数学建模关于优化问题的论文
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日期： 11 年 8 月 12 日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
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多因素条件下作物施肥效果分析
摘要
本文是关于作物施肥数量与结构的优化问题，根据不同目标对施肥量与肥料搭配比例进行调整，达到各目标的最优。
首先，基于一元线性回归模型，以一种肥料作为自变量，另外两种肥料固定在第七水平，建立了六个一元回归方程，分别研究某一种肥料变化时，该肥料施肥量与产量的关系。根据散点图趋势，初步选取适当的一元函数，为了使散点图更直观准确，将原数据进行无量纲化处理，得到0到1间的值。利用eviews软件进一步对一元函数进行拟合，选取显著性最高的拟合结果，求解时，对非线性的回归方程，通过取对数将其线性化，得到结果后再将其转换成原函数形式，最终得到六个反映施肥量与产量关系的一元回归模型。为了提高六个回归方程整体的显著性，本文以三种肥料的施肥量同时作为自变量，建立三元二次回归模型，检验均通过，并具有高度的显著性，拟合效果较好。
其次，基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归方程的最大值，即产量最大值。比较两个模型的结果，看出，由三元二次回归模型得到的产量更大，其中土豆与生菜产量的最大值分别为44.95t/ha，23.04t/ha。土豆对应的N、P、K肥料的施肥量分别为293.13kg/ha，250.0kg/ha，540.0kg/ha。生菜对应的N、P、K 肥料的施肥量分别为212.06kg/ha，426.91kg/ha，665.69kg/ha。
再次，考虑到施肥的经济性，以产值和施肥费用作为自变量，以总收益作为因变量，建立收益最大化模型。分别基于反映产量与施肥量关系的一元回归模型与三元二次回归模型，进行求解。由一元回归模型得到结果，当生菜K肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，显然不合理，本文以一元二次函数对六个回归方程重新进行拟合，检验看出，显著性不高，但基于新的回归方程得到的结果更加合理，更符合实际情况，具有较高的实用性。基于三元二次回归模型进行求解时，通过（0,0,0,0）点的引入，增加了三种肥料交互影响产生的交叉项，避免了肥料搭配不合理造成的大量浪费。比较两种模型的结果看出，基于三元二次回归方程得到的收益更大，土豆与生菜的最大值分别为102500元/公顷，52023元/公顷。
再次，引入环保因素时，通过两种方法实现，一是基于收益最大化模型，将污染指数作为限制条件，以收益最大为目标，建立线性规划收益最大化模型。二是引入目标偏差变量，以偏差变量之和最小为目标，以污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，以环境指数小于25为前提，追求收益尽量大。比较两种模型的结果看出，多目标规划的的结果更符合本问的要求，土豆与生菜的最大收益值分别为，环境指数为25，属于轻度污染， K肥施肥量超过满意值，但K肥适当增加能够增大收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满意值相差不大，结果比较合理，符合本问的要求。
最后对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。
1.问题的重述
农作物生长所需的营养素主要是氮(N)、磷(P)、钾(K)。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N 的施肥量做实验时，P 与K 的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha。
(1)试分析施肥量与产量之间关系；
(2)试以作物产量最大化为目标，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并求解每公顷土豆和生菜的施肥量的数量和结构；
(3)作物产量最大化，不一定是最经济的，请考虑施肥的经济性，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并根据主要肥料的营养素含量、市场价格情况，以及农产品的价格情况等，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构；
(4)有研究表明，我国大部分地区作物生产的施肥量超过了土地承受能力，除加重农民负担外，土壤退化、江河湖海的富营养化正在成为农业和环境可持续发展的严重障碍。由于施肥给蔬菜带来的污染有两个途径，其一是通过肥料中所含有的有毒有害物质，如重金属、病原微生物等直接对蔬菜或土壤的污染；其二是通过不合理施入大量氮素肥料造成蔬菜体内硝酸盐的过量积累，导致蔬菜品质和口感较差。鉴于以上情况，请在问题(3)的优化模型的基础上，进一步改进你的模型，根据实验数据，并进行合理的数值假定，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构。
(5)对所得模型与结果从如何改进与应用价值与效果等方面做出量化估计。
2.问题的假设
1.假设本文搜到的数据是科学准确的，不会在短期内变动。
2.假设N、P、K三种肥料都是农作物生长的基本肥料要素，本文近似认为如果三种肥料都不施用，农作物没有产量。
3.假设生产的农作物可以以标准价格售出，并且其他因素的支出暂时算入收益考虑。
4.假设土壤中含有N、P、K元素标准，对模型影响忽略不计。
3.符号的说明
主要符号符号意义
N、P、K 氮、磷、钾肥
Y表示施用N肥的产量
N
Y表示施用P肥的产量
P
Y表示施用K肥的产量
K
Y
表示总产量 S
表示蔬菜售价 N b 、P b 、K b
表示N 、P 、K 肥的售价 n 、p 、k 表示施用N 、P 、K 肥的是施肥量
Q 施肥量
N m 、P m 、K m 表示施用N 、P 、K 肥时的收益
M 总体满意度
1m 、2m
为最满意产量值、最满意效益值
4.问题的分析及建模流程图
本问题涉及的是作物施肥数量与结构的优化问题，要解决的问题是如何建立及深
化模型，逐步引入限制因素，达到最优目标，其中如何分配施肥量的数量和结构，达到多目标最优，是需要解决的核心问题。
4.1基本思路
根据N 、P 、K 肥料施肥量与作物产量的数据，构造函数可以拟合出施肥量与产量的关系，该拟合函数的最大值即对应产量的最大值。考虑到施肥的经济性时，通过对产量最大化模型进行改进，以收益最大化为目标，得到收益最大时肥料的使用数量与结构。引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到多目标最优解。
4.2具体分析
问题一：分析施肥量与产量的关系，选取适当的拟合函数是关键，有两种方法。一是以一个肥料的施肥量作为自变量，将另外两个肥料的施肥量保持在第七水平，以产量作为自变量构造六个一元函数，表示三种肥料分别作为自变量时，两种作物施肥量与产量的关系。二是以三种肥料作为自变量，以产量作为因变量，构造三元函数，拟合施肥量与产量的关系。具体的函数拟合结果的求解通过eviews,Matlab 软件实现。
问题二：问题一中拟合函数的最大值即产量的最大值，基于问题一中的模型，通
过求解其产量最大值，得到产量最大时各肥料的施肥量和结构。
问题三：考虑到施肥的经济性，以收益最大化为目标，通过作物产量与售价得到
产值，求解产值时可以基于反映产量与施肥量关系的一元函数，也可以基于三元二次函数。通过施肥量与肥料售价得到施肥成本，以产值与施肥成本作为自变量。以施加肥料产生的收益作为因变量（因其它成本产生的收益为定值，近似忽略不计），构造二元函数。该函数的最大值即为收益的最大值，由此时自变量的值得到肥料使用数量与结构。
问题四：引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到多目标最优解。
问题五：对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。
4.3流程图
5．模型的建立与求解
5.1模型的准备
在长期的实践中，农学家们已经总结出关于作物施肥效果的经验规律，并建立了相应的理论[1]
1. 公理1（Nickla 和Miller 理论）：设h 为达到最高产量时的施肥量，边际产量
dW dx 与()h x -成正比例关系。即()dW a h x dx
=-，从而有 2012W b b x b x =++.
