抛物线的简单性质练习题及答案

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3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质导学案答案

3.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【课前预习】知识点一向右向左向上向下 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R x 轴 y 轴 (0,0) e=1 诊断分析(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)抛物线不关于原点对称. (2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,抛物线没有对称中心. (3)抛物线的离心率均为1.知识点二1.(2)焦点弦 x 0+p2 p2-x 0 y 0+p2 p2-y 0 2.2p 诊断分析(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)抛物线x 2=4y ,y 2=4x 的焦点到准线的距离都是2,是相同的,离心率都是1,也相同. (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (3)抛物线y 2=2px (p>0)的焦半径长|PF|=x 1+p2. 【课中探究】探究点一例1 解:(1)由y 2=8x ,得p=4,变量x 的范围为x ≥0,∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x 轴.(2)椭圆的方程可化为x 24+y 29=1,其短轴在x 轴上,∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y 2=2px 或y 2=-2px ,其中p>0.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即p2=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程为y 2=12x 或y 2=-12x ,其准线方程为x=-3或x=3.变式解:(1)设AB 与x 轴交于点E ,则由|AB|=2得E (√3,0),∴A (√3,1).设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),则1=2p ·√3,∴2p=√33,∴抛物线的方程为y 2=√33x.(2)由(1)知2p=√33,∴p 2=√312,∴抛物线的焦点坐标为(√312,0),准线方程为x=-√312,离心率e=1.探究点二例2 解:(1)因为直线l 的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=√3,又F (32,0),所以直线l 的方程为y=√3(x -32).由{y 2=6x ,y =√3(x -32),消去y 得x 2-5x+94=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p , 所以|AB|=5+3=8.(2)结合(1)知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p=x 1+x 2+3=9,所以x 1+x 2=6,于是线段AB 的中点M 的横坐标是3,又准线方程是x=-32,所以点M 到准线的距离为3+32=92.变式 AD [解析] 设直线AB 的方程为x=ty+p 2,将x=ty+p2代入y 2=2px ,得y 2-2pty-p 2=0,则y 1+y 2=2pt ,y 1y 2=-p 2,x 1+x 2=t (y 1+y 1)+p=2pt 2+p ,x 1x 2=y 12y 224p2=p24.当直线AB 与x 轴垂直时,t=0,|AB|最小,故A 中说法正确;1|AF |+1|BF |=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+x 2+px 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=2p,故B 中说法错误;以弦AB 为直径的圆的圆心为(x 1+x 22,y 1+y 22),半径为12|AB|=12(x 1+x 2+p )=pt 2+p ,圆心到准线的距离d=12(x 1+x 2)+12p=pt 2+p=12|AB|,所以圆与准线x=-p 2相切,故C 中说法错误;y 1y 2=-p 2,故D 中说法正确.故选AD .探究点三例3 (1)A (2)2√2 [解析] (1)依据抛物线的对称性,以及等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y 2=4x 上,可设另外两个顶点的坐标分别为(m 24,m),(m 24,-m)(m>0),∴tan 30°=√33=mm 24,解得m=4√3,故这个等边三角形的边长为2m=8√3.故选A .(2)因为抛物线C 的方程为y 2=4√2x ,所以2p=4√2,可得p2=√2,所以焦点为F (√2,0),准线方程为x=-√2,又P 为抛物线C 上一点,且|PF|=3√2,所以点P 到准线x=-√2的距离为3√2,所以x P =3√2-√2=2√2,所以y P 2=4√2×2√2=16,所以|y P |=4,所以S △POF =12×|OF|×|y P |=12×√2×4=2√2.变式 (1)B [解析] 根据题意,可得F (1,0),准线方程为x=-1.不妨设A (x ,y )(y>0),∵|AQ|=43,∴x+1=43,∴x=13,∴A (13,2√33),∴直线AF 的方程为2√33-0=x -113-1,即y=-√3(x-1).将x=-1代入y=-√3(x-1)中,可得y=2√3,∴B (-1,2√3).将y=2√3代入y 2=4x 中,可得x=3,∴P (3,2√3).△PBF 的周长C △PBF =|FB|+|PF|+|PB|,又|FB|=√22+(2√3)2=4,|PF|=|PB|=4,∴C △PBF =12.故选B .(2)解:设点A (x 0,y 0)(x 0>0),由题意可知点B (x 0,-y 0).∵抛物线的焦点F (p2,0)是△AOB 的垂心,∴AF ⊥OB ,∴k AF ·k OB =-1,即y 0x 0-p2·(-y 0x 0)=-1,∴y 02=x 0(x 0-p 2).又y 02=2px 0,∴x 0=2p+p 2=5p2, ∴直线AB 的方程为x=5p2.。

抛物线的简单几何性质有答案

【答案】B
2.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4 ，则C的实轴长为()
A. B.2
C.4D.8
【解析】设C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4， )，B(－4，－ )，
∴|AB|＝2 ＝4 ，∴a＝2，∴2a＝4.
【解析】由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
【答案】16
4.已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________.
这时，直线l与抛物线只有一个公共点 .
(2)当k≠0时，方程①的判别式为
Δ＝－16(2k2＋k－1).
①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，
解得k＝－1或k＝ .
于是，当k＝－1或k＝时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
②当Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1<k< .
(2)当a＝0时，方程只有一解x＝－，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
2.直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的.
[小组合作型]
抛物线的几何性质
(1)抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________.

高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质(2)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题

课时作业20 抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析由题意知，点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离．综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点. 知识点二中点弦问题3.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 中点为(2,2)，则直线l 的方程为__________．答案 y ＝x解析由题意知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，①②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.90°C.60°D.120°答案 B解析如图，由抛物线定义知 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1. 又∠AA 1F ＝∠A 1FO ，所以∠AFA 1＝∠A 1FO . 同理∠BFB 1＝∠B 1FO .于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.故选B. 5．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，求|PQ |的最小值．解设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x ，消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与x ＋y ＋12＝0间的距离，即等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.又由Δ＝42(k ＋2)2－16k 2＞0，得k＞－1.则由4k ＋2k 2＝4，得k ＝2.故选C. 2．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y －4＝0C.2x －y ＋4＝0D.2x ＋y ＋4＝0答案 A解析设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4.又直线l 的斜率存在，∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0，故选A. 3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( )A.4B.－4C.p 2D.－p 2答案 B解析解法一：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.又x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24.于是y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4.故选B. 解法二：采用特例法，当直线与x 轴垂直时，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－4.故选B.4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案 C解析设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2，消去x 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点；当k ≠0时，令Δ＝64－64k 2≥0，解得－1≤k <0或0<k ≤1. 故－1≤k ≤1.故选C.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D.2答案 D解析本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.二、填空题6．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2有两个公共点，则a 的取值X 围是________．答案 a >－14且a ≠0解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，得ax 2－x －1＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12－4×a ×－1>0，解得a >－14且a ≠0.7．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________．答案 (1,1)解析把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为抛物线C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 0＋2＝42，∴x 0＝32， ∴y 20＝42×32＝24， ∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3.三、解答题9．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点． (1)若|AB |＝10，某某数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，某某数m 的值．解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.Δ>0解得m <2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．10．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．证明设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－k y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数，当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．。

12.8.1 抛物线的性质(含答案)

