随机事件及其概率分布
概率与统计中的随机事件与分布
概率与统计中的随机事件与分布概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的发生概率以及这些事件的分布规律。
无论在自然科学领域还是社会科学领域，概率与统计都扮演着至关重要的角色。
本文将探讨概率与统计中的随机事件与分布，以便更好地理解这一领域的基本概念与原理。
一、随机事件与概率随机事件是指在一系列可能结果中某一结果的发生，它在大多数情况下无法精确预测。
例如，抛一枚硬币的结果就是一个随机事件，它可能是正面朝上或者反面朝上。
概率则是描述随机事件发生可能性的数值，它通常以0到1之间的小数表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率的计算可以通过频率和理论两种方法进行。
频率方法是通过实验统计事件发生的频率来估计概率，例如通过多次抛硬币实验来计算正面朝上的概率。
理论方法是基于理论推导来计算概率，例如在一枚公正硬币的抛掷中，正面朝上和反面朝上的概率应该均为0.5。
二、概率分布概率分布是描述随机事件结果的概率分布情况。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布两种。
离散概率分布是指随机事件结果有限且可数的分布。
最经典的离散概率分布是二项分布，它描述了在n次独立重复试验中成功事件发生k次的概率。
例如，抛n次硬币，正面朝上k次的概率就可以用二项分布进行描述。
连续概率分布是指随机事件结果为无穷多可能值中的某一值的分布。
最常见的连续概率分布是正态分布，也被称为高斯分布。
正态分布具有钟型曲线的形状，均值和标准差决定了分布的中心位置和形状。
除了二项分布和正态分布，还有泊松分布、几何分布、指数分布等常见的概率分布。
每种概率分布都有其特定的概率密度函数或者累积分布函数来描述。
三、随机变量与期望值随机变量是对随机事件结果进行数值化的变量。
离散随机变量和连续随机变量分别对应着离散概率分布和连续概率分布。
随机变量可以用于描述随机事件结果的取值，进而研究相应的统计规律。
期望值是随机变量的一个重要指标，表示随机变量取值的平均水平。
随机事件的概率及分布教
离散型随机变量与分布【知识梳理，考点分析】离散型随机变量分布的概念1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做________.常用希腊字母ξ、η等表示2、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做_____________.3、连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做_____________.4、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列 5、分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴;,2,1,0 =≥i P i⑵_.121=++ P P几种特殊的分布：1、两点分布2、超几何分布:设一批产品共有N 个，其中有M 个次品，现从中任取n 个（n N M ≤-）,则这n 个产品中所含的次品数X 是一个离散型随机变量，X 所有可能的取值为0，1，2，…，j , ( 其中{}min ,j M n =)，其概率分布为：n N k n M N k M C C C k X P /)(--== （k =0,1,2,…, j ），3、二项分布：如果随机变量X 所有可能取的值为0，1，2，…，n ，它的分布律为k n k k n p p C k X P --==)1()(，(k = 0，1，2，…，n )，其中0 < p < 1为常数，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记为),(~p n B X 。
4、几何分布：从一批次品率为p （01p <<）的产品中逐个地随机抽取产品进行检验，验后放回再抽取下一件，直到抽到次品为止。
高中数学高考73第十二章 概率、随机变量及其分布 12 1 事件与概率、古典概型
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000元和4 000元， 所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆 中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000 元的概率. 解 设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”， 由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)， 而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)， 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为12040＝0.24， 由频率估计概率得P(C)＝0.24.
6.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相 1
等，那么每一个基本事件的概率都是_n_；如果某个事件A包括的结果有m个， m
那么事件A的概率P(A)＝_n_.
7.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝_____基__本__事__件__的__总__数______.
