微分方程算子法总结

1 1 1 f ( x) = f ( x) f ( x) = F(D) F2 (D) • F1 ( D) F1 (D) • F2 ( D)
(6)性质六:
1 1 1 f1 ( x) + f 2 ( x) ( f1 ( x) + f 2 ( x)) = F(D) F(D) F(D)
三、例题练习 例 1.
n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3
记 F(D)=D +a1D +a2D +a3D + ... +an-1D+an 规定特解：y 3、
*
= F(D)
1
f ( x)
1 的性质 F(D)
(1)性质一：
kx 1 F(D)
e = F(k) ekx
1
1
(F(k) 不等于 0）
取实部为特解 四）
1
1
y*= 4 (xcosx+x2sinx)
1
(性质二、三、
6
2
x d2y +4y = dx 2
e
则(D +4)y=e
(4)
x
,特解 y*=
1 D2
x x x 1 e = e = e (性质一) 5 1 +4 +4
2
4
1
例 2、 y +y=2cos(3x） ，则(D +1)y= 2cos(3x） 特解 y
*
=
1 D 4 +1
2cos(3x）= 2 cos(3x）=
e
-y=sinx
ix 1 3 D -1
,则(D -1)y=sinx ,特解 y*=
1 D3 -1
sinx
考察
e
1 1 ix i - 1 ix ix e = e = 2 e i3 -1 i +1 D3 i -1 = 2 (cosx+isinx) 1 1 =- 2 (cosx+sinx)+i 2 (cosx-sinx) 1 * 取虚部为特解 y = (cosx-sinx) (性质一、三) 2
i.考察该式（该种形式万能解法） ：
1 iax e F(D)
利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注：欧拉公式 虚数
eiax= cos(ax)+isin(ax)
-1
i2 =
ii.若特解形如
1 1 sin(ax)和 cos(ax)，也 F(D 2) F(D 2)
可按以下方法考虑： 若 F(-a ) ≠ 0，则
1 1 m cos(ax)=x F(m)(D2) cos(ax) F(D 2 )
2
(4)性质四（多项式） ：
1 p p-1 p-2 （x +b +b +...+bp-1x+bp） 1x 2x F(D)
=
Q(D)（x +b1x +b2x +...+bp-1x+bp）
p
p-1
p-2
注：Q(D)为商式，按 D 的升幂排列，且 D 的最高次幂为 p 。 (5)性质五（分解因式）:
=- 2 xeix= 2 xsinx-i 2 xcosx
1 取实部为特解 y = xsinx 2
*
i
1
1
(性质一、二、三）
d4y 例 7、 4 dx
-y=ex ，则(D -1)y= ex
4
特解 y
*
=
x 1 1 e = 4 ( D - 1)(D + 1)(D D -1
2
x e + 1)
=
1 ( D - 1)(1 + 1)(1 2
1 D 4 +1
cos(3x）
=
2
1 (-3 )
2 2
+1
1 cos(3x）(性质三) 41
3
d2y 例 3、 2 dx
2x dy -4 d +4y= x e x
2
,则(D -4D+4)y=
2
xe
2
2x
特解 y
*
=
2x 1 2 x D - 4D + 4
2
e = e2x（D+ 21- 2）
2
x
2
=
d3y 例 4、 3 dx
ix
1
=e =e
1 ix 1 1 D ( + )x x =e D(D+ 2i) D 2i 4
1 x 1 ( + )x D 2i 4
ix
=e
ix
x2 1 ( + x) x 4i 4
x2 1 =(cosx+isinx) ( 4i + 4 x) x
= 4 (xcosx+x2sinx)+i 4 (xsinx-x2cosx)
（性质二、四）
1
-x
2
=e
-x
(x
-2)
d2y 2 例 10、 2 +y=xcosx ，则(D +1)y=xcosx ， dx
特解 y
1 D 2 +1
*
=
1 D 2 +1
ix
xcosx ，考察
1
1 D 2 +1
xe
ix
xe
= (D - i)(D+ i) xeix=eix (D+ i - i)(D+ i + i) x
(性质四)
=(1-D )(x2-x+2)=x2-x
5
dy d2y 2 -x +2y=x 例 9、 2 +2 dx dx
e ,则(D +2D+2)y=x2e-x
2
特解 y
*
= ( D + 1) 2 + 1 x2e
-x
1
-x
=e-x ( D -1 + 1)
(1-D )x
2
1
2
2 x +1 2
=e D 2 1 x2=e +
注：若 k 为特征方程的 m 重根时，有
1 kx e F(D)
= xm F(m)(D) e = xm F(m)(k)e
kx
1
kx
1
(2)性质二：
1 kx e v(x)= F(D)
ekx F(D + k) v(x)
1
1 1 (3)性质三：特解形如 sin(ax) 和 cos(ax) F(D) F(D)
求导 n 次；
1 2 1 1 1 表示积分，如 x= x , x 表示 2 Dn D D
对 x 积分 n 次，不要常数。 2、计算 将 n 阶微分方程改写成下式： D y+a1D y+a2D y+a3D y+ ... +an-1Dy+any=f(x) 即 （D +a1D +a2D +a3D + ... +an-1D+an）y=f(x)
微分方程的求解 一、n 阶微分方程 1、二阶微分方程： 2、 n 阶微分方程： 二、微分算子法 1、定义符号：
d 3 2 n = D ，D 表示求导，如 Dx =3x ，D y 表示 y 对 x dx
d2y dy +q(x)y=f(x) 2 +p(x) dx dx
y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ ... +any=f(x)
2
1 1 sin(ax)= sin(ax) F(-a 2 ) F(D 2 )
1 1 cos(ax) 2 cos(ax)= F(-a 2 ) F(D )
若 F(-a )= 0 ， 则按 i.进行求解， 或者设-a 为 F(-a )
2 2 2
的 m 重根，则
1 1 m sin(ax)=x sin(ax) F(m) (D2 ) F(D 2 )
x e + 1)
1 1 1 x 1 1 x • • = D-1 2 2 e = D-1 4 e 1 1 1 = 4 ex D+1-1 • 1= 4 xex （性质一、二、五）
d2y 2 2 例 8、 2 +y=x -x+2 , 则(D +1)y= dx
x2-x+2
特解 y
*
=
1 D
2
+1
2
(x
2
-x+2)
2 2
e2x D1
2
x
2
=
1 4 2x x 12
e
（性质二）
x
-3 ddxy +3 dy dx
*
y=e ,则(D3-3D2+3D-1)y=e
x x
x
特解 y
= 3 3 e =e （D -1 ） （D +1-1 ）
x
1
1
•
1
=e D 3
d3y 例 5、 3 dx
1 •
1=
3
1 3 x x (性质二） 6
1
ix e = -1
4
1 d2y * 2 例 6、 2 +y=cosx ，则(D +1)y=cosx ，特解 y = 2 cosx D +1 dx
考察
1 D
2
ix e +1
1 D2 +1
e =
ix
1 1 ix ix e = e (D- i)(D+i) (D - i)(D+ i)
1 1 ix ix = ( D - i) • 2i e =e 2i •(D+ i - i) •1