生活中的三角函数问题
生活中的三角函数问题
一、教学背景
在现实生活中，特别是普通老百姓把数学看似一个非常遥远的独立的神秘王国，人们误解数学就是搞难题，没有什么实际用途。这与我们在数学教学中不讲数学的意义，不讲数学与生活的联系，不讲数学与其他学科的关系及其在实际社会生活中的应用价值，而是讲解题，把数学教学变成了一种纯粹的演题训练，使学生看不见数学的本来面目和它的真正意义，失去了对大自然的“好奇心”有着很大的关系。本课题是在学生学完三角函数这部分内容以后，通过书47页的第4题的启发，把几何图形变式后联系三角函数在生活中的实
例，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
二、教学目标
1、知识目标：巩固三角函数知识，建立函数模型；
2、能力目标：掌握数学建模的方法和应用；培养学生的化归的思想和抽象概括及计算能力；
3、情感目标：渗透数学建模的思想，培养数学的应用意识；体会具体的实际问题如何转化为抽象的数学问题，让学生意识到数学来源于生活，数学有用。
三、教学方法
1、启发式讲授法；
2、探究发现法；
以主体——主导相结合，情景——探究模式。
四、教学分析
1、重点：如何把问题转化为数学问题，并通过变式对问题加深理解；
2、难点：如何把问题转化为数学问题（如何建立数学模型）；
五、教学过程
1、设置情景
欣赏图片说明随着人类的进步和科技的发展，数学的应用已经渗透到社会的各个方面。人们的日常生活和工作都离不开数学，“数学已无处不在”。让学生举一些生活中有关数学的例子，那么对于我们这学期所学的三角函数有哪些应用呢？这就是我们这节课所要学习的内容——三角函数的应用问题。（引出课题）
2、探索研究
前一段时间，针对三角函数在生活中的老师用几何画板动画演示在纵多矩
应用，我们学习了这样一个例题：形中内接矩形的面积慢慢变大，学
把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩生简述两种方法解题过程，比较两
形的木料，问怎样锯才能使横截面积最大？种方法得出三角函数方法解题的优
越性。引出变式题让学生用三角函
数方法解题。
生1：设边为自变量的方法
生2：设角为自变量的方法
师：学生讲述完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引出变式例题：
在一住宅小区里，有一块空地，这块空 两种情况分小组探究解决，小组 地可能有这样两种情况： 探究时，是把两种图形放在几何 （1）是半径为10米的半圆；如图（1） 画板中，让学生把静的数学图形 （2）是半径为10米，圆心角为60
的扇形； 通过电脑转化成动态，培养学生 如图（2）
现在要美化小区，准备在这块空地里分别种 的动手能力和观察能力，通过图 植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上且 形观察结果，再用数学知识来求 内接于这块空地，应如何设计，使得此草皮 解，然后找小组代表发布探究成 面积最大？并求出面积的最大值。 果，小组间相互评价成果，培养 学生的数学的应用意识和小组合
作意识。
(各个小组的代表用实物投影展示小组成果，并解释设计方案：)
生3：(略)
生4：(略)
生5：(略) 生6：(略) （图1） （图2）
学生展示完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。归纳出求解应用题的步骤过三关,走四步： （先由学生总结，老师再归纳总结。）
三关：
（一）、事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读理解能力；
（二）、文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数量关系；
（三）、数理关：在构建数学模型的过程中，要根据已知的知识结构，构建相应的函数模型，完成由实际问题向数学问题的转化。
四步：
（一）、读题理解题意；
（二）、挖掘数量关系，建立数学模型； （三）、求解数学问题； （四）、回归实际，进行答题。
θ A D B F E C O θ D F E C O
3、随堂练习：（试试身手，看谁做得快又准确）
如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中A TPS 是一座半径为90米的扇形小山，P 是弧TS 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建在一个边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场PQCR 面积的最大值和最小值。 解：设)900( <<=∠θθPAB
延长RP 交AB 于M ，则θcos 90=AM ，θsin 90=MP
∴θcos 90100-==-=MB AM AB PQ
θsin 90100-=-=MP MR PR 故矩形PQCR 的面积为
)sin 90100)(cos 90100(θθ--=?=PR PQ S θθθθcos sin 8100)cos (sin 900010000 ?++-=
令)21( cos sin ≤<+=t t θθ 则 2
1cos sin 2-=?t θθ
∴950)9
10
(2810021810090001000022+-=-?+-=t t t S
故 当2=
t 时 )(132429000140502m a x m S ≈-=
当9
10
=
t 时 )(9502m i n m S = 答：长方形停车场PQCR 面积的最大值是1324平方米，最小值是950平方米。
4、课时小结
通过我们的研究，我们领会了数学建模的思想，同时也深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，就可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。 5、课后作业
其实在我们生活中，还有许多关于三角函数的问题，请同学们课后研究一下我们自己周围可以研究的事物，例如以下两个作业题：
㈠、书面作业：
在变式例题中的扇形空地中，把条件“使得其 一边在半径上”去掉而只要求矩形在空地内且内接空 地，看结果又是怎样的是不是比我们有这个条件限制 时的面积更大？（如右图所示）
A
B
C D T
S
P
Q R
M θ
A
D
B
F
E C O
㈡、课后实习作业
学生自己先收集自己身边有关三角函数的例子，在小组内讨论研究，然后在班上发布小组成果。或研究下面给定的两个例子。
根据数据，运用函数的图象进行直观分析处理。
以月份为x 轴，以平均气温为y 轴，作出散点图，把这些离散点用光滑曲线连结起来，然后观察用何种曲线，拟合这些数据，求出函数解析式。
（2）：受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y （米）是时间t （240≤≤t ，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每
根据数据求出y=f(t)的拟合函数，求出函数解析式，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间） 六、教学评价
