高考物理万有引力与航天模拟试题含解析
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（1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少?
（2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；
（2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度；
【详解】
（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：
月球绕地球运动的轨道半径
（3）在月球表面，则有
解得
（1）求M、N间感应电动势的大小E；
（2）在太阳帆板上将一只“1.5V、0.3W”的小灯泡与M、N相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；
（3）取地球半径R=6.4×103km，地球表面的重力加速度g= 9.8 m/s2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h（计算结果保留一位有效数字）．
解得
b卫星
解得
（2）卫星做匀速圆周运动， ，
a卫星
解得
b卫星b卫星
解得
所以
（3）最远的条件
解得
4．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，经过一系列过程，在离月球表面高为h处悬停，即相对月球静止．关闭发动机后，探测器自由下落，落到月球表面时的速度大小为v，已知万有引力常量为G，月球半径为R， ，忽略月球自转，求：
（2）设飞船在轨道I上的角速度为 、在轨道III上的角速度为 ，有：
所以 设飞飞船再经过t时间相距最近，有： 所以有： ．
考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系
【名师点睛】本题主要考查万有引力定律的应用，开普勒定律的应用．同时根据万有引力提供向心力列式计算．
6．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c，太阳的质量为M0，万有引力常量为G．
（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗星，满足：
解得：
2．据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v=7.7km/s绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M、N的连线垂直，M、N间的距离L=20m，地磁场的磁感应强度垂直于v，MN所在平面的分量B=1.0×10﹣5T，将太阳帆板视为导体．
【解析】
【分析】
根据万有引力定律 ，化简可得万有引力常量G；
在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力 ，可以解得地球的质量M，地球的体积为 ，根据密度的定义 ，代入数据可以计算出地球平均密度．
【详解】
（1）根据万有引力定律有：
解得：
（2）设地球质量为M，在地球表面任一物体质量为m，在地球表面附近满足：
（1）月球表面的重力加速度 ；
（2）月球的质量M；
（3）假如你站在月球表面，将某小球水平抛出，你会发现，抛出时的速度越大，小球落回到月球表面的落点就越远．所以，可以设想，如果速度足够大，小球就不再落回月球表面，它将绕月球做半径为R的匀速圆周运动，成为月球的卫星．则这个抛出速度v1至少为多大？
【答案】（1） （2） （3）
【答案】（1） ， （2）速度之比为2 ；
【解析】
【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；
解：（1）卫星做匀速圆周运动， ，
对地面上的物体由黄金代换式
a卫星
3．a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，己知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：
（1）a、b两颗卫星周期分别是多少？
（2） a、b两颗卫星速度之比是多少？
（3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？
【答案】（1）1.54V（2）不能（3）
【解析】
【分析】
【详解】
（1）法拉第电磁感应定律
E=BLv
代入数据得
E=1.54V
（2）不能，因为穿过闭合回路的磁通量不变，不产生感应电流．
（3）在地Leabharlann Baidu表面有
匀速圆周运动
解得
代入数据得
h≈4×105m
【方法技巧】
本题旨在考查对电磁感应现象的理解，第一问很简单，问题在第二问，学生在第一问的基础上很容易答不能发光，殊不知闭合电路的磁通量不变，没有感应电流产生．本题难度不大，但第二问很容易出错，要求考生心细，考虑问题全面．
7．2019年4月，人类史上首张黑洞照片问世，如图，黑洞是一种密度极大的星球。从黑洞出发的光子，在黑洞引力的作用下，都将被黑洞吸引回去，使光子不能到达地球，地球上观察不到这种星体，因此把这种星球称为黑洞。假设有一光子（其质量m未知）恰好沿黑洞表面做周期为T的匀速圆周运动，求：
(1)若已知此光子速度为v，则此黑洞的半径R为多少？
(2)此黑洞的平均密度ρ为多少？（万有引力常量为G）
【答案】（1）R= （2）
【解析】
【详解】
(1)此光子速度为 ，则
此黑洞的半径：
(2)根据密度公式得：
根据万有引力提供向心力，列出等式：
解得：
代入密度公式，解得：
8．在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题．如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图．卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人．
高考物理万有引力与航天模拟试题含解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则:
（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；
（2）若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式．
【答案】（1）万有引力常量为 ．
（2）地球质量为 ，地球平均密度的表达式为
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量．
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为r0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M；
b．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m1、m2的质点相距为r时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为 （规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R最大不能超过多少？
【答案】（1）3M0c2（2） ；
【解析】
【分析】
【详解】
（1）合并后的质量亏损
根据爱因斯坦质能方程
得合并所释放的能量
（2）a．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m
根据万有引力定律和牛顿第二定律
解得
b．设质量为m的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
解得
因为连光都不能逃离，有v =c所以黑洞的半径最大不能超过
（1）卫星进入轨道后的加速度大小gr；
（2）卫星的动能Ek。
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】
(1)设地球的质量为 ，对在地球表面质量为 的物体，有：
对卫星，有：
解得：
(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：
卫星的动能为：
解得：
10．2004年1月，我国月球探测计划“嫦娥工程”正式启动，从此科学家对月球的探索越来越深入.2007年我国发射了“嫦娥1号”探月卫星，2010年又发射了探月卫星“嫦娥二号”，2013年“嫦娥三号”成功携带“玉兔号月球车”登上月球.已知地球半径为 ，地球表面的重力加速度为 ，月球绕地球运动的周期为 ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动.万有引力常量为 .