2. 公里2（米采利希学说）：只增加某种养分时，引起产量的增量与该种养分供应充足
时达到的最高产量A 与现在产量W 之差正比。即()dW c A W dx
=-，从而有 (1exp())W A cx =--
5.2问题一
5.2.1一元线性回归模型的选择与建立
为分析施肥量与产量之间的关系，本文以产量y 作为因变量，以施肥量x 作为自变量，建立一元线性回归模型研究两者间的关系，根据散点图的趋势，构造适当的一元函数进行求解。
设y 与x 的函数为：
2i i i f Y a bx cx ε==+++ （1）
其中a ，b 为回归系数，ε为随机误差。
利用最小二乘法求下式成立的函数y
21()min n i
i y y =-=∑ （2）
综上建立如下一元线性回归模型：
2221
,1,2,,()0,(),()()min i i i i i n i i y a bx i n E D a b y y εεεσσ==++=??==?????-=??∑L 回归系数，未知 （3）
5.2.2一元线性回归模型的求解
为了使散点图更直观、准确，将施肥量的数据进行量纲化处理，得到（0，1）间的值。利用Matlab 软件处理数据得到N ，P ，K 的施肥量与土豆和生菜产量的散点图。
图1土豆施肥量与产量的散点图 图2生菜施肥量与产量的散点图
根据散点图趋势，利用eviews 软件进行多次拟合，通过P 、2R 、F 、DW 的检验值进行判定，选取最优的一元函数。得到如下N ，P ，K 的施肥量与土豆和生菜产量的回归模型：
21N i P i t K Y a bn cn Y a bp Y bk εε-?=+++?=++??=?土豆 （4） 2N i t P K
i Y a bn cn Y bp Y a bk εε?=+++?=??=++?生菜（5）
式（4）中的Ki Y 与式（5）中的Pi Y 为一元非线性回归方程，分别对K Y ，P Y 等式两边取对数，使之线性化：
ln ln ln K Y b t k =+ （7）
ln ln ln P Y b t p =+ （8）
利用eviews 软件计算得到:
ln ln16.610.152ln K Y k =+
ln ln 2.5450.353ln P Y p =+
将对数形式化为指数形式计算得到土豆的Ki Y 与生菜的Pi Y 结果。
0.15216.61K Y k = 0.3532.545P Y p =
式（4）与式（5）中的其余方程为一元线性回归方程，可直接利用eviews 软件进行计算，综上得到如下结果：
2
1
0.15214.750.1970.0003442.388252.616.61N P K
Y n n Y p Y k -?=+-?=-??=?土豆 2
0.353
10.230.1010.000242.54516.2710.0047N P K
Y n n Y p Y k ?=+-?=??=+?生菜 结果分析：从回归方程可看出，N Y 为一元二次方程，二次项系数为负数，方程有最大值。随着N 肥用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大，然后当N 肥用量继续增加时，农作物的产量反而会降低。在一定范围内，农作物产量随着P 肥和K 肥的用量的增加一直增加。
5.2.3一元线性回归模型的检验
利用eviews 软件处理数据，得到六组回归方程的检验值如下：
表1 一元回归方程的检验值
作物 肥料 ()a p
()x p 2()x p 2R DW ()P F 土豆 N
0.0000 0.0000 0.0000 0.986290 2.141965 0.000000 P
0.0000 0.0001 0.911479 2.745148 0.000062 K
0.0000 0.0005 0.838049 1.200879 0.000532 生菜 N
0.0000 0.0000 0.0001 0.924907 1.849664 0.000116 P
0.0012 0.0000 0.946020 0.951693 0.000011 K 0.0000 0.0332 0.451954 2.456193 0.033204
其中()a p 、()x p 、2()x p 分别表示方程常数a 、x 前系数b 、2x 前系数c 的检验值。土豆的K Y 与生菜的P Y 为非线性方程，()a p 、()x p 对应其线性形式即式（7）、式（8）中常数ln b 、ln p 前系数t 的检验值。
检验均通过，说明模型的拟合度较高，能够较好地反映施肥量与产量之间关系。 利用Matlab 软件处理原数据与回归方程，得到六组回归方程的实际值与拟合值的对比图，实际值与拟合值基本一致，进一步验证了模型的准确性。
图3土豆N 肥对比图 图4土豆P 肥对比图 图5土豆K 肥对比图
图6生菜N 肥对比图 图7生菜P 肥对比图 图8生菜K 肥对比图
5.2.4模型的改进
表1中回归方程的检验值均通过，六个回归方程并不都具有高度的显著性，生菜K Y 中2R 值为0.451954，与其它五个方程的检验值有较大差异，生菜P Y 中DW 值为0.951693，与理想值相差较大。二次函数能够较好地反映肥料施肥量与产量的关系（公理1），为了提高回归方程整体的显著性，本文将三种肥料的施肥量最为自变量，以农作物的产量作为因变量，拟合成三元二次函数，建立多元回归模型，进一步分析施肥量与产量之间关系。
222112233Y a b n c n b p c p b k c k =++++++ （9）
利用eviews 软件处理数据计算得到土豆与生菜的回归方程结果及检验值：
2252
125252212.04230.18760.000320.08050.0001610.0725 6.76107.45140.09330.000220.0454 3.41100.0257 3.0110Y n n p p k k Y n n p p k k ---=-+-+-+-?=-+-+-?+-?