本节是一节习题课，其目的一方面是要巩固所学过的函数知识，更重要的是，让学生通过本节的学习活动认识到学习数学的意义，认识到数学与生活的联系.本节在教学中注重这一目的的实现，首先从简单有趣的实例引入，激发学生的兴趣，通过动手对几个变式实例的研究，抽象出三角函数模型，并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵，让学生深切地感受到数学抽象的魅力.此外还将生活中的实例揉在教学过程中，将丰富的现实世界，有机的穿插在理性的数学教学活动中，让学生轻轻松松学数学. 七、教学多媒体
（powerpoint 课件、几何画板课件、实物投影）
设θ
=∠CAB
，则θθsin 2,cos 2R CB R AB ==
当且仅当sin 21θ=时，即4
π
θ=
时，2max 2S R =
所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。
师：很好，在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。（让学生合作探究解决）
在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样两种情况：
（1）是半径为10米的半圆；
（2）是半径为10米，圆心角为60
的扇形；
θ
θθ2sin 2cos sin 422R R BC AB S ABCD ==?=
矩形
现在要美化小区，准备在这块空地里分别种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计，使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值。
（两种情况分小组探究解决，小组探究时，是把两种图形放在几何画板中，让学生把静的数学图形通过电脑转化成动态，培养学生的动手能力，通过图形观察结果，再用数学知识来求解，然后找小组代表发布探究成果，小组间相互评价成果，培养学生的数学的应用意识和小组合作意识。）
小组1：我们选的是第一种情况，如图所示：连结OC ， 设BOC θ∠=，则10sin BC θ=，10s OB co θ=，
220c o s A B O B θ==
200sin cos
100sin 2S AB BC θθθ=?==矩形
sin 2 1 S 100θ≤∴≤ 矩形
29045θθ== 即，
这时10cos45BO AO BC ====
此时，点A 、D 分别位于点O 的左右方S 取得最大值100。 小组2：我们选的是第二种情况，连结OC ，
设BOC θ∠=，则10sin BC θ=，10s OB co θ=，
cot 60OA BC θ==
() (10cos )10sin 3
S AB BC OB OA BC
θθθ
=?=-?=-?矩形 2
100sin cos 3
50sin 2cos 2)
θθθθθ=-
=-
)6πθ=
+- 当且仅当sin(2)16
π
θ+
=时，即6
π
θ=
时，2
max S m =
所以使矩形的长约为8.66米，宽为5米且使其内接扇形时为最大值。
学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。：
再归纳出求解应用题的步骤过三关,走四步：
θ
D F
E C θ A
D
B F
E C
O
三关：
1、 事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读理解能力；
2、 文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数量关系；
3、 数理关：在构建数学模型的过程中，要根据已知的知识结构，构建相应的函数模型，完成由实际问题向数学问题的转化。
四步：
1 读题理解题意；
2 挖掘数量关系，建立数学模型；
3 求解数学问题；
4 回归实际，进行答题。
3、试试身手，看谁做得快又准确
(1) 如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一座半径为90米的
扇形小山，P 是弧TS 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建在一个边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场PQCR 面积的最大值和最小值。
解：设)900(
<<=∠θθPAB
延长RP 交AB 于M ，则θcos 90=AM ，θsin 90=MP
∴θcos 90100-==-=MB AM AB PQ
θsin 90100-=-=MP MR PR
故矩形PQCR 的面积为
θ
θθθθθcos sin 8100)cos (sin 900010000 )
sin 90100)(cos 90100(?++-=--=?=PR PQ S
令)21( cos sin <<+=t t θθ则2
1cos sin 2-=?t θθ
∴950)9
10
(2810021810090001000022+-=-?+-=t t t S
故 当2=
t 时)(132429000140502max m S ≈-=
当9
10
=t 时)(9502min m S =
A
B
C D T
S
P
Q R
M
(2 ) 点P在直径AB=1的半圆上移动，过P点作圆的切线PT，使PT=1，∠PAB=α，当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？最大值是多少？
4、课时小结
老师小结：通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，有些同学可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。
5、课后作业
其实在我们生活中，还有许多关于三角函数的问题，如果同学们有兴趣的话，课后我们还可以关注一下可以研究的事物，例如以下两个问题：
根据数据，运用函数的图象进行直观分析处理。
以月份为x轴，以平均气温为y轴，作出散点图，把这些离散点用光滑曲线连结起来，然后观察用何种曲线，拟合这些数据，求出函数解析式。
（2）：受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间t（24
≤t，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每
0≤
根据数据求出y=f(t)的拟合函数，求出函数解析式，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）五、教学评价
本节是一节习题课，其目的一方面是要巩固所学过的函数知识，更重要的是，让学生通过本节的学习活动认识到学习数学的意义，认识到数学与生活的联系.本节在教学中注重这一目的的实现，首先从简单有趣的实例引入，激发学生的兴趣，通过动手对几个变式实例的研究，抽象出三角函数模型，并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵，让学生深切地感受到数学抽象的魅力.此外还将生活中的实例揉在教学过程中，将丰富的现实世界，有机的穿插在理性的数学教学活动中，让学生轻轻松松学数学.
三角函数与解三角形中的高考热点问题
