用机械能解决连接体问题
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A S
v
30º S B
h
v
组成的系统只有它们的重力做功， 解：该题A、B组成的系统只有它们的重力做功，故系 该题 、 组成的系统只有它们的重力做功 统机械能守恒。 统机械能守恒。 设物块A沿斜面下滑 距离时的速度为v，则有： 沿斜面下滑S距离时的速度为 设物块 沿斜面下滑 距离时的速度为 ，则有：
则B球上升最大高度h=L（1+sinθ）=32L/25
例5、如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立 、如图所示，一根轻弹簧下端固定， 在水平面上.其正上方 位置有一只小球。 其正上方A位置有一只小球 在水平面上 其正上方 位置有一只小球。小 球从静止开始下落， 球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上 位置接触弹簧的上 位置小球所受弹力大小等于重力， 端，在C位置小球所受弹力大小等于重力， 位置小球所受弹力大小等于重力 位置小球速度减小到零， 在D位置小球速度减小到零，在小球下降阶 位置小球速度减小到零 段中， 段中，下列说法正确的是 （ ）
v
为研究对象， 解：以M 、m为研究对象，在 ｍ开始下落到刚要着地的过程 中机械能守恒， 中机械能守恒，则： 1 mgh = 2 （M+m）v2
M
m
hபைடு நூலகம்
∴ v=
√
2mgh M+m
v
一、轻绳连接模型
1、与绳子连接的物体沿绳子方向速度 、 大小相等。 大小相等。 2、轻绳内张力处处相等，且与运动状 、轻绳内张力处处相等， 态无关 3、此模型中单个物体一般机械能不守 、 二系统机械能守恒。 恒，二系统机械能守恒。
三、轻弹簧连接问题
1、需认清弹簧状态及不同能量的转化关系。 、需认清弹簧状态及不同能量的转化关系。 2、由两个及两个以上物体组成的系统应注意 、 弹簧伸长或压缩最大程度时， 弹簧伸长或压缩最大程度时，弹簧连接的物 体的速度问题。 体的速度问题。 3、弹簧处于自然长度时弹性势能最小为隐含 、 条件。 条件。
mgh =
1 2
mv2
物块B上升的最大高度 物块 上升的最大高度: H=h+S 上升的最大高度
三式连立解得 H=1.2S
的小球a、 ， 例3、一轻杆上质量均为 的小球 、b，可绕 、一轻杆上质量均为m的小球 o点在数值平面内自由转动。oa=ab=L，将 点在数值平面内自由转动。 点在数值平面内自由转动 ， 杆拉至水平后由静止释放。 杆拉至水平后由静止释放。 杆转动到竖直方向时a、 两球的速度 两球的速度。 求：杆转动到竖直方向时 、b两球的速度。
二、轻杆或轻支架连接问题
1、轻杆不可伸长和压缩，所以沿杆方 、轻杆不可伸长和压缩， 向速度必相同。 向速度必相同。 2、若轻杆或轻支架一端固定则杆或支 、 架转动时各点角速度相同。 架转动时各点角速度相同。 3、求解此类问题一定注意重力势能为 、 零的点位置选取以及重力势能的变换
例4、如图所示，质量分别为 、如图所示，质量分别为2m 和3m的两个小球固定在一根直角 的两个小球固定在一根直角 尺的两端A、 ，直角尺的定点O 尺的两端 、B，直角尺的定点 处有光滑的固定转动轴， 、 处有光滑的固定转动轴，AO、 BO的长分别为 和L，开始时直 的长分别为2L和 ， 的长分别为 角尺的AO部分处于水平位置而 部分处于水平位置而B 角尺的 部分处于水平位置而 的正下方， 在O的正下方，让该系统由静止开 的正下方 始自由转动， 始自由转动，求 达到最低点时， 小球的 （1）当A达到最低点时，A小球的 ） 达到最低点时 速度大小v； 速度大小 ； （2）B球能上升的最大高度 。 ） 球能上升的最大高度h。 球能上升的最大高度 （不计直角尺的质量 ）