【课堂例题】例例1.如图，M 是抛物线24y x =上一点，F 抛物线的焦点，分别根据下列条件，求||MF .(1)M 到y 轴的距离为3;(2)以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=.例2.如图，AB 是抛物线24y x =上过焦点F 的弦，求||AB 的最小值.O Ol y O xF MlyOxF AB【知识再现】1.抛物线22,(0)y px p =>,的轴为 ,顶点坐标为 , 抛物线线上的点的横坐标的取值范围是 ,纵坐标y 的取值范围是 .2.过抛物线22,(0)y px p =>的焦点且与抛物线的轴垂直的弦叫做抛物线的 ,长度为2p .3.抛物线的离心率e = .4.抛物线22,(0)y px p =>的焦半径公式||MF = . (其中F 是焦点,M 是抛物线上任意一点,M 的横坐标为x ,以Fx 为始边,FM 为终边的xFM ∠记为θ) 【基础训练】1.抛物线2320x y +=的轴为 ,顶点坐标为 ,抛物线线上的点的横坐标的取值范围是 ,纵坐标y 的取值范围是 . 通径长为 .2.(1)抛物线212y x =-上的一点P 与焦点F 的距离等于9则点P 的横坐标等于( ) A. 3 B. 6 C. 6- D. 3-(2)点00(,)P x y 在抛物线216x y =-上，F 为抛物线的焦点，则||PF =( ) A.04y + B.04y - C.04x + D.04x -3.过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,若126x x +=,那么||AB =( )A.10B.8C.6D.44.焦点在y 轴的负半轴,通径长为2的抛物线的标准方程是 .5.已知抛物线的焦点在y 轴上,点(,3)M m -是抛物线上的一点,M 到焦点的距离是5,求m 的值及抛物线的标准方程、准线方程.6.过抛物线22y x =的焦点F 作倾斜角为120的直线交抛物线于,A B 两点,其中A 在x 轴的上方,分别求||,||AF BF 的值.7.一条抛物线的焦点是(1,0)F -,其准线方程是220x y -+=,求抛物线的顶点坐标.【巩固提高】8.已知,A B 是抛物线24y x =上两点,它们和焦点F 构成正三角形,求ABF ∆的边长.9.设抛物线24y x =的焦点弦被焦点分为长是,p q 的两部分,请写出一个,p q 必然满足的恒等式并说明理由.(选做)10.以下两题任选一题:(1)已知抛物线24,0y px p =>,F 为焦点,在抛物线上有三点123(,),(,),(,)A x a B x b C x c 且方程2222222()()0b c x c a x a b -+-+-=有等根,求证:||,||,||AF BF CF 成等差数列. (2)过抛物线焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ,求证:直线BD 平行于抛物线的轴.【温故知新】11.已知A 在平行于y 轴的直线l 上,且l 与x 的交点为(4,0).动点P 满足AP平行于x 轴,且OA OP ⊥,则点P 的轨迹方程是 .【课堂例题答案】例1.(1)||4MF =;(2)||4MF = 例2.min ||4AB =【知识再现答案】1.x 轴，(0,0),[0,),(,)+∞-∞+∞2.通径3.14.21cos p p x θ+=- 【习题答案】1.y 轴，(0,0),(,),(,0],32-∞+∞-∞2.(1)C;(2)B3.B4.22x y =-5.28,:2m x y l y =±=-=6.2||,||23AF BF ==提示：1||,|1cos120AF BF =- 7.111(,)105-提示：如图，过F 联立220220x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，求得(K 8.8±提示：如图，30AFx ∠=或∠利用弦长公式||1cos pAF θ=-注：可以证明,A B 一定关于x 证：设||||FA FB r ==那么,A B 的坐标是方程组2(y x ⎧=⎪⎨-⎪⎩消去y 得22210x x r ++-=①因为1220x x +=-<0因此0A B x x x ==，所以,A B 一定关于x 轴对称证毕 9.p q pq += 提示：22,1cos 1cos p q θθ==-+因此111p q+= 10.(1)证：方程2222222()()0b c x c a x a b -+-+-=有等根⇒2222222()4()()0c a b c a b ----=⇔222222222[()()]4()()0a b b c b c a b -+----=⇔ 22222222[()()]02a b b c a c b ---=⇔+= ①132132||||2||()()2()2AF CF BF x p x p x p x x x +-=+++-+=+-2222222204444a c b a c b p p p p+-=+-⋅== 因此||,||,||AF BF CF 成等差数列. 证毕 (2)证：设抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p F 再设2212121212(,),(,),0,22y y A y B y y y y y p p≠≠，3(,)2p D y -即证32y y = ,,A F B 三点共线221221()(0)()(0)2222y y p p y y p p ⇔--=-- 化简得212y y p =-①,,A O D 三点共线312122AO DO y y k k py p⇔=⇔=- 化简得213y y p =-②根据①②及120,0y y ≠≠可得320y y =≠，即//BD x 轴证毕 11.24y x =-。

高二数学抛物线试题答案及解析

高二数学抛物线试题答案及解析1.设抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于【答案】6【解析】因为抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，所以由抛物线焦半径公式得|PF|=x+=4+2=6.【考点】本题主要考查抛物线的定义及几何性质。

点评：简单题，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。

2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为．【答案】【解析】解：抛物线，∴p=．设A、B、M到准线y=-的距离分别为A′、B′、M′，则由抛物线的定义可得AB=AA′+BB′．再由线段AB的中点M的纵坐标为2可得2MM′=AA′+BB′，即 2（2+1 32 ）=AA′+BB′=AB，∴AB=，故答案为．3.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,则它被抛物线截得的弦长为 .【答案】16【解析】解：因为设直线方程为y=(x-2)与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，得到弦长公式求解得到为16.或者利用抛物线的定义可知弦长为两个的和加上4得到。

4.抛物线的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（0，2）C．（1，0）D．（0，1）【答案】D【解析】解：因为根据题意2p=4,焦点在y轴上，因此焦点坐标为（0，1），选D5.抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为, 则的值为 .【答案】1【解析】解：因为抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为,联立方程组得到，所以p=16.设不在轴下方的动点到的距离比到轴的距离大求的轨迹的方程；过做一条直线交轨迹于，两点，过，做切线交于点，再过，做的垂线，垂足为,若，求此时点的坐标．【答案】见解析.【解析】第一问利用设点坐标，结合已知的关系式得到化简得到轨迹方程。

第二问中用直线与抛物线的方程联立所以由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，∵是抛物线的焦点，∴，∴∴可得到。

……………………6分设N点坐标为（a,b）则…………………………8分由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，∵是抛物线的焦点，∴，∴，∴，，，∴,…………………………12分即，所以，，∴，∴所求点的坐标为…………………………15分7.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】结合抛物线的对称性可知过抛物线的焦点作直线和，其中有四个交点，那么这四个交点与抛物线的焦点F可构成两个等边三角形.故应选C.8.的焦点坐标为 .【答案】.【解析】抛物线的焦点坐标为.9.设抛物线的准线与x轴的交点为，过点作直线交抛物线于两点.(1)求线段中点的轨迹方程；(2)若线段的垂直平分线交轴于，求证：；(3)若直线的斜率依次取时，线段的垂直平分线与x轴的交点依次为，当时，求的值.【答案】(1)(2)见解析(3)【解析】本试题主要是考查了抛物线方程以及抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系的综合运用，求解中点轨迹方程。

3.3.2抛物线的简单几何性质教材习题解答课件-高二上学期数学人教A版选择性

1 8
,
0
,
准线方程为x
1 ;
8
(4)
焦点坐标为
3 2
,
0
,
准线方程为x
3 2
.
2.填空题
(1)准线方程为x 2的抛物线的标准方程是 y2 8 x ;
(2)抛物线y2 8x上到焦点的距离等于6的点的坐标是 (4, 4 2 ) .
(2) 设P( x, y), 则 PF x 2 6, 解得x 4, 此时y2 32, y 4 2, 所以点P的坐标为(4, 4 2)或(4, 4 2)
x ,
2y
因为M ( x0 ,
y0 )在抛物线上,所以4 y2
2 px, 即y2
1 2
px.
即垂线段中点的轨迹方程为y2 1 px, 2
其轨迹是焦点坐标为
p 8
,
0
,
顶点在坐标原点的抛物线.
10.已知等边三角形的一个顶点位于原点, 另外两个顶点在抛物线y2 2 px( p 0)上, 求这个等边三角形的边长.
所以等边三角形的边长为4 3 p.
10.已知等边三角形的一个顶点位于原点, 另外两个顶点在抛物线y2 2 px( p 0)上, 求这个等边三角形的边长.
解法二：如图, 设等边三角形OAB的边长为a, 则A
3 2
a,
1 2
a
将A
3 2
a,
1 2
a 代入y2
2 px, 得
1 4
a2
3 pa.
(2) 设抛物线的方程为x2 ay, 把点P(6, 3)代入x2 ay, 得36 a (3), 解得a 12, 所求抛物线的标准方程为x2 12 y.
x2 12 y

抛物线课件及练习题含详解

2
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2

高二抛物线的简单几何性质习题一(附答案)

抛物线的几何性质习题一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( )A.2.5B.5C.7.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜= .8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 .三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2p C.4p D.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( )A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( )A.-x pB.y pC.px -D.-px 05.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( ) A.4 B.-4 C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 .7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜= .8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为 .三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1 D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 23.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为 .7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是 .8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1= .三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现. 2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为(x-1)2=-2p(y-2.25)将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25)令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动.要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-p y 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料：圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=1 7.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C 为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k=k=1，∴直线l 的方程为y=x-1.10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p 9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△MCN 为等腰直角三角形，且∠MCN=90°，∴∠MAN=21∠MCN=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P是中位线，又有2｜P′P｜=｜M′M｜+｜N′N｜=｜MF｜+｜FN｜,因而｜PF｜=｜P′P｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。

抛物线的方程及性质(分层练习)