结果分析：一元回归方程只能反映一种肥料与产量的关系，改进后的模型能
够反映出三种肥料搭配情况的不同对农作物产量造成的影响，避免了多个回归方程显著性的不一致。 由1Y ，2Y 中一次项前的系数可反映各肥料对产量的影响程度，
0.18760.08050.0725>>，0.09330.04540.0257>>。此三种肥料的影响程度
N P K >>。
表2三元二次回归方程的检验值
作物 a ()n p 2()n p ()p p 2()p p ()k p 2()k p 2R DW ()P F 土豆 0.005 0.000 0.000 0.001 0.018 0.000 0.001 0.912 1.479 0.000 生菜 0.011 0.000 0.000 0.000 0.005 0.003 0.020 0.859 1.107 0.000
其中p 表示系数的检验值，检验都通过，从检验值看出两个回归方程均具有
高度的显著性，拟合效果较好。
5.3问题二 :模型的建立及求解
5.3.1基于一元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解
本问只追求高产，则只要求出问题一中拟合出的函数的最大值即可。
分别对问题一中拟合的一元二次回归模型和改进后的三元二次回归模型进行求解。
由原数据散点图及得到的拟合曲线知，N 肥用量较少时，随着N 肥用量增加，农作物产量会增加，到一定用量后达到最大，N 肥继续增加，农作物产量反而会降低。P 肥和K 肥用量对农作物产量的影响随着其用量的增加而一直增加，但P 和K 用量少时，效果显著，当P 和K 达到一定值时，产量增加将不明显，因此基于一元二次回归方程求解产量最大化，可以简化为P 、K 肥固定在较高水平，求解产量最大化时N 肥的施肥量。
本文将P 、K 肥固定在第7水平，利用问题一中土豆与生菜的一元二次回归方程Ni Y 进行求解。
2N i Y a bx cx ε=+++ (10)
求导，令其为零，有
0N Y '= 则，当2i b x c =-
时，Ni Y 取得最大值，即N 肥使用量为2b c
-时，产量最大。 综上得到如下模型：
20/2N i Ni Y a bx cx Y x b c ε?=+++??'=??=-??
(11)
经计算得到P 、K 肥固定在第7水平时，产量最大化的结果。
表3 P 、K 肥施肥量固定最大产量与N 肥施肥量结果
作物
N 施肥量 P 施肥量 K 施肥量 最大产量 土豆
289.70/kg ha 196/kg ha 372/kg ha 43.29/t ha 生菜 210.42/kg ha 196/kg ha 372/kg ha 20.86/t ha 土豆与生菜N 的施肥量分别为289.70/kg ha ，210.42/kg ha 产量最大，最大值分别为43.29/t ha ，20.86/t ha 。此时P 、K 施肥量保持在第七水平，即196/kg ha 与372/kg ha 。
5.3.2基于三元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解
根据改进后的反映三种肥料与产量关系的三元二次函数i Y 求解目标最大值。
222112233Y a b n c n b p c p b k c k =++++++
对土豆与生菜的三元二次1i Y ，2i Y 分别求解其产量最大值与对应的123,,i i i x x x ，三种肥料的施肥量。
2252125252212.04230.18760.000320.08050.0001610.0725 6.76107.45140.09330.000220.0454 3.41100.0257 3.0110i i Y n n p p k k Y n n p p k k ---=-+-+-+-?=-+-+-?+-? 利用Matlab 软件求解得到产量最大时土豆与生菜N 、P 、K 三种肥料的施肥量与最大值如下表：
表4基于三元二次回归方程最大产量与施肥量的求解结果
作物
N 施肥量 P 施肥量 K 施肥量 最大产量 土豆
293.13/kg ha 250.0/kg ha 540.0/kg ha 44.95/t ha 生菜
212.06/kg ha 665.69/kg ha 426.91/kg ha 23.04/t ha
结果分析：以产量最大化为目标，比较两个模型得到的结果，看出，基于三元二次回归方程求解得到的产量最大值更优，因此本问采用表4的结果。
5.4 问题三：模型的建立及求解
5.4.1收益最大化模型的建立
假设当考虑到经济性时，作物产量以收益最大化为目标。使用肥料所带来的收入比用于购买肥料的费用多时，就应该施肥，否则就不应该多施肥。
设某蔬菜的售价分别为S （元/吨），N 、P 及K 化肥的售价分别为,,()N P K b b b 元/吨，
施肥量为n p k 、、（吨/公顷）。 当施肥量为(/)Q t ha 时，对于该蔬菜的产量为：
()w f Q = (12)
该蔬菜施用N 肥料的费用是：
N P K h nb p b k b =++ (13)
其中K N P 、、表示K N P 、、肥料的施肥量。
施加肥料后的总收益为：
(Q)m e Sf h +=- (14)
其中m 表示因施加肥料产生的收益，e 为因其它成本产生的收益。
e 为固定值，本文近似将m 看成总的收益。因此max()m 为本问追求的目标，综上可以得到如下的收益最大化模型
max()(Q)()N P K i
m m Sf h h nb p b k b w f Q Y ??=-?
?=++??==? (15) 5.4.2收益最大化模型的求解
方法1：单独以一种肥料为自变量，产量为因变量，将另外两种肥料固定在第七水平，基于问题一得到的六个一元回归方程进行求解。
方法2：基于以K N P 、、三种肥料为自变量，以产量为因变量的三元二次回归方程进行求解。
5.4.2.1基于一元回归方程收益最大化模型的求解
查找到的肥料与产量价格如下表。
以一种肥料施肥量作物自变量，另外两种肥料施肥量固定在第七水平，将原数据以及肥料与产量价格数据带入模型进行求解，计算得到土豆的收益表达式为：
210.1522200(14.750.1970.00034)(1.56032950.19635000.372)2200(42.388252.6)(15600.259 3.29535000.372)
220016.61(15600.25932950.196 3.5)N P K
m n n n m p p m k k -?=?+--+?+??=?--?++???=?-?+?+?
