高考数学函数及其基本性质专题复习

来构造.
变式训练2 （2008·北京）已知函数 f(x)=x3
+ax2+3bx+c (b≠0),且g(x)=f(x)-2是奇函数，求 a,c的值. 解 因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数, 所以,对任意的x∈R,g(-x)=-g(x),
即f(-x)-2=-f(x)+2. 又f(x)=x3+ax2+3bx+c, 所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
第6讲 函数及其基本性质
1.高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数 （正比例函数）、二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数以及三角函数共七类. 各类函数的五大性质：①定义域；②值域（最值、 极值、边界）；③周期性；④奇偶性（对称 性）；⑤单调性，是高考的重点与热点，是试卷 命题的中心，也是体现考试说明中抽象概括能力、 推理论证能力及运算求解能力的良好载体，试题 多不会趋向简单.
4.以函数知识为依托，渗透基本数学思想方法. 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过 程，包括解决几何问题.纵观近几年江苏省高考试 卷，从老版本教材到新课标教材，选择填空题， 解答题均有涉及，以基本函数为背景的应用题和 综合题是每一年高考“能力立意”的首选素材. 备考过程中还要仔细体会数形结合这一数学思想 方法的应用.函数是考查数形结合思想的良好载 体，除应熟悉常见函数图象外，还应加强函数与 方程、图象与曲线的区别与统一性认识，加强对 图象与图象变换的理解与应用.
2.备考过程中既要从宏观上掌握研究学习函数的一 般方法和规律，按照“定义—定义域、值域—图 象—性质”的思路程序研究每一类函数,又要从微 观上理解和把握各类函数的不同性质、运算规律.
3.函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高 考考查的重点，其中定义域、单调性、奇偶性、 周期性等几乎是每年必考，常常是将这些知识点 与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融 合，以填空题的形式进行考查.对于函数定义域， 还常常隐性地进行考查，因为研究函数的性质以 及其他问题时，必须首先研究函数的定义域.函数 的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体，在 研究参数的范围问题、求值问题中进行考查.
从而知函数y=f(x)不是奇函数.
故函数y=f(x）是非奇非偶函数.
(2)
f f
(2 (7
x) Fra Baidu bibliotek)
f (2) f (4) f (2 004) f (2 006) f (2 008) 1 004 .
f (1) f (3)
f (2 003) f (2 005) f (2 007)
解析 2 f(x)f(y)≥f(x+y)=f 2(x)+f 2(y)
［f(x)-f(y)］2≤0 f(x)=f(y) f (x) 1
探究拓展 当题设中，f(x)解析式未明确，而由条 件可求时，应首先依相关知识确定f(x)的解析式， 这是各个加数的“通项公式”，而规律往往蕴含
于其中，备考中要注意体会与掌握. 变式训练1 已知函数f(x)>0,对任意x,y有 f(x+y)≤2f(x)·f(y)和f(x+y)=f 2(x)+f 2(y),则
5.新课标考试说明明确要求“注重数学的应用意识 和创新意识的考查”.“函数”一节为这一要求提 供了良好的载体.函数知识与社会现实，经济建 设，科技发展密切相关，以社会热点为背景，考 查函数应用题，有利于培养学生应用数学的意 识，有助于提高学生应用数学的能力和创新实践 能力.纵观08、09年高考试卷中，山东、广东、江 苏等新课标实施地区均在这方面有不同程度的体 现.
上的根的个数，并说明你的结论. 分析 由条件可得f(x)是周期函数， 依规律探寻［-2 010，2 010］上方程根的个数， 注意考查清楚目标区间包含多少周期. 解 （1）由f(2-x)=f(2+x),得f(-1)=f(5). 而f(5)≠0f(1)≠f(-1),即f(x)不是偶函数.
又f(x)在［0，7］上只有f(1)=f(3)=0,∴f(0)≠0.
∴f(-x)=b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2
=bx2-（2a+ab）x+2a2，
∴-（2a+ab）=2a+ab，即2a+ab=0，∴a=0或b=-2.
当a=0时，f(x)=bx2,∵f(x)值域为（-∞，4］，
而y=bx2值域不可能为（-∞，4］，∴a≠0.
当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为（-∞，2a2］.
f (y)
要求的值为1 004.
【例2】若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是
偶函数，且它的值域为（-∞，4］，则该函数的
解析式f（x）=
.
分析 f(x)定义域为R,又是偶函数,则f(-x)=f(x)，
结合另一条件，可求出待定系数a、b.
解析 ∵f（-x）=f（x）且
f（x）=bx2+（2a+ab）x+2a2，
∴2a2=4,∴a2=2.∴f(x)=-2x2+4.
答案 -2x2+4
探究拓展 本题实质以偶函数定义为条件构造了
一个“恒成立问题”,即f(x)
x∈R,
f(x)=f(-x)恒成立, x∈R,（2a+ab)x=0恒成立，
这又迫使x的系数2a+ab为零，以满足x取值的“任
意”性.类似问题还可用“单调性”、“奇函数”
【例1】（2008·山东）已知f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 2 008 . 分析 首先由题设求出f(x）表达式，进而研究待 求和式的规律. 解析 ∵f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233, ∴f(x)=4log2x+233, ∴f(2)+f(4)+…+f(28) =4(1+2+…+8)+233×8 =2 008.
所以ca
a, 2 c
2.
解得a=0,c=2.
【例3】设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)= f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间［0，7］上，只 有f(1)=f(3)=0.
（1）试判断函数y=f(x)的奇偶性； （2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2 010,2 010］