抛物线的方程及性质（分层练习）[基础训练]1．[2020福建厦门一模]若抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，则a ＝( )A ．2B ．4C ．±2D ．±4答案：C 解析：∵x 2＝ay ＝2·a2·y ，∴p ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝1，∴a ＝±2，故选C.2．已知抛物线C: y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝32x 0，则x 0＝( )A.14 B ．12 C ．1D ．2答案：B 解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－14，因为|AF |＝32x 0，根据抛物线的定义可得 x 0＋14＝|AF |＝32x 0，解得x 0＝12.3．[2020江西萍乡一模]已知动圆C 经过点A (2,0)，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案：D 解析：设圆心C (x ，y )，截y 轴所得弦为BD ，过点C 作CE ⊥y轴，垂足为E ，则|BE |＝2，则有|CA |2＝|BC |2＝|BE |2＋|CE |2，∴(x －2)2＋y 2＝22＋x 2，化为y 2＝4x ，则圆心C 的轨迹为抛物线．故选D. 4．[2020河南洛阳模拟]已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4在抛物线上，即16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B ．2 C.322D ．22答案：C 解析：焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.6．[2020海南海口模拟]过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y答案：D 解析：由已知条件知，动圆圆心到点F 和到直线y ＋3＝0的距离相等，所以动圆圆心轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y ，故选D.7．[2020豫南九校联考]已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案：C 解析：如图，抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9，当且仅当点P 在线段AF 上时，等号成立，则|P A |＋|PQ |的最小值为9. 故选C.8．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74答案：C 解析：如图，过A ，B 及线段AB 的中点C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1，CC 1交y 轴于C 0.由抛物线定义可知， |AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |， ∴|CC 0|＝|CC 1|－|C 1C 0| ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－|C 1C 0| ＝32－14＝54，故选C.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，交准线于点C ，若CB→＝3BF →，则直线l 斜率为________．答案：±22 解析：如图，过B 作BB 1垂直于准线，垂足为B 1，由抛物线定义可知，|BB 1|＝|BF |， ∵CB →＝3BF →，∴|BC |＝3|BB 1|. 在Rt △B 1BC 中，tan ∠B 1BC ＝2 2. ∴tan α＝22(α为倾斜角)．由对称性可知，斜率还可等于－2 2. ∴斜率为±2 2.10．[2020湖南衡阳联考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点(－1,0)的直线与C 交于A ，B 两点．若4|F A |＋|FB |的最小值为19，则抛物线C 的标准方程为________．答案：y 2＝12x 解析：设AB ：y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝2px ，得k 2x 2＋2(k 2－p )x ＋k 2＝0，则x 1x 2＝1,4|F A |＋|FB |＝4x 1＋x 2＋52p ＝4x 1＋1x 1＋52p ≥4＋52p ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫当x 1＝12时等号成立，得p ＝6，则抛物线C 的标准方程为y 2＝12x .11．[2019全国卷Ⅰ]已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径．(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |－|MP |为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上．由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切，所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|. 由已知得|AO |＝2，又MO ⊥AO ，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2，解得a ＝0或a ＝4. 故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)证明：存在定点P (1,0)，使得|MA |－|MP |为定值．理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2，由于MO ⊥AO ，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x . 因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1,0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P .[强化训练]1．[2020广东广州一模]已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12答案：B 解析：抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＝3|BF |，∴x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32， ∴x 1＝3x 2＋3，∵|y 1|＝3|y 2|，∴x 1＝9x 2， ∴x 1＝92，x 2＝12，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32＝8. 故选B.2．[2020湖北四地七校联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)．过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24.则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x答案：D 解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D.3．[2020重庆一中模拟]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若|AF |＝4，则p ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案：B 解析：设A (x 0，y 0)，过A 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，在Rt △AMF 中，|AF |＝4，由于AF 所在直线的斜率为3，所以∠AFM ＝60°，则|FM |＝2，故x 0＝p 2＋2，|AF |＝x 0＋p 2＝4，得x 0＝4－p 2，所以p 2＋2＝4－p2，解得p ＝2.故选B.4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5答案：C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12. 又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92.5．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( ) A ．4 B ．6 C ．9D ．12答案：C 解析：由题意，得抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴点F 是△ABC 的重心， ∴x 1＋x 2＋x 3＝92. 由抛物线的定义，可得|F A →|＝x 1－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32，|FB →|＝x 2－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32，|FC →|＝x 3－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32，∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32＝9. 6．[2020安徽合肥一模]已知过抛物线y 2＝42x 焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AF→＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM ⊥l 于点M ，则四边形AMCF 的面积为( )A ．123B ．12C ．83D ．63答案：A 解析：由题意得，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，将其与y 2＝42x 联立可得y 2－42my －8＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A y B ＝－8.∵AF →＝3FB →，∴y B＝－13y A， ∴y 2A ＝24，则y A ＝±26，24＝42x A ，可得x A ＝32，|AM |＝x A ＋p2＝32＋2＝42，四边形AMCF 的面积为12(|CF |＋|AM |)×|y A |＝12×(22＋42)×26＝12 3. 故选A.7．[2020名校联盟模拟]直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，若△AOB 的面积的最小值为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案：B 解析：设直线l ：x ＝λy ＋m ，代入抛物线方程，得y 2－2pλy －2pm ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pλ，y 1y 2＝－2pm .∵OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 222p ·2p ＋y 1y 2＝0，即y 1y 2＝－4p 2，∴－2pm ＝－4p 2，∴m ＝2p . ∴直线l 恒过点M (2p,0)． ∴S △AOB ＝12|OM ||y 1－y 2| ＝12×2p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝p (2pλ)2＋16p 2 ＝2p 2λ2＋4，当且仅当λ＝0时，S △AOB 取最小值4p 2，由4p 2＝4得p ＝1，故抛物线的方程为y 2＝2x .故选B.8．[2020河南郑州模拟]已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为( )A ．2B ．3 C.32D ．4答案：C 解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝2x⇒y 2－2my －2t ＝0⇒y 1y 2＝－2t ，由OA ⊥OB ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)24＋y 1y 2＝0⇒y 1y 2＝－4， ∴t ＝2，即直线AB 过定点(2,0)．∴抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2－12＝32.故选C.9．[2020河南安阳一模]已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案：2 解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)， ∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1. 设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知，|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．[2020湖北武汉一模]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为点C ，D .若|AF |＝2|BF |，且△CDF 的面积为2，则p 的值为________．答案：233 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为直线AB 过焦点F ，所以y 1y 2＝－p 2. 不妨设点A 在第一象限，因为|AF |＝2|BF |，所以|y 1|＝2|y 2|，所以－2y 22＝－p 2.解得y 2＝－22p ，所以y 1＝－2y 2＝2p . 所以S △CDF ＝12|y 1－y 2|×p ＝12×322p 2＝2，解得p ＝233.11．[2020北京二中模拟]已知抛物线y 2＝2px (p >0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．解：(1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ∴2＋p2＝4，∴p ＝4， ∴抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ∴m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意．当m ＝－8时，Δ＝242－4×64>0，符合题意．综上，实数m 的值为－8.。

