第四章(4.1迭代算法)
计算方法-迭代法讲义
计算 xi(k1) 时,
x(k 1) j
(
j
i)的值已经算出
所以迭代公式可以修改成：
X (k1) D1LX(k1) D1UX (k) D1b
或写成分量形式
i1
n
x(k1) i
(bi
aij
x
( j
k 1)
aij x(jk) ) / aii
j 1
j i 1
7
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为 (D – L)X = ＵＸ＋b ， 从而有： Ｘ = (D – L)-1 UX + (D – L)-1b
2
4.1、雅可比（Jacobi）迭代法
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为
DX = (Ｌ＋Ｕ)Ｘ＋b ，
若 det(D)0, 则有：
Ｘ = D-1(L + U)X + D-1b
得到雅可比迭代矩阵：
BJ = D-1(L + U)，b’= D-1b 从而，得到雅可比迭代公式：
注意：这里的对角 矩阵的D-1是非常 容易计算的。
（精度要求）
得到满足要求的近似解。
例子：p.55(p.52)例8 ，10-3的精度，迭代10 次。
3x1x12xx22
5 5
x( 1
k
1)
x(k) 2 3
5 3
x2( k
1)
x(k) 1
2
5 2
x(0 1
x2(0
) )
0 0
6
4.2、高斯-赛德尔迭代法 雅可比方法中
X (k1) D1(L U) X (k) D1b
|| B || 0.62875, || B ||1 0.648065375,
3-迭代
连续，对
2 简单迭代法及其收敛性
迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用
于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征 值。 迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法， 首先给定一个粗糙的初值，然后用同一个迭代公
式，反复校正这个初值，直到满足预先给出的精
度要求。
下面的各种求根方法，实质上就是如何构造
lim xk x 故有 k
（3）设 m>k，则有 xm xk ( xi 1 xi )
i k
使 x1 g ( x1 ) ， x2 g ( x2 )
则由微分中值定理和定理条件有
( ) x1 x2 x x g(x ) g(x ) g 1 2 1 2 L x1 x2 x1 x2
x1 与 x2 之间。 其中ξ 在 上式出现的矛盾说明 x1 x2
可以看出，迭代序列收敛。 当 k 越来越大时， xk 接近方程的近似根
3 （2） x x3 1 ，这时 g ( x) x 1
x* 1.32472
。
仍取初值 x0 1.5 ，得迭代公式 xk 1 xk 1
3
k 1, 2,3
x1 2.375 x2 12.3965 x3 1904.01 x4 6.90252 109
迭代序列发散。
按这一迭代公式计算下去，当 k 变大时， xk 远离的 f ( x) 0 精确根。
用迭代法求方程近似根的基本问题 就是 g ( x)如何构造才能使迭代序列 {xk } 收敛。 迭代法的几何意义 求方程（2）的根，实质上就是求直线 y x 与曲线 y g ( x) 的交点 P 的横坐标 x* ，如图。 从图可以看出： （1）如果迭代公式 xk 1 g ( xk ) 收敛，则迭代函数 y g ( x) 曲线走势平坦，即 g ' ( x ) 1 （2）如果迭代公式 xk 1 g ( xk ) 发散，则迭代函数 y g ( x)曲线走势陡峭，即 g ' ( x) 1
迭代 算法
迭代算法迭代算法是一种重要的算法思想，它在计算机科学和算法设计中应用广泛。
本文将介绍迭代算法的基本概念、原理和应用，并通过举例解释其工作过程和优势。
一、迭代算法的基本概念迭代算法是一种通过重复计算来逐步逼近目标解的算法。
它通过不断迭代更新当前解，直到满足预设的停止条件。
迭代算法通常包括以下几个关键步骤：初始化、迭代更新和停止条件判断。
二、迭代算法的原理迭代算法的核心思想是通过重复执行特定的计算步骤来逐步改进解的质量。
在每一次迭代中，算法根据当前解的情况进行更新，使得解逐渐趋近于最优解。
迭代算法的效果取决于初始解的选择和迭代更新的策略。
三、迭代算法的应用迭代算法在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在数值计算中，迭代算法常用于求解方程、求解优化问题和模拟连续过程等。
在图像处理中，迭代算法可以用于图像增强、边缘检测和图像分割等。
此外，迭代算法还可以应用于机器学习、数据挖掘和人工智能等领域。
四、迭代算法的工作过程迭代算法的工作过程可以简单描述为以下几个步骤：1. 初始化：设置初始解，并初始化迭代次数。
2. 迭代更新：根据特定的更新策略，更新当前解。
3. 停止条件判断：判断当前解是否满足预设的停止条件。
如果满足，则停止迭代；否则，继续迭代更新。
4. 输出结果：输出最终的解。
五、迭代算法的优势相比于其他算法，迭代算法具有以下几个优势：1. 灵活性：迭代算法可以根据问题的特点灵活选择更新策略，适应不同类型的问题。
2. 收敛性：迭代算法通常能够收敛到最优解，尤其是在适当的停止条件下。
3. 可并行性：迭代算法的迭代过程通常可以并行计算，加快算法的收敛速度。
4. 适应性：迭代算法可以通过不断迭代更新来适应问题的变化，提高解的质量。
六、迭代算法的实例应用下面以求解线性方程组为例，介绍迭代算法的具体应用过程。
给定一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b 为已知向量。
要求解x的值。
迭代算法的基本思路是不断更新x的值，直到满足预设的停止条件。
第四章-解AX=b的迭代法
•迭代格式的收敛性
2 k 引理4.1 (线性代数定理) 设矩阵序列 IM , , M , , M ,
k l i m M 0 ( M ) 1 . k
则
（证明见关治和陈景良编《数值计算方法》P410-412） 定理4.1 设迭代格式为
( k 1 ) ( k ) xM x g , k 0 , 1 , 2 , ( 4 . 3 )
充分性（）设ρ(M)<1,证{x(k)}收敛。
如果ρ(M)<1 ，则I-M为非奇异矩阵。事实上，因
为ρ(M)<1，λi<1，因此λ=1不是M的特征值，即
| 1 IM || IM |0 .