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
Байду номын сангаас
解 这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格 数据知，
1234567
概率分布函数分析随机事件发生的概率分布情况
概率分布函数分析随机事件发生的概率分布情况概率分布函数是描述随机事件发生概率分布情况的一种数学工具。
通过概率分布函数，我们可以了解到不同随机事件发生的概率以及事件发生的可能性大小。
本文将从概率分布函数的定义、应用领域和常见概率分布函数等方面进行探讨。
一、概率分布函数的定义概率分布函数（Probability Distribution Function，PDF）是描述随机事件的概率分布情况的函数，记作F(x)。
对于连续型随机变量，概率分布函数定义为随机变量小于等于某个特定值x的概率，即：F(x) = P(X ≤ x)对于离散型随机变量，概率分布函数定义为随机变量等于某个特定值x的概率，即：F(x) = P(X = x)二、概率分布函数的应用领域概率分布函数在概率论、统计学以及各个相关领域具有广泛应用。
它可以帮助我们理解和分析随机事件发生的规律，为决策和预测提供依据。
常见的应用领域包括但不限于金融风险评估、市场预测、自然科学研究等。
三、常见概率分布函数1. 伯努利分布伯努利分布是一种离散型概率分布函数，用于描述只有两个可能结果的随机试验，如投硬币正反面、成功或失败等。
伯努利分布的概率分布函数为：P(X = x) = p^x(1-p)^(1-x)其中，p为事件发生的概率，x为取值0或1。
2. 二项分布二项分布是一种离散型概率分布函数，是由n个独立的伯努利试验组成，其中每个试验的成功概率为p。
二项分布的概率分布函数为：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
3. 正态分布正态分布是一种连续型概率分布函数，也被称为高斯分布。
正态分布的概率分布函数可以由均值μ和标准差σ来完全描述。
正态分布的概率分布函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，e表示自然常数，x表示变量的取值。
高考一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件的概率
第四讲 随机事件的概率知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 随机事件和确定事件(1)在条件S 下，__必然要发生__的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件． (2)在条件S 下，__不可能发生__的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件． (3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件．(4)在条件S 下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件． 知识点二 概率与频率(1)概率与频率的概念：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的__频数__，称事件A 出现的比例f n (A)＝n An为事件A 出现的__频率__．(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频率f n (A)__来估计概率P(A)．知识点三 互斥事件与对立事件 事件的关系与运算 定义符号表示 包含 关系 若事件A__发生__，则事件B__一定发生__，这时称事件B 包含事件A(或称事件A 包含于事件B) __B ⊇A__ __(或A ⊆B)__ 相等 关系 若B ⊇A ，且__A ⊇B__，则称事件A 与事件B 相等 __A ＝B__ 并事件 (和事件) 若某事件发生__当且仅当事件A 发生或事件B 发生__，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) __A ∪B__ __(或A ＋B)__ 交事件 (积事件) 若某事件发生__当且仅当事件A 发生且事件B 发生__，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) __A∩B __ __(或AB)__ 互斥 事件 若A∩B 为__不可能__事件，则称事件A 与事件B 互斥 __A∩B＝∅__ 对立 事件 若A∩B 为__不可能__事件，A ∪B 为__必然事件__，则称事件A 与事件B 互为对立事件__A∩B＝∅，__ __且A ∪B ＝Ω__重要结论概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__． (2)必然事件的概率：P(A)＝__1__． (3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__．(4)概率的加法公式：若事件A 与事件B 互斥，则P(A ∪B)＝__P(A)＋P(B)__．(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P(A ∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( × ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．( × )(5)对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件．( √ ) 题组二 走进教材2．(P 121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( D ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶[解析] “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．故选D ． 3．(P 133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为__56__．[解析] 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P ＝1－636＝56．题组三 走向高考4．(2018·课标全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7[解析] 设事件A 为“不用现金支付”，事件B 为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C 为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故选B ．5．(2020·新课标Ⅰ)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( A )A ．15B ．25C ．12D ．45[解析] O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，共有 C 35＝10种，即OAB ，OAC ，OAD ，OBC ，OBD ，OCD ，ABC ，ABD ，ACD ，BCD 十种， 其中共线为A ，O ，C 和B ，O ，D 两种， 故取到的3点共线的概率为P ＝210＝15，故选A ．