高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

焦半径

11(,)A x y

12

p AF x =+

12

p AF x =-+

12

p AF y =+

12

p AF y =-+

焦 点弦 长

AB

12()x x p ++

12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++

焦点弦

AB 的几

条性质

11(,)

A x y 22(,)

B x y

以AB 为直径的圆必及准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，则

2

2sin p

AB α

=

若AB 的倾斜角为α，则

2

2cos p

AB α

=

2

124

p x x = 212y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===•• 切线

方程

00()y y p x x =+

00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+

一． 直线及抛物线的位置关系

直线，抛物线，

，消y 得：

o

x ()22,B x y

F

y ()11,A x y

（1）当k=0时，直线l 及抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，

Δ＞0，直线l 及抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 及抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 及抛物线相离，无公共点。

（3）若直线及抛物线只有一个公共点,则直线及抛物线必相切吗?（不一

定）

二． 关于直线及抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线l ：b kx y += 抛物线

，)0( p

① 联立方程法：

⎩⎨⎧=+=px

y b

kx y 22

⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b

x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

1. 相交弦AB 的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ∆+=2

1 b. 中点),(00y x M , 2

210x x x +=

， 2210y

y y +=

② 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得

12

12px y = 2222px y =

将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-

2

121212y y p

x x y y +=

--

a. 在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--， 即0

y p

k AB =

， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 及抛物线相交于B A 、两点，点

),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线及抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

抛物线练习及答案

1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离及点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。（4

1

,－1）

2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离及P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为

。

3、直线3y x =-及抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 。48

4、设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 及x 轴正向的夹角为60，则OA 为 。

5、抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是 。

6、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线及x 轴的交点为K ，点A 在C 上

且AK =，则AFK ∆的面积为 。8

7、已知双曲线22

145

x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶

点的抛物线方程为 。

8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。

9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 。28y x =

10、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 。

4

3

11、已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线及抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 。32

12、若曲线2y ＝|x |＋1及直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 。k =0,-1

13、已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则