生菜的收益表达式为：
20.3532400(10.230.1010.00024)(1.5632950.39135000.372)2400(2.545)(15600.224 3.29535000.372)
2400(16.2710.0047)(15600.22432950.391 3.5)N P K
m n n n m p p m k k ?=?+--+?+??=?-?++???=?+-?+?+? 利用Matlab 软件求解max()m 得到如下最大收益结果：
表6作物最大收益与肥料施肥量
作物 收益\施用量 N 肥 P 肥 K 肥
土豆 最大收益(元) 92830 88841 11506 施肥量（kg ） 288.67 410.68 5946
生菜 最大收益（元） 47137 134190 ∞ 施肥量（kg ） 209.06 23154
∞ 其中以一种肥料施肥量作物自变量，另外两种肥料施肥量固定的第七水平值表中没有给出，例如当土豆N 肥的施肥量为288.67(/)kg ha ，P 、K 肥施肥量分别为第七水平值，即196(/)kg ha 、372(/)kg ha 时产量最大。
结果分析：观察表6，看出生菜K 肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，这显然不符合实际情况，因此基于一元线性回归方程收益最大化模型需要改进。
5.4.2.2基于一元二次回归方程收益最大化模型的改进
根据问题中一元线性回归模型的结果，随着N 肥用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大，然后当N 肥用量继续增加时，农作物的产量反而会降低，在一定范围内，农作物产量随着P 肥和K 肥的用量的增加一直增加。结合表5最大收益与肥料施肥量的结果，分析看出，N 、P 肥施肥量固定在第七水平，随着K 肥的施肥量的增加，K 肥成本小于产量收益会造成收益趋近于无穷大。
由问题一得到的反映施肥量与产量关系的一元回归方程如下：
2
10.15214.750.1970.0003442.388252.616.61N Pi Ki Y n n Y p Y p
-?=+-?=-??=?土豆 (15)
2
0.35310.230.1010.000242.54516.2710.0047Ni Pi Ki
Y n n Y p Y k ?=+-?=??=+?生菜 (16)
只有土豆与生菜的Ni Y 为一元二次函数，虽然这六个函数是通过检验值选取的，但
题中数据有限，很可能产生偶然误差，显著性高并不一定能够反映作物的实际规律，根据（公理1），一元二次回归方程能够较好地反映作物产量与施肥量的关系，据此本文以六个一元二次函数重新对土豆与生菜作物产量与施肥量的关系进行拟合。
2f Y a bx cx ε==+++ (17)
利用eviews 软件处理原数据得到如下回归结果与检验值：
2
22()14.750.1970.00034()32.920.0720.00014()24.770.070.000064f N n n f P p p f K k k ?=+-?=+-??=+-?
土豆
2
272()10.230.1010.00024() 6.940.060.000054()16.230.005 6.7210f N n n f P p p f K k k -?=+-?=+-??=+-??
生菜
表7一元二次回归方程检验结果
作物 肥料
()a p ()x p 2()x p 2R DW ()P F 土豆 N
0.0000 0.0000 0.0000 0.986290 2.141965 0.000000 P
0.0000 0.0032 0.0221 0.864483 2.217384 0.000916 K
0.0001 0.0197 0.1109 0.788507 0.843805 0.004350 生菜 N 0.0000
0.0000 0.0001 0.924907 1.849664 0.000116
P 0.0002 0.0001
0.0018 0.958787 1.597617 0.000014 K 0.0000 0.5140 0.9539 0.452235 2.456459 0.121641
其中p 表示系数P 值的检验，生菜中K 的检验值未通过，由图9，生菜施肥量与产量的散点图观察得，散点图各点分布极不规律，本文认为是题中数据有限产生的偶然误差，对此忽略不计。
图9生菜施肥量与产量的散点图
基于收益最大化模型：
777777max(),max(),max()()()()()
()()
N P K N N P K P N P K K N P k m m m m Sf n b n p b k b m Sf p n b b p k b m Sf k n b p b b K ??=-++??=-++??=-++? (18)
利用Matlab 软件求解max()m 得到如下最大收益结果：
表8作物最大收益与肥料施肥量
作物 收益\施用量 N 肥 P 肥 K 肥
土豆 最大收益(元) 92830 90245 93661 施用量（kg ） 288.6631 251.7938 534.4460
生菜 最大收益（元） 47137 53195 48513 施用量（kg ） 209.0625 542.8434 2656
其中以一种肥料施肥量作物自变量，另外两种肥料施肥量固定的第七水平值表中没有给出，例如当土豆N 肥的施肥量为288.67(/)kg ha ，P 、K 肥施肥量分别为第七水平值，即196(/)kg ha 、372(/)kg ha 时产量最大。
结果分析：观察表8，与表6中的结果相比，结果更加合理，更符合实际情况，改进后的模型具有较高的实用性。
5.4.2.3基于三元二次回归方程收益最大化模型的求解
分析表3，表4最大产量与施肥量的结果可以看出，基于如下三元二次回归方程求解造成了肥料大量的浪费。
222112233i Y a b n c n b p c p b k c k =++++++ (19) (0,0,0)f 表示不施肥的产量，为非负数值而利用该函数拟合出来的常数项为
负，并且没有N 、P 、K 交叉相乘的项，没有考虑到三种肥料的交互影响，造成结果中三种肥料搭配不科学情况的出现。因此加入经济因素后再基于该函数求解是不合理的，本文将该函数进行改进。
N 、P 、K 三种肥料都是农作物生长的基本肥料要素，本文近似认为如果三种肥料都不施用，农作物没有产量。由于原点并不在数据的范围，导致了拟合误差。本文在已有数据上增加一个点(0,0,0)，增加N 、P 、K 三种肥料的交叉项。利用Eviews 软件处理原数据与增加的(0,0,0)点对i Y 重新进行三元二次拟合。
得到反映产量与施肥量关系的三元二次方程：
42425241Y 0.1410.080.04310 1.6110 6.7610 1.2510i n p k n p k nk ----=++-?-?-?+?土豆 42525242Y 0.0600.0260.026 2.1910 3.4110 3.01108.5110i n p k n p k np ----=++-?-?-?+?生菜 物
1()i x p 21()i x p 2()i x p 22()i x p 3()i x p 23()i x p 13()x p 12()x p 2R DW 土豆
0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 - 0.95 1.54 生菜
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 - 0.00 0.91 1.11
检验均通过，拟合效果显著。
基于收益最大化模型： max()(Q)()N P K i
m m Sf h h nb p b k b w f Q Y ??=-??=++??==? (20)
利用Matlab 软件计算得到如下结果：
表10作物最大收益与肥料施肥量
作物 最大收益(元) N 肥（kg ） P 肥（kg ） K 肥（kg ） 土豆 102500 363.98 243.80 620.1 生菜 52023 271.39 699.39 407.61
结果分析：比较表8与表10的结果看出，基于改进后的三元二次回归方程求解得到的收益更大，模型更理想。
5.5问题四：模型的选择与建立
5.5.1基于线性规划收益最大化模型的选择与建立
根据文献[3]，化肥污染主要是氮污染，本文近似认为P 、K 肥不会产生污染,在宏观估算农田氮污染时，依据N 肥的施肥量就可以判定N 污染程度，建立了农田氮污染评
价指标体系，为了便于计算，本文选取评价体系的宏观指标，并进行了改善和简化，得到如下的评价指标。
表11氮肥污染程度评价体系表
污染程度 无污染 轻度污染 中度污染 重度污染 强度污染 污染指数 <0 0~25 25~50 50~70 >70 根据文献[4],我国大田作物无污染的施氮量标准为每季150225/kg ha -，此范围的施氮量不会引起氮素的明显流失，称为“平均适宜施氮量”。
基于收益最大化，本文取225/kg ha ，得到污染指数计算公式。
225100%225n η-=
? (21)
以N 、P 、K 肥料的调配比例为作为约束条件，以n 、p 、k 表示三种肥料的施肥量，以N 肥的施肥量表示P 、K 肥的施肥量，得到：
12n p n αα≤≤，12n k n ββ≤≤