所以方程组 (I-M)x = f 有惟一解x*,满足(I-M)x* = f ，即 x*=Mx* + f 。于是
( k ) ( k 1 ) 2 ( k 2 ) x x * M ( x x * ) M ( x x * ) k ( 0 ) k M ( x x * ) M . 0
由引理4.1知，
k () k I f ( M ) < 1 ,t h e nl i m M 0 , l i m ( x x * ) 0 , i . e . k k () k l i m x x * . k
写成矩阵形式
x1 0 x b 2 21 31 x3 b x b n n1
或简记为
b 12 b 13 0 b23 b 0 32 bn2 bn3
b 1n x 1 g 1 b2n x2 g2 b 3n x 3 g3 g x 0 n n
( k ) ( k ) ( k 1 ) ( k ) x x * x x q x x *
迭代法
取 x(0)=(0,0,0)T 计算结果如下：
k
x1(k)
1 0.72
x2(k) 0.83
x3(k) 0.84
2 0.971 1.07
1.15
……
…
…
11 1.099993 1.199993 1.299991
12 1.099998 1.199998 1.299997
上页 下页
例2 用Gauss—Seidel 迭代法解上题.
x (0 ) (初 始 向 量)，
x
(
k
1
)
Bx (k)
f
(k 0,1, , ),
( 2 .7 )
其中B=I-(D-L)-1A= (D-L)-1U=G, f=(D-L)-1b. 称矩 阵G=(D-L)-1U为解Ax=b的高斯—塞德尔迭代法的迭 代矩阵.
上页 下页
由高斯—塞德尔迭代法(2.7)有
(k j
)
)
/
a
i
i
,
j1
ji1
x (k 1) i
(1
)
x
( i
k
)
x~
( i
k
1
)
x(k) i
( x~i(k 1)
x
( i
k
)
),
( i 1 ,2 , , n ).
即
i1
n
x ( k 1) i
x
(k i
)
(bi
a
i
j
x
( j
k
1
)
a
i
j
x
( j
k
)
)
/
a
i
i
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法常用算法，迭代法迭代法（iteration method）是一种通过重复执行相同的步骤来逐步逼近问题解的方法。
它在计算机科学和数学中被广泛应用，可以解决各种问题，比如求近似解、优化问题、图像处理等。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，逐渐逼近问题的解。
每一次迭代都会将上一次迭代的结果作为输入，并进行相同的操作，直到满足其中一种停止条件。
在每次迭代中，我们可以根据当前的状态更新变量的值，进而改善我们对问题解的估计。
迭代法最常用的应用之一是求解方程的近似解。
对于一些复杂方程，很难通过解析方法求得解析解，这时我们可以利用迭代法来逼近方程的解。
具体地，我们可以选择一个初始的近似解，然后将其代入方程，得到一个新的近似解。
重复这个过程，直到得到一个满足我们要求的解。
这个方法被称为迭代法求解方程。
另一个常用的迭代法示例是求解优化问题。
在优化问题中，我们需要找到能使一些目标函数取得最大或最小值的变量。
迭代法可以通过不断优化变量值的方法来求解这种问题。
我们可以从一个初始解开始，然后根据目标函数的导数或近似导数的信息来更新变量的值，使得目标函数的值逐步接近最优解。
这种方法被称为迭代优化算法。
迭代法还可以应用于图像处理等领域。
在图像处理中，我们常常需要对图片进行修复、增强或变形。
迭代法可以通过对图片像素的重复操作来达到修复、增强或变形的目的。
例如，如果我们想要修复一张受损的图片，可以通过迭代地修复每个像素点，以逐渐恢复整个图片。
除了上述示例，迭代法还有很多其他应用，比如求解线性方程组、图像压缩、机器学习等。
总之，迭代法是一种非常灵活和强大的算法，可以解决各种问题。
在实际应用中，迭代法的效果往往受到选择合适的初始值、迭代次数和停止条件的影响。