2020高中数学第三章2.2 抛物线的简单性质(一) 1

[基础达标]1.顶点在原点，关于y 轴对称，并且经过点M (－4，5)的抛物线方程为( ) A ．y 2＝165xB ．y 2＝－165xC ．x 2＝165yD ．x 2＝－165y解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x 2＝2py (p >0)，将(－4，5)代入得p＝85，所以，抛物线方程为x 2＝165y . 2.已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．0 解析：选B.z ＝x 2＋12×4x ＋3＝(x ＋1)2＋2，∵x ≥0，∴x ＝0时，z 有最小值，z min ＝3.3.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据已知只要|FM |>4即可，根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．4.若抛物线x 2＝2y 上距离点A (0，a )的最近点恰好是抛物线的顶点，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．0<a ≤1C ．a ≤1D ．a ≤0解析：选C.设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝d 2＝x 2＋(y －a )2＝2y ＋(y －a )2＝y 2－(2a －2)y ＋a 2 ＝[y －(a －1)]2＋(2a －1)． ∵y ∈[0，＋∞)，根据题意知，(1)当a －1≤0，即a ≤1，y ＝0时，d 2min ＝a 2.这时d min ＝|a |.(2)当a －1>0，即a >1时，y ＝a －1时d 2取到最小值，不符合题意．综上可知a ≤1.5.已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1，1)和两动点P 、Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选D.设P (x 0，x 20)，Q (x ，x 2)，其中x 0≠－1，x ≠x 0，则P A →＝(－1－x 0，1－x 20)，PQ →＝(x －x 0，x 2－x 20)， ∵P A ⊥PQ ， ∴P A →·PQ →＝0.∴－(1＋x 0)(x －x 0)＋(1－x 20)(x 2－x 20)＝0，即－1＋(1－x 0)(x ＋x 0)＝0， ∴x ＝－x 0＋11－x 0＝(1－x 0)＋11－x 0－1，当x 0<1时，1－x 0＋11－x 0≥2.∴x ≥2－1＝1；当x 0>1时，1－x 0＋11－x 0＝－[(x 0－1)＋1x 0－1]≤－2，∴x ≤－2－1＝－3，故Q 横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．6.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________．解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由抛物线定义有2＋p2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.答案：±47.已知直线y ＝k (x －2)，(k >0)与抛物线y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若|F A |＝3|FB |，则k 的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2<0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2）y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4. ① 又|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2且|AF |＝3|FB |， ∴x 1＝3x 2＋4， ② 由①②解得x 2＝23，∴B (23，－433)，代入y ＝k (x －2)得k ＝ 3.答案： 38.已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：若k 不存在，则y 21＋y 22＝32.若k 存在，设直线AB 的斜率为k ，当k ＝0时，直线AB 的方程为y ＝0，不合题意，故k ≠0.由题意设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），y 2＝4x ，得ky 2－4y －16k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫4k 2＋32>32.∴y 21＋y 22的最小值为32. 答案：329.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程．解：如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以直线方程为y ＝－⎝⎛⎭⎫x －p 2.设直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据抛物线的定义，得|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋x 2＋p ＝8.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋p 2，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，∴3p ＋p ＝8，即p ＝2.∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可以求得抛物线的方程为y 2＝－4x . 综上，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .10.设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M (0，12)的距离比点P 到x 轴的距离大12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求k 的值．解：(1)由题意知，动点P 到定点M 的距离等于它到直线x ＝－12的距离，根据抛物线的定义，得动点P 的轨迹是抛物线，其中p 2＝12，则2p ＝2，故动点P 的轨迹方程为x 2＝2y .(2)将直线的方程代入抛物线方程并整理，得x 2－2kx －2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2，|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）[（2k ）2＋8]＝26，解之得k ＝±1.[能力提升]1.设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) 解析：选C.法一：如图所示，作出抛物线的准线l 1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA |，即m3m＝|MB ||MB |＋4m，所以|MB |＝2m ，则|MA |＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx＝∠MAA 1＝60°，结合选项可知答案．法二：由|AF |＝3|BF |可知AF →＝3FB →，易知F (1，0)，设A (x A ，y A )，B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x A ＝3（x 0－1）－y A ＝3y 0，从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)．因为点A ，B 都在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝4x 0（－3y 0）2＝4（4－3x 0），解得x 0＝13，y 0＝±23，所以k l ＝y 0－0x 0－1＝±3. 法三：结合焦点弦公式|AB |＝2p sin 2θ及1|F A |＋1|FB |＝2p 进行求解．设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1，0)，|AF ||BF |＝3.又1|F A |＋1|FB |＝2p ，∴13|BF |＋1|BF |＝1， ∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2psin 2θ， ∴163＝4sin 2θ，∴sin 2θ＝34，∴sin θ＝32，∴k ＝tan θ＝± 3.故选C. 2.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．解析：由余弦定理，得AB 2＝AF 2＋BF 2－2|AF |·|BF |cos 120°＝AF 2＋BF 2＋|AF |·|BF |，过A ，B 作AA ′，BB ′垂直于准线，则|MN |＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|F A |＋|FB |)，∴|MN ||AB |＝|F A |＋|FB |2|AB |＝|F A |＋|FB |2AF 2＋BF 2＋|F A |·|FB |＝12AF 2＋BF 2＋|F A |·|FB |（|AF |＋|BF |）2＝12（AF ＋BF ）2－|AF |·|BF |（|AF |＋|BF |）2＝121－|AF |·|BF |（|AF |＋|BF |）2≤121－（|AF |＋|BF |2）2（|AF |＋|BF |）2＝33. 答案：333.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；(2)当直线P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. ∴所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB .则k P A ＝y 1－2x 1－1，k PB ＝y 2－2x 2－1， ∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4. 由①－②得直线AB 的斜率为－1.4．抛物线C 的方程为y ＝ax 2(a <0)，过抛物线C 上一点P (x 0，y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点(P ，A ，B 三点互不相同)，且满足k 2＋λk 1＝0(λ≠0且λ≠－1)．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)设直线AB 上一点M ，满足BM →＝λMA →，证明线段PM 的中点在y 轴上；(3)当λ＝1时，若点P 的坐标为(1，－1)，求∠P AB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围．解：(1)由抛物线C 的方程y ＝ax 2(a <0)得，焦点坐标为(0,14a )，准线方程为y ＝－14a.(2)证明：设直线P A 的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，直线PB 的方程为y －y 0＝k 2(x －x 0)．点P (x 0，y 0)和点A (x 1，y 1)的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k 1（x －x 0）①y ＝ax 2②的解．将②式代入①式得ax 2－k 1x ＋k 1x 0－y 0＝0，于是x 1＋x 0＝k 1a ，故x 1＝k 1a－x 0，③又点P (x 0，y 0)和点B (x 2，y 2)的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k 2（x －x 0）④y ＝ax 2⑤的解．将⑤式代入④式得ax 2－k 2x ＋k 2x 0－y 0＝0.于是x 2＋x 0＝k 2a ，故x 2＝k 2a －x 0.由已知得，k 2＝－λk 1，则x 2＝－λak 1－x 0.⑥设点M 的坐标为(x M ，y M )，由BM →＝λMA →，则x M ＝x 2＋λx 11＋λ.将③式和⑥式代入上式得x M ＝－x 0－λx 01＋λ＝－x 0，即x M ＋x 0＝0.所以线段PM 的中点在y 轴上．(3)因为点P (1，－1)在抛物线y ＝ax 2上，所以a ＝－1，抛物线方程为y ＝－x 2. 由③式知x 1＝－k 1－1，代入y ＝－x 2得y 1＝－(k 1＋1)2. 将λ＝1代入⑥式得x 2＝k 1－1，代入y ＝－x 2得y 2＝－(k 1－1)2.因此，直线P A 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为A (－k 1－1，－k 21－2k 1－1)，B (k 1－1，－k 21＋2k 1－1)．于是AP →＝(k 1＋2，k 21＋2k 1)，AB →＝(2k 1，4k 1)，AP →·AB →＝2k 1(k 1＋2)＋4k 1(k 21＋2k 1)＝2k 1(k 1＋2)·(2k 1＋1)．因∠P AB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有AP →·AB →<0.求得k 1的取值范围是k 1<－2或－12<k 1<0.又点A 的纵坐标y 1满足y 1＝－(k 1＋1)2，故当k 1<－2时，y 1<－1；当－12<k 1<0时，－1<y 1<－14.即y 1∈(－∞，－1)∪(－1，－14)．。

(完整版)抛物线基础练习题

完整版)抛物线基础练习题抛物线基础练习题1.抛物线方程及性质1.1 抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数常数。

a 的值决定了抛物线的开口方向。

当 $a。

0$ 时，抛物线开口向上。

当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

1.2 抛物线的对称轴是垂直于 x-轴的直线，可以通过以下公式求得：x = -\frac{b}{2a}$$2.抛物线图像绘制2.1 绘制抛物线图像的步骤：确定抛物线的方程。

找出对称轴的 x 坐标。

绘制对称轴，并确定对称轴上的一点。

根据对称轴上的点，绘制抛物线的图像。

2.2 使用上述步骤绘制以下抛物线的图像：2.2.1 $y = x^2$，开口向上的抛物线。

首先，我们可以得知对称轴的 x 坐标为 $x = 0$。

确定对称轴上的一点 P(0,0)，然后根据 P 点的坐标起始绘制抛物线图像。

绘制结果如下图所示：抛物线图像](image.png)3.练习题请计算并回答下列问题：1.当抛物线方程为 $y = -2x^2 + 3x + 1$ 时，求其对称轴的 x 坐标。

2.给定抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，求其开口方向。

4.答案解析解答上述练习题：1.根据公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入 $a=-2$ 和 $b=3$，我们可以计算得到对称轴的 x 坐标为 $x = -\frac{3}{2}$。

2.根据抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，我们可以得知 $a = 4.0$，所以抛物线的开口方向是向上。

希望以上内容能够帮助你理解抛物线的基本概念和绘制方法。

如果还有其他问题，请随时提问。

高中数学(抛物线的几何性质)同步练习试题

浙江省诸暨市牌头中学高中数学《抛物线的几何性质》同步练习1、抛物线24x y =的准线方程是（）A 、1=yB 、1-=yC 、161=y D 、161-=y 2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－23、抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线141222=-y x 的渐近线的距离为 ( )A ．1 B. 3 C. 33 D. 634、过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5、已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 ( ) A.6π或65π B.4π或43π C. 3π或32π D. 2π6、设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ( ) A ．2y ＝±4x B ．2y ＝±8x C ．2y ＝4x D ．2y ＝8x7、已知抛物线y 2＝4x 上两个动点B 、C 和点A (1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点 ( ) A ．(2,5) B ．(－2,5) C ．(5，－2) D ．(5,2)8、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是______________．9、若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线13622=-y x 的右焦点重合，则p 的值为． 10、已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．11、已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、两点，则=+2121x x y y , y 2221y +的最小值是。