得地球的质量为：
地球的体积为：
解得地球的密度为：
答：（1）万有引力常量为 ．
（2）地球质量 ，地球平均密度的表达式为 ．
9．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r的匀速圆周运动。卫星的质量为m，地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，不计地球自转的影响。求：
【解析】
（1）根据自由落体运动规律 ，解得
（2）在月球表面，设探测器的质量为m，万有引力等于重力， ，解得月球质量
（3）设小球质量为 ，抛出时的速度 即为小球做圆周运动的环绕速度
万有引力提供向心力 ，解得小球速度至少为
5．“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n圈所用时间为t，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n圈所用时间为 ．不考虑其它星体对飞船的影响，求：
（1）月球的平均密度是多少？
（2）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）在圆轨道Ⅲ上的周期： ，由万有引力提供向心力有：
又： ，联立得： ．
（1）求出地球的质量；
（2）求出月球绕地球运动的轨道半径；
（3）若已知月球半径为 ，月球表面的重力加速度为 .当将来的嫦娥探测器登陆月球以后，若要在月球上发射一颗月球的卫星，最小的发射速度为多少？
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【详解】
（1）在地球表面，由
解得地球的质量
（2）月球绕地球运动，万有引力提供向心力，则有
（2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；
（2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度；
【详解】
（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：
月球绕地球运动的轨道半径
（3）在月球表面，则有
解得
（1）求M、N间感应电动势的大小E；
（2）在太阳帆板上将一只“1.5V、0.3W”的小灯泡与M、N相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；
（3）取地球半径R=6.4×103km，地球表面的重力加速度g= 9.8 m/s2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h（计算结果保留一位有效数字）．
解得
b卫星
解得
（2）卫星做匀速圆周运动， ，
a卫星
解得
b卫星b卫星
解得
所以
（3）最远的条件
解得
4．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，经过一系列过程，在离月球表面高为h处悬停，即相对月球静止．关闭发动机后，探测器自由下落，落到月球表面时的速度大小为v，已知万有引力常量为G，月球半径为R， ，忽略月球自转，求：
（2）设飞船在轨道I上的角速度为 、在轨道III上的角速度为 ，有：
所以 设飞飞船再经过t时间相距最近，有： 所以有： ．
考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系
【名师点睛】本题主要考查万有引力定律的应用，开普勒定律的应用．同时根据万有引力提供向心力列式计算．
6．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c，太阳的质量为M0，万有引力常量为G．
（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗星，满足：
解得：
2．据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v=7.7km/s绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M、N的连线垂直，M、N间的距离L=20m，地磁场的磁感应强度垂直于v，MN所在平面的分量B=1.0×10﹣5T，将太阳帆板视为导体．
【解析】
【分析】
根据万有引力定律 ，化简可得万有引力常量G；
在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力 ，可以解得地球的质量M，地球的体积为 ，根据密度的定义 ，代入数据可以计算出地球平均密度．
【详解】
（1）根据万有引力定律有：
解得：
（2）设地球质量为M，在地球表面任一物体质量为m，在地球表面附近满足：
（1）月球表面的重力加速度 ；
（2）月球的质量M；
（3）假如你站在月球表面，将某小球水平抛出，你会发现，抛出时的速度越大，小球落回到月球表面的落点就越远．所以，可以设想，如果速度足够大，小球就不再落回月球表面，它将绕月球做半径为R的匀速圆周运动，成为月球的卫星．则这个抛出速度v1至少为多大？
【答案】（1） （2） （3）
【答案】（1） ， （2）速度之比为2 ；
【解析】
【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；
解：（1）卫星做匀速圆周运动， ，
对地面上的物体由黄金代换式
a卫星
3．a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，己知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：
（1）a、b两颗卫星周期分别是多少？
（2） a、b两颗卫星速度之比是多少？
（3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？
【答案】（1）1.54V（2）不能（3）
【解析】
【分析】
【详解】
（1）法拉第电磁感应定律
E=BLv
代入数据得
E=1.54V