考点突破·互动探究考点一 随机事件的关系——自主练透例1 (1)(2020·辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( C )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”(2)(2021·中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( C ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③(3)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)对于选项A ，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B ，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C ，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于选项D ，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C ．(2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C ．(3)若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件．名师点拨(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．(2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．〔变式训练1〕(2021·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A 为“至少有2件次品”，则事件A 的对立事件为( B ) A ．至多有2件次品 B ．至多有1件次品 C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品[解析] ∵“至少有n 个”的反面是“至多有n －1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A 的对立事件为“至多有1件次品”．考点二 随机事件的概率——多维探究 角度1 频率与概率例2 (2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化．那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)[解析] (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50． 故所求概率为502 000＝0.025．(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1 ＝56＋10＋45＋50＋160＋51 ＝372．故所求概率估计为1－3722 000＝0.814．(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 角度2 统计与概率例3 (2021·云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( A )甲 乙 9 8 8 3 3 7 2 1 09● 9A ．45B ．25C ．910D ．710[解析] 记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝442＋x 5， 令90＞442＋x 5，解得x ＜8，即x 的取值可以是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是810＝45．故选A ．名师点拨概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．〔变式训练2〕(1)(2021·黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙3人到A ，B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为( B )A ．15B ．16C ．13D ．14(2)(2021·吉林模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．②估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；③如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解析] (1)总的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)；(甲、丙A)，(乙B)；(甲、丙B)，(乙A)；(乙、丙A)，(甲B)；(乙、丙B)，(甲A)，共6种(或C 23A 22＝6(种))，A 城市恰好只有甲去有一种，故所求概率P ＝16．(2)①从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2．②从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3．③与①同理．可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1．所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 考点三 互斥事件、对立事件的概率——师生共研例4 (1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ．求：①P(A)，P(B)，P(C)； ②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．(2)(2021·河南新乡模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，任意抽取2个，下列事件发生概率为910的是( C )A ．2个都是正品B ．恰有1个是正品C ．至少有1个正品D ．至多有1个正品[解析] (1)①P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120．②因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P(A ∪B ∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11 000＋1100＋120＝611 000．故1张奖券的中奖概率为611 000．③P(A ∪B )＝1－P(A ＋B)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000．故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000．(2)从5个产品中任取2个的取法有C 25＝10种，其中2个都是正品的取法有C 23＝3种，故2个都是正品的概率P 1＝310；其对立事件是“至多有1个正品”，概率为P 2＝1－P 1＝1－310＝710．恰有1个正品的取法有C 13·C 12＝6种，故恰有1个正品的概率P 3＝610＝35．至少有1个正品的概率P 4＝P 1＋P 3＝310＋610＝910．名师点拨求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)．特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．〔变式训练3〕(1)(2020·西安二模)2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( A )A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件(2)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为__0.8__；该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为__0.2__．[解析](1)2021年某省新高考将实行“3 ＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．故选A．(2)记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．