抛物线的性质归纳及证明
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抛物线的常见性质及证明
概念
焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；
焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.
性质及证明
过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-=
+
=p p x AF ；②焦半径α
cos 12||2+=+=p
p x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2p ； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α
2sin 2p ；特别地，当x 1=x 2(α=90)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB
＝α
sin 22
p . 证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p
2
，
| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p
如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为
A 1、
B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF
|cos
，
∴| AF |＝| RF |1－cos ＝p
1－cos
同理，| BF |＝| RF |1＋cos ＝p
1＋cos
∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos ＋p 1＋cos ＝2p
sin
2 .
S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p
2
·(| y 1 |＋| y 1 |)
C
D
B (x 2，y 2) R A (x 1，y 1)x
y O θ
A 1
B 1 F 图2
∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 | ∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝
p
4
(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2＝
p
4
4m 2p 2
＋4p 2
＝
p 2
2
1＋m 2＝
p 2
2sin
.
2.
求证：①2124p x x =；②2
12y y p =-；③ 1| AF |＋1| BF |＝2p .
当AB ⊥x 轴时，有 AF BF p ==，
成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
.代入抛物线方程： 2
222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=
∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴12
24
k x x ⋅=.
()121112
1212111111
2224x x p p p
AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=
+++++ ()()12122212122
2424
x x p x x p p p p p p x x p x x ++++=
==
+++++
. 3.求证：=∠=∠'''FB A B AC Rt ∠.
先证明：∠AMB ＝Rt ∠
D
R
A (x 1，y 1)
x
y
O
F N M x
y C'C
B'A'
B
O F
K A
【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则
△ADM ≌△ECM ，
∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |
∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点， ∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则
| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝1
2
| AB |，∴| MN |＝| AN |＝|
BN |
∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠.
【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 2
2
).
∴k AM ＝
y 1－
y 1＋y 2
2
x 1＋
p
2
＝
y 1－y 22·y 212p
＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2
y 1)
y 21
＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝p
y 2 ∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2
－p 2
＝－1
∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.
【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p
2
，
y 1＋y 2
2
).
∴MA →
＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12
)