北师大选修抛物线的简单性质张
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2
注:这与椭圆有四个顶点不同。
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4、离心率
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离 之比，叫做抛物线 的离心率，由抛物线的 定义，可知e=1。
y
Baidu Nhomakorabea
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的简单性质。
第8页/共18页
补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义） y
开口向
二、 练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
y2 6x
y2 4x
焦点
准线
F
(
3 2
,0)
x
3 2
F(1,0) x 1
开口方向
开口向右
开口向左
x2 4y F (0,1) y 1
2x2 7y 0
F
(0,
7 8
)
y
7 8
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开口向上 开口向下
一、抛物线的简单性质
y
P(x,y)
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
x2 = -2py （p>0）
F (0, p ) 2
第2页/共18页
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
二、 练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
焦点
y2 6x
准线
开口方向
开口向
F (1,0)
开口向
y 1 开口向
2x2 7y 0
第3页/共18页
一、复习回顾：
前面我们已学过椭圆的简单性 质,它们都是通过标准方程的形式 研究的,现在请大家想想抛物线的 标准方程、图形、焦点及准线是 什么?
第1页/共18页
图形
y
l
OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
方程
焦点
y2 = 2px
p
（p>0）
F ( ,0) 2
y2 = -2px （p>0）
x2 = 2py （p>0）
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P( x0 , y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的 线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2 第9页/共18页
足y2 = 2px ，故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
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３、顶点
定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点（0，0）。
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
原点，则这个三角形的面积为 48 3 。
第16页/共18页
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感谢您的观赏
第18页/共18页
y p 2
y≥0 x∈R
l
y轴
y
OF
l
x2 = -2py （p>0）
F
(0,
p) 2
x
y p 2
y ≤0 x∈R
第10页/共18页
（三）、例题讲解：
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M（２，2 2 ），求 它的标准方程。
第11页/共18页
（三）、例题讲解：
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M（２，2 2 ），求 它的标准方程。 解： 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐
标原点，并且经过点M（２，2 2 ），
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y2 4x
第12页/共18页
课堂练习：
求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;
（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).
（二）归纳：抛物线的简单性质
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l
OF
x
y2 = 2px （p>0）
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
y
FO
l
x
y2 = -2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≤0 y∈R
(0,0)
1
y
F O
x2 = 2py （p>0）
x
F (0, p ) 2
么抛物线通径长是
.
2、一个正三角形的三个顶点，都在抛
物线 y2 4x上，其中一个顶点为坐标
原点，则这个三角形的面积为
。
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(三）、课堂练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是 16 .
2、一个正三角形的三个顶点，都在抛
物线 y2 4x上，其中一个顶点为坐标
1、范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
而 2 px y2 0
o F ( p ,0) x
2
p0
x 0
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限
延伸。
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2、对称性
(x, y) 关于x轴 (x, y) 对称 由于点(x, y) 也满
第13页/共18页
课堂练习：
求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;
x2 20 y
（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).
y2 16 x 5
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(三）、课堂练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称
轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
注:这与椭圆有四个顶点不同。
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4、离心率
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离 之比，叫做抛物线 的离心率，由抛物线的 定义，可知e=1。
y
Baidu Nhomakorabea
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的简单性质。
第8页/共18页
补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义） y
开口向
二、 练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
y2 6x
y2 4x
焦点
准线
F
(
3 2
,0)
x
3 2
F(1,0) x 1
开口方向
开口向右
开口向左
x2 4y F (0,1) y 1
2x2 7y 0
F
(0,
7 8
)
y
7 8
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开口向上 开口向下
一、抛物线的简单性质
y
P(x,y)
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
x2 = -2py （p>0）
F (0, p ) 2
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准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
二、 练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
焦点
y2 6x
准线
开口方向
开口向
F (1,0)
开口向
y 1 开口向
2x2 7y 0
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一、复习回顾：
前面我们已学过椭圆的简单性 质,它们都是通过标准方程的形式 研究的,现在请大家想想抛物线的 标准方程、图形、焦点及准线是 什么?
第1页/共18页
图形
y
l
OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
方程
焦点
y2 = 2px
p
（p>0）
F ( ,0) 2
y2 = -2px （p>0）
x2 = 2py （p>0）
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P( x0 , y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的 线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2 第9页/共18页
足y2 = 2px ，故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
第6页/共18页
３、顶点
定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点（0，0）。
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
原点，则这个三角形的面积为 48 3 。
第16页/共18页
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感谢您的观赏
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y p 2
y≥0 x∈R
l
y轴
y
OF
l
x2 = -2py （p>0）
F
(0,
p) 2
x
y p 2
y ≤0 x∈R
第10页/共18页
（三）、例题讲解：
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M（２，2 2 ），求 它的标准方程。
第11页/共18页
（三）、例题讲解：
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M（２，2 2 ），求 它的标准方程。 解： 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐
标原点，并且经过点M（２，2 2 ），
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y2 4x
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课堂练习：
求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;
（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).
（二）归纳：抛物线的简单性质
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l
OF
x
y2 = 2px （p>0）
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
y
FO
l
x
y2 = -2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≤0 y∈R
(0,0)
1
y
F O
x2 = 2py （p>0）
x
F (0, p ) 2
么抛物线通径长是
.
2、一个正三角形的三个顶点，都在抛
物线 y2 4x上，其中一个顶点为坐标
原点，则这个三角形的面积为
。
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(三）、课堂练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是 16 .
2、一个正三角形的三个顶点，都在抛
物线 y2 4x上，其中一个顶点为坐标
1、范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
而 2 px y2 0
o F ( p ,0) x
2
p0
x 0
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限
延伸。
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2、对称性
(x, y) 关于x轴 (x, y) 对称 由于点(x, y) 也满
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课堂练习：
求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;
x2 20 y
（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).
y2 16 x 5
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(三）、课堂练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称
轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那