第三章 正态分布与参考值范围要点

正态分布的特征
正态曲线下的面积分布有一定的规律： • 1.曲线下的面积即为概率，可以通过式3-2求 得。 • 2.曲线下的总面积为1或100%，以μ为中心左 右两侧面积各占50%，越靠近μ处，曲线下面 积越大，两边逐渐减少，超过一定范围以外 的面积（概率）可以忽略。 • 3.所有正态曲线，在μ左右的任意个标准差范 围内面积相同。
正态分布的概率分布函数
（二）、正态曲线（ normal curve ）
f(X)
X

正态曲线的定义
• 正态曲线是一条高峰位于中央，两侧逐 渐下降并完全对称，曲线两端永远不与 横轴相交的钟形曲线
正态分布的特征
• 正态分布是单峰分布，曲线以均数为中 心，左右完全对称，正态曲线以X轴为 渐近线，曲线两端无线接近X轴，但不 相交； • 正态曲线在均数μ处取得该概率密度函数 的最大值，X越远离均数，f(X)值越小， 在x=μ±处有拐点，表现为钟形曲线； • X取值范围理论上没有边界，应为：∞～+ ∞，X离μ越远，函数f(X)值越接近 0，但不会等于0。
正态分布的特征
• 正态分布有两个参数，μ 决定曲线在横轴上的 位置，μ增大，曲线沿横轴向右移；反之， μ 减小，曲线沿横轴向左移； 决定曲线的形 状，当 μ恒定时，越大，数据越分散，曲线 越“矮胖”；反之，越小，数据越集中，曲 线越“瘦高”； • 习惯上用N（μ ，2）；表示均数为μ 、标准 差为的正态分布；正态分布的特殊形式： 标准正态分布N（0 ，1）；
例如：制定血清谷丙转氨酶的参考值范围，你
认为正常人的条件是什么呢？
无肝肾心脑肌肉等疾病
近期未服用对肝脏有损伤的药物如氯丙嗪，异烟 肼等
检测前未作剧烈运动
例如：如果我们想制定某市成人居民中血铅 的参考值范围，我们规定凡是满足下列条 件的个体均可进入我们的研究： 1: adult people wuho have stayed in the city for more than one year 2 : without obvious liver or kidney diseases 3 : without the history of obvious lead contact or lead-related occupation
的面积F(x)或Φ（z）(总面积为1)。见图3-5。
1 F(X ) 2

e
X
( X )2

e
( 2 2 )
dX
1 ( z ) 2

z
z2
2

dz
( z )
曲线下面积
0.5
f(X)
0.4
-∞
u 0.3
0.2 0.1 0.0
-4
-3
-2
-1
0 X
1
因为参考值范围覆盖了绝大多数个体，所以 如果某个个体的测量值超出此范围，我们可以 据此推断他的这项指标存在着异常。 基于临床实践，从个体角度，作为临床上判定正 常与异常的参考标准 基于预防医学实践，从人群角度，可用来评价儿 童的发育水平
正常人的手指血流 呈黃藍色 （perfusion unit約215） 參考值：PU>150
正态分布曲线下面积规律图2
x 1.96s x x 1.96s或 1.96 x 1.96
68.27%
95.00% 99.00% μ-2.58σ μ-1.96σ μ-σ μ μ+σ μ+1.96σ μ+2.58σ
0.6 0.5
f (X )
N (1,0.8 )
Third step Minimize Measure Error 控制检测误差
Minimize Measure Error Standardize 标准化
• • • • • 统一测量方法 统一仪器 统一试剂 统一精密度 统一操作熟练度
Fourth step Grouping or not?
• 分组的原则：如果组间差异有统计学意义， 而且分组具有实际意义，则一定应分组。 • 例如：如果我们想制定身高的参考值范围， 不仅应考虑性别，年龄的差异，而且还应将 地区之间的差异考虑在内。 • For example, we we want to make a reference range of height. Not only gender, age, but also geographic factors should be considered.
x
正态分布曲线下面积规律的推导
双侧95%的面积的公式
1.96 u 1.96
xx 1.96 或 1.96 s x
正态分布曲线下面积规律图2
x 1.96s x x 1.96s或 1.96 x 1.96
68.27%
95.00% 99.00% μ-2.58σ μ-1.96σ μ-σ μ μ+σ μ+1.96σ μ+2.58σ
表1 正态分布曲线下面积规律
标准正态分布 -1～1 -1.96～1.96 -2.58～2.58 正态分布 面积或概率 68.27% μ±σ 95.00% μ± 1.96σ 99.00% μ± 2.58σ
z
或
x z s
计算正态曲线下面积实例
例1
x 1.14mmol / L, s 0.298mmol / L
第三章 正态分布与医学参考值范围
第一节 正态分布
正态分布
正态分布（normal distribution）也叫高斯分布（ Gaussian distribution），是最常见、最重要的一种连 续型分布 一、正态分布的数学形式和正态曲线下面积的规律 二、正态分布的特征 三、标准正态分布
频数分布图
2
0.4 0.3 0.2 0.1 0
N (0,1 )
N (1,1.2 )
2
2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
正态分布数列中的每个个体加 上一个不为零的常数K后，均 数的变化
xi ( xi K ) xn K Kx n n
• 均数改变为原均数+K
标准差的变化
• 标准差不变，等于原数列的标准差
( xi k ) ( x k ) Sn n 1 x i x s n 1
2
2
正态分布数列中的每个个体乘 以一个不为零或一的常数K后， 均数的变化
xi ( xi K ) xn K Kx n n
• 均数改变为原均数× K
标准差的变化
z
x

