有关小波的几个术语及常见的小波基介绍

Family Short name Order N Examples
Coiflets coif N = 1, 2, ..., 5 coif2, coif4
Orthogonal
yes
Biorthogonal
yes
Compact support yes
DWT
possible
CWT
possible
Support width
2N-1
Filters length 2N
Regularity
Symmetry
near from
Number of vanishing
moments for psi N
4、 Coiflet(coifN)小 波
根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet小波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)这一系列。Coiflet的小波函数Ψ(t)的2N阶矩为零，尺 度函数φ(t)的2N-1阶矩为零。Ψ(t)和φ(t)的支撑长度为6N-1。Coiflet的Ψ(t)和φ(t)具有比dbN更好的对称性。
在Matlab中输入命令waveinfo('coif')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelets with highest number of vanishing
moments for both phi and psi for a given support width.
可以
不可 以
不可以
有限 有限长
2N-1 长度
度
2N [-4, 4] [-5, 5]
近似 对称
对称
对称
N
-
-
-
-
-
无 可以 可以
但无F WT
有限 长度
[-8, 8]
对称
-
-
小波函数
Gaus
Dmey er
ReverseBi or
Cgau
Cmor
Fbsp
Shan
小波缩写名 gaus dmey rbioNr.Nd cgau cmor fbsp shan
失矩越高光滑性就越好，频域的局部化能力就越强，频带的划分效果越好，但是会使时域紧支撑性减弱，同时计算量大大增加，实时性变
差。另外，除N=1外，dbN小波不具有对称性（即非线性相位），即在对信号进行分析和重构时会产生一定的相位失真。dbN没有明确的表 达式（除了N=1外，N=1时即为Haar小波）。
在Matlab中输入命令waveinfo('db')可得到如下信息：
表示形式
gaus N
dmey
rbioNr.Nd
cgau N
cmor
fbsp
shan
举例
gaus3 dmey rbio2.4 cgau3 cmor fbsp shan
紧支撑正交性 无
无
无
无
无
无
无
紧支撑双正交 性
无
无
有
无
无
无
无
连续小波变换 可以
不可 以
可以
不可 不可 不可 不可
以
以
以源自文库
以
离散小波变换
不可 以
scaling function phi = 1 on [0 1] and 0otherwise. wavelet function psi = 1 on [0 0.5], = -1on [0.5 1] and 0 otherwise.
Family
Haar
Short name
haar
Examples
5、相似性
选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。
二、常见的小波基
以下列出的15种小波基是Matlab中支持的15种。
小波函数
Ha ar
Daubec hies
Biorthog onal
Coiflet s
Symle ts
Morlet
Mexican Hat
Meyer
小波缩写 ha
名
ar
变换
以
有 可以
有 可以
有 可以
离散小波 可
变换
以
可以
可以
可以
重构:2N
支撑长度 1 2N-1
r+1 6N-1
分解:2N
d+1
Max(2N
滤波器长
度
2 2N
r,
6N
2Nd)+2
对称性
对 近似对
称
称
不对称
近似 对称
小波函数
消失矩阶 1
N
数
Nr-1
2N
尺度函数
消失矩阶 -
-
2N-1
数
有
无
可以 可以
无 可以
General characteristics: Compactlysupported
wavelets with extremal phase and highest
number of vanishing moments for a given
support width. Associated scaling filtersare minimum-phase filters.
在Matlab中输入命令waveinfo('sym')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported wavelets with least asymmetry and highest number ofvanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are nearlinear-phase filters.