其中1α、2α和1β、2β均为常系数，可以进行人为设定。 在此约束条件下，基于效益最大化模型，建立施加肥料的总收益:
(,,)()N P K m Sf n p k b n b p b k =-++ (22)
综上建立如下线性规划收益最大化模型：
max (,,)()N P K m Sf n p k b n b p b k =-++ (23)
1
21212(Q)()(225)/225100%N P K i m Sf h h nb p b k b w f Q Y st n n p n n k n ηηααββ=-??=++??==??=-?≤??≤≤?≤≤?? (24)
5.5.2基于线性规划收益最大化模型的求解
文献[5]，经统计N 、P 、K 肥料施加比例平均为1:0.5:0.4时最有利于作物的生长，考虑到两种作物存在偶然误差，本文将该比例调整1:0.30.7:0.30.5--。
即10.3α=，20.7α=，10.3β= ，20.5β=
以轻度污染作为约束条件，即10η= ，225η=。
根据问题三中的结果分析，通过改进后的三元二次回归方程求解得到的收益更大，模型更理想，因此本文基于如下回归方程求解最大收益。
42425241Y 0.1410.080.04310 1.6110 6.7610 1.2510i n p k n p k nk
----=++-?-?-?+?土豆
42525242Y 0.0600.0260.026 2.1910 3.4110 3.01108.5110i n p k n p k np ----=++-?-?-?+?生菜 利用lingo 软件求解得到收益最大化结果
表12增加环保因素后作物收益最大化结果
作物 收益(元/ha) N 肥（kg/ha ） P 肥（kg/ha ） K 肥（kg/ha ） 污染指数 土豆 77946 281.25 196.88 168.75 25 生菜 26757 244.19 170.93 146.51 8.5 结果分析：比较表12与表10，看出，增加环保因素后，土豆与生菜的最大收益都有所降低，但N 肥的减少降低了污染，属于轻度污染，基本符合要求。
5.5.3多目标规划模型的选择与建立
基于线性规划求解最大收益时，本文以各目标偏差变量之和最低为目标，以污染指
数公式，肥料调配比例作为约束条件，建立多目标规模模型[6]，再结合收益最大化模型
实现多目标求解。
设1d -为未达到环境指标目标的差值, 1d +为超过目标的差值，为使其尽可能不超过25，则有
111min 225()100%25225
d n d d +-+???-+-?=?? (25) 设22,d d +-为磷肥与氮肥使用量比的偏差变量，33,d d +-为钾肥与氮肥使用量比的偏差变量，为使尽可能的接近最优比例，则有
22332233min ()0.500.40
d d d d p n d d k n d d +-+--+-+?+++?-+-=??-+-=? (26)
设44,d d +-为收益的偏差变量，为使收益不小于需要值，有 4442
min (,,)()N P K d Sf n p k b n b p b k d d m --+???-+++-=?? 以各偏差变量之和最小作为目标
112223334min ()F p d p d d d d p d ++-+--=+++++ (27)
其中，123,,p p p 分别为污染程度、施肥比例、收益偏差的权重系数。
对约束条件进行无量纲化处理，处理方法如下：
例如设
ax b c +=
处理得 0ax b c c
+-= 将约束条件无量纲化处理后得到如下多目标规划模型：
112223334min ()F p d p d d d d p d ++-+--=+++++ 1122332442225(0.25)/0.2502250.500.50.400.4(,,)()0,,,,0,1,2,3,4N P K j j n d d p n d d n k n st d d n
Sf n p k b n b p b k m d d m n p k d d j -+-+-+-++
--?-+-=??-?+-=??-?+-=??-++-?+-=???≥=??
(28)
5.5.4多目标规划模型的求解
基于我国土壤退化十分严重的国情，本文以环境指数25η≤前提，追求最大收益，令土地被污染程度偏差的权重系数1100p =，三种肥料搭配比例偏差的权重系数21p =，农作物收益偏差权重系数310p =。
由 25225100%225n ηη≤??-?=???
计算得到N 肥施肥量的满意范围，以 1:0.5:0.4作物N 、P 、K 肥料的最佳搭配比例，根据此比例计算得到P 、K 肥施肥量的满意范围，以表10得到的最大收益结果作为满意值，综上经计算得到表13两种作物各目标满意值，最终结果若符合表13中的各目标满意值，则结果符合要求。
表13作物各目标满意值
作物 N 肥（kg/ha ） P 肥（kg/ha ） K 肥（kg/ha ） 收益(元/ha) 环境指数
土豆 281.25≤ 140.625≤ 112.4≤ 100000
25≤ 生菜 281.25≤ 140.625≤ 112.4≤ 52000
25≤ 利用lingo 软件计算得到表14土豆与生菜各目标的实际值。
表14多目标规划结果 作物 N 肥（kg/ha ） P 肥（kg/ha ） K 肥（kg/ha ） 收益(元/ha) 环境指数 土豆 281.25 143.41 245.28 82116 25 生菜 281.25 140.625 485.33 44627 25
结果分析：环境指数为25，属于轻度污染， K 肥施肥量超过满意值，但K 肥适当增加能够增大收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满意值相差不大，结果比较合理，符合本问的要求。
5.6问题五：基于层次分析法与多目标规划评价模型的选择与建立
利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度可以得到多目标
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2011数学建模A题优秀论文
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数学建模结课论文 数学建模对我而言是一个很难得东西，不过我耐心的仔细研究了一番发现，虽然一开始是有些困难，但是却是一个很实用的东西，后来建立起模型后事情会变得简单得多。 我百度了一下数学建模的定义，它是这么说的：当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 我所学习的专业是地质学。近些年来，数学也向地质学慢慢渗
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数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
数学建模论文
数学建模课程论文题目：解决我国房屋泡沫 专业班级： 姓名： 学号： 任课老师： 20 年月日
题目 解决我国房屋泡沫 近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论： 1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析； 2．通过分析找出影响房价的主要因素； 3．给出抑制房地产价格的政策建议； 4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。 目录 数学建模课程论文 (1) 题目 (2) 目录 (2) 摘要： (3) 关键词： (3) 问题重述 (3) 问题分析 (3) 合理假设： (6) 符号说明： (6) 模型的建立及求解 (6) 模型的检验及应用 (10) 结论与小结 (15) 参考文献： (15)
摘要：房价作为一种价格杠杆，在引导房地产可持续发展和抑制房地产泡沫将起到积极的作用。科学合理地制定房价，对房地产的发展具有重要意义。本文先从产生房地产泡沫的原因谈起，找出影响房产的相关因素，然后从房地产开发商和消费者两个方面展开讨论，得出两个不同的模型。模型一从开发商的角度建立模型，运用定性的分析方法，分析一个商场中只有一个房地产开发商，两个开个商和多个开发商的情况，运用博弈论的方法给出不同的模型，给出一个从特殊到一般的数学模型，并运用相关的经济理论进行解释；模型二从消费者的角度建立模型，运用有效需求价格，动态地确定消费者的房价的范围。在此基础上，采用一元线性回归，通过推导出的模型和运用大量的数据对模型的进行验证和分析，得出房价与其中几个主要因素的关系： 主要因素回归方程复相关系数R GDP与房价0.98135 人口密度与房 0.55250 价 人均可支配收 0.93943 入与房价 影响当前房价的主要因素，如社会因素包括国民经济的发展水平、相关税费、居民的收入、政策导向、社区位置等，自然因素包括地价、建安成本和开发商利润等；并在分析影响房价的诸多因素之后，提出了八点政策性建议。 综上所述，运用我们的模型得出相应的房价，然后利用我们相应的政策作为指导，我国的房地产不但会抑制房地产泡沫问题，而且我国的房地产市场将得到持续健康地发展。 关键词：房地产泡沫、回归分析、有效需求模型、GDP、市场 问题重述 近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析； 2．通过分析找出影响房价的主要因素； 3．给出抑制房地产价格的政策建议； 4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。 问题分析 所谓房地产泡沫就是指房地产商品的预期价格被大大的高估，从而导致各类投机资本的纷纷进入，通过恶性炒作将现期房地产价格大大抬高。使其价格远远高于其实际价值，从而产生房地产泡沫。 房地产的基本载体是土地。由于土地的不可再生性、稀缺性与供给无弹性将决定土地的升值性。从而使房地产也具有升值趋势。正是由于这一因素才会导致各类房地产投机者进行投机。土地市场是整个社会市场体系中市场等级较低的基础市场之一，因此社会经济的泡沫现象往往先出现在土地市场，然后泡沫向其他市场输出，并最终沉淀在土地市场，因此泡沫