抛物线的简单几何性质典型例题

抛物线的简单几何性质典型例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ典型例题一例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于点M ,如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴？解：思路一:求出M 、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等,则ＭQ//x 轴,为此,将方程)2(,22px k y px y -==联立,解出),)11(,2)11((2222k k p k k p P ++++))11(,2)11((2222k k p kk p Q +--+ 直线OP 的方程为,)11()11(2222x k k k y ++++=即.)11(22x kk y +--=令2px -=,得M 点纵坐标Q M y k k p y =+-=)11(2得证. 由此可见，按这一思路去证,运算较为繁琐.思路二:利用命题“如果过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为1y 、2y ，那么221p y y -=”来证.设),(11y x P 、),(22y x Q 、),(33y x M ，并从px y 22=及)2(px k y -=中消去x ，得到0222=--kp py ky ，则有结论221p y y -=，即122y p y -=.又直线O Ｐ的方程为x x y y 11=, 2px -=,得1132x py y -=．因为),(11y x P 在抛物线上,所以p yx 2112=．从而212211113)(2y y p y p py x py y =-=⋅-==．这一证法运算较小．思路三:直线MQ 的方程为o y y =的充要条件是),2(),,2(0200y p y Q y pM -.将直线M Ｏ的方程p y y 02-=和直线ＱF 的方程)2(2220px py py y o --=联立,它的解（ｘ ,y )就是点Ｐ的坐标，消去o y 的充要条件是点P 在抛物线上,得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.说明：本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时（即斜率不存在)，容易证明成立.典型例题二例２已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、Ｂ两点，点Ｒ是含抛物线顶点Ｏ的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积.分析:求RA Ｂ的最大面积，因过焦点且斜率为１的弦长为定值,故可以AB 为三角形的底,只要确定高的最大值即可.解：设A Ｂ所在的直线方程为2p x y -=．将其代入抛物线方程px y 22=,消去x 得0222=--p py yp y y y y y y AB 44)(222122121=-+⋅=-=∴当过R 的直线l 平行于ＡＢ且与抛物线相切时，△ＲAB 的面积有最大值. 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222=+-pb py y 由,0842=-=∆pb p 得2p b =，这时),2(p pR .它到A Ｂ的距离为p h 22= ∴△RAB 的最大面积为2221p h AB =⋅.典型例题三例3 直线1l 过点)0,1(-M ，与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点,P 是线段1P 2P 的中点,直线2l 过Ｐ和抛物线的焦点Ｆ，设直线1l 的斜率为k ．(1)将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ; （2）求出)(k f 的定义域及单调区间.分析：2l 过点Ｐ及F ,利用两点的斜率公式,可将2l 的斜率用k 表示出来，从而写出)(k f ,由函数)(k f 的特点求得其定义域及单调区间．解：(1)设1l 的方程为：)1(+=x k y ,将它代入方程x y 42=，得0)42(2222=+-+k x k x k设),(),(),(222111y x P y x P y x P 、、,则2222212,24k k x k k x x -=-=+ 将222k k x -=代入)1(+=x k y 得：ky 2=,即Ｐ点坐标为)2,2(22k k k -.由x y 42=,知焦点)0,1(F ,∴直线2l 的斜率22221122kk k k k k -=--= ∴函数211)(kk f -=．（2)∵2l 与抛物线有两上交点,∴0≠k 且04)42(422>--=∆k k 解得01<<-k 或10<<k∴函数)(k f =的定义域为{}1001<<<<-k k k 或当)0,1(-∈k 时,)(k f 为增函数.典型例题四例4 如图所示:直线l 过抛物线px y 22=的焦点，并且与这抛物线相交于A 、Ｂ两点，求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据ｌ上任一点到C 、Ｄ距离相等来得矛盾结论.证法一：假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线,因为直线l 与抛物线交于Ａ、B 两点，所以直线l 的斜率存在,且不为零；直线CD的斜率存在,且不为0．设C 、D 的坐标分别为)2,2(121pt pt 与)2,2(222pt pt .则211t t k CD += ∴l 的方程为)2()(21px t t y -⋅+-=∵直线l 平分弦CD∴CD 的中点))(),((212221t t p t t p ++在直线l 上, 即]2)()[()(22212121p t t p t t t t p -++-=+,化简得:0)21)((222121=+++t t t t p由0)(21≠+t t p 知0212221=++t t 得到矛盾,所以直线l 不可能是抛物线的弦C Ｄ的垂直平分线. 证法二：假设直线l 是弦CD 的垂直平分线∵焦点F 在直线l 上,∴DF CF =由抛物线定义，),(),,(2211y x D y x C 到抛物线的准线2px -=的距离相等. ∵2121,y y x x -==,∴CD 的垂直平分线l ：0=y 与直线l 和抛物线有两上交点矛盾，下略.典型例题五例5 设过抛物线)0(22>=p px y 的顶点Ｏ的两弦OA 、O Ｂ互相垂直，求抛物线顶点O 在ＡＢ上射影N 的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N 看成定点),(00y x ；待求得00y x 、的关系后再用动点坐标)(y x ，来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算．解法一：设),,(),,(),,(002211y x N y x B y x A则:2221212,2px y px y ==,22221214p y y x x ⋅=∴OB OA ⊥ ,1-=⋅∴OB OA k k 即02121=+y y x x042122221=+∴y y py y 021≠y y ,2214p y y -=∴ ①把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为:),(000x x y x y y --=-显然00≠x 0200)(x y x y y x -+-=∴代入,22px y =化简整理得：0)(222020020=+-+y x p y py y x 00≠∴x ，0202021)(2x y x p y y +-=∴ ②由①、②得：020202)(24x y x p p +-=-，化简得)0(02002020≠=-+x px y x 用x 、y 分别表示00y x 、得:)0(0222≠=-+x px y x解法二:点N 在以O Ａ、OB 为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设)2,2(2pt pt A ,则以OA 为直径的圆方程为:)()()(242222t t p pt y pt x +=-+-022222=--+pty pt y x ①设)2,2(121pt pt B ，O Ａ⊥ＯＢ,则tt t t 1111-=⇒-=在求以ＯB 为直径的圆方程时以t1-代1t ，可得022)(222=+-+pty px y x t ②由①+②得：0)2)(1(222=-++px y x t)0(0222≠=-+∴x px y x典型例题六例6如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点Ｎ的距离相等,若△AMN 为锐角三角形,7=AM ，3=AN ，且6=BN ,建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.分析:因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定Ｃ所满足的抛物线方程．解:以1l 为ｘ轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐标系．由题意，曲线段C 是Ｎ为焦点,以2l 为准线的抛物线的一段,其中A 、Ｂ分别为曲线段的两端点．∴设曲线段Ｃ满足的抛物线方程为:),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、Ｂ的横坐标令,p MN =则)0,2(),0,2(pN p M -，3,17==AN AM ∴由两点间的距离公式,得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++92)2(172)2(22A A A Apx p x px p x解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22A x p∵△ＡMN 为锐角三角形，∴A x p>2,则4=p ，1=A x 又B 在曲线段C 上，4262=-=-=∴pBN x B 则曲线段C 的方程为).0,41(82>≤≤=y x x y典型例题七例7如图所示,设抛物线)10(22<<=p px y 与圆9)5(22=+-y x 在ｘ轴上方的交点为Ａ、Ｂ，与圆27)6(22=+-y x 在x 由上方的交点为C 、Ｄ,P 为AB 中点，Q 为C Ｄ的中点.（1)求PQ ．(2）求△AB Ｑ面积的最大值.分析：由于P 、Q 均为弦ＡB 、CD 的中点,故可用韦达定理表示出Ｐ、Q 两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ ．解:(1)设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211y x Q y x P y x D y x C y x B y x A D D C C B B A A由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 29)5(222得：016)5(22=+--x p x , P x x x BA -=+=∴5212198)5(222222)(222p p p p x x x x p x x p y y y BA B A B A B A -=+-=++=+=+=由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 227)6(222得09)6(22=+--x p x ， p x x x DC -=+=∴622 )(2222D C DC x x py y y +=+=同1y 类似,229p p y -=则0,12121=-=-y y x x ，1=∴PQ（２）B A B A APQ ABQ x x P y y PQ S S S BPQ -=-⋅=+=∆∆∆2221)1(821022p p p P-=--=10<<p ,∴当21=p 时,ABQ S ∆取最大值21．典型例题八例８已知直线l 过原点,抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上,且点)0,1(-A 和点)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程.分析：设出直线l 和抛物线C 的方程,由点A 、B 关于直线l 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设α=∠Ox B ',利用对称的几何性质和三角函数知识求解.解法一:设抛物线C 的方程为px y 22=)0(>p ，直线l 的方程为kx y =)0(≠k ，则有点)0,1(-A ,点)8,0(B 关于直线l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅+-⋅=,11,2121111k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=;12,1121221k k y k k x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=+,18,2282222k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1)1(8,11622222k k y k k x 如图，'A 、'B 在抛物线上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+-+-⋅=+.1162)1()1(64,112)1(42222222222k k p k k k k p k k 两式相除,消去p ，整理，得012=--k k ，故251±=k , 由0>p ,0>k ,得251+=k .把251+=k 代入，得552=p . ∴直线l 的方程为x y 251+=,抛物线C 的方程为x y 5542=．解法二:设点A 、B 关于l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，又设α=∠Ox B ',依题意,有1'==OA OA ,8'==OB OB . 故αcos 82=x ，αsin 82=y ．由︒=∠90BOA ，知︒=∠90''OA B ．∴ααsin )90cos(1=︒-=x ,ααcos )90sin(1-=︒-=y .又01>x ,02>x ，故α为第一象限的角．∴)cos ,(sin 'αα-A 、)sin 8,cos 8('ααB ．将'A 、'B 的坐标代入抛物线方程,得⎪⎩⎪⎨⎧==.cos 16sin 64,sin 2cos 22ααααp p ∴αα33cos sin 8=，即21tan =α从而55sin =α，552cos =α, ∴552=p ，得抛物线C 的方程为x y 5542=. 又直线l 平分OB B '∠,得l 的倾斜角为︒+=-︒+452290ααα． ∴251sin 1cos )90cos(1)90sin()452tan(+=-=︒++︒+=︒+=αααααk ． ∴直线l 的方程为x y 251+=．说明：(１)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强，一时难于想到．(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法,需要重点掌握．典型例题九例9 如图，正方形ABCD 的边AB 在直线4+=x y l ：上，C 、D 两点在抛物线x y =2上，求正方形ABCD 的面积．分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力．解：∵直线4+=x y AB ：,CD AB //,∴设CD 的方程为b x y +=，且),(11y x C 、),(22y x D .由方程组⎩⎨⎧+==bx y x y 2，消去x ,得02=+-b y y ，于是 121=+y y ,b y y =21,∴21211y y k CD -+=(其中1=k ) ∴)41(24)(221221b y y y y CD -=-+⋅=.由已知,ABCD 为正方形,AD CD =，∴CD 可视为平行直线AB 与CD 间的距离，则有24bCD -=,于是得24)41(2bb -=-.两边平方后,整理得,01282=++b b ,∴6-=b 或2-=b .当6-=b 时,正方形ABCD 的面积50)241(22=+==CD S ．当2-=b 时，正方形ABCD 的面积18)81(22=+==CD S .∴正方形ABCD 的面积为１8或5０.说明：运用方程（组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件．典型例题十例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为410⨯d km 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为︒30，求这彗星与地球的最短距离.分析:利用抛物线有关性质求解．解：如图，设彗星轨道方程为px y 22=，0>p ,焦点为)0,2(p F , 彗星位于点),(00y x P 处.直线PF 的方程为)2(33p x y -=.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==),2(33,22p x y px y 得2)347(p x ±=, 故2)347(0p x ±=． p p p p x PF )324(|22)347(|332|2|3320±=-±=-=. 故d p =±)324(,得d p 232±=．由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为d p 4322±=，所以彗星与地球的最短距离为410432⨯+d km 或410432⨯-d km ，（P 点在F 点的左边与右边时,所求距离取不同的值)．说明：（1)此题结论有两个，不要漏解；（２)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设),(00y x P 为抛物线px y 22=上一点,焦点为)0,2(p F ，准线方程为2p x -=,依抛物线定义,有220p x p PF ≥+=)0(0≥x ,当00=x 时，PF 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．典型例题十一例11 如图,抛物线顶点在原点,圆x y x 422=+的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2,直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点，求CD AB +的值.分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把CD AB +转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.解：由圆的方程x y x 422=+,即4)2(22=+-y x 可知，圆心为)0,2(F ,半径为２,又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为)0,2(F ,设抛物线方程为x y 82=,BC AD CD AB -=+ ∵BC 为已知圆的直径，∴4=BC ，则4-=+AD CD AB ．设),(11y x A 、),(22y x D ，∵FD AF AD +=，而A 、D 在抛物线上，由已知可知,直线l 方程为)2(2-=x y ，于是,由方程组⎩⎨⎧-==).2(2,82x y y 消去y ，得0462=+-x x ，∴621=+x x ． ∴1046=+=AD ，因此,6410=-=+CD AB ．说明:本题如果分别求AB 与CD 则很麻烦，因此把CD AB +转化成4-=-AD BC AD 是关键所在,在求AD 时，又巧妙地运用了抛物线的定义,从而避免了一些繁杂的运算.。