因此，为了获得较好的结果，我们需要在迭代过程中不断优化这些参数。
同时，迭代法也可能会陷入局部最优解的问题，因此我们需要设计合适的策略来避免这种情况。
总的来说，迭代法是一种重要的常用算法，它可以解决各种问题。
第四章 解线性方程组的迭代法
x = ( x x + 1) / 8 ( k +1) ( k +1) (k ) = ( 2 x1 + x 3 + 4) / 10 x2 ( k +1) ( k +1) ( k +1) = ( x1 + x2 3) / 5 x3
(k ) 2 (k ) 3
( k +1) 1
迭代结果为： 取初始迭代向量 x ( 0) = (0 ,0 ,0) T ,迭代结果为：
4.2 迭代法的基本思想 迭代法的基本思想是将线性方程组转化 为便于迭代的等价方程组， 为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始 按某种计算规则， 值 xi( 0) (i = 1,2, L , n) ，按某种计算规则，不断地 对所得到的值进行修正，最终获得满足精度 对所得到的值进行修正， 要求的方程组的近似解。 要求的方程组的近似解。
( 取初始向量 x ( 0 ) = ( x 1( 0 ) , x 2 0 ) , x 3( 0 ) ) T = ( 0 , 0 , 0 ) T
进行迭代, 可以逐步得出一个近似解的序列： 进行迭代 可以逐步得出一个近似解的序列：
( ( ） ( x1( k ) , x 2k ) , x 3 k ) ) （k=1, 2, …）
(k=0,1,2,…)
4.3.3 4.3.3 4.3.3 4.3.3 雅 可 比 迭 代 法 的 算 法 实 现
k+ 1 k y i x i i = 1 ,2 ,… ,n n
输 入 a i j ,b i , 和 方 程 阶 数 n , ε ,M
1 k
(bi
∑a
j =1 j≠i
n
ij
x j ) / a ii y i
迭代法
迭代方法（也称为“折返”方法）是一个过程，在该过程中，不断使用变量的旧值来递归推导新值。
与迭代方法相对应的是直接方法（或称为第一求解方法），即问题已解决一次。
迭代算法是使用计算机来解决问题的一种基本方式，它利用计算机的运行速度，适合于重复操作的特性，让计算机对一组指令（或步骤）必须每次都重复执行在执行的这组指令（或这些步骤）中，由于变量的原始值是新值，因此迭代方法分为精确迭代和近似迭代。
典型的迭代方法（例如“二分法”和“牛顿迭代”）属于近似迭代方法。
迭代方法的主要研究主题是构造收敛的迭代方案，并分析问题的收敛速度和收敛范围。
迭代方法的收敛定理可以分为以下三类：（1）局部收敛定理：假设问题的解存在，则得出结论：当初始逼近足够接近解时，迭代法收敛。
（2）半局部收敛定理：结论是，迭代方法根据迭代方法在初始逼近时所满足的条件收敛到问题的解，而不假定解的存在。
（3）大范围收敛定理：得出的结论是，迭代方法收敛到问题的解，而无需假设初始近似值足够接近解。
迭代法广泛用于求解线性和非线性方程，优化计算和特征值计算。
迭代法是一种迭代法，用于数值分析中，它从初始估计值开始寻找一系列解决问题的迭代解法（通常为迭代法），以解决问题（迭代法）。
通常，可以做出以下定义：对于给定的线性方程组（x，B和F都是矩阵，任何线性方程组都可以转换为这种形式），公式（表示通过迭代获得的x k次，并且初始时间k = 0）逐渐替换为该方法以找到近似解，这称为迭代方法（或一阶时间不变迭代方法）。
如果存在，则将其表示为x *，并称迭代方法收敛。
显然，x *是该系统的解，否则称为迭代散度。
迭代方法的对应方法是直接方法（或第一种解决方法），它是对问题的快速一次性解决方案，例如通过求平方根来求解方程x + 3 = 4。
通常，如果可能，直接解决方案始终是首选。
但是，当我们遇到复杂的问题时，尤其是当未知数很多并且方程是非线性的时，我们无法找到直接解（例如，第五和更高阶代数方程没有解析解，请参见Abelian 定理）。
机器学习中的迭代算法解析
机器学习中的迭代算法解析迭代算法是机器学习中常用的一种算法，并且在许多复杂的问题中取得了显著的效果。