美国大学生数学建模竞赛优秀论文翻译
优化和评价的收费亭的数量 景区简介 由於公路出来的第一千九百三十，至今发展十分迅速在全世界逐渐成为骨架的运输系统，以其高速度，承载能力大，运输成本低，具有吸引力的旅游方便，减少交通堵塞。以下的快速传播的公路，相应的管理收费站设置支付和公路条件的改善公路和收费广场。 然而，随着越来越多的人口密度和产业基地，公路如花园州公园大道的经验严重交通挤塞收费广场在高峰时间。事实上，这是共同经历长时间的延误甚至在非赶这两小时收费广场。 在进入收费广场的车流量，球迷的较大的收费亭的数量，而当离开收费广场，川流不息的车辆需挤缩到的车道数的数量相等的车道收费广场前。因此，当交通繁忙时，拥堵现象发生在从收费广场。当交通非常拥挤，阻塞也会在进入收费广场因为所需要的时间为每个车辆付通行费。 因此，这是可取的，以尽量减少车辆烦恼限制数额收费广场引起的交通混乱。良好的设计，这些系统可以产生重大影响的有效利用的基础设施，并有助于提高居民的生活水平。通常，一个更大的收费亭的数量提供的数量比进入收费广场的道路。 事实上，高速公路收费广场和停车场出入口广场构成了一个独特的类型的运输系统，需要具体分析时，试图了解他们的工作和他们之间的互动与其他巷道组成部分。一方面，这些设施是一个最有效的手段收集用户收费或者停车服务或对道路，桥梁，隧道。另一方面，收费广场产生不利影响的吞吐量或设施的服务能力。收费广场的不利影响是特别明显时，通常是重交通。 其目标模式是保证收费广场可以处理交通流没有任何问题。车辆安全通行费广场也是一个重要的问题，如无障碍的收费广场。封锁交通流应尽量避免。 模型的目标是确定最优的收费亭的数量的基础上进行合理的优化准则。 主要原因是拥挤的
数学建模优秀论文范文
数学建模优秀论文范文 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点: 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须
依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的 发展空间和潜力。 二、数学应用题如何建模 建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次: 第一层次:直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为: 将题材设条件翻译 成数学表示形式 应用题审题题设条件代入数学模型求解 选定可直接运用的 数学模型 第二层次:直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对 应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需 进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次:多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干 个数学模型方能解决问题。 第四层次:假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模 型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。 三、建立数学模型应具备的能力 从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过 程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解 题质量，同时也体现一个学生的综合能力。 3(1提高分析、理解、阅读能力。
全国数学建模优秀论文
上海世博会影响力的定量评估 摘要 本文主要针对世博会对上海市的发展产生的影响力进行定量评估。 在模型一中，首先我们从上海的城市基础设施建设这一侧面定量评估世博会对上海市的发展产生的影响，而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。所以 我们运用层次分析法，构造成对比矩阵a ，找到最大特征值λ，运用1 n CI n λ-=-进行一致 性检验，这样对成对比矩阵a 进行逐步修正，最终可以确定权向量。再运用模糊数学的综合评价法，通过组合权向量就可以得出召开世博会比没有召开世博会对上海城市基本设施建设的影响要高出40%。 在模型二中，上海世博会的影响力直接体现在GDP 上，我们直接以GDP 这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。因此我们运用线性回归的模型预测出在有无上海世博会这两者情况下的GDP 的值，并将运用线性回归得到的数据与上海统计年鉴中的相关数据进行比较运算，算出误差在1.2%左右，这说明我们用线性回归得到的模型能准确地反映出世博会对上海GDP 的影响。运用公式21 1 100%Q Q Q η-=?可以计算出世博对上海GDP 的影响力的大小为1983417833 100%11.2%17833 η-= ?=。 关键词：层次分析法 模糊数学 线性回归 城市基础建设 GDP
1 问题重述 2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。 2 问题分析 对于模型一，为了定量评估2010年上海世博会的影响力，我们首先选取城市基础设施建设的投入这一个侧面，因为通过查找相关数据，我们发现，城市基础设施建设的投入在上海整个GDP的增长中占有很大的比重，对GDP的贡献占主体地位。而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。为此，我们通过研究上海统计局的相关数据，使用层次分析法来评估世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，目标层为世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，准则层依次为电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设，方案层依次为没有召开世博时的影响、召开世博时的影响。首先我们通过层次分析法算出电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设的相对权重，然后应用模糊数学中的综合评价法对上海世博会对城市基础设施建设的影响作出综合的评价，应用综合评价法计算出没有召开世博和召开世博两种情况下的权重，从而得出上海世博会的召开对城市基础设施建设的影响。 对于模型二，直接以GDP这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。先根据上海没有申办世博会的GDP总额的相关数据，建立线性回归模型，由此预测不举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额；再由2002年至2009年的GDP值用线性回归预测出举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额，并将两种情况进行对比得出世博会对上海GDP的影响。 3 模型假设 3.1假设非典和奥运等重大事件对世博前的城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。 3.2 假设不同时期国家的经济实力不同，对城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。 3.3 假设我们查到的数据真实可靠。 4符号说明 CI为一致性指标； RI为随机一致性指标； CR为一致性比率； λ为成对比较矩阵的最大特征值； () 1,2,3,4,5 y i=分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设2010 i 年各项投入金额的理论预测值；
2014年数学建模国家一等奖优秀论文设计
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等） 与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3.