热点探究课(二) 三角函数与解三角 形中的高考热点问题 [命题解读] 从近五年卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用． 热点1 三角函数的图象与性质(答题模板) 要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换． (本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin ? ????x 2＋π4·cos ? ?? ?? x 2＋π4－ sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期； (2)若将f (x )的图象向右平移 π 6 个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：51062131】 [思路点拨] (1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f (x )化为正弦型函数，然后求其周期． (2)先利用平移变换求出g (x )的解析式，再求其在给定区间上的最值． [规解答] (1)f (x )＝23sin ? ????x 2＋π4·cos ? ????x 2＋π4－sin(x ＋π)3分 ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ? ????x ＋π3，5分 于是T ＝ 2π 1 ＝2π.6分 (2)由已知得g (x )＝f ? ????x －π6＝2sin ? ?? ??x ＋π6.8分
三角函数最值问题类型归纳
三角函数最值问题类型归纳 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为 只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。 例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ） A、最大值是1，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1 分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。 2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数 特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}。 3．y=asin2x+bcosx+c型的函数 特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。 例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。 解：y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a，
函数零点易错题、三角函数重难点教师版)
函数零点易错题 三角函数重难点 教师版 函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助． 1． 因＂望文生义＂而致误 例１．函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ．１，２ 错解：Ｃ 错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数x ，也是函数 ()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 正解：由()0232=+-=x x x f 得，x ＝１和２，所以选Ｄ． 点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x 轴交点的横坐标． 即使所求． 2． 因函数的图象不连续而致误 例２．函数()x x x f 1 +=的零点个数为 （ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 错解：因为2)1(-=-f ，()21=f ，所以()()011<-f f ，函数()x f y =有一个零点，选Ｂ．
错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数()x x x f 1+=的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理． 正解：函数的定义域为()()+∞?∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0
《与三角函数有关的最值问题》复习课教学设计
《与三角函数有关的最值问题》复习课教学设计 湖南师大第二附属中学刘海军 一.教学分析 三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一，是对三角函数的概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数间的关系、两角和与差公式的综合考查，是函数最值的一个重要组成部分.三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。 二.教学目标 1.知识与技能：正确理解三角函数的有关概念，掌握三角函数的基本概念、公式、图象及性质，并能综合运用这些概念，公式及性质解决实际问题. 2.过程与方法：在教学过程中，让学生学会运用数形结合思想、函数和方程的数学思想 来分析解决数学问题；培养学生的观察能力、动手能力、创新能力和归纳能力. 3.情感态度与价值观：通过例题的分析，方法的归纳，激发学生主动参与、主动探索的意识，使学生始终在动态过程中去感受知识、巩固知识、运用知识，提高45分钟的效率. 三.教学重点、难点 教学重点：求三角函数的最大、最小值. 教学难点：针对各题，会观察题中特点，正确运用相应方法求三角函数最值. 四.课型及课时安排 高三复习课，2课时：第1课时. 五.教学方法设计 综合启发教学，边教边让学生参与，学会对知识的归纳；强调教师为主导、学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性和创造性. 六.学情分析 高三学生对三角函数这部分知识比较熟悉.但学生对知识的前后联系，有效方法的选择，分析问题的内涵，综合运用知识的能力还很薄弱.学生对知识的归纳整理能力比较欠缺，所以对三角函数最值的几个基本类型需要进行归纳和整理，以便学生能够更好的掌握.
2020年高考数学三角函数专题解题技巧
三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-
高考数学热点难点突破技巧 三角函数的零点问题的处理
第09讲三角函数零点问题的处理 【知识要点】 三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用. 【方法讲评】 方法一单调性+数形结合 解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析. 【例1】已知向量，，设函数． （1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． （1）∵函数图象关于直线对称， ∴，解得：，∵，∴， ∴，由， 解得：， 所以函数的单调增区间为．