例2．如图所示，一固定的三角形木块，其斜面 ．如图所示，一固定的三角形木块， 的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一 的倾角 ° 另一边与地面垂直， 定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮， 定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与 物块A和 连接 连接， 的质量为 的质量为4m， 的质量为 的质量为m。 物块 和B连接，A的质量为 ，B的质量为 。 开始时将B按在地面上不动 然后放开手， 按在地面上不动， 开始时将 按在地面上不动，然后放开手，让A 沿斜面下滑而B上升 物块A与斜面间无摩擦 上升。 与斜面间无摩擦。 沿斜面下滑而 上升。物块 与斜面间无摩擦。 设当A沿斜面下滑 距离后，细线突然断了。 沿斜面下滑S距离后 设当 沿斜面下滑 距离后，细线突然断了。求 物块B上升的最大高度 上升的最大高度H。 物块 上升的最大高度 。
４mgs•sinθ－mgs
( 势能的减少量
1 （４m+m）v2 =2 = 动能的增加量 )
细线突然断的瞬间，物块B垂直上升的初速度为 ， 垂直上升的初速度为v， 细线突然断的瞬间，物块 垂直上升的初速度为 此后B作竖直上抛运动。设继续上升的高度为h， 由机 此后 作竖直上抛运动。设继续上升的高度为 ， 作竖直上抛运动 械能守恒得
例 6、质量为 1的物体 经一轻质弹簧与下方 、 质量为m 的物体A经一轻质弹簧与下方 地面上的质量为m 的物体B相连 相连， 地面上的质量为 2 的物体 相连 ， 弹簧的劲 度系数为k， 、 都处于静止状态 都处于静止状态， 度系数为 ， A、 B都处于静止状态 ， 一条不 可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A， 可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 ，另 一端连一轻挂钩， 一端连一轻挂钩 ， 开始时各段绳都处于伸直 状态， 上方的绳沿竖直方向 上方的绳沿竖直方向． 状态，A上方的绳沿竖直方向．现在挂钩上挂 一质量为m 的物体C并从静止状态释放 并从静止状态释放， 一质量为 3 的物体 并从静止状态释放 ， 已 知它恰好能使B离开地面但并不继续上升 离开地面但并不继续上升． 知它恰好能使 离开地面但并不继续上升．若 将 C换成另一质量为 1+m3)的物体 ， 仍从 换成另一质量为(m 的物体D， 换成另一质量为 的物体 上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离 上述初始位置由静止状态释放，则这次 刚离 地时D的速度的大小是多少 的速度的大小是多少？ 地时 的速度的大小是多少？已知重力加速度 为g.
A．从A→D位置小球先做匀加速运动后做匀减速运动 从 位置小球先做匀加速运动后做匀减速运动 B．从A→C位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性 ． 位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性 A 势能的增加量 B C．在B位置小球动能最大 ． 位置小球动能最大 C D．在C位置小球动能最大 ． 位置小球动能最大 D
巧用机械能守 恒解决连接体 问题
——段文娟 段文娟
例1：如图示，在光滑的水平桌面上有一质量为 ：如图示，在光滑的水平桌面上有一质量为M 的小车，小车与绳的一端相连， 的小车，小车与绳的一端相连，绳子的另一端通 过滑轮与一个质量为m的砝码相连 的砝码相连， 过滑轮与一个质量为 的砝码相连，砝码到地面的 高度为h 由静释放砝码， 高度为 ，由静释放砝码，则当其着地前的一瞬间 小车末离开桌子）小车的速度为多大？ （小车末离开桌子）小车的速度为多大？
答案：直角尺和两个小球组成的系统机械能守 恒 （1）由 2mg ⋅ 2L = 3mg ⋅ L + 1 ⋅ 2m ⋅ v 2 + 1 ⋅ 3m( v ) 2 解得v = 8gL
2 2 2 11
（2）设B球上升到最高时OA与竖直方向的夹 角为θ，则有