3.3.2 抛物线的简单几何性质(同步练习)(附答案)

3.3.2 抛物线的简单几何性质（同步练习）一、选择题1.顶点在原点，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝32x B ．y 2＝3x C ．y 2＝6x D ．y 2＝－6x2.已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p 2的距离为1，则p 的值为( ) A ．1 B ．1或3C ．2D ．2或63.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12B ．1 C.32D ．2 4．P 为抛物线y 2＝2px(p ＞0)上任意一点，F 为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定5.已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．－2D ．26.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若FA ―→＝3FB ―→，则|AF ―→|＝( )A ．3B ．4C ．6D ．77.已知抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF||BF|∈(0,1)，则|AF||BF|＝( ) A.15 B ．14 C.13 D ．128.(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题9.已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________10.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF|＝2，则|BF|＝________11.抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________12.(2020·福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，y 1，B(1，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________13.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________三、解答题14.根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF|＝5.15.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．16.已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的过焦点F 的一条弦．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为M(x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝2p sin 2θ；(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.17.已知抛物线y 2＝2x.(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|； (2)在抛物线上求一点M ，使M 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.C 解析：∵抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫32，0，∴p ＝3，且抛物线开口向右．∴抛物线的标准方程为y 2＝6x.2.B 解析：|AF|＋|BF|＝4⇒x A ＋p 2＋x B ＋p 2＝4⇒x A ＋x B ＝4－p ⇒2x 中＝4－p ，因为线段AB 的中点到直线x ＝p 2的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪x 中－p 2＝1，所以|2－p|＝1⇒p ＝1或3. 3.D 解析：∵y 2＝4x ，∴F(1,0)．又∵曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y ＝k x(k ＞0)，得k ＝2.故选D. 4．C 解析：设PF 的中点M(x 0，y 0)，作MN ⊥y 轴于N 点，设P(x 1，y 1)，则|MN|＝x 0＝12(|OF|＋x 1)＝12⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＝12|PF|.故相切． 5.A 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)x 1－x 2＝2，即4k AB ＝2，k AB ＝12. 6.B 解析：由已知点B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于点H ，如图，则|BH|＝23|FK|＝43，所以|BF|＝|BH|＝43.所以|AF ―→|＝3|BF ―→|＝4. 7.C 解析：因为抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF||BF|＝|x A ||x B |＝13，故选C. 8.BCD 解析：因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以p 2＝3，即p ＝6．又因为抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．二、填空题9.答案：43解析：由抛物线定义得x A ＋1＝5，x A ＝4，又点A 位于第一象限，因此y A ＝4，从而k AF ＝4－04－1＝43. 10.答案：2解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，此时弦AB 为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.11.答案：2 3解析：由抛物线可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线y ＝－p 2，由于△ABF 为等边三角形，设AB 与y 轴交于M ，则 |FM|＝p ，不妨取B ⎝⎛⎭⎪⎫p 2＋42，－p 2，|FM|＝3|MB|，即p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋42，解得p ＝2 3. 12.答案：3解析：根据抛物线的几何性质可得d 1＝p 2＋23，d 2＝p 2＋1，d 3＝p 2＋32，由题意可得p>0，因此可判断d 3最大，故d 3＝p 2＋32＝3，解得p ＝3. 13.答案：2解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB|＝12(|AF|＋|BF|)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.三、解答题14.解：(1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px(p>0)且－p 2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x. (2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px(p ≠0)，A(m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x.15.解：∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点．∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，∴直线的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k 2＋2. 又|AB|＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24. ∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)．16.证明：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ，可得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm ，∴y 21＋y 22＝2p(x 1＋x 2)＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝4p 2m 2＋2p 2，∴x 1＋x 2＝2pm 2＋p. 当θ＝90°时，m ＝0，x 1＋x 2＝p ，∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝2p sin 2θ；当θ≠90°时，m ＝1tan θ，x 1＋x 2＝2p tan 2θ＋p ，∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p tan 2θ＋2p ＝2p sin 2θ. ∴|AB|＝2p sin 2θ. (2)由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24. (3)1|AF|＋1|BF|＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p .17.解：(1)设抛物线上任一点P(x ，y)，则|PA|2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13，因为x ≥0，且在此区间上函数单调递增，所以当x ＝0时，|PA|min ＝23，故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点M(x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则M 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪y 20－2y 0＋622＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.。

高二数学人教A版习题练习2-3-2第1课时抛物线的简单几何性质Word版含答案

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十六抛物线的简单几何性质基础全面练 (20分钟 35分)1．(2021·天水高二检测)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A(x 0，y 0)是C 上一点，|AF|＝54 x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】选A.由抛物线C ：y 2＝x 可得p ＝12 ，p 2 ＝14 ，准线方程为x ＝－14 ，因为A(x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54 x 0，x 0>0.所以54 x 0＝x 0＋p 2 ＝x 0＋14 ，解得x 0＝1.2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)【解析】选D.因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以p 2 ＝3，即p ＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2 ，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).3．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解析】选C.方程5x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．4．已知F 是抛物线x 2＝2y 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB 的中点到x 轴的距离为________．【解析】因为|AF|＋|BF|＝6，由抛物线的定义可得|AD|＋|BE|＝6，又线段AB 的中点到抛物线准线y ＝－12 的距离为12 (|AD|＋|BE|)＝3，所以线段AB 的中点到x 轴的距离为52 .答案：525．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，则|FN|＝________．【解析】抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F(2，0)，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：±2 2 ，|FN|＝2|FM|＝ 2⎝⎛⎭⎫1－22＋()222 ＝6. 答案：66．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【解析】当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，0 . 因为直线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，0 且倾斜角为135°，所以直线方程为y ＝－x ＋12 p.设直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24 ＝0.所以x 1＋x 2＝3p.②由①②得p ＝2，所以所求抛物线方程为y 2＝4x.当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x.综上，所求抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x.综合突破练 (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，||AB ＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．32C ．12D ．52【解析】选B.设A ⎝⎛⎭⎫x 1，y 1 ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2 ，C 的横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22 ，因为AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，所以||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝4，所以x 1＋x 2＝3，故x 0＝x 1＋x 22 ＝32 .2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB|＝2 2 ，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18【解析】选A.线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 ，则焦点到直线AB 的距离为1－12 ＝12 . 3．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2【解析】选C.由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p 2 ，|FP 2|＝x 2＋p 2 ，|FP 3|＝x 3＋p 2 ，所以|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，点F 是△ABC 的重心，O 为坐标原点，△OFA ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2【解析】选C.设A ，B ，C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，所以S 1＝12 |y 1|，S 2＝12 |y 2|，S 3＝12 |y 3|，所以S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝14 (y 21 ＋y 22 ＋y 23 )＝x 1＋x 2＋x 3，因为点F 是△ABC 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝3，所以S 21 ＋S 22 ＋S 23 ＝3.5．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A ．43B ．75C ．85D ．3【解析】选A.设抛物线y ＝－x 2上一点M 为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23 时，取得最小值为43 . 二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线相切，则p ＝________．【解析】x 2＋y 2－6x －7＝0，所以⎝⎛⎭⎫x －3 2＋y 2＝16，圆心为⎝⎛⎭⎫3，0 ，半径为4，抛物线准线为x ＝－p 2 ，由圆与直线相切可知p 2 ＝1，所以p ＝2.答案：27．如图：已知P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，过P 分别作y 轴与直线x －y ＋4＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则|PA|＋|PB|的最小值为________.【解析】抛物线的准线方程是x ＝－1，又根据抛物线的几何性质知，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F 到直线x －y ＋4＝0的距离，所以点F 到直线的距离d ＝|1－0＋4|2＝522 ，即|PA|＋|PB|的最小值是52 2 －1.答案：52 2 －18．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于2 3 ，则抛物线的方程为________．【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3 ，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1， 3 )或(－1， 3 )，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px(p>0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x.答案：y 2＝3x 或y 2＝－3x三、解答题(每小题10分，共20分)9．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为3 5 ，求b 的值．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12 ，则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24 ，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1－2b . 所以|AB|＝1＋22 |x 1－x 2|＝ 5 ·1－2b ＝3 5 ，所以1－2b ＝9，即b ＝－4.10．点M(m ，4)(m>0)为抛物线x 2＝2py(p>0)上一点，F 为其焦点，已知|FM|＝5.(1)求m 与p 的值．(2)以M 点为切点作抛物线的切线，交y 轴于点N ，求△FMN 的面积．【解析】(1)由抛物线定义知，|FM|＝p 2 ＋4＝5，所以p ＝2.所以抛物线的方程为x 2＝4y ，又由M(m ，4)在抛物线上，所以m ＝4.故p ＝2，m ＝4.(2)设过M 点的切线方程为y －4＝k(x －4)，代入抛物线方程消去y 得，x 2－4kx ＋16k －16＝0，其判别式Δ＝16k 2－64(k －1)＝0，所以k ＝2，切线方程为y ＝2x －4，切线与y 轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0，1)，所以S △FMN ＝12 |FN|·m ＝12 ×5×4＝10.创新迁移练1．(2021·兰州高二检测)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2512 mB ．256 mC ．95 mD ．185 m【解析】选D.以桥顶为坐标原点O ，桥形的对称轴为y 轴，过O 的垂线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线x 2＝－2py ()p>0 经过点⎝⎛⎭⎫6，－5 ，则36＝10p ，解得p ＝185 ，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p ＝185 .2．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|.(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径．【解析】(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO|＝ 5 . 所以|MN|＝2|CO|2－d 2 ＝25－4 ＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20 4，y 0 ，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 20 4 2 ＋(y －y 0)2＝y 40 16＋y 20 ，即x 2－y 20 2 x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 20 2 ＝0，设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20 －4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 20 2＝2y 20 －4.y 1y 2＝y 20 2＋1.由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y 1y 2|＝4，所以y 20 2 ＋1＝4，解得y 0＝±6 ，此时Δ>0.11 所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6 或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6 ，从而|CO|2＝334 ，|CO|＝332 ，即圆C 的半径为332 . 关闭Word 文档返回原板块。

