常微分方程----第一章-绪论PPT课件
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第一章 绪 论 本章主要内容
1.1 常微分方程的有关模型 1.2 常微分方程的有关概念 1.3 微分方程的发展历史
3、微分方程解析理论
由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了 解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）的表示成级数形式， 并引进 特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，并 使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了、微分方程解析 理论。
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4、微分方程的数值解法 5、微分方程的定性和稳定性理论
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程 用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、 欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日 等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。同时， 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组 合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的 影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用 及理论研究提供了非常有力的工具。
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一、常微分方程模型
例 1 试求作一曲线y=f(x)，使在其上每一点(x, y)处的切线斜率均是该点横坐标的2倍，且 过点(1, 2)。
例 2 物体冷却问题 将某物体置于空气中，在t＝0时刻时，
测得它的温度为u0=150oC。10分钟后测得 它的温度为u1=100oC ，试确定该物体温度 u与时间t的关系，并计算20分钟后该物体的 温度。这里假定空气的温度始终保持为 ua=24oC 。
下端系一质量为m的摆锤的简单机械装置。 开始时将单摆拉开一个小角度φ0，然后放 开，使其在摆锤的重力作用下在垂直平面 上摆动。试建立单摆的运动方程。
此外，还有人口模型、传染病模型、生物 种群模型等
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二、微分方程的基本概念和发展历史
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
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牛顿研究天体力学和 机械力学的时候，利用 了微分方程这个工具， 从理论上得到了行星运 动规律。后来，法国天 文学家勒维烈和英国天 文学家亚当斯使用微分 方程各自计算出那时尚 未发现的海王星的位置。 这些都使数学家更加深 信微分方程在认识自然、 改造自然方面的巨大力 量。
1900年，希尔波特提出的23个问题中的Biblioteka Baidu16 个问题之一，至今未解决。
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四、微分方程的讲授内容（学时64）
1、基本概念 2 、一阶微分方程的初等解法 3、微分方程解的存在性理论 4、高阶线性方程 5、线性微分方程组 6、微分方程的定性稳定性理论初步
五、微分方程的教材特点
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三、微分方程的研究方法
研究微分方程的一般五种方法
1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解， 常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少
的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。
2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、
延展性、解对初值的连续性和可微性问题。
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课程评分方法 (Grading Policies)
Lecture Grade (100) = Daily Grade (20) + Final Exam (80)
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二、如何学习常微分方程 ?
1. 课前预习, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
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在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程 完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下 自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行 的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅 与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
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例3 R－L－C电路问题。 如图所示，R－L－C电路是由电阻R、电感 L、电容C和电源E串联组成的电路。其中， R、L、C常数，电源电动势是时间t的已知 函数：E=e(t)。试建立当开关K合上后电流 I(t)应满足的微分方程。
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例4 单摆运动问题 单摆是一根长为l的线段的上端固定而
常微分方程 Ordinary Differential Equation
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教材 (Text Book) <<常微分方程 >> （第三版）
王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编 高等教育出版社
参考书目 (Reference) ➢《常微分方程》 东北师范大学数学系编 高等教育出版社 ➢《常微分方程》（山东师范大学数学系）庄 万 黄启宇等编，山东科学技术出版社
马克思
2. 认真听课，养成正确的学习习惯.
华罗庚
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
3. 课后复习，锻造扎实的学习基础.
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常微分方程的基本情况介绍
常微分方程是数学分析或基础数 学的一个组成部分，现代数学的一个 重要分支，是人们解决各种实际问题 的重要工具，它在生命科学、几何、 力学、物理、电子技术、航空航天和 经济领域等都有着广泛的应用。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的 基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函 数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含 未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未 知函数的表达式－－－即求解微分方程。
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微分方程差不多是和微积分同时先后产生的， 在公元17世纪，苏格兰数学家耐普尔创立对数的 时候，就讨论过微分方程的近似解。
第一章 绪 论 本章主要内容
1.1 常微分方程的有关模型 1.2 常微分方程的有关概念 1.3 微分方程的发展历史
3、微分方程解析理论
由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了 解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）的表示成级数形式， 并引进 特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，并 使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了、微分方程解析 理论。
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4、微分方程的数值解法 5、微分方程的定性和稳定性理论
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程 用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、 欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日 等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。同时， 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组 合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的 影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用 及理论研究提供了非常有力的工具。
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一、常微分方程模型
例 1 试求作一曲线y=f(x)，使在其上每一点(x, y)处的切线斜率均是该点横坐标的2倍，且 过点(1, 2)。
例 2 物体冷却问题 将某物体置于空气中，在t＝0时刻时，
测得它的温度为u0=150oC。10分钟后测得 它的温度为u1=100oC ，试确定该物体温度 u与时间t的关系，并计算20分钟后该物体的 温度。这里假定空气的温度始终保持为 ua=24oC 。
下端系一质量为m的摆锤的简单机械装置。 开始时将单摆拉开一个小角度φ0，然后放 开，使其在摆锤的重力作用下在垂直平面 上摆动。试建立单摆的运动方程。
此外，还有人口模型、传染病模型、生物 种群模型等
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二、微分方程的基本概念和发展历史
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
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牛顿研究天体力学和 机械力学的时候，利用 了微分方程这个工具， 从理论上得到了行星运 动规律。后来，法国天 文学家勒维烈和英国天 文学家亚当斯使用微分 方程各自计算出那时尚 未发现的海王星的位置。 这些都使数学家更加深 信微分方程在认识自然、 改造自然方面的巨大力 量。
1900年，希尔波特提出的23个问题中的Biblioteka Baidu16 个问题之一，至今未解决。
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四、微分方程的讲授内容（学时64）
1、基本概念 2 、一阶微分方程的初等解法 3、微分方程解的存在性理论 4、高阶线性方程 5、线性微分方程组 6、微分方程的定性稳定性理论初步
五、微分方程的教材特点
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三、微分方程的研究方法
研究微分方程的一般五种方法
1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解， 常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少
的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。
2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、
延展性、解对初值的连续性和可微性问题。
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课程评分方法 (Grading Policies)
Lecture Grade (100) = Daily Grade (20) + Final Exam (80)
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二、如何学习常微分方程 ?
1. 课前预习, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
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在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程 完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下 自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行 的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅 与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
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例3 R－L－C电路问题。 如图所示，R－L－C电路是由电阻R、电感 L、电容C和电源E串联组成的电路。其中， R、L、C常数，电源电动势是时间t的已知 函数：E=e(t)。试建立当开关K合上后电流 I(t)应满足的微分方程。
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例4 单摆运动问题 单摆是一根长为l的线段的上端固定而
常微分方程 Ordinary Differential Equation
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教材 (Text Book) <<常微分方程 >> （第三版）
王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编 高等教育出版社
参考书目 (Reference) ➢《常微分方程》 东北师范大学数学系编 高等教育出版社 ➢《常微分方程》（山东师范大学数学系）庄 万 黄启宇等编，山东科学技术出版社
马克思
2. 认真听课，养成正确的学习习惯.
华罗庚
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
3. 课后复习，锻造扎实的学习基础.
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常微分方程的基本情况介绍
常微分方程是数学分析或基础数 学的一个组成部分，现代数学的一个 重要分支，是人们解决各种实际问题 的重要工具，它在生命科学、几何、 力学、物理、电子技术、航空航天和 经济领域等都有着广泛的应用。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的 基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函 数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含 未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未 知函数的表达式－－－即求解微分方程。
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微分方程差不多是和微积分同时先后产生的， 在公元17世纪，苏格兰数学家耐普尔创立对数的 时候，就讨论过微分方程的近似解。