迭代算法通过多次迭代来逐步优化模型的参数，从而使得模型能够更好地适应数据并取得更好的性能。
本文将对机器学习中的迭代算法进行详细解析。
一、什么是迭代算法迭代算法是一种通过多次迭代来逐步逼近最优解的方法。
在机器学习中，迭代算法通过反复调整模型参数来优化模型的性能。
迭代算法通常包括以下几个步骤：1. 初始化参数：首先，需要对模型的参数进行初始化。
这可以是随机初始化，也可以是根据经验值进行初始化。
2. 计算损失函数：在每一次迭代中，需要计算模型的损失函数。
损失函数衡量了模型预测值与真实值之间的差距，我们的目标是通过迭代来使得损失函数的值尽可能低。
3. 更新参数：根据损失函数的值，我们可以计算参数的梯度，并利用梯度下降的方法来更新参数。
梯度下降的方法可以使得参数向着损失函数下降最快的方向进行更新。
4. 判断终止条件：在每次迭代结束后，我们需要判断是否达到了终止条件。
终止条件可以是达到了最大迭代次数，或者损失函数的变化小于一个预设的阈值。
通过多次迭代，模型的参数会逐渐接近最优解，使得模型的预测能力不断提高。
二、迭代算法的常见模型在机器学习中，有许多常见的迭代算法。
以下是其中的几种：1. 逻辑回归：逻辑回归是一种二分类算法，它通过迭代来学习模型的权重参数。
在每次迭代中，逻辑回归算法根据当前参数计算模型的输出，并通过与真实标签进行比较来计算损失函数的值。
然后，根据损失函数的值来更新模型参数，直到达到终止条件。
2. 支持向量机：支持向量机是一种经典的分类算法，也是一种迭代算法。
支持向量机通过不断调整超平面的位置和间距，来找到一个最优的分类边界。
在每次迭代中，支持向量机算法会选择一个样本点，然后根据当前的超平面来判断该样本点是否分类错误。
如果分类错误，算法将调整超平面的位置和间距，直到达到终止条件。
3. K均值聚类：K均值聚类是一种常用的无监督学习算法，也是一种迭代算法。
第四章1算法策略迭代算法
第四章1算法策略迭代算法迭代算法是一种通过重复应用一些过程或步骤来逐步逼近解的策略。
在计算机科学中，迭代算法是解决问题的一种常见方法，尤其在计算复杂度比较高的情况下，迭代算法可以提供一种有效的解决方案。
迭代算法的核心思想是将问题分解成一系列小的子问题，并通过重复执行一些步骤来逐渐逼近解。
每次迭代时，算法会根据上一次迭代的结果来更新当前的状态，然后继续下一次迭代。
这样的迭代过程会持续进行，直到达到一些停止条件为止。
迭代算法可以应用在各个领域的问题中，比如数值计算、优化问题、问题等。
下面将介绍一些常见的迭代算法。
1.迭代加深：这是一种在问题中应用的常见迭代算法。
它通过逐渐增加的深度来逼近解。
首先进行深度为1的，如果没有找到解，则增加深度，再次进行。
通过不断增加深度，直到找到解为止。
2.迭代法解线性方程组：线性方程组的解可以通过迭代算法逐步求得。
一种常见的迭代算法是雅可比迭代法，它通过不断迭代解方程组的近似解，直到满足特定的收敛准则为止。
3.迭代法求函数零点：对于给定的函数，通过迭代算法可以逐步逼近函数的零点。
其中，牛顿迭代法是一种常见的迭代算法，它通过使用函数的导数和当前函数值来逐步逼近零点。
除了上述几种常见的迭代算法，还有其他很多迭代算法方法，如迭代法解非线性方程组、最小二乘法、迭代法求特征值等。
迭代算法的优点是它可以解决很多复杂的问题，并且可以提供一种近似解。
此外，迭代算法通常比较灵活，可以根据实际情况进行调整。
迭代算法的缺点是它可能需要进行大量的迭代次数才能得到满意的结果，并且在一些情况下可能无法收敛到解。
总之，迭代算法是一种常见的算法策略，可以应用于很多领域的问题。
通过不断迭代，算法可以逐步逼近最优解或者满足特定的目标。
虽然迭代算法可能需要较长时间才能得到完美的解，但它是解决复杂问题的一种有效方法。
解线性方程组的迭代法
|| x || 0 (非负性) ； （1）|| x || 0 ，当且仅当 x 0 时，
（2） || x ||| | || x || (齐次性)； （3） || x y |||| x || || y || (三角不等式). 则称 || x || 为向量 x 的范数 (或模).
