，首先设置了一个“观察”栏目，让学生观察地图上是怎样利用坐标表示一个地点的地理位置的，从中得到启发，来学习建立坐标系，确定一个地点的地理位置的方法，接着教科书设置了一个“探究”栏目，要求学生画出一幅地图，标出学校和三位同学家的位置。
平面直角坐标系
平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表：2.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．两个定点的距离为4，点M 到这两个定点的距离的平方和为16，则点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.设两定点分别为A ，B ，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，设动点M (x ，y )， 则由|MA |2＋|MB |2＝16，可得(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，化简得轨迹方程x 2＋y 2＝4.故选A.2．将正弦曲线y ＝sin x 的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线方程为( )A ．y ＝sin 3xB ．y ＝3sin xC ．y ＝sin 13xD ．y ＝13sin x解析：选A.伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝y ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝y ′，代入y ＝sin x . 得y ′＝sin 3x ′，即所求曲线方程为y ＝sin 3x .故选A.3．在平面直角坐标系中，方程3x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 后得到的直线方程为( )A ．3x －4y ＋1＝0B ．3x ＋y －1＝0C ．9x －y ＋1＝0D ．x －4y ＋1＝0解析：选C.由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝12y ′，代入方程3x －2y ＋1＝0，得9x ′－y ′＋1＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为9x －y ＋1＝0.4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后变换为____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.代入曲线y ＝13cos 2x ，得y ′＝cos x ′，即y ＝cos x . 答案：y ＝cos x用坐标法解决平面几何问题1.已知▱ABCD ，求证：AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．[证明] 如图所示，以点A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)．设B (a ，0)，C (b ，c )． 因为AD →＝BC →＝(b －a ，c )， 所以D (b －a ，c )． 所以AB 2＝a 2，AD 2＝(b －a )2＋c 2， AC 2＝b 2＋c 2， BD 2＝(b －2a )2＋c 2.因为AC 2＋BD 2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， 而AB 2＋AD 2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab . 所以AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．建立适当的平面直角坐标系的常用方法(1)如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；(4)如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程．已知矩形ABCD ，对于矩形所在的平面内任意一点M ，求证：AM 2＋CM 2＝BM2＋DM 2.证明：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0，0)．设B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，M (x ，y )， 则AM 2＋CM 2＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2＝2(x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)－2(ax ＋by )，BM 2＋DM 2＝(x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2＝2(x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)－2(ax ＋by )， 所以AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.求轨迹方程问题2.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8，0)．观测点A (4，0)，B (6，0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？[解] (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，因为点D (8，0)在抛物线上，所以a ＝－17. 所以曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，①y ＝－17x 2＋647 ②得4y 2－7y －36＝0. y ＝4或y ＝－94(舍去)，所以y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．所以C 点的坐标为(6，4)，|AC |＝25，|BC |＝4，所以当航天器离观测点A，B的距离分别为25，4时，应向航天器发出变轨指令．(1)求轨迹方程的一般步骤(2)求轨迹方程应注意的问题选择适当的坐标系，建系不同求得的轨迹方程也不同，坐标系的选取应以求解过程的计算量最小，求出的轨迹方程最简单为目标．在求解过程中不仅要从约束条件中的等量关系求出轨迹方程，同时还要关注约束条件中的不等关系并转化成x，y的取值范围在方程后面加以注明．如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)，设P(x，y)．由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)．则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．平面直角坐标系中的伸缩变换及其应用3.在平面直角坐标系下，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得到的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；(4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后得到的曲线C ′的焦点坐标．[解] (1)设A ′点的坐标为(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .由于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2， 所以x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)即为所求． (2)设B 点坐标为(x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′， 由于B ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，所以x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，所以B (－1，1)即为所求．