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
数学建模实践课论文
学生实习报告 课程编号：C01061 课程名称：数学建模实用技术基础 学号： 姓名： 专业班级：机自1501 所在学院：工程分院 报告日期：2017 年8 月13 日
注：学生的实习总结等文档附在本封面之后
摘要 数学建模实用技术应用基础系列课程给我最大的收获不是学会简单地使用软件、知道一些简单的建模方法，而是每一位老师课前的介绍。老师们的课前介绍告诉我统计学的浩瀚。这篇文章除了阐述抑或叫记录老师讲的我觉得比较重要的知识点，还有我自己根据老师的思路自己课外做的实例。 第一、二天讲的是关于文献查找的内容，印象最深刻还是NoteExpress的好用之处，除此之外还知道了一些常用的找文献的网站。之后林老师讲的随机模拟对数学知识的储备要求比较高。用excel的函数来做随机模拟无疑是非常快捷方便的办法。KNN算法的思想对我而言很新奇，个人感觉和神经网络有点异曲同工之处。康老师讲的关于MATLAB、LINGO软件的操作非常有用，相当于数学建模公选课的浓缩。戴老师对matlab的更进一步的讲解，包括计算方法让我印象非常深刻。如果说之前我在门外徘徊，从这堂课开始我才正视用matlab进行真正的编程操作。matlab有很多计算方程的函数，这些都可以用help能够找到。之后在张老师的指导下，学会了用spss的简单操作，也对聚类分析、降维有了初步的认识。同时，张老师还讲了主成分分析和因子分析，用来解决多元统计系列问题。黄老师的二维三维图形绘制的课也让我对数学建模论文的插图有了进一步的想法。关于科技论文的写作更是让我有规范论文格式的意识。最后，王老师介绍了MATLAB的工具箱。我意识到了站在前人肩膀上的重要性。 总之此次数学建模培训让我明白数学建模四个字的含义，将问题转化为数学问题然后运用成熟的算法将之解决。 关键字：MATLAB LINGO SPSS 多元统计
数学建模B题优秀论文
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王静茹 2. 杨曼 3. 朱元霞 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 2010年上海世博会经济影响力的定量评估 摘要 本文选取2010年上海世博会对上海经济的影响作为研究对象，首先，我们选择了 五届影响力较大的世博会与上海世博会进行了定量的纵向评估。 利用互联网的相关数据，运用层次分析法确定了各级评价指标的相对权重，然后 利用模糊综合评判法给这六届世博会的经济影响力进行了定量评估，利用MATLAB 计算出了1933年芝加哥世博会以来六届综合性世博会的经济影响力的综合评分依次为 75.12、80.01、80、11、77.35、79.35、80.75，由表我们可以肯定上海世博会的经济影响力是继1851年伦敦世博会以来较强的。 其次我们采用投入——产出模型模型的核心思想，以年份与GDP 的对数值的二次 相关关系和上海市社会固定资产总投入与GDP 的对数值的线性关系，利用上海统计年鉴发布的数据，分别建立无世博影响的表达式i i i x x x e Q 21210904.01117.00032.06278.81-++=，与有世博影响的表达式i i i x x x e Q 21212955.00176.00019.01211.82+-+=，两式的预测误差均在1.1%以内。与 2008年真实值比较，用表达式1Q 预测2008年的GDP 的值可以得出世博会对2008年上海市经济贡献率达到20.9%。并且在得知申办世博会后第i 年上海市固定投入总额的前提下由%1002 12?-=Q Q Q η可求出世博会对上海地区经济的持续性积极影响。如假设2011年市固定资产总投资为5600亿元，则世博会对上海经济有16%的积极影响。 最后,经过对2010年上海世博会的经济影响力的两方面的评估,我们得知上海世博 会在历届世博会的经济影响力的综合评分中是最高的。由此得出,上海世博会对上海经济的影响力是非常大的,此次世博会除了对上海的直接收益影响明显外, 世博会对上海地区经济的持续性积极影响。 关键词：层次分析 模糊综合评判 投入——产出模型 回归模型 一、问题重述 2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。 二、问题分析
数学建模课程论文
数学模型课程论文 题目：企业利润合理的分配 【摘要】 本文针对企业利润合理的分配进行建立层次分析模型。首先将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即企业利润的合理分配，最下层为方案层，有 P1，P2，P3三个分别为：为企业员工发年终奖金，扩建集体福利设施，引进高薪技术人才和设备。中间为准则层，有调动员工的积极性，提高企业质量，改善企业员工的生活条件。然后用成对比较法得出成对比较矩阵，运用Matlab软件求出特征值和权向量。求出组合权向量，进行一致性检验。最后得出组合权向量为：（0.5020,0.3546,0.1434）。结果表明方案在企业员工发年终奖金的权重大些，所以资金的合理分配为： 企业员工发年终奖金、扩建集体福利设施和引进高薪技术人才和设备资金的比例为：0.5020：0.3546：0.1434 。 关键词：层次分析法；Matlab软件；企业利润；合理分配；
问题重述 某企业由于生产效益较好，年底取得一笔利润领导决定拿出一部分资金分别用于，（1）为企业员工发年终奖金；（2）扩建集体福利设施；（3）引进高薪技术人才和设备；为了促进企业的进一步发展，在制定分配方案时，主要考虑的因素有:调动员工的积极性，提高企业质量，改善企业员工的生活条件。主要问题为年终奖发多少？扩建集体福利和设施支出多少？拿多少资金用于引进高薪技术人才和设备。试建立层次分析法模型，提出一个较好的资金分配方案。 一、问题分析 首先将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即企业利润的合理分配， 最下层为方案层，有P 1，P 2 ，P 3 三个分别为：为企业员工发年终奖金，扩建集 体福利设施，引进高薪技术人才和设备。中间为准则层，有C 1 调动员工的积极 性，C 2 提高企业质量，C 3 改善企业员工的生活条件。将方案层对准则层的权重 及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重，在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。用成对比较法得出成对比较矩阵，运用Matlab软件[1]求出特征值和权向量[2]。求出组合权向量，进行一致性检验。最后得出组合权向量。