①由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8．②因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2．名师讲坛·素养提升用正难则反的思想求对立事件的概率例5 (1)(2020·浙江湖州期末，改编)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是__45__．(2)(2021·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数0 1 2 3 4 5人及5人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？[解析](1)“相同颜色的球不都相邻”的对立事件为“相同颜色的球都相邻”，记为事件A．因5个不同编号的小球排列有A55＝120种排法，“相同颜色的球都相邻”的排法有A22A22A33＝24种排法，∴所求概率P＝|－P(A)|＝1－24120＝45．(2)记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．①记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．②解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．名师点拨“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现．在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度．在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件A与事件B互为对立事件，在求P(A)或P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个．〔变式训练4〕某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)[解析](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝ 20．该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝1 5，P(A2)＝10100＝110．P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710．故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710．。
统计学中的随机事件和概率分布
统计学中的随机事件和概率分布统计学是一门广泛应用于各行各业的学科，而其中的随机事件和概率分布是统计学中的两个基本概念。
随机事件是指在相同条件下可能出现多种结果的实验，而概率分布则是用来度量随机事件中每个结果出现的可能性大小的统计工具。
一、随机事件随机事件是指在相同条件下可能出现多种结果的实验，例如投硬币。
当我们投硬币时，正面或反面出现的可能性相等，因此投硬币的过程就是一个随机事件。
同样地，摇色子、抛骰子等游戏也是随机事件的典型例子。
随机事件可以被描述为随机变量，即有可能出现不同结果的变量。
在投硬币的例子中，随机变量可以是正面或反面。
二、概率分布概率分布是用来度量随机事件中每个结果出现的可能性大小的统计工具。
在统计学中，常常使用概率分布来描述连续随机变量和离散随机变量。
连续随机变量指的是可能取到任何实数值的变量，例如身高、体重等。
而离散随机变量则是指只能取到一系列离散值的变量，例如抛硬币所得到的正面和反面、骰子的点数等。
对于离散随机变量，概率分布被称为概率质量函数，它描述了每种结果出现的可能性。
例如在投掷硬币的例子中，有两种离散值，即正面和反面。
假设硬币是一枚均匀的硬币，那么正面和反面出现的概率都是0.5。
因此，概率质量函数可以写成：P(X=正面)=0.5P(X=反面)=0.5对于连续随机变量，概率分布是一个概率密度函数，它描述了每种结果出现的可能性密度。
概率密度函数有一个很重要的性质，就是它下方的面积等于1。
例如，在一个典型的正态分布中，随机变量在中心出现的概率最大，而在两端出现的概率较小。
三、总结随机事件和概率分布是统计学中的两个基本概念。
随机事件是指在相同条件下可能出现多种结果的实验，而概率分布则是用来度量随机事件中每个结果出现的可能性大小的统计工具。
统计学家经常使用概率分布来描述连续随机变量和离散随机变量。
离散随机变量的概率分布被称为概率质量函数，而连续随机变量的概率分布则是一个概率密度函数。
随机事件与概率随机变量与概率分布PPT教学课件
⑵锋是影响天气的重要天气系统，
冷暖空气的交界面叫锋面。
向 东 南 移 动
大风 降温 降雨
向东北移动
升温 降雨
如何从锋的图例 上知道它是向哪 个方向移动呢?
三角形或半圆凸 所指的方向
过境前 过境时 过境后
冷锋
气温高,气压低
出现较大风 雨雪天气
气温下降,气压 上升,天气转好
问题的引伸
随机事件的数量化—随机变量 多个事件的概率描述—概率分布
随机变量及其概率分布
随机变量的分类
离散变量(疗效分级、受教育程度) 计数变量(如单位时间或空间内检出细菌的
数量、发生某事件的数量)
连续变量 如血压、血脂、血糖等
判断：白色的程度越浓，表明云层越厚， 这种云区下面下雨往往就越大。
问题：
古代劳动人民并没有现代科技手段， 他们是如何预知未来的天气形势呢？
燕子低飞要下雨
天气谚语
一场秋雨凉一阵 •东虹日头西虹雨1
暖锋 气温低气压高
多连续性降水
气温上升,气压 下降,天气转晴
常见天气系统
高压 低压 冷锋 暖锋 台风
探 1、请分析当天的天气形势，并说明理由。 究 2、预测北京、上海、广州未来24小时天气形势，并说明理由
活
动
1012.5
1017.5
1007.5
低
1017.5
高
1007.5 1002.5
低
* *
1017.5 1012.5
定小概率事件选择大概率事件
多个随机事件的关系
任一事件发生：和事件 几个事件同时发生：积事件 一事件发生则另一事件不发生：互斥 当只有两种事件时，互斥即对立
体育统计学 第4章 概率及其分布
频数
600
2.13 - 2.18
记为X～Ｎ（μ，σ２），其对应的曲线叫正态曲线 。
正态曲线有以下性质：
１．曲线在Ｘ轴上方，以 Ｘ＝μ为其对称轴，当Ｘ＝μ 时，函数F(X)有最大值，正 态曲线达到最高点。 ２．μ，σ为正态分布的两 个参数，μ确定曲线的中心位 置，如图4-5所示，σ确定曲 线的形状，σ愈大，曲线愈扁 平。 ３．曲线与Ｘ轴所围面积 为１ 。
4.2 随机变量及其概率分布
一、随机变量 当用一个变量的取值来表示随机试验 的结果时，该变量随着试验的不同结果而 取不同的值，也就是说变量的取值是随机 的，称此变量为随机变量，随机变量一般 用大写英文字母X、Y、Z表示，也可以 用ξ、η等表示。
二、随机变量的概率分布
1.概率分布的概念 概率分布：随机变量的取值及取值的概率 称为随机变量的概率分布。 2.概率分布的表示方法 ⑴ 分布列法 ⑵ 分布曲线法
4.4.2 估计实际分布情况 [例4-19] 设高中男生身高X（单位：厘米）是正态变量，均 值是171，标准差是4，即X～N(171,42)。求： (1) 身高超过175的学生所占的比例； (2) 身高在165至175之间学生所占的比例； (3) 以均值171为中点的一个区间，使其学生占95%。
4.4.3 统一计分标准
可以用一个数来描述随机事件在一次试验 中发生的可能性大小，该数就是概率。
2.概率 随机事件的概率：在n次重复试验中随机事件A发 生的次数记为m，当n很大时，频率m/n会稳定地在某 一数值p的附近摆动，而且随着试验次数n的增加，其 摆动的幅度越来越小，称p为随机事件A的概率，记为： P（A）= p 例如，在投硬币的试验中，“出现正面”这一随 机事件发生的频率在０.５附近摆动，且随着试验次数 的增多摆动的幅度会越来越小，因此，可以认为“出现 正面”这一随机事件的概率为０.５。
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第一讲：随机事件及其概率分布
【随机事件】
一、单项选择题
1. 对任何二事件A 和B ，有=-)(B A P （ ）.