2mg ⋅ 2 L cosθ = 3mg ⋅ L(1 + sin θ )解得 sin θ = 7 / 25
v
30º S B
h
v
组成的系统只有它们的重力做功， 解：该题A、B组成的系统只有它们的重力做功，故系 该题 、 组成的系统只有它们的重力做功 统机械能守恒。 统机械能守恒。 设物块A沿斜面下滑 距离时的速度为v，则有： 沿斜面下滑S距离时的速度为 设物块 沿斜面下滑 距离时的速度为 ，则有：
则B球上升最大高度h=L（1+sinθ）=32L/25
例5、如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立 、如图所示，一根轻弹簧下端固定， 在水平面上.其正上方 位置有一只小球。 其正上方A位置有一只小球 在水平面上 其正上方 位置有一只小球。小 球从静止开始下落， 球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上 位置接触弹簧的上 位置小球所受弹力大小等于重力， 端，在C位置小球所受弹力大小等于重力， 位置小球所受弹力大小等于重力 位置小球速度减小到零， 在D位置小球速度减小到零，在小球下降阶 位置小球速度减小到零 段中， 段中，下列说法正确的是 （ ）
v
为研究对象， 解：以M 、m为研究对象，在 ｍ开始下落到刚要着地的过程 中机械能守恒， 中机械能守恒，则： 1 mgh = 2 （M+m）v2
M
m
hபைடு நூலகம்
∴ v=
√
2mgh M+m
v
一、轻绳连接模型
1、与绳子连接的物体沿绳子方向速度 、 大小相等。 大小相等。 2、轻绳内张力处处相等，且与运动状 、轻绳内张力处处相等， 态无关 3、此模型中单个物体一般机械能不守 、 二系统机械能守恒。 恒，二系统机械能守恒。
三、轻弹簧连接问题
1、需认清弹簧状态及不同能量的转化关系。 、需认清弹簧状态及不同能量的转化关系。 2、由两个及两个以上物体组成的系统应注意 、 弹簧伸长或压缩最大程度时， 弹簧伸长或压缩最大程度时，弹簧连接的物 体的速度问题。 体的速度问题。 3、弹簧处于自然长度时弹性势能最小为隐含 、 条件。 条件。
mgh =
1 2
mv2
物块B上升的最大高度 物块 上升的最大高度: H=h+S 上升的最大高度
三式连立解得 H=1.2S
的小球a、 ， 例3、一轻杆上质量均为 的小球 、b，可绕 、一轻杆上质量均为m的小球 o点在数值平面内自由转动。oa=ab=L，将 点在数值平面内自由转动。 点在数值平面内自由转动 ， 杆拉至水平后由静止释放。 杆拉至水平后由静止释放。 杆转动到竖直方向时a、 两球的速度 两球的速度。 求：杆转动到竖直方向时 、b两球的速度。
二、轻杆或轻支架连接问题
1、轻杆不可伸长和压缩，所以沿杆方 、轻杆不可伸长和压缩， 向速度必相同。 向速度必相同。 2、若轻杆或轻支架一端固定则杆或支 、 架转动时各点角速度相同。 架转动时各点角速度相同。 3、求解此类问题一定注意重力势能为 、 零的点位置选取以及重力势能的变换
例4、如图所示，质量分别为 、如图所示，质量分别为2m 和3m的两个小球固定在一根直角 的两个小球固定在一根直角 尺的两端A、 ，直角尺的定点O 尺的两端 、B，直角尺的定点 处有光滑的固定转动轴， 、 处有光滑的固定转动轴，AO、 BO的长分别为 和L，开始时直 的长分别为2L和 ， 的长分别为 角尺的AO部分处于水平位置而 部分处于水平位置而B 角尺的 部分处于水平位置而 的正下方， 在O的正下方，让该系统由静止开 的正下方 始自由转动， 始自由转动，求 达到最低点时， 小球的 （1）当A达到最低点时，A小球的 ） 达到最低点时 速度大小v； 速度大小 ； （2）B球能上升的最大高度 。 ） 球能上升的最大高度h。 球能上升的最大高度 （不计直角尺的质量 ）