∴当或时函数有且只有一个零点． 即或，所以满足条件的． 【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复 合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问 ，左边可以取等，右边不能取等. 【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。且. （1）求的单调减区间； （2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围. 方法二分离参数+数形结合 解题步骤先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答. 【例2】已知函数的最大值为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在
∈上有解，求实数的取值范围． 【解析】（1） ， 由，解得， 所以函数的单调递增区间 当时，，取最小值-3． 方程在∈上有解，即 -3≤≤ 【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用. 【反馈检测2】已知函数的周期为. （1）若，求它的振幅、初相； （2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像； （3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.
高考专题突破 高考中的三角函数与解三角形问题
高考专题突破 高考中的三角函数与解三角形问题 题型一 三角函数的图像和性质 例1 (2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的递增区间； (2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π 3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求g ????π6的值. 解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ? ???2x －π 3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π 12 (k ∈Z ). 所以f (x )的递增区间是????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )????或????k π－π12，k π＋5π 12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ? ???2x －π 3＋3－1， 把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ????x －π 3＋3－1的图像， 再把得到的图像向左平移π 3个单位长度， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ????π6＝2sin π 6 ＋3－1＝ 3. 思维升华 三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图像求解. 跟踪训练1 已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R )，求： (1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间；
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 一、引言 三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。 现代高考中三角学主要研究角的三角函数的基本性质及实际应用问题，如几何计算、最值、建模等实际问题。 二、高考中三角函数的现状及简单分析 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 大致可分为四类问题： （1）与三角函数单调性有关的问题； （2）与三角函数图象有关的问题； （3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题； （4）与周期有关的问题. 基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化。在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. （一）三角函数的现状 1．课改后的三角函数 尽管三角函数这部分内容是高中数学的传统内容，但在新教材中，教学内容、教材设计特别是教学要求上都发生了较大的变化。认识这一变化，对于我们领悟课标的理念，控制教学的深度、难度和广度有着至关重要的作用，只有准确地把握考纲要求，才能避免复习中做一些无用功。 （1）进一步加强了几何直观。三角函数的概念、公式的推导及其性质研究都紧密结合单位圆、三角函数线、三角函数的图象； 三角函数最值问题—解题9法 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常 涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问 题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另 一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面 就介绍几种常见的求三角函数最值的方法： 一配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定 的函数化归为二次函数的最值问题来处理。 例1函数的最小值为（）. A． 2 B . 0 C . D . 6 [分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B. 例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值 [分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。 二引入辅助角法 例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。 解： 三利用三角函数的有界性 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。 例4求函数的值域 [分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 解法一：原函数变形为，可直接得到：或 解法一：原函数变形为或 例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。 [分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。 解： f(x)的最小正周期为，最大值为。 四引入参数法（换元法） 对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。 例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。 [分析]解：令sinx+cosx=t，则 ，其中 三角函数的最值问题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 三角函数的最值问题 三角函数最值问题散见于不同的章节，或作为问题的背景、或作为单独的数学问题、或作为解题的工具。