浙江专升本高数二试卷及答案
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2005年省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷 1.函数x e x x x
y --=)
1(sin 2的连续区间是____________________.
2._______
____________________)
4(1lim 2
=
-+-∞
→x x x x .
3.写出函数
的水平渐近线
和
垂直渐近线
4.设函数⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1
)(2)1(1
2
x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时,函数)(x f 在点x=1处连
续.
5.设参数方程⎩⎨⎧==θ
θ
2sin 2cos 3
2r y r x , (1)当r 是常数,θ是参数时,则_____
__________=dx dy .
(2)当θ是常数,r 是参数时,则
=dx
dy
_____________
.
二.选择题. (本题共有5个小题,每一小题4分,共20分,每个小题给出的选项中,只有一项符合要求)
1.设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导,),(b a c ∈,且0)('
=c f ,则当( )时,)(x f 在c x =处取得极大值.
)(A 当c x a <≤时,0)('>x f ,当b x c ≤<时,0)('>x f , )(B 当c x a <≤时,0)('>x f ,当b x c ≤<时,0)(' ). () 2()3(lim 000=--+→h h x f h x f h ).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A 3.设函数⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>=--0 ,0 0,0 x ,)(22 x e x e x f x x ,则积分⎰-1 1)(dx x f =( ). .2)( ,e 1 )( 0)( ,1)(D C B A - 4.可微函数在点处有是函数在点处取得极值的 ()。 充分条件,必要条件, 充分必要条件,既非充分又非必要条件。 5.设级数 ∑∞ =1 n n a 和级数 ∑∞ =1 n n b 都发散,则级数 ∑∞ =+1 )(n n n b a 是( ). )(A 发散, )(B 条件收敛, )(C 绝对收敛,)( D 可能发散或者可能收敛. 三.计算题:(计算题必须写出必要的计算过程,只写答案的不给分,本题共10个小题,每小题7分,共70分) 1.求函数x x x y )1(2 +-=的导数. 2. 求函数122 3+-=x x y 在区间(-1,2)中的极大值,极小值. 3. 求函数x e x x f 2 )(=的3阶导数3 3dx f d . 4.计算极限) 1sin() 1(lim 1--+-→x x e e x x . 5.计算积分⎰+dx e x 211 . 6.计算积分⎰-+1 2)2(dx e x x x . 7.函数方程 ,其中变量是变量的函数, 求和 8.把函数1 1 += x y 展开成1-x 的幂级数,并求出它的收敛区间. 9.求微分方程x y x dx dy x sin )(sin cos =+的通解. 10.直线1=x 把圆42 2=+y x 分成左,右两部分,求右面部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积. 四.综合题: (本题共2个小题,每小题10分,共20分) 1.设m n ,是整数,计算积分⎰ π cos cos mxdx nx . 2.已知函数d cx bx ax x f +++=234)(2 3, 其中常数0,,,,=+++d c b a d c b a 满足, (1)证明函数)(x f 在(0,1)至少有一个根, (2)当ac b 832 <时,证明函数)(x f 在(0,1)只有一个根. 2005年高数(二)答案(A 卷) 一.填空题:(每空格5分,共40分) 1.连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ , 2. 21, 3.(1)0y =, (2)2x = 4.1,0-==b a , 5.(1)y x r 2-, (2)x y 23. 三.计算题:(计算题必须写出必要的计算过程,只写答案的不给分,每小题7分,共70分) 1.解 :令)1ln(ln 2 +-=x x x y , (3分) 则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1 ) 12([ 222 ' +-+-++--= (7分) 2.解:)43(432 '-=-=x x x x y ,驻点为3 4,021==x x (2分) (法一) 46' '-=x y , 04)0(''<-=y , 1)0(=y (极大值), (5分) 04)34(''>=y , 27 5 )34(-=y (极小值). (7分) (5分) 当0=x 时,1=y (极大值),当34=x 时,275-=y (极小值) (7分) 3.解:(法一)利用莱布尼兹公式x e x x dx f d ]66[23 3++= (7分) (法二)x e x x x f )2()(2'+=, (3分) x e x x x f )24()(2''++=, x e x x x f )66()(2) 3(++= (7分) 4.解:) 1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x =)1cos(1 lim 1-+→x e x x =1+=e 5.解:⎰+dx e x 211==+-+⎰dx e e e x x x 22211 (3分) ++-=)1ln(2 1 2x e x C (7分) 6.解:⎰ -+1 2)2(dx e x x x ==+--+⎰dx e x e x x x x 1 10 2 )12()2( (3分)