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
常用的向量范数：设 x R n （1）向量的 - 范数 (最大范数)： || x || max | xi |
1 i n
|| x ||1 （2）向量的 1 - 范数 (绝对值范数)：
（3）向量的 2 - 范数：|| x ||2 ( x , x ) (
|| A ||2 3+2 2 , || A ||F 6
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
(k ) ) R nn ，如果存 定义5 (矩阵序列的极限) 设有矩阵序列 Ak (aij
在 A (aij ) R nn，使
k (k ) lim aij aij ,
i, j 1, 2,
（4） || AB |||| A || || B || ； 则称 || A || 为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s 和向量范数 || ||t ，如果对任何向量 x R n 及矩阵 A R nn ，有/2 || A ||F ( aij ) i , j 1 n
它是与向量 2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
迭代法求解方程原理
迭代法求解方程：原理与步骤详解迭代法，又称为辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
迭代法求解方程的原理是基于数学中的逼近理论，通过构造一个序列，使得该序列的极限值就是方程的解。
这种方法通常用于求解非线性方程或者方程组，因为这些方程可能难以通过直接求解的方式得到解析解。
迭代法求解方程的基本步骤：1.选择迭代函数：根据待求解的方程，选择一个合适的迭代函数。
这个迭代函数通常是通过对方程进行某种变换得到的。
2.确定迭代初值：为迭代过程选择一个初始值，这个初始值可以是任意的，但不同的初始值可能会影响到迭代的收敛速度和稳定性。
3.进行迭代计算：使用迭代函数和初始值，计算得到序列的第一个值。
然后，用这个值作为下一次迭代的输入，继续计算得到序列的下一个值。
如此反复进行，直到满足某个停止条件（如达到预设的迭代次数，或者相邻两次迭代结果的差值小于某个很小的阈值）。
4.判断解的有效性：如果迭代过程收敛，即序列的极限值存在且唯一，那么这个极限值就是方程的解。
否则，如果迭代过程发散，或者收敛到非唯一解，那么这种方法就失败了。
迭代法的收敛性：迭代法的关键问题是判断迭代过程是否收敛，即序列的极限值是否存在且唯一。
这通常取决于迭代函数的选择和初始值的设定。
对于某些迭代函数，无论初始值如何，迭代过程都会收敛到同一个值；而对于其他迭代函数，迭代过程可能会发散，或者收敛到多个不同的值。
迭代法的优缺点：优点：◆迭代法适用于求解难以直接求解的方程或方程组。
◆迭代法通常比直接法更容易编程实现。
◆在某些情况下，迭代法可能比直接法更快。
缺点：◆迭代法可能不收敛，或者收敛速度很慢。
◆迭代法的收敛性通常需要额外的数学分析或实验验证。
◆对于某些方程，可能需要尝试不同的迭代函数和初始值，才能找到有效的解决方案。
常见的迭代法：◆雅可比迭代法：用于求解线性方程组的一种方法，通过不断更新方程组的近似解来逼近真实解。
第4章(4.1 迭代法)
综上分析：从终点开始分别间隔 500，500/3，500/5， 500/7，……（公里）设立贮油点，直到总距离超过1000公 里。每个贮油点的油量为500，1000，1500，……。 算法设计：由模型知道此问题并不必用倒推算法解决（只 是分析过程用的是倒推法），只需通过累加算法就能解决。 变量说明：dis表示距终点的距离，1000- dis则表示距起 点的距离，k表示贮油点从后到前的序号。
print(“storepoint”,k,”distance”,0,”oilquantity”,oil)；
}
4.1.3
迭代法解方程
迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列x0,x1,…,xn,来 逐步逼近方程f(x)=0的解： 1）选取适当的初值x0； 2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0改 写为x=φ (x)的等价形式；
算法描述：
main( ) {int n,i,j,a[100]; input(n); print(“1”); print(“换行符”); a[1]=a[2]=1; print(a[1],a[2]); print(“换行符”); for (i=3;i<=n;i=i+1) {a[1]=a[i]=1; for (j=i-1，j>1，j=j-1) a[j]=a[j]+a[j-1]; for (j=1;j<=i;j=j+1) print(a[j]); print(“换行符”); } }
迭代法详解——精选推荐
迭代法详解迭代法（iteration）也称辗转法，是⼀种不断⽤变量的旧值递推出新值的解决问题的⽅法，迭代算法⼀般⽤于数值计算。
累加，累乘都是迭代算法的基础应⽤。
利⽤迭代法解题的步骤：1）确定迭代模型根据问题描述，分析出前⼀个（或⼏个）值与下⼀个值的迭代关系数学模型。
2）建⽴迭代关系式递推数学模型⼀般是带下标的字母，算法设计中要将其转化为“循环不变式”----迭代关系式，迭代关系式就是⼀个直接或间接地不断由旧值递推出新值的表达式，存储新值的变量称为迭代变量。
3）对迭代过程进⾏控制。
确定在什么时候结束迭代过程。