今天，我们就求解最值的方法层面展开讨论！ 一 化为单名函数的形式 例1 函数f(x)=x x x x 44sin cos sin 2cos -- ① 求f(x)得最小正周期; ② ?? ????∈2,0πx 时，求f(x)的最小值。 解: (1) x x x x x f cos sin 2sin cos )(22--= x x 2sin 2cos -= )2 22sin 222(cos 2?-=x x )4 2cos(2π+=x ∴ f(x)最小正周期是π=T （2）20π≤ ≤x ∴ ??????∈+45,422πππx ∴ 442ππ=+ x 即0=x 时最大值是1 ππ=+ 42x 即83π=x 时最小值是－2 注意 ① 辅助角公式)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a 的应用 ② 注意三角函数区间最值的正确取舍 二 单名函数的复合型 例2 3 1sin sin =+y x ，求x y 2cos sin -的最值 解：∵ x y sin 3 1sin -= ∴ 1sin 311≤-≤-x ∴ 3 4sin 32≤≤-x ∴ 12 11)21(sin cos sin 22--=-=x x y u ∴ 21sin =x u 的最小值为12 11- ； 32sin -=x u 的最大值为94 注意：隐含条件不可忽视！ 三 关系代换x x cos sin ±与x x cos sin 例3 求函数x x x x y cos sin 1cos sin ++=的最值 解：令x x t cos sin += 则 x x t cos sin 12+= ∴ )1(2 1121 2-=+-=t t t y ∴ 22≤≤-t 且 1≠t ∴ )12(21)12(21-≤≤+-y 且 1-≠y 注意① 代换要等效 ；② 原函数中对代换量的现定！ 四 限量代换 例4 求函数21x x y -+=的值域 解：函数的定义域[]1,1-∈x 令 θcos =x ， πθ≤≤0 )4 sin(2sin cos π θθθ+=+=y ∴ 21≤≤-y 注意：限量代换要求对代换量进一步分析并“定性” 五 建立关系等式整体带入或转化 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间 存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]- （ii ）当0,2x π?? ∈ ??? 时,由（1）知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ；当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. （iii ）当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. （iv ）当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π)， 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ，不合题意； 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减， 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的， 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0)，不合题意； ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞ 2014年高考三角函数做题技巧与方法总结 知识点梳理 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 2、三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ?? +-22ππππk k ，)(Z k ∈， 3、三角函数的诱导公式 sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα sin （－α）=－sinα cos （2kπ+α）=cosα cos （π+α）=－cosα cos （－α）=cosα tan （2kπ+α）=tan α tan （π+α）=tanα tan （－α）=－tanα sin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα sin 2(α)+cos 2(α)=1 4、两角和差公式 5、 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α) cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式： 2cos 12 sin αα -± =； 2 cos 12cos α α+±=； α αααααα sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 tan -=+=+-± = 7、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ；其图象的对称轴是直线 )( 2 Z k k x ∈+ =+π π?ω， 凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心 8、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 三角形中的最值问题 山东莘县观城中学 郭银生 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。下面举例说明： 例1．要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ） A ．∏ /4 B. ∏/3 C. ∏/6 D.正弦值是1/3的锐角 解：解法1.（三角函数的有界性）设斜边为c ，其一个锐角是α，周长是L,则两个直角边是csinα 和ccosα， 故 L =c+csinα +ccosα =c+1.414csin(α+∏ /4 ) ∵0<α<∏/2 ∴当α+∏ /4 =∏/2时，Lmax=c+1.414c 故选A 解法2.设两条直角边为a,b,周长为L ，则斜边c=22b a ＋是定值。 L=a+b+2 2b a ＋≤） ＋（222b a +22b a ＋=(2+1) 22b a ＋(当且仅当a=b 时取等号) 即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是∏ /4 从而选A. 例2．已知直角三角形周长是1，其面积的最大值为 . 方法Ⅰ.（三角函数的有界性） 设该直角三角形的斜边是c ，一个锐角是A ，面积是S ，则两条直角边是csinA 和ccosA ，根据题意 csinA+ccosA+c=1,即c=A A sin sin 11＋＋ ① S=21csinA*ccosA=41sin2A ≤4 1 (当且仅当A=∏/4时取等号) 目录 摘要................................................................................................................................................... I I ABSTRACT ......................................................................................................................................... I II 第一章绪论.. (4) 1.1 三角函数的起源与发展 (4) 1.2 三角函数的最值问题 (4) 第二章解决三角函数最值问题的方法技巧 (6) 2.