抛物线的几何性质练习

3.3.2抛物线的几何性质培优第一阶---基础过关练一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若PQ 的中点到y 轴的距离为1，则PQ 等于（） A ．4B ．5C ．6D ．82．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（）A ．72B ．2C ．52D ．833．已知抛物线()220y px p =>上的一点(3,M ，则点M 到抛物线焦点F 的距离MF等于（） A ．6B ．5C ．4D ．24．如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD 等于热馈源F 到口径AB 的距离，已知口径长为40cm ，防护罩宽为15cm ，则顶点O 到防护罩外端CD 的距离为（） A ．25cmB ．30cmC ．35cmD ．40cm5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝（） A ．6B ．8C ．9D ．106．已知点P 是抛物线C ：24y x =上一点，点F 为抛物线C 的焦点，点()2,1M ，则PMF △的周长的最小值为（）A ．3B ．1C 1D 37．已知直线y kx k =-及抛物线22(0)y px p =>，则（） A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点8．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M ,N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（）A ．32B ．2C ．52D ．3二、填空题9．抛物线2320x y +=的顶点坐标为______．10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在C 上，已知点A AF =AKF 的面积AKFS=___________.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，P 为C 上一点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，F 为C 的焦点，O 为原点．若45POQ ∠=︒，则cos PFQ ∠=__________．12．已知直线4y kx =-与抛物线28y x =有且只有一个公共点，则满足条件的实数k 的值组成集合_______. 三、解答题13．已知抛物线E ：22y px =()0p >的焦点为F ，直线3x =与E 相交所得线段的长为(1)求E 的方程；(2)若不过点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，请从①AB 中点的纵坐标为3，②ABF 的重心在直线2y =上，③13AF BF +=这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l 的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．已知点23,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭-在抛物线()2:20C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()0,1M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，O 为坐标原点，求证：12k k 为定值.培优第二阶---拓展培优练一、单选题1．在曲线2y x =上有两个动点,,(1,0)P Q E ，且满足EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（）A ．14B ．12C ．34D ．12．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．93．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，A 为C 上任意一点，且点A 到点(3,0)B 距离的最小值为F 交C 于P ，Q 两点，且||8PQ =，则线段PQ 中点的横坐标为（） A ．2B ．3C ．4D ．64．若斜率为k （0k >）的直线l 与抛物线22y x =和圆M ：()2258x y -+=分别交于A ，B 和C ，D ．且AC BD =，则当MCD △面积最大时k 的值为（） ABCD5．如图所示，已知抛物线21:2C y px =过点()2,4，圆222:430C x y x +-+=. 过圆心2C 的直线l 与抛物线1C 和圆2C 分别交于,,,P Q M N ，则4PM QN +的最小值为（） A ．23B ．42C ．12D ．136．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线l 与抛物线交于A （位于第一象限）、B 两点，直线l 与2px =-交于点M ，若BM tMA =，则t =（）A ．13B ．13-C ．23D ．23-7．已知抛物线2:2C y x =，过焦点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与C 的准线切于点11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则l 的方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=8．设抛物线2:8E y x =的焦点为F ，过点(4,0)M 的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFSS=（）A ．14B ．15C ．16D ．17二、填空题9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，A 是C 的准线上一点，线段AF 与C 交于点B ，与y 轴交于点D ，且|||AB BF =，4DOF S =△（O 为原点），则C 的方程为___________.10．在直线l ：2y =-上取一点D 做抛物线C ：24x y =的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与圆E ：22220200x x y --=+交于M ，N 两点，当│MN │最小时，D 的横坐标是______． 11．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 在抛物线上，且ABF 的重心坐标为12,23⎛⎫⎪⎝⎭，则FA FB AB -=___________.12．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________．三、解答题13．已知抛物线C ：24y x =，直线l 过点()0,1P . (1)若l 与C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，点Q 在线段AB 上，且AP AQ PBQB=，求点Q 的轨迹方程.14．已知抛物线C ：()2204y px p =<<上一纵坐标为4的点M 到其焦点F 的距离为5，过点()2,0N 的直线l 与C 相交于A ，B 两点． (1)求C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在异于点N 的定点P ，使得点F 到直线P A 与直线PB 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．培优第三阶---考场点兵练一、单选题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（）A 0y --=B ．40y --C ．390x y --=D ．330x y --=2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．2B ．C ．4D ．3．（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别记为M ，N ，若||2||BC BN =，则AFM △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．24．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（） A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-5．（2022·河南·模拟预测（文））已知(),3M a 是抛物线C ：()220x py p =>上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为4，过点()4,2P 向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则AF BF ⋅=（） A ．1-B ．1C ．16D ．12-6．（2022·安徽淮南·二模（理））抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，若AFK △的面积是p 的值为（）A ．1B ．2 CD ．37．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线240x y --=交于A ，B 两点，且||AB =若抛物线C 的焦点为F ，则||||+=AF BF （）A ．B ．7C ．6D ．58．（2022·广东茂名·二模）已知抛物线E ：22y x =的焦点为F ，A 、B 、C 为抛物线E上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个二、多选题9．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y ，已知()3,2M -，()1,1N -，则（）A ．若直线l 垂直于x 轴，则AB 4= B ．124y y =-C ．若P 为C 上的动点，则PM PF +的最小值为5D ．若点N 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为210．（2022·江苏徐州·模拟预测）阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，则称PAB △为“阿基米德三角形”．已知抛物线28x y =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 的直线的方程为20x y -+=，弦AB 的中点为C ，则关于“阿基米德三角形”PAB △，下列结论正确的是（）A ．点2)P -B ．PC x ⊥轴 C ．PA PB ⊥D ．PF AB ⊥三、填空题11．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和C 分别交于A ，B 两点，若AF BF =，则AB =______. 12．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 为原点，F 为抛物线C 的焦点，点A ，B 为抛物线两点，满足OA OB ⊥，过原点O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，当点D 的坐标为()2,1，则p 的值为_________．四、解答题13．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线2:2C x py =，点()4,4M -在抛物线C 上，过点M 作抛物线C 的切线，交x 轴于点P ，点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--，经过点P 的直线交抛物线于A ，B 两点，交线段OM 于点Q ，记EA ，EB ，EQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．14．（2022·全国·模拟预测（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点()02,P y -为抛物线上一点，抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ，且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ，证明：MFAB为定值．3.3.2抛物线的几何性质培优第一阶---基础过关练一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若PQ 的中点到y 轴的距离为1，则PQ 等于（） A ．4 B ．5C ．6D ．8．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（）A ．72B ．2C ．52D ．833FP FQ =，则-由抛物线定义得故选：D3．已知抛物线于（） A ．6 B ．5C ．4D ．2反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD 等于热馈源F 到口径AB 的距离，已知口径长为40cm ，防护罩宽为15cm ，则顶点O 到防护罩外端CD 的距离为（） A ．25cm B ．30cm C ．35cm D ．40cm112212么|AB |＝（） A ．6 B ．8C ．9D ．10【答案】B【分析】由抛物线的焦点弦长公式，由此计算．【详解】因为直线AB 过焦点F (1，0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 故选：B ．6．已知点P 是抛物线C ：24y x =上一点，点F 为抛物线C 的焦点，点()2,1M ，则PMF △的周长的最小值为（）学习群QQ550349787A ．3B ．1C 1D 3．已知直线及抛物线，则（）A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点【详解】直线点的横坐标为（） A ．32B ．2C ．52D ．39．抛物线2320x y +=的顶点坐标为______．【答案】()0,0【分析】将抛物线化成标准式，即可得到其顶点坐标.【详解】解：抛物线2320x y +=，即232x y =-，顶点坐标为()0,0；故答案为：()0,010．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在C 上，已知点A AF =，则AKF 的面积AKFS=___________.轴，再计算AKF 的【详解】AA l '⊥22A AA F =='A K AKFS =11．已知抛物线，P 为C 上一点，轴，垂足为Q ，F 为C 的焦点，O 为原点．若45POQ ∠=︒，则cos PFQ ∠=__________．【答案】35##0.6．