1传染病动力学模型简介

传染病动力学模型简介
摘要：应用传染病动力学模型可描述疾病发展变化的过程和传播规
律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾
病提供决策依据。

本文介绍传染病动力学的最基本模型――SIR模
型，综述了各种传染病模型在医学领域的应用，探讨传染病动力学模
型的发展进程和研究动向。

关键词：传染病；动力学模型；SIR模型
A brief introduction to dynamics model of infectious
diseases
Abstract:The dynamics models of infectious diseases can be used to describe the spread characters of infectious diseases, predict the status of the infection and evaluate the efficacy of control strategies, which are useful tools in diseases control decision making. A brief introduction to the basic dynamics model SIR was made, and we also reviewed the application of several dynamic models and discussed its future direction in the paper.
Key words: epidemic; dynamic model; SIR model
传染病和新出现的疫病严重危害人类健康与社会经济发展。

对传
染病发病机理、传播规律和防治策略研究的重要性日益突出。

目前，
对传染病的研究方法主要有描述性研究、分析性研究、实验性研究和
理论性研究。

传染病动力学[1]是对进行理论性定量研究的一种重要
方法，是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展
规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的
数学模型，通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来
分析疾病的发展过程，揭示流行规律，预测变化趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求预防和控制的最优策略，为防制决策提供理论依据。

1.传染病动力学模型的基本形式
在传染病动力学中，主要沿用的由Kermack与McKendrick在1927年用动力学的方法建立了SIR传染病模型[2]。

直到现在SIR模型仍被广泛地使用和不断发展。

SIR模型将总人口分为以下三类：易感者(susceptibles)，其数量记为S(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数；染病者(infectives)，其数量记为I(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数；恢复者(recovered)，其数量记为R(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数。

设总人口为N(t)，则有N(t)=S(t)+I(t)+R(t)。

SIR模型的建立基于以下三个假设：
⑴不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。

人口始终保持一个常数，即N(t)≡K。

⑵一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。

假设t时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数S(t)成正比，比例系数为β，从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数为βS(t)I(t)。

⑶t时刻，单位时间内从染病者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γI(t)。

在以上三个基本假设条件下，易感者从患病到移出的过程框图表
示如下：
SIR 基础模型用微分方程组表示如下：
dI SI I
dt dS SI dt
dR I dt βγβγ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩
解得 ()0001S S I S ln S I σ=+-+，其中σ是传染期接触数，βσγ
=。

可通过对SIR 模型的分析和解的渐近性态来初步研究传染病的流行规律。

SIR 模型是比较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的大规模的传染病，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的有力支持。

后来很多研究人员对SIR 模型做了推广。

在不考虑出生与死亡等种群动力学因素的情况下，传染病若无潜伏期，动力学模型可表示为：SI 模型，患病后难以治愈；SIS 模型，患病后可以治愈，恢复者不具有免疫力；SIR 模型，患病者治愈后获利终身免疫力；SIRS 模型，病人康复后只有暂时免疫力，单位时间内将有部分康复者丧失免疫力而可能再次被感染。

若考虑传染病的潜伏期，在三类人群中增加一类，感染而未发病者(Exposed)，可在SIR 或SIRS 模型的基础上得到更复杂的SEIR 或SEIRS 模型。

若考虑种群动力学、疫苗接种、隔离以及密度制约、年龄结构等更为复杂的因素，模型的参数和复杂
程度也将增加。

2.传染病动力学模型的研究进程
传染病的传播模型可追述到1760年Daniel Bernoulli对天花的分析。

1911年公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群之间传播的动态行为进行了研究，结果表明，如果将蚊虫的数量减少到一个临界值以下，那么疟疾的流行将会得以控制。

Ross的这项研究使他第二次获得了Nobel医学奖。

Kermack与McKendrick 为了研究1665-1666年黑死病有伦敦的流行规律，构造了著名的SIR 仓室模型，又在1932年提出了SIS仓室模型，在分析模型的基础上提出了区分疾病流行与否的“阈值理论”，为传染病动力学的研究奠定了基础。

传染病动力学的建模与研究于二十世纪中叶开始蓬勃发展，作为标志性的著作是Bailey于1957年出版的专著《数理流行病学》。

优化控制的方法也常被用于传染病动力学的研究。

1973年Hethcote与Waltman用动力学方法寻求控制疾病流行花费最少的最优接种策略。

1978年Longini等对香港和亚洲的流感在有限接种资源情况下确定了接种的最佳年龄和社会群体。

1988年Hethcote在三个地理区域对麻疹找到了接种的最佳年龄。

对于2003年发生的SARS疫情，国内外学者建立了大量的动力学模型研究其传播规律和趋势、研究各种隔离预防措施的强度对控制流行的作用，为决策部门提供参考。

有关SARS传播动力学研究多数采用的是SIR或SEIR模型。

评价措施效果或拟合实际流行数据时，往往通过改变接触率和感染效率两个参数的值来实现。

石耀霖[3]构建了SARS传播的系统动力学模
型，以越南的数据为参考，进行了Monte Carlo实验，初步结果表明，感染率及其随时间的变化是影响SARS传播的最重要因素。