迭代过程是通过⼩规模问题的解逐步求解⼤规模问题的解，表⾯上看正好与递归相反，但也找到了⼤规模问题与⼩规模问题的关系。
本节的例⼦是⽤迭代完成的，也都可以⽤递归完成。
相信尝试后，定能体会到递归的简便之处。
1，递推法（recursion）是迭代算法的最基本表现形式。
⼀般来讲，⼀种简单的递推⽅法，就是从⼩规模的问题解出⼤规模问题的⼀种⽅法，也称其为“正推“。
如”累加“。
兔⼦繁殖问题：⼀对兔⼦从出⽣后第三个⽉开始，每⽉⽣⼀对兔⼦，⼩兔⼦每到第三个⽉有开始⽣兔⼦，问⼀年中每个⽉各有多少兔⼦？我们通常⽤的迭代：print(a,b)for(i=1;i<=10;i++){c=a+b; print(c); a=b; b=c;}另⼀种构造不变式的⽅法：1 2 3 4 5 6 7 8a b c=a+b a=b+c b=a+c c=a+b这样，⼀次循环其实是递推了三步，循环次数就要减少了。
#include<stdio.h>int main(){int i,a=1,b=1;int c;printf("%d %d ",a,b);for(i=1;i<=4;i++){c=a+b;a=b+c;b=c+a;printf("%d %d %d ",c,a,b); //注意输出顺序是c,a,b}}上⾯输出的共2+3*4=14项，这样的算法不太完美。
迭代算法
# include
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。
斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n>1时）。
写成递归函数有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if n 为偶数 then
n=n/2
else
n=n*3+1
end if
这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数 n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，就已经完成了验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为： n=1 。参考程序如下：
设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、……第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ，则有
x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1)
因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的，如果定义迭代变量为 x ，则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式：
迭代算法PPT课件
与 FBP 一样，ASIR 将系统的光学特性理想化，通过将 FBP 数据和 ASIR 数据按不同比例加权融合，达到不同程度的降噪效果，可以将复杂问 题简单化，加快处理速度。在 Marin 等[7]的研究中，ASIR（约 10 幅 图像/s）所需的平均时间仅比标准 FBP 重建（约 15 幅图像/s）长 50 ％，基本可以做到准实时重建，并且能较 FBP 重建明显提高图像质量。
讨论 传统FBP算法是一种解析重组算法，自CT应用以
来一直被商业CT广泛应用。其优点是重组速度快， 但它要求投影数据完备并且精确定量，该算法易 受统计波动的影响，对噪声和伪影都非常敏感， 投影数据量如果不足时，重组的图像质量就会明 显下降。并且FBP算法为了更加易于操作，做了很 多简化和假定，包括测量信号不含有光子统计错 误和电子噪声、X射线球管的焦点是无穷小点、探 测器模型也由位于每个单元中心的点构成、重组 的体素是没有形状和大小的点。由于忽略了光学 系统中真实的几何因素和统计噪声，FBP算法并不 是一个精确的CT图像重组方法。并且由于FBP算 法需要完备的数据，相应地也就要求较高的剂量。 在目前剂量问题日益引起公众重视的今天，FBP算 法显然已经不能完全满足临床的需要。
2 ASIR 技术成像的特点 GE 公司已经把 ASIR 技术装配到最先进的宝 石 CT（Discovery CT750 HD）和 128 层 CT（Optima CT660）上并 用于临床，重点是研究噪声消除、伪影抑制以及双能与能（量）敏 （感）成像，现已取得了比较满意的效果。在实际临床应用中，它又 具有以下几个技术特
减少辐射剂量，这将在临床上会得到更广
泛的应用，尤其对小病灶的检出和婴幼儿 的检查。
迭代算法手工计算公式
迭代算法手工计算公式迭代算法是一种通过重复应用一定的规则或过程来逐步接近问题解决方案的方法。
在数学和计算机科学中，迭代算法被广泛应用于求解方程、优化问题和模拟系统等领域。
本文将介绍迭代算法的基本概念，并通过手工计算公式的方式来演示迭代算法的应用。
首先，让我们来看一个简单的例子：求解方程x^2 2 = 0的根。
我们可以使用迭代算法来逼近方程的解。
假设我们从初始值x0=1开始，通过不断迭代计算来逼近方程的解。
迭代公式可以写作：x_{n+1} = x_n \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}。
其中f(x) = x^2 2是方程的函数，f'(x) = 2x是f(x)的导数。
我们可以通过手工计算来逐步求解方程的根。