例2．如图所示，一固定的三角形木块，其斜面 ．如图所示，一固定的三角形木块， 的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一 的倾角 ° 另一边与地面垂直， 定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮， 定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与 物块A和 连接 连接， 的质量为 的质量为4m， 的质量为 的质量为m。 物块 和B连接，A的质量为 ，B的质量为 。 开始时将B按在地面上不动 然后放开手， 按在地面上不动， 开始时将 按在地面上不动，然后放开手，让A 沿斜面下滑而B上升 物块A与斜面间无摩擦 上升。 与斜面间无摩擦。 沿斜面下滑而 上升。物块 与斜面间无摩擦。 设当A沿斜面下滑 距离后，细线突然断了。 沿斜面下滑S距离后 设当 沿斜面下滑 距离后，细线突然断了。求 物块B上升的最大高度 上升的最大高度H。 物块 上升的最大高度 。
４mgs•sinθ－mgs
( 势能的减少量
1 （４m+m）v2 =2 = 动能的增加量 )
细线突然断的瞬间，物块B垂直上升的初速度为 ， 垂直上升的初速度为v， 细线突然断的瞬间，物块 垂直上升的初速度为 此后B作竖直上抛运动。设继续上升的高度为h， 由机 此后 作竖直上抛运动。设继续上升的高度为 ， 作竖直上抛运动 械能守恒得
例 6、质量为 1的物体 经一轻质弹簧与下方 、 质量为m 的物体A经一轻质弹簧与下方 地面上的质量为m 的物体B相连 相连， 地面上的质量为 2 的物体 相连 ， 弹簧的劲 度系数为k， 、 都处于静止状态 都处于静止状态， 度系数为 ， A、 B都处于静止状态 ， 一条不 可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A， 可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 ，另 一端连一轻挂钩， 一端连一轻挂钩 ， 开始时各段绳都处于伸直 状态， 上方的绳沿竖直方向 上方的绳沿竖直方向． 状态，A上方的绳沿竖直方向．现在挂钩上挂 一质量为m 的物体C并从静止状态释放 并从静止状态释放， 一质量为 3 的物体 并从静止状态释放 ， 已 知它恰好能使B离开地面但并不继续上升 离开地面但并不继续上升． 知它恰好能使 离开地面但并不继续上升．若 将 C换成另一质量为 1+m3)的物体 ， 仍从 换成另一质量为(m 的物体D， 换成另一质量为 的物体 上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离 上述初始位置由静止状态释放，则这次 刚离 地时D的速度的大小是多少 的速度的大小是多少？ 地时 的速度的大小是多少？已知重力加速度 为g.
A．从A→D位置小球先做匀加速运动后做匀减速运动 从 位置小球先做匀加速运动后做匀减速运动 B．从A→C位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性 ． 位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性 A 势能的增加量 B C．在B位置小球动能最大 ． 位置小球动能最大 C D．在C位置小球动能最大 ． 位置小球动能最大 D
巧用机械能守 恒解决连接体 问题
——段文娟 段文娟
例1：如图示，在光滑的水平桌面上有一质量为 ：如图示，在光滑的水平桌面上有一质量为M 的小车，小车与绳的一端相连， 的小车，小车与绳的一端相连，绳子的另一端通 过滑轮与一个质量为m的砝码相连 的砝码相连， 过滑轮与一个质量为 的砝码相连，砝码到地面的 高度为h 由静释放砝码， 高度为 ，由静释放砝码，则当其着地前的一瞬间 小车末离开桌子）小车的速度为多大？ （小车末离开桌子）小车的速度为多大？
答案：直角尺和两个小球组成的系统机械能守 恒 （1）由 2mg ⋅ 2L = 3mg ⋅ L + 1 ⋅ 2m ⋅ v 2 + 1 ⋅ 3m( v ) 2 解得v = 8gL
2 2 2 11
（2）设B球上升到最高时OA与竖直方向的夹 角为θ，则有
2mg ⋅ 2 L cosθ = 3mg ⋅ L(1 + sin θ )解得 sin θ = 7 / 25