(3)设直线l 上任意一点为P (x ，y )，经过变换后的点为P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，即y ′＝x ′，所以y ＝x 即为所求直线l ′的方程． (4)设双曲线C 上任意一点为P (x ，y )， 经过变换后的点为P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入方程x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，即x ′29－y ′216＝1，所以曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，可见仍为双曲线，所以焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)即为所求．(1)伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则点的坐标与曲线的方程的关系如下：关系类型变换前 变换后 点P(x ，y )(λx ，μy )函数曲线Cy ＝f (x )y ′＝μf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′方程曲线Cf (x ，y )＝0 f⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′，1μy ′＝0(2)①已知变换前的曲线方程及伸缩变换求变换后的曲线方程；求解方法为代点转移法． ②已知变换后的曲线方程及伸缩变换求变换前的曲线方程，求解方法为代点转移法． ③已知变换前后的曲线方程求伸缩变换；求解方法为待定系数法．1.给出以下四个命题，其中不正确的一个是( )A ．点M (3，5)经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x5y ′＝3y ，变换后得到点M ′的坐标为(5，3)B ．函数y ＝2(x －1)2＋2经过平移变换φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －1y ′＝y －2后再进行伸缩变换φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝18y最后得到的函数解析式为y ＝x 2C ．若曲线C 经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 变换后得到的曲线方程为x 2－y 2＝1，则曲线C的方程是4x 2－9y 2＝1D ．椭圆x 216＋y 29＝1经过伸缩变换φ后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x 轴上解析：选D.对于A ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5代入⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x 5y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5y ′＝3，故M ′(5，3)，正确；对于B ：y ＝2(x －1)2＋2经φ1变换后得到y ＝2x 2，再将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝8y ′代入得8y ′＝8x ′2即y ′＝x ′2，因此最后所得函数解析式为y ＝x2正确；对于C ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 代入x ′2－y ′2＝1得4x 2－9y2＝1，故变换前方程为4x 2－9y 2＝1也正确；对于D ：设伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)，则当λ＝4，μ＝3时变换后的图形是圆x 2＋y 2＝1，当λ＝4，μ＝1时变换后的图形为椭圆x 2＋y 29＝1，此时焦点在y 轴，故D 不正确．2．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.平移变换与伸缩变换的综合应用4.将正弦曲线y ＝sin x ，先进行平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π3y ′＝y －1得到曲线C 1，再将C 1进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y得到曲线C 2，求曲线C 2的函数解析式． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π3y ′＝y －1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋π3y ＝y ′＋1， 代入y ＝sin x 得y ′＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π3，故曲线C 1是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1得 13y ′＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ′＋π3－1，即曲线C 2的函数解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3.解决平移变换与伸缩变换应注意的问题(1)在三角函数图象变换中，左右平移和上下平移合在一起就是一个平移变换，反过来一个平移变换也可以分解成一个左右平移和一个上下平移．同样周期变换和振幅变换合在一起就是一个伸缩变换，反过来一个伸缩变换也可以分解成一个周期变换和一个振幅变换．(2)对坐标平面内一条曲线进行变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移所得曲线一般情况下是不同的．1.分别求伸缩变换φ1和平移变换φ2，使函数y ＝2cos (πx －3)＋2经过伸缩变换φ1变为y ＝cos(x －3)＋1，再经过平移变换φ2变为y ＝cos x .解：设φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0代入y ′＝cos(x ′－3)＋1得μy ＝cos(λx －3)＋1，即y ＝1μcos(λx －3)＋1μ，又y ＝2cos (πx －3)＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝πμ＝12，即φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝πx y ′＝12y ，设φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋hy ′＝y ＋k 代入y ′＝cos x ′得y ＋k ＝cos(x ＋h )．即y ＝cos(x ＋h )－k ，又y ＝cos(x －3)＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－3k ＝－1即φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3y ′＝y －1. 2．将曲线y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0变换为曲线y ′＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π3，求曲线y ＝cos 4x 在φ变换后的曲线的最小正周期及最大值．解：由φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，得φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，λ>0，y ＝1μy ′，μ>0，将曲线y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0变换为曲线的方程为y ′＝3μsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λx ′＋π3，由题意，得3μ＝1，2λ＝1，故λ＝2，μ＝13.则曲线y ＝cos 4x 在φ变换后的曲线的方程为y ′＝13cos 2x ′，所以变换后的曲线的最小正周期为π，最大值为13.1．对数轴的理解(1)数轴上的点组成的点集与实数集之间建立了一一对应关系．(2)数轴是最简单的坐标系，也可以认为是一维坐标系，它的三要素是：①原点；②正方向；③单位长度．(3)在数轴上确定点的位置，只需用它对应的实数即可，即每一个实数都能在数轴上唯一确定一个点．2．