抛物线的简单性质练习题及答案

抛物线

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为 （ ）

A ．（1, 0）

B ．（2, 0）

C ．（3, 0）

D ．（－1, 0）

2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）

A ．x 2+ y 2-x -2 y -4

1

=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0 D ．x 2+ y 2-x -2 y +4

1

=0

3．抛物线2

x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ）

A ．（1，1）

B ．（

4

1

,21） C ．)49,23( D ．

（2，4） 4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）

A ．6m

B ． 26m

C ．4.5m

D ．9m

5．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）

A ． y 2=－2x

B ． y 2=－4x

C ．y 2=－8x

D ．y 2=－16x

6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x

7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ ） A ．8 B ．10 C ．6 D ．4 8．把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a )3,2(-=平移，所得的曲线的方程是（ ）

A ．)2(4)3(2

--=-x y B ．)2(4)3(2

+-=-x y C ．)2(4)3(2--=+x y

D ． )2(4)3(2

+-=+x y

9．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条

10．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则

q

p 1

1+等于 （ ）

A ．2a

B ．

a 21 C ．4a D ． a

4 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．

12．抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ． 13．P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经

过一个定点Q ，点Q 的坐标是 ．

14．抛物线的焦点为椭圆14

92

2=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共76分）

15．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(2

2

=++y x 外切，求动圆圆心M 的

轨迹方程．(12分)

16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离

等于5，求抛物线的方程和m 的值．（12分）

17．动直线y =a ，与抛物线x y 2

1

2

=

相交于A 点，动点B 的坐标是)3,0(a ，求线段AB 中点M 的轨迹的方程．(12分)

参考答案

二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．2 12．4

k

x =

13．（1，0） 14．x y 542-= 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）

的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，

-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为y x 122

-=． 16． (12分)[解析]：设抛物线方程为)0(22

>-=p py x ，则焦点F （0,2

p

-），由题意可得 ⎪⎩

⎪⎨⎧=-+=5

)23(62

22p m p m ，解之得⎩⎨⎧==462p m 或⎩⎨⎧=-=462p m ， 故所求的抛物线方程为y x 82

-=，62±的值为m

17．（12分）[解析]：设M 的坐标为（x ，y ），A （2

2a ，a ），又B )3,0(a 得 ⎩⎨⎧==a

y a x 22

消去a ，得轨迹方程为4

2y x =，即x y 42

=