蔡全才[4]等建立了可定量评价SARS干预措施效果的传播动力学模型，并对北京的数据进行了较好的拟合。

近年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题。

这些数学模型大多适用于各种传染病的一般规律的研究，也有部分是针对诸如麻疹、疟疾、肺结核、流感、天花、登革热、疟疾和丝虫病等诸多具体疾病的模型。

从传染病的传播机理来看，这些模型涉及接触传染、垂直传染、媒介传染等不同传染方式。

从模型的数学结构来看，大多数传染病模型是常微分方程组，具有年龄结构的模型是一阶偏微分方程组，具有扩散项的模型是二阶偏微分方程组，具有时滞因素的是时滞微分积分方程组，传染病防制优化模型是满足一些方程组的泛函极值问题。

对于不同疾病与不同种群和环境，根据出生、死亡、传播、患病、治愈等规律的不同，又可将模型分为线性、非线性、自治、非自治等类型。

对这些模型的理论研究主要集中在解的适定性，疾病的持续生存，平衡位置特别是导致地方病的平衡位置和周期解的存在性和稳定性，再生数以及分歧点的寻找等动力学性态。

目前国内传染病动力学研究中占主导地位的方法是沿用1991年Anderson和May的经典性工作[5]，通过建立常微分方程组进行研究。

国际上沿着这一方向开展了许多工作。

另外一类模型为随机模型，可以在相应常微分方程的基础上增加随机考虑或利用Markov链进行Monte Carlo模拟[6]。

3. 传染病动力学建模的研究动向
早期的传染病动力学模型大多假设种群总数为常数，且考虑的影响因素较少。

但在实际问题中，由于疾病的复杂性往往涉及变动人口、年龄结构、隔离影响等多种因素。

这就要求动力学模型的研究更加向实际靠拢。

目前，传染病动力学建模有三个发展方向：
a.模型涉及的因素增多，例如考虑时滞因素、年龄结构、隔离影响、变动人口等，建立具有时滞的模型、具有年龄结构的模型、具有脉冲的模型、具有迁移的传染病模型和时变系数的传染病模型；
b.模型维数上的增高，考虑疾病在多个群体中的传播与交叉感染，建立在多群体中传播的传染病模型；
c.结合其他学科或某些具体的传染病进行更为细致深入的研究，如传染病动力学与生态毒理学、分子生物学的结合。

具体研究某种重要的传染病，如SARS、疯牛病、禽流感等。

由于模型更接近实际，从而变得更为复杂，理论研究也不断面临新的困难。

在研究方法上除一些经典方法外，分歧、混沌、普适开拆等动力系统、度理论、算子半群理论以及一些非线性分析的方法也相继被引入，计算机模拟在国外也已经普遍地使用。

4. 传染病动力学建模的意义
传染病动力学建模是检验理论和评价定量猜想的实验工具，公式化过程加深对疾病流行特点的认识。

传染病动力学建模的意义在于：⑴研究疾病感染和传播的机制，预测传染病未来的流行趋势；⑵对传
染病学观察的设计与分析提供参考，可通过模型参数的敏感性建议需搜集的重要信息与数据；⑶理论评估各种预防、治疗和控制方案的效果，如健康教育、疫苗接种、隔离、药物治疗等。

动力学方法能更好地从疾病的传播机理方面反映流行规律，能够考虑流行过程中的全局性态。

传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真等方法相互结合，加深对传染病流行规律的深入认识，使所建立的模型与防制策略更加符合实际。

传染病动力学模型不仅可用于传染病研究，而且也可用于生物种群分布、植病、寄生虫病、新技术的传播和扩散、网络病毒的传播、谣言的传播等自然和社会科学问题的研究，反之其他学科，如流体动力学、分子化学反应扩散等的研究方法也可被借鉴来用于传染病扩散的研究。

参考文献：
[1] 马知恩,周义仓,王稳地等. 传染病动力学的数学建模与研究[M].北京，科学出版社，
[2] W O Kermack, A G to the mathematical theory of epidemics[J]. 1927, (A115):700-721
[3] 石耀霖.[J].科学通报,2003,48(13)1373-1377
[4] 蔡全才,姜庆五,徐勤丰等. 定量评价SARS干预措施效果的传播动力学模型[J].中华流行病学杂志,2005, 26(3):153-158
[5] Anderson R M, May R diseases of humans:dynamoics and control[M].Oxford:Oxford Univ Press,1991
[6] O’Neill P tutorial introduction to Bayesian inference for stochastic
epidemic models using Markov chain Monte Carlo methods[J].Mathematical Biosciences,2002,180:103-114。