对平面直角坐标系的理解(1)建立了平面直角坐标系之后，坐标平面内的所有点组成的点集与有序数对(x ，y )组成的集合{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}之间就建立了一一对应关系，因此我们可以把坐标平面内所有点组成的点集直接写成{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}．(2)平面直角坐标系，也可以认为是二维直角坐标系，它的三要素是：①两数轴互相垂直且有公共原点；②x 轴(横轴)水平放置方向向右，y 轴(纵轴)竖直放置方向向上；③两轴上取相同的单位长度．(3)要确定平面直角坐标系内的一点，需要一个有序实数对(x ，y )．对于平面内的一点P ，如图1，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足在x 轴，y 轴上对应的数x ，y 分别叫做点P 的横坐标，纵坐标，有序实数对(x ，y )叫做点P 的坐标，点P (x ，y )在各个象限内的符号如图2所示．3．对平面直角坐标系中的伸缩变换的理解 (1)变换中的系数均为正数．(2)在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换．(3)设平面直角坐标系中，变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0将点P (x ，y ) 变换到点P ′(x ′，y ′)．当λ>1时，为横向伸长变换；当0<λ<1时，为横向缩短变换； 当μ>1时，为纵向伸长变换；当0<μ<1时，为纵向缩短变换．(4)在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新、旧坐标，P ′(x ′，y ′)是坐标变换后的点的坐标，P (x ，y )是坐标变换前的点的坐标．在具体解题时，用x ′，y ′表示出x ，y ，然后代入坐标变换前的方程，可得坐标变换后的方程．(5)由函数y ＝f (x )的图象到函数y ＝Af (ax )(a >0，A >0)的图象，其变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1a x (a >0)，y ′＝Ay (A >0)，其中(x ，y )是变换前点的坐标，(x ′，y ′)是变换后点的坐标． (6)在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线、双曲线伸缩后仍为双曲线、抛物线伸缩后仍为抛物线，而圆伸缩后可能是椭圆或圆．4．结合由y ＝sin x 变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的过程理解伸缩变换 (1)周期变换就是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωxy ′＝y 的一个伸缩变换，它把y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin ωx 的图象．(2)振幅变换就是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝xy ′＝Ay 的一个伸缩变换，它把y ＝sin x 的图象变换成y ＝A sin x的图象．(3)将y ＝sin x 的图象经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωxy ′＝Ay后得到y ＝A sin ωx 的图象． (4)将y ＝sin x 的图象经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋φy ′＝y ＋B 后就得到y ＝sin(x ＋φ)＋B 的图象．(5)将y ＝sin x的图象先进行平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋φy ′＝y ＋B 再进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωx y ′＝Ay后就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)＋AB 的图象．1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A ．椭圆B ．比原来大的圆C ．比原来小的圆D ．双曲线 解析：选D.由伸缩变换的意义可得．2．点(1，2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的点的坐标是( )A ．(4，－3)B ．(－2，3)C ．(2，－3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23解析：选D.把(1，2)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12，y ′＝23.3．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ＝3cos 12x . 答案：y ＝3cos x24．求满足由椭圆4x 2＋9y 2＝36变成圆x ′2＋y ′2＝1的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.又4x 2＋9y 2＝36可化为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1. 与λ2x 2＋μ2y 2＝1比较，得λ2＝19，μ2＝14，又因为λ>0，μ>0，所以λ＝13，μ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标缩为原来的13，纵坐标缩为原来的12，即可得到圆x ′2＋y ′2＝1.[A 基础达标]1．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (2，3)，C (3，1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 解析：选A.|AB |＝(2－1)2＋(3－2)2＝2， |BC |＝(3－2)2＋(1－3)2＝5， |AC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，|BC |＝|AC |≠|AB |，△ABC 为等腰三角形．选A.2．将点P (－2，2)变换为P ′(－6，1)的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13xy ′＝2yB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12yD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：选C.设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy ，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝λ×(－2)1＝μ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3μ＝12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .3．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2，2)的距离，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.因为点M (2，2)在直线x ＋y －4＝0上，故动点P 的轨迹是过点M 且垂直于直线x ＋y －4＝0的直线，选A.4．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标也缩为原来的12B ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12解析：选D.设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy 代入y ′＝12sin 12x ′得μy ＝12sin λ2x ，即y ＝12μsin λ2x ，与y ＝sin x 比较知⎩⎪⎨⎪⎧12μ＝1λ2＝1即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2μ＝12，因为λ>1是伸长，0<μ<1是缩短． 所以应选D.5．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝2，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝1 B ．