中考数学复习指导：关于一题多解和一题多变变式问题的思考

关于一题多解和一题多变变式问题的思考从一道习题出发，通过一题多解、一题多变、一法多用（被称为解题三部曲），引申变换出新题组，这是数学课堂中常用的教学方法．本文从两道中考题出发，谈谈对于一题多解和一题多变这两类变式问题的思考．

例1 如图1，正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP平分线上一点，若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN．

（请读者完成下面的证明．）

本题的变式作为一道中考题经常出现在全国的中考试卷中．但是其问题设置往往是用例1的辅助线进行引导，然后证明△AEM与△MCN全等．

这条辅助线引导学生解决问题之后，学生的解题思路便缺少了发散的余地，不利于学生思维的开放，虽然题中也说可以选择另外的方法证明，但一般学生不会再选择其它方法了，在中考试卷命制时，这种引导的方法的安排肯定有命题者的考虑；但在平常的教学中，我们不要给学生暗示和提示，事实上，学生往往不是先作图1中的辅助线，而是过点N作BP边的垂线NH，然后试图证明Rt△ABM与Rt△MHN全等，但这种思路因证明全等时缺少一个边相等的条件而无法进行下去．

然而事情并非是如此，这两个三角形是相似的，我们利用“设而不求”的代数思想即

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可解题，过程如下：

这一解法体现了学生的构图能力和代数推理能力，真正把相似和全等联系起来了． 事实上，本题也可以运用同一法、解析法等方法解决．

以下是一道周长为定值的中考题，通过一题多解和一题多变的过程，可感受到变式的作用．

例2 如图3，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连结EP ．随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与点A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．

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这是一个从变化中寻找不变量的问题，试卷给出的解答是：

方法一 △PDM 的周长保持不变．

故△PDM 的周长保持不变．

但我们通过思考还有如下的方法，

方法二 如图4，连结BP ，过点B 作MN 垂线BG ，根据折叠的对称性，可知∠NMB ＝∠MBC ．

而∠AMB ＝∠MBC ，

对于第二种方法，构图似乎眼熟，特别是能够得出∠MBP＝45°结论．

这个特征使我们联想到如下的一道题：

例3 如图5，在边长为4的正方形ABCD中，点M、P分别在边AD、CD上，∠MBP＝45°，求△PDM的周长．

本题正是平时教学中常见的周长定值问题，将△PBC绕点B旋转90°，通过证明AMBP'≌AMBP，从而P'M＝PM，得出△PDM的周长为＝AD＋DC＝8．例3与例2图形产生的过程不同，但两个问题的类型都是周长为定值问题，且都是∠MBP＝45°，因此例3是例2问题的源头，是通过折叠体现出例2的内涵．于是我们对于这类问题产生了进一步的思考：例2的不变性是否是正方形独有的？

变式一不妨把上面的问题中的正方形改为菱形，其它不变，看看该结论是否成立？

由于菱形的内角一般不是直角，我们可考虑用余弦定理解决问题．

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故△PDM 的周长保持不变．

这说明，一旦菱形确定下来后，该问题的结论是一个常数．

进一步思考：

变式二 问题2

中的正方形变成一般矩形，其它条件不变，结论怎样？

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这个周长是随着AM的变化而变化的．

可以看出，一般的矩形不具备这类特征，说明正方形所具有的不变性不是继承矩形的，它是继承了菱形的特征才具有的．

再进一步思考：这种周长不变性的特征是否是菱形独有的，其它的四边形是否也有？

经过几何画板的反复演示和探究，发现梯形有时也具有这种周长不变性，此时梯形的下底和右腰相等．

变式三如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，且BC＝CD＝4，点M是上底AD上任意一点，连结BM，作BM的垂直平分线交AB于点E，交CD于点F，以EF为对称轴作BCFE对称图形交CD于点P，此时△DMP周长一定．

但是本题的证明遇到了困难，因为四个角的度数无法确定，而且AD、AB的长度也不确定，而几何画板演示真真切切的表明此时的△DMP周长为定值，难道△DMP周长与AD、AB的长度无关？

其实，该图正是菱形的一个剪切图(如图9)．其中图9的左侧的虚线是和问题的周长无关，折痕EF与原菱形的折痕一致，显然，该图中△DMP周长为定值，问题获得解决．因此，这类问题中，只要梯形下底和右腰相等，那么该问题中三角形周长就为定值（特别地∠C＝90°时为2BC＝8）．

由以上变式过程发现，我们应该思考如下一些问题：

(1)在知识的海洋里，能否将一个问题寻找到它的归宿（寻找变式目标）；

(2)如何将该问题，送到它的归宿处（寻找解答，探求本质）；

(3)怎么判断已经达到归宿处，即对问题的认知结构的形成进行评价与监控（不断反思）；

(4)如何更好、更快地将这类问题送到归宿处（一题多解，选择最佳）；

(5)达到同一归宿处的问题还有哪些（一法多用）．

在这些问题思索中，一题多解、一题多变、一法多用即能综合体现出来．因此，在教学中，我们不能简单地把题目解一下就算了，而要对于问题的内在规律进行深度思考．

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