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题 (6) 2.2 利用转化（或化归）思想解决最值问题 (7) 2.3 利用换元法解决最值问题 (10) 2.4 利用数形结合解决最值问题 (14) 2.5 利用不等式解决最值问题 (15) 第三章三角函数最值的简单应用 (17) 3.1 在数列中的简单应用 (17) 3.2 在不等式中的简单应用 (18) 3.3 在几何中的简单应用 (19) 3.4 在复数中的简单应用 (20) 第四章结论 (22) 参考文献........................................................................................................... 错误!未定义书签。致....................................................................................................................... 错误!未定义书签。 内容摘要：三角函数是高考的热点，也是高考中学生比较容易拿分的知识点。重点考察三角函数的基本关系、三角函数求值、恒等变形及图象性质。三角函数的命题已趋于稳定，尽管命题的背景有变化，但总的来说仍属基础题、中档题和常规题。本文列举近三年的考查角度，提出了相应的复习策略。 关键词：三角函数基本关系求值图象 三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。 一、灵活运用同角三角函数的基本关系式求值 通过近三年的高考试题分析，主要考查用同角三角函数关系及诱导公式进行化简、求值，多数以选择题和填空题形式命题，难度不大，属容易题． 真题探究：(2012·辽宁)已知sin α－cos α＝eq \r(2)，α∈(0，π)，则tan α＝( )． A．－1 B．－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),2) D．1 做此类型的题目，一般有如下思路： 思路1 结合平方关系求sin α、cos α. 思路2 平方求sin 2α. 思路3 化成形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式． [应对策略] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题； (2)注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在． 二、三角函数的值域(或最值)问题 通过近三年的高考试题分析，对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐，主要考查 y＝Asin(ωx＋φ)形式的三角函数在R上或给定的闭区间[a，b]上的值域(或最值)，往往作为某一种答题的其中一问，题目难度不大． 真题探究：(2012·湖北)设函数f(x)＝sin2ωx＋2eq \r(3)sin ωx·cos ωx －cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，求函数f(x)的值域． 解此类题型的步骤 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式． 第二步：根据题设条件求出y＝Asin(ωx＋φ)＋h中有关的参数． 第三步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)的取值范围． 第四步：求出所求函数的值域(或最值)． 三、求三角函数图象的解析式 真题探究：(2012·湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ 培优点7 三角函数中的范围、最值问题 【方法总结】 以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键． 【典例】1 (1)若函数y ＝sin 2x ＋acos x ＋58a －32在? ?????0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________． (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3acos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________． 【典例】2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cos x 的图象向右平移2π3 个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在??????0，π2上的值域为???? ??－12，1，则ω的取值范围为( ) A.??????43，83 B.??????13，53 C.??????43，＋∞ D.???? ??83，＋∞ (2)若将函数f(x)＝sin ? ????2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 【方法总结】 (1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等． (2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象． 【拓展训练】 1．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3 对称，且f ? ?? ??π12＝0，则ω的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2．若函数f(x)＝2sin x ＋cos x 在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( ) A.45 B.35 C.25 D.215 3．已知函数f(x)＝2sin ? ????ωx ＋π6中x 在任意的15个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________． 4．已知函数f(x)＝sin ? ????ωx ＋π3(ω>0)，若f(x)在??????0，2π3上恰有两个零点，且在???? ??－π4，π24上单调递增，则ω的取值范围是________． 高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：高考中有关三角函数问题的研究
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