（2）不能，因为穿过闭合回路的磁通量不变，不产生感应电流．
（3）在地Leabharlann Baidu表面有
匀速圆周运动
解得
代入数据得
h≈4×105m
【方法技巧】
本题旨在考查对电磁感应现象的理解，第一问很简单，问题在第二问，学生在第一问的基础上很容易答不能发光，殊不知闭合电路的磁通量不变，没有感应电流产生．本题难度不大，但第二问很容易出错，要求考生心细，考虑问题全面．
7．2019年4月，人类史上首张黑洞照片问世，如图，黑洞是一种密度极大的星球。从黑洞出发的光子，在黑洞引力的作用下，都将被黑洞吸引回去，使光子不能到达地球，地球上观察不到这种星体，因此把这种星球称为黑洞。假设有一光子（其质量m未知）恰好沿黑洞表面做周期为T的匀速圆周运动，求：
(1)若已知此光子速度为v，则此黑洞的半径R为多少？
(2)此黑洞的平均密度ρ为多少？（万有引力常量为G）
【答案】（1）R= （2）
【解析】
【详解】
(1)此光子速度为 ，则
此黑洞的半径：
(2)根据密度公式得：
根据万有引力提供向心力，列出等式：
解得：
代入密度公式，解得：
8．在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题．如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图．卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人．
高考物理万有引力与航天模拟试题含解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则:
（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；
（2）若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式．
【答案】（1）万有引力常量为 ．
（2）地球质量为 ，地球平均密度的表达式为
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量．
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为r0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M；
b．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m1、m2的质点相距为r时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为 （规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R最大不能超过多少？
【答案】（1）3M0c2（2） ；
【解析】
【分析】
【详解】
（1）合并后的质量亏损
根据爱因斯坦质能方程
得合并所释放的能量
（2）a．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m
根据万有引力定律和牛顿第二定律
解得
b．设质量为m的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
解得
因为连光都不能逃离，有v =c所以黑洞的半径最大不能超过
（1）卫星进入轨道后的加速度大小gr；
（2）卫星的动能Ek。
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】
(1)设地球的质量为 ，对在地球表面质量为 的物体，有：
对卫星，有：
解得：
(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：
卫星的动能为：
解得：
10．2004年1月，我国月球探测计划“嫦娥工程”正式启动，从此科学家对月球的探索越来越深入.2007年我国发射了“嫦娥1号”探月卫星，2010年又发射了探月卫星“嫦娥二号”，2013年“嫦娥三号”成功携带“玉兔号月球车”登上月球.已知地球半径为 ，地球表面的重力加速度为 ，月球绕地球运动的周期为 ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动.万有引力常量为 .
得地球的质量为：
地球的体积为：
解得地球的密度为：
答：（1）万有引力常量为 ．
（2）地球质量 ，地球平均密度的表达式为 ．
9．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r的匀速圆周运动。卫星的质量为m，地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，不计地球自转的影响。求：
【解析】
（1）根据自由落体运动规律 ，解得
（2）在月球表面，设探测器的质量为m，万有引力等于重力， ，解得月球质量
（3）设小球质量为 ，抛出时的速度 即为小球做圆周运动的环绕速度
万有引力提供向心力 ，解得小球速度至少为
5．“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n圈所用时间为t，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n圈所用时间为 ．不考虑其它星体对飞船的影响，求：
（1）月球的平均密度是多少？
（2）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）在圆轨道Ⅲ上的周期： ，由万有引力提供向心力有：
又： ，联立得： ．
（1）求出地球的质量；
（2）求出月球绕地球运动的轨道半径；
（3）若已知月球半径为 ，月球表面的重力加速度为 .当将来的嫦娥探测器登陆月球以后，若要在月球上发射一颗月球的卫星，最小的发射速度为多少？
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【详解】
（1）在地球表面，由
解得地球的质量
（2）月球绕地球运动，万有引力提供向心力，则有