A. )()(B P A P -
B. )()()(AB P B P A P +-
C. )()(AB P A P -
D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件，若当B 发生时A 必发生，则一定有（ ）. A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为2
131,，现已知目标被击中，则
它是由甲命中的概率为（ ）. A.
3
1 B.
5
2 C.
2
1 D.
3
2
二、填空题
1. 已知P （A ）=0.8，P （A-B ）=0.5，且A 与B 独立，则P （B ）= .
2. 设B A ,是两个事件，8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ，当A, B 互不相容时，P(B)=
_____；当A, B 相互独立时，P(B)=
.
3. 设在试验中事件A 发生的概率为p ，现进行n 次重复独立试验，那么事件A 至少发生一次的概率为
4. 一批产品共有10个正品和2个次品，不放回地抽取2次，则第2次抽得次品的概率 P = .
【概率分布】
一、单项选择题
1.
A. 4
161=
=
,b a B. 12
512
1==,b a C. 15
212
1==,b a D. 3
14
1==,b a
2. 设函数⎩⎨
⎧≤≤=其它
,
0,
)(b x a x x f 是某连续型随机变量X 的概率密度，则区间],[b a 可以
是（ ）.
A. ]1,0[
B. ]2,0[
C. ]2,0[
D. ]2,1[
3. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为
则==}0{XY P ( ).
A. 0.1
B. 0.3
C. 0.5
D. 0.7
二、填空题
1. 随机变量X 的分布函数F (x )是事件 的概率.
2. 若随机变量X ~ )0)(,(2
>σσμN ，则X 的密度函数为 .
3.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ;分布函数F(x)=
4. 已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个值，其相应的概率依次为
c ,c ,c ,c 162
854321
，则
c = .
5.设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨
⎧<<=其它
,
020,)(x x x f λ，则λ＝ .
6. 设随机变量X ~ )1,2(N ，且P （2<X<4）= 0.3，则P （ X<0）= .
7. 设随机变量X ～N （1，4），φ（0.5）=0.6915，φ（1.5）=0.9332，则P{|X |﹥2}= . 8. 设随机变量X 服从二项分布B (1，p )，随机变量Y 服从二项分布B (2，p )，且3
2X P =
=)1(，
则=≥)1(Y P .
9. 设随机变量X ~ ),(211σμN ，Y ~ ),(2
22σμN ，
且X 与Y 相互独立，则X+Y ~ .分布.
三、证明题
1. 设随机变量X 服从标准正态分布，即X ～)1,0(N ，2X Y =，证明：Y 的密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧≤>=-0
,
00,21)(2
y y e y y f y Y π .
四、综合题
1.设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度为 ⎩⎨
⎧<<<<=其它
,
01
0,10,
6),(2y x xy y x f ，
求：（1）关于X ，Y 的边缘密度函数；（2）判断X ，Y 是否独立；（3）求{}P X Y >.
2. 设总体()~20,3X N ，125,,X X 是来自总体的样本，10
25
12
1
11
1
1
,10
15
i i
i i X X X X ====
∑∑，
求12{0.3}P X X ->.((0.42)0.6628)Φ=
3.设总体()2
X N，
~40,5
（1）抽取容量为36的样本，求样本均值X在38与43之间的概率；
（2）抽取容量为64的样本，求401
X-<的概率.
()
Φ=Φ=Φ=
(1.2)0.8849,(1.6)0.9452,(2.4)0.9918。