9x 2＋100y 2＝1 C ．10x ＋24y ＝1 D.225x 2＋89y 2＝1解析：选A.将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝2中得50x 2＋72y 2＝2，即25x 2＋36y 2＝1.6．△ABC 中，已知B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为____________．解析：因为△ABC 的周长为10，所以|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6>4.所以A 点轨迹为椭圆除去B 、C 两点，且2a ＝6，2c ＝4.所以a ＝3，c ＝2，b 2＝5.所以A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)7．在平面直角坐标系中，方程x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 后得到的直线方程为________．解析：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入方程x －2y ＋1＝0，得6x ′－2y ′＋3＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为6x －2y ＋3＝0. 答案：6x －2y ＋3＝08．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y变换后得到的曲线在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3上的值域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′y ＝12y ′，代入y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6得12y ′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，即y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，因为－π3<x <π3，所以－π6<x ＋π6<π2. 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6>－33， 所以所求值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，＋∞9．如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．解：如图，以O 点为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，D (0，2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝22<|AB |＝4. 所以曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22， 所以a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. 所以曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.10．将椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1变换成圆x 2＋y 2＝1，写出变换过程．解：令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1代入(x －2)29＋(y －1)24＝1得x ′29＋y ′24＝1，所以椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1后得到椭圆x 29＋y 24＝1，再令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3y ′＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′，代入x 29＋y 24＝1，得x ′2＋y ′2＝1.所以椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1，再经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3y ′＝y 2后就得到圆x 2＋y 2＝1.[B 能力提升]11．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)，四边形ABCD 在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y (a ＞0)的作用下变成正方形，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.12 D ．23解析：选C.把点A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y 得经过变换后的点的坐标是A ′(－a ，0)，B ′(a ，0)，C ′(a ，1)，D ′(－a ，1)，由|A ′B ′|＝|A ′D ′|且a ＞0，得2a ＝1，即a ＝12.故选C.12．将圆x 2＋y 2＝4按φ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y变换后得到曲线的离心率等于________．解析：将圆x2＋y 2＝4按φ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y 变换后得到曲线方程为x ′225＋y ′216＝1，故a 2＝25，b 2＝16，c ＝a 2－b 2＝3，离心率e ＝c a ＝35.答案：3513．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面内求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的值最小，并求出此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0. 设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．所以所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ， 即为正三角形ABC 的重心．14．(选做题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左，右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)因为e ＝33， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，所以b 2a 2＝23.又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， 所以b ＝21＋1＝ 2.所以b 2＝2，a 2＝3. 因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )． 那么线段PF 1的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2.设M (x ，y )，由于MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ，t 2－y ，PF 1→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN →·PF 1→＝2x ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＝0，y ＝t ，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。
3.2 平面直角坐标系 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
问题的关键，数形结合法是解决这类问题最好的方法；
（2）熟记坐标轴上的点的坐标特征： x 轴上的点的纵坐
标为0， y 轴上的点的横坐标为0.
典例导思
已知点 P （ a －2，2 a ＋8），分别根据下列条件求
出点 P 的坐标.
