代数拓扑

代数拓扑学习心得

这学期很高兴选修了代数拓扑，上完这门课的整体感受是比较难，但很有意思。也学到了不少知识，由于课时有限，敬爱的周老师也尽最大努力给我们讲完了差不多两章的内容，基本群和覆盖空间，让我初步进入该学科。

在基本群这一章我们主要学习了映射同伦、同伦等价、道路同伦等基本概念，紧接着进入基本群的性质和应用。以下是我对一些基本概念的理解：一个拓扑空间中，从一点出发并回到该点的闭合曲线，称为该点的一个回路。如果一条回路能够连续地形变成另一条回路（起始和终点不动），就称这两条路同伦等价。

我们把同伦的回路看成是相同的东西。对于给定的一点，所有的过该点的回路等价类全体形成一个集合。这个集合具有加法性质，即两条回路可以相加形成新的回路。这样此集合形成了一个群，称为该点的基本群。如果拓扑空间是道路连通的，那么这个基本群和选择的起点无关，它只依赖于拓扑空间的几何结构。

基本群是平凡群的空间称为单连通的。可缩空间（就是可以连续收缩成一个点）和球面都是单连通的。基本群到整数群的同态映射全体构成一个群，叫做1维同调群，它们是重要的拓扑不变量。

下面给出基本群是伦型不变量这一重要结论的证明