全国大学生数学建模竞赛b题全国优秀论文
基于打车软件的出租车供求匹配度模型研究与分析 摘要 目前城市“出行难”、“打车难”的社会难题导致越来越多的线上打车软件出现在市场上。“打车难”已成为社会热点。以此为背景，本文将要解决分析的三个问题应运而生。 本文运用主成分分析、定性分析等分析方法以及部分经济学理论成功解决了这三个问 题，得到了不同时空下衡量出租车资源供求匹配程度的指标与模型以及一个合适的补贴 方案政策，并对现有的各公司出租车补贴政策进行了分析。 针对问题一，根据各大城市的宏观出租车数据，绘制柱形图进行重点数据的对比分 析，首先确定适合进行分析研究的城市。之后，根据该市不同地区、时间段的不同特点 选择多个数据样本区，以数据样本区作为研究对象，进行多种数据（包括出租车分布、 出租车需求量等）的采集整理。接着，通过主成分分析法确定模型的目标函数、约束条 件等。最后运用spss软件工具对数据进行计算，求出匹配程度函数F 与指标的关系式， 并对结果进行分析。 针对问题二，在各公司出租车补贴政策部分已知的情况下，综合考虑出租车司机以 及顾客两个方面的利益，分别就理想情况与实际情况进行全方位的分析。在问题一的模 型与数据结果基础上，首先分别从给司机和乘客补贴两个角度定性分析了补贴的效果。 重点就给司机进行补贴的方式进行讨论，定量分析了目前补贴方案的效果，得出了如果 统一给每次成功的打车给予相同的补贴无法改善打车难易程度的结论，并对第三问模型 的设计提供了启示，即需要对具有不同打车难易程度和需求量的区域采取分级的补贴政 策。 针对问题三，在问题二的基础上我们设计了一种根据不同区域打车难易程度和需求
量来确定补贴等级的方法。设计了相应的量化指标，以极大化各区域打车难易程度降低 的幅度之和作为目标，建立该问题的规划模型。目的是通过优化求解该模型，使得通过 求得的优化补贴方案，能够优化调度出租车资源，使得打车难区域得到缓解。通过设计 启发式原则和计算机模拟的方法进行求解，并以具体案例分析得到，本文方法相对统一 的补贴方案而言的确可以一定程度缓解打车难的程度。 关键词：主成分分析法，供求匹配度，最优化模型，出租车流动平衡 1
数学建模论文
我们的数学建模课 摘要：数学建模设一门很有趣的课程，也值得大家好好思考。学完 之后，我就试了一下两道题目，一个是狼找兔子，另一个是设置输 油管的布置，写出了自己思考的过程。对于老师讲的课程，我抱有 很大的兴趣，也希望以后将这种思维运用到以后的学习工作中去。 关键词：数学建模编号位置费用 最初接触数学建模是又一次在五羊广场看到一个数学建模的比赛，听到这个 名称我就感到很好奇，也很想参加比赛。后来的故事当然顺理成章，我选了这 门课程，但同学们的反应却很惊讶，“干嘛选这种课程啊”、“你简直就是一 怪人”、“这种课程应该很难吧！”，各种质疑声铺天而来，我也很吃惊，想 着有必要嘛，不就是选了数学建模嘛！因为感兴趣，所以我选了这门课程！因 为好奇，我还是选了这门课程！也许这就是大学设置课程的好处吧！ 很多与数学有关的东西，我都有很大兴趣，但是我的专业是劳动与社会保障，主要方向是人力资源管理和劳动关系，由于很多东西不甚了解，也并不喜欢做 那些文字性的东西。例如将绩效考评用模型来进行评估或者评价某一项管理好坏，总的来说这些东西对我来说都比较虚，不如数字来得直白。数据更能容易 引起我的关注，也比较喜欢做这一类的题目。如果将论文联系到我的专业的话，那实在是没什么想法，我想换另外一种方式，那就思考一些题目。 一：狼追兔子的故事 一只兔子躲进了10个环形分布洞的某一个中，狼在第一个洞中没有找到兔子，就隔一个洞，到第三个洞去找，也没有找到，就间隔两个洞，到第六个洞去找，以后每次多一个洞去找兔子…这样下去，如果狼一直找不到兔子.请问兔子可能躲在哪个洞中？给出算法步骤，并编程求出结果 求解过程： 洞是环形结构的，将十个洞分别编号：1、2、3、、、、9、10，在狼第一圈找兔子的时候，狼找洞的序号是1、3、6、10，在第二圈的时候是5，由于十个数字是环形的，我们可以直接用数字计算，而计算超过十所得数据的尾数就是落到那个洞的洞号。即在第二圈我们可以计算出一个数字15，而洞的编号就是5也就是15的个位数字，以后的狼没跳到一个洞口，我们都可以计算一个数据，规则同上。 ……………… 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 ………….. 箭头表示的是下面两个数字的差值。两个相邻数字的差额成等差数列， 公差是一。 a a a 设N个数据为12.....n
数学建模优秀论文模板(全国一等奖模板)
Haozl觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆ ※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 Excel中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意Excel表格插入到word的方式在Excel中复制后，粘贴，word2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 Dsffaf 所有软件名字第一个字母大写比如E xcel 所有公式和字母均使用MathType编写 公式编号采用MathType编号格式自己定义
农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用matlab 软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用MATLAB 软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用MATLAB 编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用matlab 软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用MATLAB 软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；MATLAB ；误差分