xx 或z s
标准正态分布的概率密度函数
1 ( z) e 2
z2
2
( z )
标准正态分布的分布函数
• 经常会用到正态分布曲线下一定范围的面积占总 面积的百分数，用以估计落在该范围内的频数占 总频数的百分比。 • 可通过对式（3-1）积分求得，表示从-到x或z
标准正态分布曲线下面积规律
68.27%
95.00% 99.00%
-2.58
-1.96
-1
0
1
1.96
2.58
正态曲线下的面积特点
• μ ，已知时，进行标准正态变换再 查表 • μ ，未知时，用样本均数 x 和样 本标准差s代替总体参数进行标准正 态变换后再查表 • 95%，99%的面积公式见表1
试估计该地正常女子血清甘油三脂在1.10 mmol/L以 下者占正常女子血清甘油三脂总人数的百分比。 将X=1.10代入标准正态变量变换公式，得：
1.10 1.14 z 0.14 0.29
计算正态曲线下面积实例
查附表1，在表的左侧找到－0.1，在 表的上方找到0.04，，两者的相交处为 0.4443=44.43%。 即该地正常女子血清甘油三脂在 1.10mmol/L以下者，估计占总人数的 44.43%。 例3-1和3-2见P22。
Two、How to Make Reference Range
First step
Sampling from Normal Population 确定同质的参照总体
The choice of sample
• 首先，正常人不是指完全健康的 人，而是指符合特定健康水平的 人。在使用或指定临床参考值范 围时，“正常人”是指Baidu Nhomakorabea对于我 们所研究的指标正常的人，即排 除了对研究指标有影响的疾病或 有关因素的同质人群。
正态分布的应用
• 深入统计描述和推断的基础 计算参考值范围的基础 计算可信区间的基础 进行假设检验的基础 • 质量控制图 • 二项分布、Poisson分布的正态分布 近似
第二节 医学参考值范围
• 由于存在个体变异，来自正常人群的 生理、生化指标在不同个体之间存在 着差异，即使是同一个个体，某些指 标也会因时间、空间的改变而有一定 程度的波动。 • 因此，很有必要制定一个正常人群的 参考值范围以判断某个个体某项指标 正常与否。
2
3
4
附表1（P213） 就是根据标准正 态分布的分布函 数制定的
标准正态曲线下的面积特点
• 附表1 为标准正态分布曲线下的面积，表 上所查到的面积为从-到z的面积； • 假设横轴上曲线下的面积为1，即100％ • 曲线下,横轴上对称于0的面积相等 • 实际工作中经常要用的面积分布规律有 以下三点，68.27%，95%，99%的面积公 式见表1和下图。
手指潰爛之病人血流 呈紫灰藍色 （PU約为19）
Help us to judge whether someone is sick .
?
Index abnormal sick or unhealthiness
?
姚明：2.26米， 身高高于正常 人 参考值范围的上限， 属于身高指标异常 。 但是他很健康，并 没有相关的疾病。
实例图示
1.8 1.5 1.2 0.9 0.6 0.3 0.0 0 0.5 1 X 1.5 2
44.43％
概率密度函数与累积分布函数
f(X) F(X)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -4 -3 -2 -1 0
X
1
2
3
4
三、 正态分布的应用
• • • • • 一种最常见、最重要的连续分布 很多正常人的生理、生化指标的理论分布 数理统计中发展得最为完善的一种分布 很多统计推断都是在正态分布条件下进行 很多非正态分布的资料，当观察例数足够 多时，可以用正态分布作为它的极限分布 • 有时，也将非正态分布资料转化为正态分 布来处理
一、医学参考值范围的概念
• 又称参考值范围(reference range)， 是指“正常”人的解剖，生理、生 化等数据大多数个体值的波动范围。 • 常用95％的参考值范围
The Purpose of the Reference Range
Judge the index value of someone is normal or not?
• 标准差改变，等于原数列标准差的K倍
Sn
( xi k ) ( x k ) n 1
2
2
xi x k ks n 1
三 标准正态分布
标准正态分布 (standard normal distribution) 的两个参数为：μ=0,σ=1 记为 N(0,12) 任意一个服从N（μ，σ2）分布的随机变量X经过 标准化变换，也叫z变换（u变换），均可转换为 μ=0,σ=1的标准正态分布。
Second step Select enough sample 选择足够例数的参照样本
选择足够例数的参照样本 The choice of sample
• 随机选取样本 Random
• 样本含量（n）Sample size: the bigger the better, but in common sense the sample should involve at least 100 individuals.
频数分布逐渐接近正态分布示意图
（一）、正态分布的概率密度函数
( X )2 1 f (X ) exp , X 2 2 2 ＝3.14159， exp 是以2.72818为底的自然对数指数 X ~ N ( , 2 ), 为X的总体均数，为总体标准差 f ( X )称为概率密度函数（probabilit y density function ） 以f ( X )为纵坐标，X为横坐标，绘制的曲线就是 正态曲线（normal curve ）