db
bior
coif sym morl mexh meyr
表示形式 ha ar
db N
biorNr.N d
coif N
sym N
morl
mexh
meyr
举例
ha ar
db3
bior2.4 coif3 sym2 morl
mexh
meyr
正交性 有
有
无
有
有
无
无
有
双正交性 有
有
有
有
有
无
无
有
紧支撑性 有
连续小波 可
Family Short name Order N Examples
Symlets sym N = 2, 3, ... sym2, sym8
Orthogonal
yes
Biorthogonal
yes
Compact support yes
DWT
possible
CWT
possible
Support width
6N-1
Filters length 6N
Regularity
Symmetry
near from
Number of vanishing
moments for psi 2N
Number of vanishing
moments for phi 2N-1
5、 Biorthogonal(biorNr.Nd)小 波
具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。
3、消失矩
在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零
或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越 高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
有关小波的几个术语及常见的小波基介绍
题目：有关小波的几个术语及常见的小波基介绍
本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就 当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。
一、小波基选择标准
小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以 下几点：
为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，引入了双正交小波，称为对偶的两个小波分别用于信号的分解和重构。双正交小波解决 了线性相位和正交性要求的矛盾。由于它有线性相位特性，所以主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解， 用另外一个小波函娄进行重构。
这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f (x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f (x)能取到值；而在此之外，f (x)取值 为0，那么这个函数f (x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为 零，即函数有速降性”。
2、对称性
CWT
possible
Support width Filters length
2N-1 2N
Regularity Symmetry
about 0.2 N for large N far from
Number of vanishing moments for psi N
3、 Symlet(symN)小 波 (近 似 对 称 的 紧 支 集 正 交 小 波 )
小波的消失矩的定义为，若
其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。则称小波函数具有N阶消失矩。从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。在频域内表示就是Ψ(ω)在 ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。
4、正则性
在量化或者舍入小波系数时，为了减小重构误差对人眼的影响，我们必须尽量增大小波的光滑性或者连续可微性。因为人眼对“不规 则”(irregular)误差比“平滑”误差更加敏感。换句话说，我们需要强加“正则性”(regularity)条件。也就是说正则性好的小波，能在信号或图像
个矩形波。
Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。 在Matlab中输入命令waveinfo('haar')可得到如下信息： General characteristics: Compactlysupported wavelet, the oldest and the simplestwavelet.
Family Short name Order N Examples
Daubechies db N strictly positive integer db1 or haar, db4, db15
Orthogonal
yes
Biorthogonal
yes
Compact support yes
DWT
possible
Symlet小波函数是IngridDaubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlet小波系通常表示为symN (N=2,3, …,8)。symN小波的支撑范围为2N-1，消失矩为N，同时也具备较好的正则性。该小波与dbN小波相比，在连续性、支集长度、滤波器长度 等方面与dbN小波一致，但symN小波具有更好的对称性，即一定程度上能够减少对信号进行分析和重构时的相位失真。
的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或舍入误差的视觉影响。但在一般情况下，正则性好，支撑长度就长，计算时间也就越大。因此 正则性和支撑长度上，我们也要有所权衡。
消失矩和正则性之间有很大关系，对很多重要的小波（比如，样条小波，Daubechies小波等）来说，随着消失矩的增加，小波的正则
性变大，但是，并不能说随着小波消失矩的增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。
haar is the same as db1
Orthogonal
yes
Biorthogonal
yes
Compact support yes
DWT
possible
CWT
possible
Support width Filters length Regularity Symmetry
1 2 haar is not continuous
yes
Number of vanishing moments for psi 1
2、 Daubechies(dbN)小 波 (紧 支 集 正 交 小 波 )
Daubechies，一般音译为“多贝西”。
Daubechies小波是由世界著明的小波分析学者Ingrid Daubechies(一般音译为英格丽·多贝西)构造的小波函数，我们一般简写成 dbN，N是小波的阶数。小波函数Ψ(t)和尺度函数φ(t)中的支撑区为2N-1，Ψ(t)的消失矩为N。dbN小波具有较好的正则性，即该小波作为稀 疏基所引入的光滑误差不容易被察觉，使得信号重构过程比较光滑。dbN小波的特点是随着阶次（序列N）的增大消失矩阶数越大，其中消
可以
可以
不可 不可 不可 不可
以
以
以
以
对称性
对称 对称
对称
对称 对称 对称 对称
小波函数
-
-
-
-
-
-
-
消失矩阶数
尺度函数
-
-
Nr-1
-
-
-
--
消失矩阶数
1、 Haar小 波
Haar，一般音译为“哈尔”。 Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在t∈[0,1]范围内的单
1、支撑长度
小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛 到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，
因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。