已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.13．已知抛物线E ：22y px =()0p >的焦点为F ，直线3x =与E 相交所得线段的长为(1)求E 的方程；(2)若不过点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，请从①AB 中点的纵坐标为3，②ABF 的重心在直线2y =上，③13AF BF +=这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l 的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．因为ABF 的重心在直线13=，所以的方程为y，则1k =．因为ABF 的重心在直线1=．两个条件，都只能得出斜率14．已知点23,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭-在抛物线()2:20C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()0,1M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，O 为坐标原点，求证：12k k 为定值. 培优第二阶---拓展培优练一、单选题1．在曲线2y x =上有两个动点,,(1,0)P Q E ，且满足EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（）A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】由已知，先利用向量的线性运算对EP QP ⋅进行化简得到2EP QP EP ⋅=，然后设出的坐标，计算两点间距离公式，利用点在曲线上满足的等量关系，带入求解即可【详解】由已知，2()EP QP EP EP EQ EP EP EQ ⋅=⋅-=-⋅ ，所以0EP EQ ⋅=，所以2EP QP EP ⋅=，因为动点P 在曲线2y x =上，所以设00(,)P x y ，所以22222200000(1)(0)21EP QP EP EP x y x x y ⋅===-+-=-++又因为200y x =，所以2220000211(EP QP x x y x x x ⋅=-++=-+=故选：C.2．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为（）学习群QQ550349787A ．4B ．6C ．8D ．9．已知F 为抛物线的焦点，A 为上任意一点，且点A 到点距离的最小值为若直线过F 交C 于P ，Q 两点，且||8PQ =，则线段PQ 中点的横坐标为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．64．若斜率为k（0k>）的直线l 与抛物线22y x=和圆M：258x y-+=分别交于A，B 和C，D．且AC BD=，则当MCD△面积最大时k的值为（）A B．2C D5．如图所示，已知抛物线21:2C y px =过点2,4，圆222:430C x y x +-+=. 过圆心2C 的直线l 与抛物线1C 和圆2C 分别交于,,,P Q M N ，则4PM QN +的最小值为（） A ．23 B ．42 C ．12 D ．136．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3的直线l 与抛物线交于A （位于第一象限）、B 两点，直线l 与2px =-交于点M ，若BM tMA =，则t =（） A ．13B ．13-C ．23D ．23-BM tMA =得到横坐标的线性关系，即可求【详解】由题设，令直线由BM tMA =，则-故选：B．已知抛物线:C ，过焦点的直线与交于，两点，若以AB 为直径的圆与的准线切于点11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则l 的方程为（）学习群QQ550349787A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=2的表达式，根据0MA MB ⋅=求出l 的斜率存在且不为2222(2)04k k xkx，则A x 1)-，21[(2A B A B A B y y k x x x x =-+又11(()()022A AB MA MB x y y ⋅=++--=，综上，211k k -+2k =，故直线:21l y x =-，即故选：D．设抛物线:E 的焦点为，过点的直线与相交于，两点，与的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFS S=（）A ．14B ．15C ．16D ．17BCF ACFS S=【详解】设直线xBCF ACFS S=9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，A 是C 的准线上一点，线段AF 与C 交于点B ，与y 轴交于点D ，且|||AB BF =，4DOF S =△（O 为原点），则C 的方程为___________.10．在直线l ：2y =-上取一点D 做抛物线C ：4x y =的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与圆E ：22220200x x y --=+交于M ，N 两点，当│MN │最小时，D 的横坐标是______．11．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 在抛物线上，且ABF 的重心坐标为,23⎛⎫⎪⎝⎭，则FA FB AB-=___________.斜率不存在，则ABF 的重心在0，设直线，消去x 可得分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为tan 2α=故答案为：12．抛物线具有光学性质：方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________．学习群QQ55034978713．已知抛物线C ：24y x =，直线l 过点()0,1P . (1)若l 与C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，点Q 在线段AB 上，且AP AQ PBQB=，求点Q 的轨迹方程.，则PA PB λ=，AQ QB λ=， ∴2122k y k k =+=--，∴y 114．已知抛物线C ：上一纵坐标为4的点M 到其焦点F 的距离为5，过点()2,0N 的直线l 与C 相交于A ，B 两点． (1)求C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在异于点N 的定点P ，使得点F 到直线P A 与直线PB 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．培优第三阶---考场点兵练一、单选题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（） A 0y --= B ．40y --= C ．390x y --= D ．330x y --=．（河南安阳模拟预测（理））已知抛物线与圆交于，B 两点，则||AB =（） A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C.3．（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别记为M ，N ，若||2||BC BN =，则AFM △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．24．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知抛物线C ：的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（） A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-60 ∴QM 5．（2022·河南·模拟预测（文））已知是抛物线C ：上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为4，过点()4,2P 向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则AF BF ⋅=（） A ．1- B ．1 C ．16 D ．12-6．（2022·安徽淮南·二模（理））抛物线2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，若AFK △的面积是p 的值为（）学习群QQ550349787 A ．1 B ．2 C D ．3【分析】根据抛物线的定义，结合条件，可得AKF 的形状，进而可得三角形的边长，进而，又AFx ∠故AKF 是等边三角形，又43，故可得AF 2OF p =故选：B.．（2022·江苏新沂市第一中学模拟预测）已知抛物线与直线交于A ，B 两点，且||AB =若抛物线C 的焦点为F ，则||||+=AF BF （） A ．B ．7C ．6D ．5【答案】B【分析】联立直线与抛物线，应用韦达定理及弦长公式求得2p =，进而可得5A B x x +=，根据抛物线定义求目标式的值.8．（2022·广东茂名·二模）已知抛物线E ：2y x =的焦点为F ，A 、B 、为抛物线E 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个先说明这样的ABC 满足，都存在满足条件的弦BC 【详解】当0FA FB FC ++=时，易知为ABC 的重心，连接1在抛物线内部时，设(D x ，若存在以D ，这样的ABC 即满足要求()()1122,,,x y C x y ，则012,x x y y +=，两式相减可得)12122y y y x x -+=-，即k ，所以总存在以，即这样的三角形有无数【点睛】本题关键在于构造出ABC ，再说明对于点为中点的弦BC ，即存在ABC ，这样的每一个点都会对应一个ABC . 9．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y ，已知()3,2M -，()1,1N -，则（） A ．若直线l 垂直于x 轴，则AB 4=B ．124y y =-C ．若P 为C 上的动点，则PM PF +的最小值为5D ．若点N 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为2 对，为直径的圆上，则0NA NB ⋅=，又)10=，又1x )210y -=，)250y +=，，此时直线l 的斜率为享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，则称PAB △为“阿基米德三角形”．已知抛物线28x y =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 的直线的方程为20x y -+=，弦AB 的中点为C ，则关于“阿基米德三角形”PAB △，下列结论正确的是（）A．点2)P - B ．PC x ⊥轴 C ．PA PB ⊥ D ．PF AB ⊥11．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和C 分别交于A ，B 两点，若AF BF =，则AB =______. 【分析】抛物线的定义结合题意得到ABF 为等边三角形，设准线BF AB =，ABF 为等边三角形，，24AB FH ==. 12．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知抛物线:2(0)C y px p =>，O 为原点，F 为抛物线C 的焦点，点A ，B 为抛物线两点，满足OA OB ⊥，过原点O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，当点D 的坐标为()2,1，则p 的值为_________．学习群QQ550349787 ，则2124y y OA OB p ⋅=.13．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线2:2C x py =，点()4,4M -在抛物线C 上，过点M 作抛物线C 的切线，交x 轴于点P ，点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--，经过点P 的直线交抛物线于A ，B 两点，交线段OM 于点Q ，记EA ，EB ，EQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．14．（2022·全国·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且FPQ△的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段AB的中垂线与y轴交于点M，证明：MFAB为定值．学习群QQ550349787S=FPQ 所以抛物线。

人教A版选择性必修第一册3.3抛物线的简单几何性质(第2课时)

4－4
设直线AM的方程为x＝ny＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，
所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
y1＋y2
k1 y1＋y2
y1y2
＝
＝
＝
k2 y3＋y4 －4 －4 －4，
y1 ＋ y2
k1
由(1)知 y1y2＝－8，所以k ＝2 为定值.
2
归纳总结
解决抛物线综合问题的基本策略
性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为
定值;(4)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.
练一练
如图，已知抛物线y2 ＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线
交抛物线于A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)两点，直线AF，BF分别
与抛物线交于点M，N.
(1)求y1y2的值；
解
依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
2
=
2 -4+4
2
.
2 +4+4
同理,设 B(x2,y2),可得 x2=
22 +8
∴x1+x2=
2

-8
,x1-x2=
2
=
2
-8
.

,
22 +8
8
∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2]=k(x1+x2)-2k= -2k=.
-
∴kAB=1 - 2=-1.
将②代入③，消去，得
=

− (

≤ ≤ )即点的轨迹方程。
2
a
例6中, 设点B关于y轴的对称点为A, 则方程x 2