等腰三角形的性质定理和判定定理

一. 本周教学内容：

等腰三角形的性质和判定

二. 教学目标：

（一）知识与技能：

（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。

（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。（二）情感态度与价值观：

通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。

三. 重点、难点：

重点是等腰三角形的性质定理和判定定理

难点是利用定理解决实际问题

四. 教学过程：

（一）知识梳理

知识点1：等腰三角形的性质定理1

（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）

（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C

（3）证明：取BC的中点D，连接AD

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）

（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

知识点2：等腰三角形性质定理2

（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）

（2）符号语言：

∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC

∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC

∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2

BD=DC AD⊥BC

（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。

说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。

知识3：等腰三角形的判定定理

（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）

（2）符号语言：在△ABC中

∵∠B=∠C ∴AB=AC

（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD （AAS）

∴AB=AC

（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。

说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。

【典型例题分析】

基础知识应用题：

例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。

解：∵AP=PQ=AQ（已知）

∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）

∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）

∵AP=BP（已知）

∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）

又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°

∴∠PBA=∠PAB=30°

同理∠QAC=30°

∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°

解答此类题的步骤如下：

（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。

（2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。

例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。

求证：△DEF是等腰三角形。

证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）

∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）

∠B=∠DEF（已知）

∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）

在△BED和△CFE中

∠BDE=∠FEC中（已证）

BD=CE （已知）

∠B=∠C （已知）

∴△BED≌△CFE （ASA）

∴DE=EF （全等三角形对应边相等）

∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）

综合应用题：

例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD

证明：∵AB∥CD （已知）

∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）

∵OA=OB （已知）

∴∠A=∠B （等边对等角）

∴∠C=∠D （等量代换）

∴OC=OD （等角对等边）

例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。

证法一：证明：作DE⊥AB于E

∵DA=DB

DE⊥AB

∴AE=BE=

∵AB=2AC

∴AE=AC

在△AED和△ACD中

∴△AED≌△ACD

∴∠C=∠AED=90°

∴DC与AC的位置关系为：DC⊥AC

证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DF

∵AB=2AC，AF=2AC

∴AB=AF

在△ABD和△AFD中

∴△ABD≌△AFD

∴DF=DB

∵DA=DB

∴DA=DF

又∵AC=CF

∴DC⊥AF

说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB

法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的。

例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等

解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线

求证：BD=CE