首先，我们取初始值x0=1，代入迭代公式可得：x_1 = 1 \frac{1^2 2}{21} = 1 \frac{-1}{2} = 1.5。
接着，我们将x1代入迭代公式中继续计算：x_2 = 1.5 \frac{1.5^2 2}{21.5} = 1.5 \frac{0.25}{3} = 1.4167。
再次代入x2进行迭代计算：x_3 = 1.4167 \frac{1.4167^2 2}{21.4167} = 1.4167 \frac{0.0069}{2.8334} = 1.4142。
通过手工计算，我们可以得到x3=1.4142，这个值非常接近方程x^2 2 = 0的解。
这个例子展示了迭代算法的基本思想，通过不断迭代计算，逐步逼近问题的解。
除了求解方程的根，迭代算法还可以用于求解优化问题。
例如，我们可以使用迭代算法来求解函数的最小值。
假设我们要求解函数f(x) = x^2 + 3x + 2的最小值。
我们可以使用梯度下降法来逼近函数的最小值。
梯度下降法的迭代公式可以写作：x_{n+1} = x_n \alpha f'(x_n)。
其中α是学习率，f'(x)是函数f(x)的导数。
最优化理论与算法(第四章)
第四章 共轭梯度法§4.1 共轭方向法共轭方向法是无约束最优化问题的一类重要算法。
它一方面克服了最速下降法中，迭代点列呈锯齿形前进，收敛慢的缺点，同时又不像牛顿法中计算牛顿方向耗费大量的工作量，尤其是共轭方向法具有所谓二次收敛性质，即当将其用于二次函数时，具有有限终止性质。
一、共轭方向定义4.1 设G 是n n ⨯对称正定矩阵，1d ，2d 是n 维非零向量，若120T d Gd = （4.1）则称1d ，2d 是G －共轭的。
类似地，设1,,m d d 是n R 中一组非零向量。
若0T i j d Gd =()i j ≠ （4.2）则称向量组1,,m d d 是G －共轭的。
注：(1) 当G I =时，共轭性就变为正交性，故共轭是正交概念的推广。
(2) 若1,,m d d G －共轭，则它们必线性无关。
二、共轭方向法共轭方向法就是按照一组彼此共轭方向依次搜索。
模式算法：1）给出初始点0x ，计算00()g g x =，计算0d ，使000Td g <，:0k = （初始共轭方向）；2）计算k α和1k x +，使得0()min ()k k k k k f x d f x d ααα≥+=+，令1k k k k x x d α+=+；3）计算1k d +，使10Tk j d Gd +=，0,1,,j k =，令:1k k =+，转2）。
三、共轭方向法的基本定理共轭方向法最重要的性质就是：当算法用于正定二次函数时，可以在有限多次迭代后终止，得到最优解（当然要执行精确一维搜索）。
定理4.2 对于正定二次函数，共轭方向法至多经过n 步精确搜索终止；且对每个1i x +，都是()f x 在线性流形00,i j j j j x x x d αα=⎧⎫⎪⎪=+∀⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑中的极小点。
证明：首先证明对所有的1i n ≤-，都有10T i j g d +=，0,1,,j i =（即每个迭代点处的梯度与以前的搜索方向均正交）事实上，由于目标函数是二次函数，因而有()11k k k k k k g g G x x Gd α++-=-=1）当j i <时， ()1111iTT T i j j j k k j k j g d gd gg d +++=+=+-∑110iT T j j kkj k j gd dGd α+=+=+=∑2）当j i =时，由精确搜索性质知：10T i j g d +=综上所述，有 10Ti j g d += (0,1,,)j i =。
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4.1 迭代算法
• 定义：迭代法也称“辗转法”，是一种不 断用变量的旧值递推出新值的解决问题的 方法。 • 迭代策略
– 确定迭代模型 – 建立迭代关系式 – 对迭代过程进行控制
4.1.1 递推法
• 递推公式 Sn=Sn-1+An 【例1】 一对兔子从出生后第三个月开始， 每月生一对小兔子。小兔子到第三个月有 开始生下一代小兔子。假若兔子只生不死， 一月份抱来一对刚出生的小兔子，问1年中 每个月各有多少只兔子。
4.1.2 倒推法
【例4】穿越沙漠问题 一辆吉普车穿越1000千米的沙漠，吉普车的 总装载量为500加仑，耗油率为1加仑/千米。 由于沙漠中没有油库，必须先用这辆车在 沙漠中建立临时油库，若吉普车用最少的 耗油量穿越沙漠，应在那些地方建立油库， 以及各处存储的油量。
4.1.2 倒推法
main() { int dis,k,oil,k; dis=500,k=1;oil=500; do { printf(“%d%d%d”,k,1000-dis,oil); k=k+1; dis=dis+500/(2*k-1); oil=500*k; } while(dis<1000); oil=500*k+(1000-dis)*(2*k-1); printf(“%d%d%d”,k,0,oil); }
【例3】 输出杨辉三角形（限定用1个一维数组完成） 1 11 121 1331 14641
4.1.2 倒推法
main() { int n,I,j,a[100]; scanf(“%d”,&n); a[1]=a[2]=1; printf(“%d%d”,a[1],a[2]); for(i=3;i<=n;i++) { a[1]=a[i]=1; for(j=i-1;j>1;j--) a[j]=a[j]+a[j-1]; for(j=1;j<=I;j++) printf(“%d”,a[j]); printf(“\n”); } }
