利用三角函数求解最值问题解读

利用三角函数求解最值问题

一、教学目标

1、知识技能目标：以圆的内接矩形的最大面积的求法作为引例，使学

生逐步探究在半圆，四分之一圆的内接矩形相关最值问题，

学会用三角函数求得内接矩形面积的最大值，能够总结求

解最值问题基本思路。

2、过程方法目标：在恰当引进自变量、建立函数关系式的过程中，不

断加强图形，文字，符号这三种数学语言的联系，培养学

生讲实际问题抽象为数学问题的化归能力。同时增强学生

数形结合、分类讨论的数学思想，逐步提高学生应用意识

和创新意识。

3、情感态度目标：在探究活动中提高学生的学习兴趣，提高学习数学

的信心，通过每个问题的解决，培养学生积极主动的探索

精神；通过加强学生的环保意识，增强学生的社会责任感

4、教材分析：

（1）教材的知识结构：本节课是一节复习课，是以三角函数中的三角

公式、三角函数的图象、三角函数的性质为必要

基础。属于人教版高中《数学》第四册（必修B）

第一、三章内容。

（2）教材的地位和作用：三角函数作为一种基本的初等函数，教材中

主要介绍了各种三角公式及三角函数的图象与

性质，对三角函数的具体应用涉及较少。而新

课程标准提倡在学生生活经验的基础上，教师

尽可能多地提供各种机会让他们体验数学与日

常生活及其他学科的联系，感受数学的应用价

值。本课为此联系生活实际提出问题，设计层

层探究，促使学生出于证明或求解需要而思考

引进自变量的特点，通过对常量和变量的分析，

让学生体会三角函数的优势所在。

（3）对知识的处理：本节课在设计上以“创设情景、揭示矛盾（提

出数学问题）——自主探索、展开讨论（形成数

学概念）——反思总结、归纳提升（获得数学结

论）——巩固深化、学以致用（运用数学知识）”

为教学模式。本课从教材中的一道习题出发，以

最常见、最熟悉的例子—锯木料为切入点，对教

学内容层层分析挖掘，促使学生思考探究，给学

生提供了观察、操作、表达等机会。同时帮助学

生对所学内容进行加工处理，使之条理化，系统

化便于存储记忆，并通过解题运用不断加深对知

识本质的认识。培养了学生勇于探索、深入研究

的优秀学习品质。

(4)教学过程与方法：在教学中要注意学生的数学学习思维形成和深化过

程，培养学生探究学习、合作学习的习惯。让学生

充分体会由特殊到一般的认识规律，培养学生学会

观察、分析、发现、判断、归纳证明等研究问题的

方法。

5、学情与学法指导

学情分析：一方面从知识水平上看，学生刚学完三角函数的相关内容，对这一知识体系的综合运用能力没有达到一定高度，但已

经具备一定的观察能力，分析能力和解题能力；另一方面

师生之间比较熟悉，课堂沟通不成问题，在进度上可适当

加快，但结构设计要符合学生的认知结构，要注重对学生

观察，归纳能力的培养，而且要通过问题的设计激发学生

自主探索的欲望。

学法指导：通过对圆、半圆、四分之一圆的内接矩形面积最大值的探索，让学生学会多角度、多方法去观察问题、分析问题、

研究问题，增强化归意识。通过对问题的不断发掘，培养

学生积极参与乐于研究的良好学风。

二、教学重点、难点

重点：利用三角函数将实际问题化归

难点：寻找恰当自变量，建立函数关系式

关键：准确把握常量和变量之间的密切关系

三、教学过程与教学设计

四、学生的思维过程设计

1.设置情境,引入探究问题

师：大家都知道我们国家的森林资源非常短缺，面对这种，我们只能更充分地利用有效的资源，让它获得最大的使用效率。今天我们也从节约木材的角度出发，来探讨以下问题，大家请看大屏幕。（大屏幕出现一批圆

木，然后出现一根圆木的截面）

师：这是一根圆木的截面，根据生产需求，要把它锯成横截面为矩形的木材，那么怎样锯法使得矩形面积最大？(大屏幕展示下图)

师：像这样在截面内画矩形，它的面积最大吗？ 生：不是

师：若想使面积最大，矩形还需满足什么条件？ 生：这个矩形要内接于圆。(大屏幕展示下图)

师：圆的内接矩形不止一个，究竟哪一个面积最大？

生：我们可以设这个内接矩形为ABCD ，它的对角线BD 就是圆的直径,我猜想矩形ABCD 是圆的内接正方形时，面积能达到最大。(大屏幕展示下图)

师：这是个很好的想法，能不能证明这个猜想呢？

（同学们开始动笔证起来,一会儿就有学生举手） 生：

此时四边形ABCD 是正方形。

（他的话音刚落，另一名同学又举手，她有另一种解法）

生：我的自变量设的是矩形的边CD,已知ABCD 横截面圆的半径为R ，则BD=2R

设CD=x ， 则 于是

所以当 即

，S 矩形ABCD 最大值为2R2

,2

0）（设πθθ<<=∠DBC θ

θsin 2,cos 2R CD R BC ==则θ

θθ2sin 2cos sin 422ABCD R R S ==∴矩形。最大值为时，Ｓ４＝，即当矩形2212sin R ABCD π

θθ=2R)

x 0422<<-=，（x R BC 时R x 2=()

4

2

2

242222ABCD 4244R R x x x R x R x CD BC S +--=-=-=⋅=矩形222R x =