（1）点 P 在 x 轴上；
（1）在平面直角坐标系的第二象限内有一点 M ，
点 M 到 x 轴的距离为3，到 y 轴的距离为4，则点 M 的坐
标是（ C ）
A. （3，－4）
B. （4，－3）
C. （－4，3）
D. （－3，4）
典例导思
（2）（2024·
重庆一外）已知点 M − ， + 在 x
轴上，则点 M 的坐标是 （－7，0） .
− .注意已知距离求点的坐标需考虑是否有双解.
典例导思
1. 已知点 A （5，－2）与点 B （ x ， y ）在同一条平行于
x 轴的直线上，且点 B 到 y 轴的距离等于4，那么点 B 的
坐标是 （4，－2）或（－4，－2） .
典例导思
2. 在平面直角坐标系中，有点 A （－2， a ＋3）， B
（－3，2），（ b ， m ），（ c ， m ），则点 E 的坐标是
（ C ）
A. （2，－3）
B. （2，3）
C. （3，2）
D. （3，－2）
（第3题）
典例导思
4. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂
片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表
示叶片“顶部” A ， B 两点的坐标分别为（－2，2），
2024-2025学年度北师版八上数学3.2平面直角坐标系(第三课时)【课件】
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0 2
课前导入
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合作探究
1.如图，在长方形ABCD中，边AB=4，BC=6，你能建立合适的平面直角坐
标系，并写出各个顶点的坐标吗？
问题1：还可以建立其他平面直角坐标系，
表示长方形的四个顶点A,B,C,D的坐标吗？
建立平面直角坐标系的基本方法
1.使图形尽量多的点在坐标轴上；
2.以某条特殊线段所在直线为x轴或y轴，如三角形的高线，中线，矩形的边等；
3.以对称图形的对称轴为x轴或y轴，以某个已知点为原点，使其坐标为（0，0）
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合作探究
如图，长方形ABCD在平面直角坐标系内
（1）求长方形ABCD的长和宽；
使 AE ＝ BE ＝5，请建立适当的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标.
解：以点 D 为坐标原点， DC 和 DA 所在直线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示.
因为 AB ＝6， AD ＝4，所以易得点 A 的坐标是（0，4），
点 B 的坐标是（6，4），点 C 的坐标是（6，0），点 D 的
离为2.故答案为（－2，2），2.
【点拨】根据已知点的坐标，可得到点与两坐标轴之间的距离，从而确定原点及坐标轴，
建立平面直角坐标系.
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数学 八年级上册 BS版
如图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正
方形.若清华大学的坐标为（0，2），北京大学的坐标为（－3，1）.
数学 八年级上册 BS版
在平面直角坐标系中，若A(x1,y1)，B(x2,y2)，请根据你的发现填写下表：
平面直角坐标系
平面直角坐标系
比一比
游戏： 同桌两人利用直尺等工具进行五角星的 会话，要求五角星的形状与大小尽量一 致，比一比哪对同桌画的最好。
LOGO
平面直角坐标系
问一问
提问：怎样才能让两个五角星相等？
怎样确定一个点的位置？ LOGO
LOGO
数轴 坐标轴
原点 x轴y轴方向 单位长度
概 念 的 类 比
0点
正方向 单位长度
LOGO
平面直角坐标系
y
8 8 7 7 6 6
B B C C
5 5
4 4 3 3 2 2 1 1
A.(3，3) B.(5，6) C.(2，5) 看一看： 点的坐标是怎么确定的？
x
-8
平面直角坐标系
x
8 6
想一想： 四个象限中点的坐 标有什么规律呢？ （+，+） 一 坐标轴上的点属于第几象限？
2 4 6 8
（-，+） 二
-8 -6 -4 -2
4 2 0 -2
y
（-，-） 三
-4 -6
（+，-） 四
坐标轴上的点不属于任何象限
-8
平面直角坐标系
x
8 6
N4
2 -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 2
A
如图，过点A（2，3）作x 轴的垂线AM和y轴的垂线 AN，垂足分别为M、N，研 究直线AM，AN上点的规律 对于A（a，b） y 经过点A且垂直与x轴的直线可 以表示为x=a，且这条直线上所 有点的横坐标都为a； 经过点A且垂直与y轴的直线可 以表示为y=b，且这条直线上所 有点的横坐标都为b
M