4.1.1 递推法
• 数学模型 y1=y2=1, yn=yn-1+yn-2 ,n=3,4,5… main() { int i,a=1,b=1; printf(“%d%d”,a,b); for(i=1;i<=10;i++) { c=a+b; printf(“%d”,c); a=b; b=c; } }
3 2
4.1.3 迭代法解方程
main() { float x,x1=0,x2=2,f1,f2,f; scanf(“%f%f”,&x1,&x2); f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8; f2=x2*x2*x2/2+2*x2*x2-8; If(f1*f2>0) {printf(“non root”);} d0 { x=(x1+x2)/2; f=x*x*x/2+2*x*x-8; if(f==0) break; if(f1*f>0.0) {x1=x;f1=f;} else x2=x; } while(fabs(f)>=1e-4); printf(“root is%f”,x); }
4.1.3 迭代法解方程
• 二分逼近法求解。 二分法求解方程f(x)=0的根。 用二分法求解方程f(x)=0根的前提条件是： f(x)在求解的区间[a,b]上是连续的，且已知 f(a)与f(b)异号，即f(a)*f(b)<0; 【例6】用二分法求一元非线性方程 f(x)=x /2+2x -8=0在区间[0,2]上的近似实计算机运算速度快这一特征， 在解决问题时采取的一种“懒惰”的策略。 这种策略不经过思考，把问题的所有情况 或所有过程交给计算机去一一尝试，从中 找出问题的解。 • 枚举法
– 找出枚举范围 – 找出约束条件
4.2蛮力法
【例7】百钱百鸡问题。 【例8】 ABCAB * A
________________
4.2蛮力法
main() { int a[10000]; scanf(“%d”,&n); for(i=1;i<=n;i++) a[i]=1; for(i=1;i<=n;i++) for(j=i;j<=n;j+i) a[j]=1-a[j]; for(i=1;i<=n;i++) if(a[i]==0) printf(“%d is free”,i); }
4.1.3 迭代法解方程
• 牛顿迭代法 迭代公式：
xn+1=xn-f(xn)/f’(xn)
【例5】 求形如ax +bx +cx+d=0，在1附近的一个方 程根的算法；
3 2
4.1.3 迭代法解方程
main() { float a,b,c,d,fx; scanf(“%f%f%f%f”,&a,&b,&c,&d); fx=f(a,b,c,d); printf(“方程的根为 方程的根为%f”,fx); 方程的根为 } float f(float a,float b,float c,float d) { float x1=1,x0,f0,f1; do { x0=x1; f0=((a*x0+b)*x0+c)*x0+d; f1=(3*a*x0+2*b)*x0+c; x1=x0-f0/f1; } while(fabs(x1-x0)>=1e-4); return x1; }
DDDDDD
4.2蛮力法
【例9】狱吏问题。 某国王对囚犯进行大赦，让一个狱吏n次通过一排 锁着的n间牢房，每通过一次，按所定规则转动n 间牢房中的某些门锁，每转动一次，原来锁着的 被打开，原来打开的被锁上，通过n次后，门锁开 n 着的，牢房中的犯人放出，否则犯人不得获释。 转动门锁的规则是这样的，第一次通过牢房，从 第一间开始要转动每一把门锁，即把全部锁打开； 第2次通过牢房时，从第二间开始转动，每隔一间 转动一次；……；第k次通过牢房，从第k间开始 转动，每隔k-1间转动一次；问通过n次后，哪些 牢房的锁仍然是打开的。
4.1.3 迭代法解方程
• 迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造 一个序列x0,x1,x2,…xn,来逐步逼近方程 f(x)=0的解。
– 选取适当的初值x0; x0; – 确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程 f(x)=0改写为x=∮(x)的等价形式； – 构造序列x0,x1,x2,…xn,即先求得x1=∮(x0)， 再求x2=∮(x1)…如此反复迭代，就得到一个数 列x0,x1,…xn,若这个数列收敛，即存在极值， 这个极值x*就是方程f(x)=0 的根。
4.1.2 倒推法
• 所谓倒推法是对某种特殊问题所采用的违 反通常习惯的，从后往前推解问题的方法。 【例2】 一只猴子摘了若干桃子，每天吃现有桃子 的一半多一个，到第10天时就只有一个桃 子了，求原来有多少个桃。
4.1.2 倒推法
• • • • • • • • • • 数学模型：a10=1,a9=(1+a10)*2… 递推公式：ai=(1+ai+1)*2 main() { int i,a; a=1; for(i=9;i>=1;i=i-1) a=(a+1)*2; printf(“%d”,a); }
4.1.2 倒推法
• • • • • • • • • • • • • int f(int n) { if(n==10) return 1; else return 2*(f(n+1)+1); } main() { int s; s=f(1); printf("%d",s); }
4.1.2 倒推法